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2.9節において，特別な定数 e を次のように定義しました：
e= lim
x→0(1 +x)
1 x .
そしてこの定数 e を自然対数の底といいました． しかし，通常，自然対数の底 e は 別のやり方で定義されます．
次の定理が成り立ちます（証明は省略します）．
定理 数列 n 1 +1
n no
n≥1
は収束する．
この数列 n 1 +1
n no
n≥1
の極限値が定数 e であると定義します：
e = lim
n→∞
1 +1 n
n .
このように定義すると次の定理が成り立ちます（証明は略します）．
定理
x→∞lim 1 +1
x x
=e .
この定理から更に次の定理が導かれます（証明は略します）．
定理
x→lim0(1 +x)
1 x =e .
この定理が2.9節において e= lim
x→0(1 +x)
1
x と定めたことの根拠です．
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