数　学数　学

注意事項

１．受験番号，氏名および解答は，すべて解答用紙に記入しなさい。

2019 年度Ｂ

（全 5 ページ）

数　学

Ⅰ． 次の問いに答えなさい。

〔１〕　　　－（－5）÷ （  ） ^{2 を計算しなさい。}

〔２〕　　　　　 －　　　　　　 を計算しなさい。

〔３〕（√￣ 2 ＋√￣ 3 ） ² ＋（1－√￣ 6 ） ² を計算しなさい。

〔４〕連立方程式　　　　　　　 を解きなさい。

〔５〕2 次方程式 （2x－1） （2x－5）＝（x－2） （x＋2）＋18 を解きなさい。

〔６〕（3 x －2） ² －3（3 x －2）＋2 を因数分解しなさい。

（－3） ²

4 10

7

3x－5y＋8

4 5x－6（y－2）

6

⎜

⎜

⎜ ⎜

⎜

⎜

2（2 y － x ）＝－　 x ＋3 y ＋9 　 y＝－　x－1

2 5 3 2 1

2

Ⅱ． 次の問いに答えなさい。

〔１〕大小 2 つのさいころを同時に 1 回投げて，大きいさいころの出た目の数を a，小 さいさいころの出た目の数を b とする。ただし，さいころのどの目が出ることも 同様に確からしいものとする。

（１）　1 次方程式 2x+a＝b が自然数の解をもつ確率を求めなさい。

（２）　2 次方程式 x ² －7x＋ab＝0 が整数の解をもつ確率を求めなさい。

〔２〕ある市の中学 3 年生 1600 人の中から無作為に 80 人を選び，平日１日あたりの家 庭学習時間を調べた。下の表は，その結果を度数分布表に表したものである。

（１）　中央値をふくむ階級の階級値を求めなさい。

階級（分） 度数（人）

　　　以上　　　未満

0 〜 30 18 30 〜 60 23 60 〜 90 24 90 〜 120 12 120 〜 150 2 150 〜 180 1

合計 80

Ⅲ． 下の図の立体 O－ABCD は OA＝6cm，AB＝4cm の正四角錐

である。対角線 AC，

BD の交点を H とする。また，線分 AB，OA の中点をそれぞれ M，N とする。この とき，次の問いに答えなさい。

〔１〕線分 OM の長さを求めなさい。

〔２〕線分 OH の長さを求めなさい。

〔３〕線分 CN の長さを求めなさい。

〔４〕線分 OH と線分 CN との交点を L とする。このとき，立体 L－OAB の体積を求 めなさい。

B

C

A

D

H N

M

O

Ⅳ． 下の図のように，放物線 y ＝ ax （ ² a ＞0）…①と双曲線 y ＝　（ x ＞0）…②がある。点 A は放物線①と双曲線②との交点で，その x 座標は 4 である。点 B は放物線①上の点 で，その x 座標は－8 である。また，点 B を通り x 軸に平行な直線と双曲線②との交 点を C とする。このとき，次の問いに答えなさい。

〔１〕 a の値を求めなさい。

〔２〕直線 AB の式を求めなさい。

〔３〕△OAC の面積を求めなさい。

〔４〕線分 BC 上に点 P をとり，点 P を通り y 軸に平行な直線と放物線①との交点を Q とする。BP：PQ＝4：5 のとき，点 P の座標を求めなさい。

8 x

y

①

②

C

A

B

Ⅴ． 下の図のように，1 辺の長さが 1，3，5，7，…の正方形を x 軸にそって，すき間な く規則的に並べる。左から順に 1 番目の正方形，2 番目の正方形，3 番目の正方形，4 番目の正方形，…とし，1 番目の正方形の左下の頂点は原点 O である。また，1 番目 の正方形の右上の頂点を A 1 ，2 番目の正方形の右上の頂点を A 2 ，3 番目の正方形の右 上の頂点を A ³ ，4 番目の正方形の右上の頂点を A ⁴ ，…とする。このとき，次の問いに 答えなさい。

〔１〕A ⁵ の座標を求めなさい。

〔２〕A ⁿ の座標を n を用いた最も簡単な式で表しなさい。

〔３〕となり合う 2 つの正方形のそれぞれの右上の頂点を通る直線について考える。た だし，n は 2 以上の整数とする。

（１）　 （ n －1）番目の正方形の右上の頂点 A n－1 ， n 番目の正方形の右上の頂点 A ⁿ を通る直線の傾きを n を用いた最も簡単な式で表しなさい。

（２）　 2 点 B，C があり，B（－219，0），C（－227，0）とする。（１）の直線が線分 BC と交わるとき n の値はただ 1 つである。そのときの n の値を求めなさい。

y

O x

・・・

A ¹

A ²

A ³

A ⁴

1 3 5 7