次の問いに答えよ。
(1) 次の等式を証明せよ。
(ⅰ)
sin 1 1 1 cos tan sin
θ
θ + θ = θ +
(左辺)
sin 1 cos cos
1 cos 1 cos sin
θ θ θ
θ θ θ
= ⋅ − +
+ −
2sin (1 cos ) cos
sin sin
θ θ θ
θ θ
= − + 1 cos cos
sin sin
θ θ
θ θ
= − + 1
sin θ
=
=(右辺)(ⅱ)
(1 sin + θ + cos ) θ
2+ + (1 sin θ − cos ) θ
2= 4(1 sin ) + θ
(左辺)
= {(1 sin ) cos } + θ + θ
2+ {(1 sin ) cos } + θ − θ
2= 2(1 sin ) + θ
2+ 2 cos
2θ = + 2 4 sin θ + 2 sin2θ + 2 cos2θ 4 4 sin θ
θ 4 4 sin θ
= +
=(右辺)(ⅲ)
2 2
cos sin 1 tan
1 2 sin cos 1 tan
θ θ θ
θ θ θ
− = −
+ +
(右辺)
1 sin cos 1 sin
cos θ θ θ θ
−
= +
cos sin cos sin
θ θ
θ θ
= −
+
2(cos sin )(cos sin ) (cos sin )
θ θ θ θ
θ θ
− +
= +
2 2
2 2
cos sin cos 2 sin cos sin
θ θ
θ θ θ θ
= −
+ +
2 2
cos sin 1 2 sin cos
θ θ
θ θ
= −
+
=(左辺)78.三角関数の相互関係
(1) 本文参照
(2) (ⅰ)
3 3
sin , tan
5 4
θ = θ = − または 3 3
sin , tan
5 4
θ = − θ = (ⅱ) 10
(ⅲ) 8
− 3
等式の証明の基本的な方針は
A:左辺(右辺)を変形して右辺(左辺)に等しくなることを示す B:左辺・右辺それぞれを別々に変形して等しくなることを示す。
C:(左辺-右辺)を計算し,0になることを示す。
のいずれかです。複雑な式を簡単にしていく方が計算しやすいでしょう。
(2) 次の値を求めよ。
(ⅰ)
4
cos θ = − 5
のとき,sin θ
,tan θ
の値θ
が第2象限にあるときsin θ > 0, tan θ < 0
であるから,3 3 sin , tan
5 4
θ = θ = − θ
が第3象限にあるときsin θ < 0, tan θ > 0
であるから,3 3
sin , tan
5 4
θ = − θ =
(ⅱ)
tan θ = 2
のとき,1 1
1 sin + θ + 1 sin − θ の値
1 1
1 sin + θ + 1 sin − θ 2
2 1 sin θ
= −
2
2 cos θ
=
…(*)tan θ = 2
より 22
1 1 2 5
cos θ = + =
であるから(*)= ⋅ = 2 5 10
(ⅲ)
1
sin cos
θ + θ = 2 のとき, 1
tan θ tan
+ θ の値
1 sin cos
tan tan cos sin
θ θ
θ + θ = θ + θ
2 2
sin cos sin cos
θ θ
θ θ
= +
1 sin cos θ θ
=
…(*)sin cos 1
θ + θ = 2 の両辺を2乗し
1 2 sin cos 1
θ θ 4
+ =
から3
sin cos θ θ = − 8
よって(*)8
= − 3
sin, cos, tan
のうちの1つの値がわかっているとき,残りの値を求める問題です。2 2
sin θ + cos θ = 1
や 21
21 tan
θ cos
+ = θ を利用する方法が普通の模範解答ですが,
「
sin, cos, tan
の各象限ごとの正負」と「2辺の比がわかっている直角三角形」を利用して求める方が簡単です。