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sin 1 cos cos

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Academic year: 2021

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(1)

次の問いに答えよ。

(1) 次の等式を証明せよ。

(ⅰ)

sin 1 1 1 cos tan sin

θ

θ + θ = θ +

(左辺)

sin 1 cos cos

1 cos 1 cos sin

θ θ θ

θ θ θ

= ⋅ − +

+ −

2

sin (1 cos ) cos

sin sin

θ θ θ

θ θ

= − + 1 cos cos

sin sin

θ θ

θ θ

= − + 1

sin θ

=

=(右辺)

(ⅱ)

(1 sin + θ + cos ) θ

2

+ + (1 sin θ − cos ) θ

2

= 4(1 sin ) + θ

(左辺)

= {(1 sin ) cos } + θ + θ

2

+ {(1 sin ) cos } + θ − θ

2

= 2(1 sin ) + θ

2

+ 2 cos

2

θ = + 2 4 sin θ + 2 sin

2

θ + 2 cos

2

θ 4 4 sin θ

= +

=(右辺)

(ⅲ)

2 2

cos sin 1 tan

1 2 sin cos 1 tan

θ θ θ

θ θ θ

− = −

+ +

(右辺)

1 sin cos 1 sin

cos θ θ θ θ

= +

cos sin cos sin

θ θ

θ θ

= −

+

2

(cos sin )(cos sin ) (cos sin )

θ θ θ θ

θ θ

− +

= +

2 2

2 2

cos sin cos 2 sin cos sin

θ θ

θ θ θ θ

= −

+ +

2 2

cos sin 1 2 sin cos

θ θ

θ θ

= −

+

=(左辺)

78.三角関数の相互関係

(1) 本文参照

(2) (ⅰ)

3 3

sin , tan

5 4

θ = θ = −

または

3 3

sin , tan

5 4

θ = − θ =

(ⅱ)

10

(ⅲ)

8

− 3

等式の証明の基本的な方針は

A:左辺(右辺)を変形して右辺(左辺)に等しくなることを示す B:左辺・右辺それぞれを別々に変形して等しくなることを示す。

C:(左辺-右辺)を計算し,0になることを示す。

のいずれかです。複雑な式を簡単にしていく方が計算しやすいでしょう。

(2)

(2) 次の値を求めよ。

(ⅰ)

4

cos θ = − 5

のとき,

sin θ

tan θ

の値

θ

が第2象限にあるとき

sin θ > 0, tan θ < 0

であるから,

3 3 sin , tan

5 4

θ = θ = − θ

が第3象限にあるとき

sin θ < 0, tan θ > 0

であるから,

3 3

sin , tan

5 4

θ = − θ =

(ⅱ)

tan θ = 2

のとき,

1 1

1 sin + θ + 1 sin − θ

の値

1 1

1 sin + θ + 1 sin − θ

2

2 1 sin θ

= −

2

2 cos θ

=

…(*)

tan θ = 2

より 2

2

1 1 2 5

cos θ = + =

であるから(*)

= ⋅ = 2 5 10

(ⅲ)

1

sin cos

θ + θ = 2

のとき,

1

tan θ tan

+ θ

の値

1 sin cos

tan tan cos sin

θ θ

θ + θ = θ + θ

2 2

sin cos sin cos

θ θ

θ θ

= +

1 sin cos θ θ

=

…(*)

sin cos 1

θ + θ = 2

の両辺を2乗し

1 2 sin cos 1

θ θ 4

+ =

から

3

sin cos θ θ = − 8

よって(*)

8

= − 3

sin, cos, tan

のうちの1つの値がわかっているとき,残りの値を求める問題です。

2 2

sin θ + cos θ = 1

2

1

2

1 tan

θ cos

+ = θ

を利用する方法が普通の模範解答ですが,

sin, cos, tan

の各象限ごとの正負」と「2辺の比がわかっている直角三角形」を

利用して求める方が簡単です。

参照

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