応用数学 III & C 学期末レポート (平成 20 年度後期) 問題と解答例 問 題
提出締め切り: 平成21年2月9日
提出先: 旧工学部本館2階 数理学研究院工学部分室事務室 レポート作成上の注意:
1. 解答にはA4レポート用紙を用い，各大問毎に解答用紙を変えよ．
2. 提出レポートには表紙を付け，表紙には専攻名，ID番号，氏名のみを記せ．
3. レポートはすべて手書きとし，ワードプロセッサーなどを使用したものは採点対象外とする．
問題{Bt}t≥0をブラウン運動とする．
1
(1) 次の等式を示せ． ∫ ∞
−∞
e√−1λx 1
√2πte−x2/(2t)dx=e−(λ2/2)t, ∀λ∈R. (2) E[cos(λBt)]を求めよ(求め方も説明せよ)．
2
(1) 次の収束を証明せよ．
E [{∑n
k=0
(
B(k+1)/n−Bk/n )2
−1 }2]
→0 (n→ ∞).
(2) 次の収束を証明せよ．
∑n k=0
Bk/n (
B(k+1)/n−Bk/n )→
∫ 1 0
BtdBt (n→ ∞) in prob.
(3)
∫ 1 0
BtdBt= 1 2B12−1
2 となることを示せ．
3
(1) a <0< bに対し，ϕa,b(x) =
(x−a)3, x≤a, 0, a≤x≤b, (x−b)3, x≥b,
とおく．ϕa,bの一次，二次微分ϕ0a,b, ϕ00a,bをϕを
用いて表せ．
(2) Xt=ϕa,b(Bt)が満たす確率微分方程式を求めよ．
4
安全証券ρt=e2tと次の確率微分方程式で定まる危険証券Stからなる満期τ= 1のブラック-ショールズ・モ デルを考える．
dSt= 3Stdt+ 2StdBt, S0= 10,000.
(1) Stを具体的に表示せよ(伊藤の公式を用いて表示を得る手順についても説明せよ)．
(2) a >0とする．派生証券S1aの価格を求めよ．
解 答 例
1 (1)ζ∈Cに対し，d/dζで複素微分を表す．|eζx| ≤e|ζ||x|，|(d/dζ)eζx| ≤ |x|e|ζ||x|となるので，関数 ζ7→f(ζ) =
∫ ∞
−∞
eζx 1
√2πte−x2/(2t)dx
は有限確定値として定義され，さらにLebesgueの優収束定理により，正則関数となる．a∈Rに対し，変数 変換により，
f(a) =ea2t/2
∫ ∞
∞
√1
2πte−(x−at)2/(2t)dx=ea2t/2 となる．一致の定理より，f(√
−1λ) =e(√−1λ)2t/2=e−λ2t/2となり，主張を得る．
(2) cosy= (e√−1y+e−√−1y)/2であるから，(1)により，
E[cos(λBt)] =
∫ ∞
−∞
e√−1λx+e−√−1λx 2
√1
2πte−x2/(2t)dx=e−λ2t/2.
2 (1)E[(Bt−Bs)2] =t−s，E[(Bt−Bs)4] = 3(t−s)2，E[{(Bt−Bs)2−(t−s)}{(Bu−Bv)2−(u−v)}] = 0 (s < t < u < v)であるから，
与式=E [{∑n
k=0
[(
B(k+1)/n−Bk/n )2
− 1 n
]}2]
=
∑n k=0
E [((
B(k+1)/n−Bk/n )2
− 1 n
)2]
=
∑n k=0
( 3 1
n2−21 n
1 n+ 1
n2 )
= 2 n →0.
(2)ft(n,m)=Bk/n1[−m,m](Bk/n)，ft(n)=Bk/n (t∈[k/n,(k+ 1)/n))とおく．
{ft(n,m)}t≥0∈ L0であり，定義よりただちに
∫ 1 0
ft(n,m)dBt=
∑n k=0
Bk/n1[−m,m](Bk/n)(B(k+1)/n−Bk/n).
∫1
0(ft(n,m)−ft(n))2dt→0となるから，上式と合わせて
∫ 1 0
ft(n)dBt=
∑n k=0
Bk/n(B(k+1)/n−Bk/n).
t7→Btが連続であるから， ∫ 1 0
(ft(n)−Bt)2dt→0 a.s.
ゆえに ∫ 1
0
ft(n)dBt→
∫ 1 0
BtdBt in prob.
(3)
∑n k=0
Bk/n(B(k+1)/n−Bk/n) = 1 2
∑n k=0
(B(k+1)/n+Bk/n)(B(k+1)/n−Bk/n)−1 2
∑n k=0
(B(k+1)/n−Bk/n)2
= 1 2B12−1
2
∑n k=0
(B(k+1)/n−Bk/n)2
(1)，(2)の結果を代入すれば主張を得る．
3 (1)ϕ0a,b= 3ϕ2/3a,b，ϕ00a,b= 6ϕ1/3a,b．
(2) Itˆoの公式より
Xt=ϕa,b(B0) +
∫ t 0
ϕ0a,b(Bs)dBs+1 2
∫ t 0
ϕ00a,b(Bs)ds=
∫ t 0
3Xs2/3dBs+
∫ t 0
3Xs1/3ds.
すなわち，Xtの満す確率微分方程式は
dXt= 3Xt2/3dBt+ 3Xt1/3dt, X0= 0.
4 (1)f(x) = 10000ex，Xt= 2Bt+tとしてItˆoの公式を用いれば
10000eXt = 10000 +
∫ t 0
eXs2dBs+
∫ t 0
eXsds+1
2eXs4ds= 10000 +
∫ t 0
2eXsdBs+
∫ t 0
3eXsds.
これより，St= 10000 exp(2Bt+t)である．
(2)r= 2，σ= 2，τ = 1であるから，f(x) =xaとして価格公式を適用すれば，
p(eaS1) = e−2
√2π×4
∫ ∞
−∞
(10000ex+{2−(4/2)})a
e−x2/8dx= e−2
√2π×4
∫ ∞
−∞
104aeaxe−x2/8dx= 104ae2a2−2.
