AREMARK ON A PAPER OF J・M・GRE餌BERG・
‘R．C． MACCAMY AND V． J． MIZEL＊
BYKENJI NISHIHARA＊＊
1．Intr①duction．．In this paper we give a remaτk on a paper［1］by J． M． G，㏄。b。，g， R． C M・・C・my・nd V．」． M泣・1， i・whi・h・n i・iti・1−b・und・・y・・lue problem fbr the equation σ’似）Uxx＋u。tx ＝Utt was treated． They showed the solution d㏄ays to zgro in the max㎞um norm with it、 d。，ivati。。、 up t・th・・㏄・nd・・d・・a・’→。。・We sh・n Sh・w・m・・e p・eciS・1y・ the solution with the derivatives up to the second order decays exponentially in the same norm， applying the method of P． H． Rabinowitz［3］． The author should like to express his sincere gratitude to Professor T． Kakita fbr his kind advices and constant encouragement． 2．Notations an己resロ1ts． For C2−function u on ST≡｛（x，’）iO≦x≦1，0≦t≦T｝ （Tis an a正bitrary positive fixed numbCr）．we put l・（t）1・一Σ｝、蒜、〃（・）・t∈［…コ 0≦α1＋α2≦2where
lh（t）H乃ω1・−max lh（X，’）1・ 0≦x≦1 Then the fbllowing theorem has been pToved hl［1］by J． M． Gr㏄nberg， R． C． MacCamy and V． J． M▲ze1． THEoREM．（［1；Theorems l and 2 and Lemma 5・6］） Assumptions： （。．1）1。t。b・a㎞・ti・n C・（一。。，。。）・u・h th・t・（0）−0・nd・’＞0 （。．2）∫・nd g， gi・・nゴ㎞・ti・n・， are・C‘・and・C2・n［0・1コ・e・p㏄ti・・1y・nd vanish together wi血their second derivatives at x＝O and 1． Then there exists one and Only one solution u（x，’）∈C2（S。。）of the equation （E）Lu≡Utt−d（u。）Uxx−u・・…o satisfシ麺g the following．collditions： ＊ R．㏄eived September 4，1974． ＊＊D。p。rtm。nt・f m・th・m・ti・・， S・h・・1・f S・i・n・e・and・E・gi・ee血g・Wa・eda University・ ［37］38 K．NISHIHARA （c．1）u（0，’）＝〃（1，’）−0 （c．2）u（x，0）＝ノてX），Ut（x，0）−9（x），0≦x≦1 （c・3）μ擁ヲ埠一4xxt onぷ、． （c．4） there exists a constant M＝＝M（f，．g）， which tends to zero as lfl 2十Igl 2 tends to zero， such that lu（t）1・≦M， Iu、，x（釧≦MO’≧o （c・5）lm ［u（t）1・−0，1im lu。、。（t）1−0． t→。． t→o。 Now we assert that the solution u（x， t）also satis丘es the condition： （c・5）’．there． exist positive constantsγand C i皿dependent of t such that lu（釧・≦Ce−rt，’ ’ lu＃x（t）1≦Ce−rt． 3． Pmof of our assertion． F丘st we note that fbr any O（x，’）∈C2（5。。）with ψ（0，t）＝の（1，t）・−O IIe（釧1≦lo（t）｜≦llψ。ωll≦1￠。（t）1≦ll￠xx（t）II≦1のxx（t）l
w・er・H・ll・−1：1・・（・）1・嚥・・∈L・（・，1）． ． ・
Now fbr a丘xedλ，0＜λ＜1／2， we can rewrite （Ut＋λu）ム＝O in divergence fbrm： ￡（S：’・（・）吻＋丁〃∼＋ZUUt＋争・2） 竜＠’・ω＋〃tU．・＋・u・ω＋・〃u．t）＋（・．∼＋・・ω〃．−Zu∼）一・．（・．1） t Integrating both sides of（3．1）from O to 1 and takng the vanished boundary condi− tions into consideration we obtain 昔∫：・（x・t）dx＋1：e（x，鋤一・， （・．・）where
P（xの弍’・（・）吻＋Tu∼＋・・〃・＋丁・〃∼， ρ（x，t）＝Ut．2＋λ o（u。）Ux→u、2、 ・・（・・1）・1：・（カ）両≧・f・・anyξ∈（一・・，・・）・nd ！，’p（・・ ・）dx≧Tl：（〃∼一・・〃・2一丁・・＋…z）此 ≧9（1−・・）1：〃∼dx＋才1：〃・・dx， （・．・） …ce∫：・・dx≦1：u・2dx・ By the mean value theoremAREMARK ON A PAPER OF GREENBERG， MACCAMY AND MIZEL 39
1：・（切dx≦1：（・触）・汁丁・’・＋i・・2＋iu・＋i・・2）dx ≦∼：（・’（・・θ・u・）・・u・2＋1−ltl・1−Z u∼熾2）dx ≦1＞λ1：〃∼dx＋（E・（M）＋・）1：u∼dx （…） where Iθi（x， t）1≦1＠＝1，2）and E1（a）＝sup｛σ’（’）；ltl≦α｝．・i・ce∼：磁≦1：口
1：・（・・’）dx≧1：（Ux∼一…∼＋・・’（・・U・）U・・）dx ≧（1−・）∼：・鍋品（M）∼：蹴・ ≧（1−・）1：u・物＋醐）∼：典 （…）
where lθ3（x，’）1≦1 and Eoω＝inf｛σ’ω；Itl≦a｝．． Combining（3．4）and（3．5）we have lle（・・ t）dx≧m翠諜（呈）1：P（ ）dx≡・・∼：・（抽砒・， （…）
From（3．2） θ一・・’昔・…∼：P（抽dx＋∼：（ρ（”一・・P（・・’））dx−・・ Hence by（3．6） 昔…’ll・（・…）dx≦・ ・h・・・・・…’P：・（・・’）d・・iS・卿・…9・・n・n一血・・6・Sin・血丘・…n・・’・nd ∼：P（鋤dx≦・一…∼：・（…）dx・ Thus we obtain丘om（3．3） ll〃，（t）ll≦CI exp（一γ1’／2）， ll〃x（t）11≦C1‘exp（一γ1’／2）． （3．7） N・xt w・q・・ th・Ni・enbe・g’・桓・q・・晦亡2コ llD∫〃ll・・≦・・P・t・ll功〃ll習II〃ll脇∫／傷・1≦ノ≦〃・1＜〆。。・ Ta㎞9 P→m＝2，ノ＝1，〃＝Ut we get 1］Ust（’）il≦const・llUxtx（’）ll1’211〃’（’）H112and
l〃t（t）1≦llUxt（’）ll≦C2 exp（一γit／4）． （3．8） 、 If we multiply Lμ＝O by ・xp（∼：、・’（Ux（…））吻） and integrate the resulting fbrm in’over（’1， t2）， we’№? ■，
