平成２４年度　大阪大学 　解答例

平成２４年度　大阪大学 　解答例　工学部 問題１

(1)

　

P

⁻¹

= 1

6 − 5

à 2 1 5 3

!

=

à 2 1 5 3

! .

P AP

⁻¹

= 1 2

à 3 − 1

− 5 2

! Ã − 11 4

− 30 11

! Ã 2 1 5 3

!

= 1 2

à − 3 1

− 5 2

! Ã 2 1 5 3

!

= 1 2

à − 1 0 0 1

!

．

(2) Ã

x

_n

y

n

!

= P

⁻¹

à a

_n

b

n

!

を用いて，

P

⁻¹

à a

n+1

b

_n+1

!

= AP

⁻¹

à a

n

b

_n

! + 1

3

ⁿ

à 1

3

!

．この両辺に左から

P

をかけて，

à a

_n+1

b

n+1

!

= P AP

⁻¹

à a

_n

b

n

! + 1

3

ⁿ

P Ã 1

3

!

= 1 2

à − 1 0 0 1

! Ã a

_n

b

n

! + 1

3

ⁿ

à 3 − 1

− 5 2

! Ã 1 3

!

= 1 2

Ã

− a

n

b

n

! + 1

3

ⁿ

Ã

0 1

!

．

よって，

⎧ ⎨

⎩

a

n+1

= − a

n

2 b

_n+1

= b

_n

2 + 1 3

ⁿ

．

à a

1

b

₁

!

=

à 3 − 1

− 5 2

! Ã 1 1

!

= Ã 2

− 3

!

と

{ a

_n

}

が公比

− 1

2

であるから，

a

n

= ( − 1)

ⁿ⁻¹

2

ⁿ⁻¹

· 2 = ( − 1)

ⁿ⁻¹

2

ⁿ⁻² ．

(3)

　

b

n+1

= b

n

2 + 1

3

ⁿ より，

b

2

= b

1

2 + 1 3

，

b

₃

= b

₂

2 + 1 3

²

= b

₁

2

²

+ 1 2 · 1

3 + 1 3

²，

b

4

= b

₃

2 + 1 3

³

= b

₁

2

³

+ 1 2

²

· 1

3 + 1 2 · 1

3

²

+ 1 3

³，

· · ·

，

b

n

= b

n−1

2 + 1

3

ⁿ⁻¹

= b

1

2

ⁿ⁻¹

+ 1 2

ⁿ⁻²

· 1

3 + · · · + 1 2 · 1

3

ⁿ⁻²

+ 1 3

ⁿ⁻¹． よって，

c

n

= 2

ⁿ

b

n

= 2

³ b

1

+ 2

3 + · · · + 2

ⁿ⁻²

3

ⁿ⁻²

+ 2

ⁿ⁻¹

3

ⁿ⁻¹

´

= 2 ³

− 3 + 2

3 + · · · + 2

ⁿ⁻²

3

ⁿ⁻²

+ 2

ⁿ⁻¹

3

ⁿ⁻¹

´

= 2 ³

− 4 + 3 n 1 − ³ 2

3

´

n

o´

= − 2 − 2

ⁿ⁺¹

3

ⁿ⁻¹．

1

(4)

　

à x

_n

y

n

!

= P

⁻¹

à a

_n

b

n

!

=

à 2 1 5 3

! Ã a

_n

b

n

!

=

à 2a

_n

+ b

_n

5a

n

+ 3b

n

!

より，

(

x

n

= 2a

n

+ b

n

y

n

= 5a

n

+ 3b

n

．

(3)

より，

b

n

= c

n

2

ⁿ

= − 1

2

ⁿ⁻¹

− 2 3

ⁿ⁻¹

. X

∞

n=1

x

_n

= X

∞ n=1

³ ( − 1)

ⁿ⁻¹

2

ⁿ⁻³

− 1

2

ⁿ⁻¹

− 2 3

ⁿ⁻¹

´

= 4 − 2 + 1 1 − ¡

−

¹₂

¢ − 1

1 −

¹₂

− 2 1 −

¹₃

= 2

3 − 3 = − 7 3 . X

∞

n=1

y

n

= X

∞ n=1

³

5 ( − 1)

ⁿ⁻¹

2

ⁿ⁻²

− 3

2

ⁿ⁻¹

− 6 3

ⁿ⁻¹

´

= 5

³

2 − 1

1 − ¡

−

¹2

¢ ´

− 3 1 −

¹2

− 6 1 −

¹3

= 5

³ 2 − 2

3

´

− 6 − 9 = − 25 3 .

問題２

(1)

　

特性方程式

u

²

+ 3u + 1 = 0

より，

u = − 3 ± √ 5

2

．

よって，一般解は

y(x) = C

₁

e

⁻³⁺

√5

2 x

+ C

₂

e

⁻³⁻

√5 2 x．

(2)

　

特殊解は，山辺の方法を用いて，

　　　　　　　

x

²

− 3x + 8

　

1 + 3D + D

²

)

　

x

²

+ 3x + 1

　　　　 　　　　　　

x

²

+ 6x + 2

　　　　　　　

− 3x − 1

　　　　　　　

− 3x − 9

　　　　　 　　　　　　

8

よって，一般解は

y(x) = C

1

e

⁻³⁺

√5

2 x

+ C

2

e

⁻³⁻

√5

2 x

+ x

²

− 3x + 8

．

(3)

　

y(0) = C

1

+ C

2

+ 8 = 10, C

1

+ C

2

= 2 · · · ( ∗ )

と，

y

⁰

(x) = C

₁

− 3 + √ 5 2 e

⁻³⁺

√5

2 x

+ C

₂

− 3 − √ 5 2 e

⁻³⁻

√5

2 x

+ 2x − 3

から，

y

⁰

(0) = C

1

− 3 + √ 5

2 + C

2

− 3 − √ 5

2 − 3 = − 6, C

1

− 3 + √ 5

2 + C

2

− 3 − √ 5

2 = − 3 · · · ( ∗∗ )

．

− 3 + √ 5

2 ( ∗ ) − ( ∗∗ )

より，

C

₂

= 1

．よって，

C

₁

= 1

．

∴　

y(x) = e

⁻³⁺

√5

2 x

+ e

⁻³⁻

√5

2 x

+ x

²

− 3x + 8

．

2

問題３

(1)

　

| u + 2 | = 2 | u − 1 |

の両辺を２乗して，

(u + 2)(u + 2) = 4(u − 1)(u − 1), uu + 2(u + u) + 4 = 4uu − 4(u + u) + 4

，

3uu − 6(u + u) = 0

，

3 { uu − 2(u + u) } = 3 { (u − 2)(u − 2) − 4 } = 0

，

(u − 2)(u − 2) = 4， | u − 2 |

²

= 4．

∴　中心

(0, 2)

で半径

2

の円．

(2)

　

v = s + ti, u = x + yi

とおくと，

x

²

+ y

²

= 4

．

s + ti = x + yi + 1

4(x + yi) = x + yi + x − yi 16 = 17x

16 + 15y

16 i

から，

s = 17x

16 , t = 15y

16

で，

x = 16s

17 , y = 16t 15

．

4 = x

²

+ y

²

= ³ 16s

17

´

2

+ ³ 16t 15

´

2

より，

1 = ³ 8s 17

´

2

+ ³ 8t 15

´

2

， よって，

v

は楕円

s

²

³

17 8

´

2

+ t

²

³

15 8

´

2

= 1

を描く（図省略）．

(3)

　

w = i

³ 4u

²

− 16u + 17 4(u − 2)

´

= i

³ 4 { (u − 2)

²

− 4 } + 17 4(u − 2)

´

= i

³ 4(u − 2)

²

+ 1 4(u − 2)

´

= i n

u − 2 + 1 4(u − 2)

o

．

(2)

を用いて，

u − 2 = p

とおくと，

| p | = 2

だから，

q = p + 1

4p

は

q = s + ti

とおけば，

q

は

(2)

と同じ楕円を描く．いま，w

= iq

だから，この楕円を

π

2

回転させればよいから，

w

は楕円

s

²

³

15 8

´

2

+ t

²

³

17 8

´

2

= 1

を描く（図省略）．

問題４

(1)

　

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x

⁰

= x + 0y + az y

⁰

= 0x + y + bz z

⁰

= 0x + 0y + z

より，A

=

⎛

⎜ ⎝

1 0 a 0 1 b 0 0 1

⎞

⎟ ⎠

．

(2)

　

xy

平面上の回転移動の公式を用いると，

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

x

⁰

= x cos θ − y sin θ + 0z y

⁰

= x sin θ + cos θ + 0z z

⁰

= 0x + 0y + z

より，

3

B =

⎛

⎜ ⎝

cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0

0 0 1

⎞

⎟ ⎠

．

(3)

　

| AB | = | A || B | = 1 · (cos

²

θ + sin

²

θ) = 1 6 = 0．よって，AB

は正則行列で，逆行列が存在 する．

(4)

　

AB =

⎛

⎜ ⎝

1 0 a 0 1 b 0 0 1

⎞

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎝

cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0

0 0 1

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝

cos θ − sin θ a sin θ cos θ b

0 0 1

⎞

⎟ ⎠

．

(AB)

⁻¹

=

⎛

⎜ ⎝

cos θ sin θ − b sin θ − a cos θ

− sin θ cos θ − b cos θ + a sin θ

0 0 1

⎞

⎟ ⎠

．

(5)

　

BA =

⎛

⎜ ⎝

cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0

0 0 1

⎞

⎟ ⎠

⎛

⎜ ⎝

1 0 a 0 1 b 0 0 1

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝

cos θ − sin θ a cos θ − b sin θ sin θ cos θ a sin θ + b cos θ

0 0 1

⎞

⎟ ⎠

．

AB = BA

なら，

( a = a cos θ − b sin θ b = a sin θ + b cos θ

． これを

cos θ, sin θ

について解いて，

a

²

+ b

²

6 = 0

のとき，

cos θ = 1, sin θ = 0

（したがって，

θ = 0

）より，

B

は単位行列

E

．

a = b = 0

なら

A

は単位行列

E

であり，

EB = BE

である．

∴　

AB = BA

であるための必要十分条件は，

A = E

または

B = E

である．

4