NOTES ON EXTENSIONS OF DERIVATIONS

(1)

TRU Math㎝atics

24−2 （1988〕， 135−145 ・：『． J ‘ ・ ’』’ ．：．：． ’r 二．．：こ．・芦．Ftt’．：、

NCMES qN E双ENSIONS．OF DERIVATIONS

・．・㎞oru FURUYA and Hiroshi NIITSUMA − ，（Received Septe吋）er 30， 1988；Revised Noveπber 10， 1988〕 §0． Introduction・．ジ’＾’ し ’ 一・：．’ ： ’‘”． ’ ．’ ・’ ．・；： Let p」be a弥⇒S』aprime n血nberl Let．た．もe d field of：dlaracteristic p；． ’㌧ K＝た［α］ asi㎎1e’pUrely inseparable extension of’た．bf exponent 2』（θ≧ヱ）’．and〃＼ ’ 。。軸・。．匝t1ぷ． a’ （．ごた）．．丘・。−i・㎞。im・h・t・・h・rとli・・頑6輌・・ibh：’ d・k÷tif ha・．孤r・tgn・i㎝、D f．．K “＋ M，・if ｛md・nty、．if 4ω・ρ・皿d lf 4 is s頑

・d・・i・・麺・岬th・Y・1…fD〔ヅr㎎、 be・5・i騨a沁it「a旬迦．（C°「・4

・f・・h・39・．§・7・晦・…［7］）・．艇e頑‘！h・・if d・k・’

_{_・．飢・rdinary}

d・輌・ti㎝． th・n・th・ρ㎝diti頑ω一〇i・・eq・i・・1・nt tρ『．thg・頑ti・？・・da．一・d

−・・砲ere血一磁i・th・㎜P・f客i・；・M卿i・g．

ｒ 4r叫・α4ω）・

Receptly， K・Kbsaki ［3］ treqted a gengralizatiop of the aboVe facts・He has P。。v。d。a桓1y．狽?Bt（i）an。．th・fder derl・・ti・n・d・k・〃・Xt・ndS・t・飢ηρθ二th order derivation D ：K→〃；〔ii） an n−th order derivation d ご k→Mextends to an n−th order derivation Z）ご’K÷Mif と故’− ad＝0．． tt ’‘ In this paper， we shall consider the same prob1㎝｛md get generalized and detailed results． Namely， 1et R be an、 integral domain．of・characteristic p’and let 5、＝・」∼［αr be．a sま珂）1e purely inseparal）1e ring extension of．．expOpent e rθ≧1入 of R 〔see the definition in §1 〕． 1冶t M．1×∋an 3−module． Ass珊．，that R has．a．￠＼』 P−basis overぱ［α］，where αP ＝α ε 1∼． Then we get the・fOn6wiig：バ ” 〔i）An・−th・・der d・・i鴨ti・n d・R÷M・xt・nd・t・飢ηPθ一th・rder deri・a− ti。・D． A5÷ちa・id・the− Valu・bf br・）． edn・’b・a’ssig・ied・rbitねH取’in．：ガ：‘一’ 〔ii） An n−th order derivation d ごR：4MSuch that dα一二dd「’＝Oe）〔tends・to anη一th order derivation ’ cご』

ﾕ㌧M，ahd the vaiU60f Dωαm．bビaSsigned ・

ax七itrarily』in．亙．乱 1 − 』 ” 』．・』・．． ’ ．・』．− 」「’「 Furthermore， we shall consider the extens ion I）toble血of’higher deriva−tionS．〆 ‘ and get some results similar to the case of high order derivations． §1．Extens i㎝s of high order derivationS． 1 ．∵ Throughout． this paper all rings are assumed to be co叩mU‡ative，， with 、．． identity， and all modules are unitary． Let R be a ring and M an．1∼rmodu1ρ． Let ．，．

135

(2)

136

nbe a natural number． A h㎝omol〕phism刀of R into M is called an n−th ordeτ

d・・i・ati㎝if・f・r孤y・et・f r・初一e1…nts』伝。・af、；…・万・f瓦祀hw・th・

identity：

・培…・n・÷幻S一ヱ、、．二1．．ぴ・・玲・…㍉…M・．…x・ハ

Thus， a first order derivation is just an ordinary dex’ivation・．皿e．set of． n−th ・rd・・deriv・ti・n・・f R int・〃will b・d・n・ted by D・rn（R。初． Th・m。血1e・f n−th ・・der diff・・entエ・1・・f R・will・b・d・n・t・d by搬、ノanq・th・・an（mica1・−thρ・d・・・・・…t・・nw…b・ゆ・t・d by ・。「”）…麺・y dk ・hgh・h…i・n・fea・・f

confusi（Sn．』：．’ ． ’ 』．層

．L・t R・b・ a・麺9・f・｝・a・acteri・ti・P and Rp d…t・th・・ub・ing｛a91・・d｝．リロ 1．et Rt be a subri皿g． of R．’A Subset r of R is said to be p−independent．over去ゾ if， f・r ・ny ’X・bseモ｛わヱ・・∵・bn｝・C・，『t地’Sご・bf血・n㎝i…わ、θ…弓。θ・r…i・ P一刀is 1血eariy ihdep・ndent・v・r Rp‘囲． r is called a・P−basi・・f R．・Ver”Rド』

ifi・．・r P一輌㎝d・か・・士・’麺d． A一命㌧’r］．・．『．』．』「’

L・tRb・ari皿9・f・haracteri・ti・P ・・d・1・t A＝｛． xλ｝λと， A b・．a．・ubset°f R ． We set ’ ．』」． −

・ω一｛x、…・・λlx、．EA。ヱ・t・・｝・．．『．「，

2 t t ‘ ．：・量、：．』．・．㎡㊤・．MA 1□θ渉． R be．・αre（lueed・・ring of o1鯉．ク．−Assume tha’t R．has．αP−bαsis ．鋤e。 RP．乙。t M．．．わ。α。．R．・碗4、・．』。鋤㎝α協卿．’。qppi。g．f。μωZ励 14．th・㌘・．・蛎悟α協w・n一坑・・磁㌘・1・niv・t伽． D・D・rηrR．初’s・・力鋤力’Dω一

fωカr卿。z。噸。。τ♂∼．．．，，．．．．

PR・・F・．by：L・輌、A 3，4・ξ1［6］， s「z rR）．i・a・free・R−i・i・血・e．・ith｛−d。rx川・・

・ω｝．a・輌i・． W・d・fiP・．叫一h一卿h・㎝φ＃㎝蜘・・輌φr4み〃一

鋼f・r・・n・．・1・鵬頑・f・「

ｱ），apa・…一φ・も．・・hen，…a・・qu・・r・

deτivation of ordeT n． The uniqueness is obvious， since an n−th order deriva−

・ig叫i・d・t・rPtt・d・．by・h・，典esρωr・・A「カリ．．、，．『

DEFINITION．五et S beαn inteθヱ。αZ domain of ehα？aoteristie p and Rαsub−

W°fS・五￠カθゐθαρ゜S㌘θ』⊇S：㍗晒Z鋼』e鋤τ5鋤

th・・t a）σ一R［・］． r初♂一・・R唖♂ ｛Qω．吻ア・鯛z・th・qu・一

彦θ励fieZd oアR．〆Tne？i］・’・5＝・17［司’is・．eaZled”a．s加pZe pu？eZy・飢sθ㌘αmゐzθ・．ヱ吻9層 extensionげ孜tporien／tθδf R∴’ ㌧・’．・．』』・．・「・ ’ …・・‘ ・一

(3)

NOTES・ON EXTENSIONS OF DERIVATIONS

137

田飼A2・Lθカ5＝R回ゐθαsi，xp Zeρu？e Zy insep鋤力zθring．extens鋤・f ， o ・XTpon・・惚・餌・・d・P一α・R． rf・R・ha・αP一加・i・r・…田。］。彬。 r、｛。｝

i・αP一力・・i・・臼の・・酩・・dr・｛・｝i・αP一ゑ』・了5・…プ．

五ρ i’［・］一ず’ ．、…

It fbllows fr㎝this that T uω’is a p−basis of S over 5ρ．．．囁 ’ t ．’ …hg・．c・・e・…．w・・set．5ゲ・［・・p］f・r i−・．・．’2。…。e・・nd・we・・n・id・・ the folloWing diagram：．、

ノ5e／ンSe一ジ・σヅ”＞32，／／°＝s．

if−s。ρ・・。三i・・。e、．・‘・。el3・…・・、P・％P一ず

e θ一ヱ S’nce「 B三；・・sbas’・・f R・v・r RP［：1、一躍］一・E・一・・P孤d躍’9・・−b・・’・・fR［c・p］一・。．、・v・・R， r・’_{o♂｝i・a・−b・・i・・f・。．、・ver r・。ニノ孤・・} i・a・−b・・i・・f・。．，．翌?秩@r・。．2）P・釦PP・seth・tri・a・−b・・i・・f・，−r・弓・ Si・・6♂ir a p−b・≒i；・f『 d、一．Si，［・・p］b・…、・．・・｛・・p｝jr・‘．P−b・Sis・f・ンー r・把a・d・hence・i・a…a・P−b・・i・Of・，己0・・r・、P［c・p］一♂・Since・i・ap二 b・・i・・f5一ぷヱ［・］・ver・Sヱ・r・｛・｝i…p−b・・i・・f S・ve・．

_{rp ．・『．ゴ}

From now on thrgughσut． this paper，5＝R［α］wi11’denote a s坤ユe purely inseparab1・．?奄獅〟@’6xt’・ri・i・n df・・rPOn・nt・・f R．1f・R h・・aρ一b・・i・r・ve・ぜ［。］， byL・㎜・2， A−r・｛・｝i・ap−b・・i・・fR・v・r Rp・・nd・B−r・｛φis「ap−b・・i・ of S over 5ρ． Then， we have

・ω一煽2三・・りα

^｛・k・1…恒ゴ・ら・・’ ・・・・1・’

・ u｛x・、”°幻㌻しヱ≦’ブ≦nl！’『』一、・

and ・・・仰θ

P−・馬α三…・躍θ｝・璽；1｛・％、、…か㌍・t ・・p・．−i・

PROOF・lt i・c1・ar thqt r・｛・｝i・ap−basi・・f R ・ver Rp．恥．・h・11ミh・w that r u ｛Ct｝ is a p−basis of 50ver 5ρ． In the case θ ＝ヱ3 we have the fb11σwing diagram： → R［α］＝5 ／

(4)

138

’．’_{l．・FURUYA AND H；．NIITSUMA}

〉∪｛r・、’’”cl・、1・・」・「・ヱ≦t≦npe｝・『〒

H。・eaft・・，鳩・㎞11退・the・・tdti・n・遙．＝r・｛・｝飢dβ＝rO｛d｝；

＿P

l瓢；二二鍵［；二驚二㌶巖竺1才：驚㌃

・磁醜励・ti・n．』輪・・snt・t伽・了Dカ・R・DlパR÷〃・il・an・一仇

ordθr derivation． P、。。F．『脆。se曲，an。 n。t。ti。n、 Ar・）・。nd，佃う。。蜘。． Sth。。．cx？e．α

ER，⊇…ω・・触θ’．・tf…㎝・丘㎝工2・．・・f［・］−ti…．、

㌶。凱ls蒜「eご麗鷲tt㌻1蕊1㌶1’。蕊sぷ．

輪，there i・飢5−h伽∞・・叩hi・・f・ 9”p・CS」・〃・u・h th・t D−．

?Edg桓「

virtue of the universal mapPing Property．11f we set h＝了。≦75 h is an 1∼−

h㎜卿hi珊f・㎝♂ωt・．〃・TheT・f・re・w・・ha・・Dlガf・9・dR−h・dR・by

bef・A1・1・f［6】・DIR．：R−÷㌧M i・ad・・iv・ti・n・f・rder ’n・珊OREM 1・Let．R・be．㎝鋤θσmZ・IOmain・f’charuete？istic p・teかS・＝・R［α］

b・ε・・伽Z・pureZy inse？q・qb’1・迦・￠鋤・伽・ア・塑ρ㌦・r・≧1ノ・f R・慮ぽ

♂．＝・d．Assum・微t．・R．』・αP』i・r…r・RP［・L縁ゆ・㎝踊嚇・・if−

d・R・・〃・誌…伽蛎・励・・勿・．』・』・OP・mpe．th，， ord・・輌・ニ

カ伽・・β÷い励微カーDIR−4・唖鋤・砺．・・z・ρ、ρ了ρω・礎迦

assignedα㌘bi．trar，iZy in M．．，．．一．

，躍F：・駅s誌，㌃。罐㌻i‘跳漂鑑㌶嵩i＿．

F・r． any・・輪力・f’

ﾀ⑥．．．．

（a） if y ∈ 1∼ ， we set f（y）＝d（y） 3 ’ ・・．，（b）．if y 4 1∼，we set f（yノ＝an aエ『bitrary element． of M． Since・Bエ・ap−b・・i・・f・・ver・S？， by・L・㎜・，敵e exi・t・a皿iqU・・由・i『i㎝．

D．，β・〃。f。rd。⑭・su、；h・th。t・Dω一了ωf。…y・1㈱力・fβ吻ノ．

蕊1二臨ゐ．”、，’；。1、舗賜゜id：蕊∵l def血’t’°n’三、

ス COROL球Y・五・ほ加α声Z4・f 6㎞・・？ and t・ほ＝た回加『α8動φZ・P・‘・，e Zy

insepambZe ectens伽・了emp・nent e rθ≧力・了砺飾Z4た． Let〃be a K−m・dUZ・・

(5)

NOTES． ON『dX工日NSIONS・・OF・DERIVATIONS

139

万d・た＋Mig・・an・n一祐・r吻．・・お励・ti’・・”『th・㌘・硫・カ・an mpC−th，・㌘伽鋤一

ivat伽、D・‥〃鋤鋤⇔1た一む砿力働・z泌げDω・an．β・㈱i傾・・

a？bitrntZy．in〃」．．〉：””・・ h l ∴・『．・．・ ’『・．

LE卜小｛A 3．五et 3＝．．iR’［α】⊃ a’and〃’ム2 α8 state〈鍵in タワieo1？e碗・1．・1｝et D，ごS ’÷・・〃

カ・a・derd・・t伽・了・・伽ク『＋r・』・f・？・Z・・昧苧2，∴・・苧痢・了5：

ne㎞ρ ・國 ’ ．一・

・rx・

茶M・・㌔∂二墓・一・・s−’ti、．．1．ぐち…、・rx・…プ…毛。…x・＋・∼l

where x＝α’

_{D ．1 ”}

．．01 ．、一．で・、、・，．．．．，．． PROgF・L・t tP ・．．5・⑧S÷5−b・a ・iP9．h・mO・卿hi・・「i・㏄h・b・tφrΣ力戸Z∼ ＝Σカiσi （！h∈「tensor prOduct is takep over the pr㎞∋ field oξβ）？．ZS the k『r−

・・1・fφ孤d1・t・・5→七b・t4・㎜pd・fin・dby・ω一lex一埠1．・

The set nom （Sj t4） of h（㎜omo町phisms of 5 into M has馳an．ぷ⑧5 −module structure by 伝⑧y）urz）＝xu ryg／ for u∈Hom（S．M）3x⊃y， a∈σ．ln genera1，1et D be a の homomorphism ofθ血to M・． It is well knbwrt tha切is a high order derivation of orderカ if an（10nly if Z）satisfies the conditions （i） Z）rO ＝O and・『

（ii）弓’2・一・〔P・・p・・・…f【6］）・・

e ，，こ N㎝・if鴨set・。．一・一．♂a・d・i・a・high・rd・r de・i・・ri・n・f・rq・・カー

ρ’・・．．鳩h・v・ ’ ‘ 『：

’ ‘ ； ” θ r・（・o）・鯉…．T・（・、、＋．ヱノD・」ro．．−r、τイめψ∂…〔㌦、ノ・2ω ， e 閲．「．…’一一r・ωP・（・1）・・…（・、．，．、）D〃幻… From this relati㎝， we get the required e）Φansion． Let R be．a ring and．〃an R−module． Let’Z）：1∼ ÷ 〃．be anη一th order deri− vation andあ an 61ement of R． Then， Z）わ一’ゐD is a map．of R to〃〔mapPing’x to

Drbx）一ゐDf幻」．．．’ 』『

㎜剛2．五。力肪。an i。t。gr。z伽α仇。f iehath6t。煽鋤．五。カr 5−R［。F

わ・α8仇ρZθpureZy insepa㌘αbZe・ring〈zxtension O了ePz）Onent e（e・≧力0アR・．舵 ’ e ・・カ』．α・R・鍋鋤・・that・R lha・ a P・娠・r・ve・，RP．［・］・縁助・娠棚Wzρ， Let d：R→〃．カθ・．an・・n一抗or4er deゆ￠力伽・if、〈必＝ed．then．d extends ．．to・． αηη一仇・蛤・ゐwα力鋤．D・・5〔・Pf．の・4訪○ψθ．D．rOd卿．b・α8吻・e4．．．．： CZi？bitrUtZy in M．」n吻・αs・1≦n・ρθ．4繊θηゐt・an n一幼・r・ier deriva−

tion D：5÷M分α雇onZy分da＝Od．

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140

M．FURUYA AND H． NI ITSUMA PR・OF・L・t D．・5壱M B・・．deri・・ti・n・f・rd・⑰・u・h・h・t Dl㌍∂・

If・・ρち鴨h訂・D・・p−♂D． and D・＝ea．Thu・，聡h・v・ぬ＝必・・．

Conversely， we shall show that if dα＝ad ， then d extends to anπ一th

order derivation Dご5→〃．

S，。p（・〕。，P・．恥t。 th・t A「n）・B「n！−rω．W・d・f桓・a．map

f，Brn）．〃血th・f・11・wi・g way・

F。r飢y。1。爬輌。fBω，

〔1）if“dω，we・et了ω一6ω、

（2）ifパ・ω，・e・et了r・）．一飢・蝉・q・y…鵬…fM： ’ ・

By Leinma 1， there exists a unique derivation D ご 5 → M of order n such thap ．

卿ゴωf……㎝・・…f・ω…．P…iS・…，w・・hav・励一卿f・r

・dω．・血ce．TT・pe

C・g・i・…．・hqv・DcxP一め・・d・hg・tce・・一・…t．i・

clear that ヱ）rαzg）＝atD rg） for z ∈ 5 and i＝0．ヱ．2．．．〔． Therefore， we get

ile：t㌻三憲㍊。二ご7；蕊、k8，1’．，Zin・：．1

that

_{f、）D竃膓二We，e∴．，・＿≧。＿。f血e a，卿門・・㌧．}

in the followi皿g way：．、・！t ．・』1’ ． ‘． −‘

F。迦y。1㎝。nt．y。fBω．・・

．①．if．．y・・R・w・．・βt、f「y）r卿・＿．・．（2〕 if y is of the folm y：＝αc r￠ ∈ 3ノ． we set 了ry）＝￠アr琴ジ，、〔3） if y 孝 R and y十αエ rコr∈ 5ノ． we set fry）＝ an arbitrary element of』4・ Since・B i・a卜ba・i9，・f・・S・・耐ヂ， by Le㎜・2，．there exi・t・．・皿i・lu・d6・iv・ti・n D，S．＋−M。f．。。d。r．n．、u。h that． D＝’?B。 Bω．晒， w。・h。v。 th・f・11α迦9

id・ntities・．．，、、…、、．、．・．，．・・．．．

．〔★）D「・α㌔λヱ゜”・・λ，ノー na「・z・・，’”・・ノf…・、・・・・…，・「・md□・，。㎝伍。，；id皿，i，1es−1つ，聡。a。i、y，ee th。t b．t d。n、r・）．［［heref。re，聡己。

DIR−d・as d・・i・・d・．．．．・

Now， we shall prove the identities 〔★〕 by the induction on i． When i＝0， the identities （★） is the follpwing：、．、．．、．．

（★つDζ・xλ…xλ戸〆㏄λ”・⑳λノf・r…λ・…・xλ・・「．．』

ヱ t ヱ t ヱ t Aga垣，’usthg the induCtion㎝ち『we prov6．the ideritities（di★）． ln the case t＝ 0 ，we． have』D了αノ．＝一ドαZ）rヱノ三〇’． In fact；we hiave brα）＝drα」＝ad rヱノ＝0 ． Assune that『t ＞．o and the relations ate tr［le・f6r i ＜ヵ． If’pe ≠ t ≦n ， we・．←・

(7)

NOTES ON EXI［ENSIONS OF DERIVATIONS ・−acλヱ…・・，・・ω・P・tti・・y−・・，…・・λt ・ D・・yl−f・・yl一輌・一

・4ω・lf pe ・t・・。 n−pe≠・f・r・g… rt・・≧の． F・r the s坤1i・ity，

we set y・＝α’y・＝x・、・’”・y・＝x・。・飢d鮪＝

`’”x・，・Then， by

tal（ing account of Lemma 3 and the assumption of induction， we have

D「czc・、◆°’コcλノ＝D「y・’”Y・Y，，＋1 ）・

r＋1 ＝、三、仁力s−P、．．：．．￡㌘、’°’yi。D「y・°”；z，”弓・。…Y・＋1） ’ ＝YoD「Yl…y・・i）

`：2〃￠Drgo…膓zl・・嬉ヱノ

ー｛

早Fz駒Dr∴・…㌶…Y・・＋ヱノ・ヱ：ちノ躍rシ・…義…㌶・ご・Y・・＋・ノ｝・…

・r−2戸｛、iiYo…義…〃，・＋・DrYiノ・y・…Y，・，．・Dry。ノ｝ ¶ ＝YoD（yヱ…Y，、＋ヱノ．＝ψ鰍”°・・λい． 1 カ The rest of the proof of 〔っ is similar to・the case i r O⊃ so we omit the details．． COROLLARY・五・ほゐ・α声Zば・f吻・・ρ and Z・t・K−k［・］ゐ… imρ3・PZt…Zy 仇3召ραrαゐZθextension O了θ興）onentθ rθ≧力0王theβθZ（l k． Ve setαP＝αεk． Le t〃beαK−mo（fuZe． Asszene thαt d：k → 14 isαn n一訪order．deコ？iVation．ヱア

ゐ＝α4・彬煽舛・晦t・Ctn n・th・”d・r 4・i・ivαti・n D・κ〔M．α城吻

vαZue・f Dω・an・b・αssigned cti7わ』吻i・・M・Jn． the・αsθヱ≦・・ρe．鋤一 ten（元S to an n−th order derivationヱ）ごK ÷ 〃 if and onZy if ad＝・dn．肥FiARK・乙・t s＝R［α］磁ψ・・s 6t・t・d・抗批・・r・m 2・〔わ・頭・r磁力ZZ・W− ing eonditionS： ’ 一 ωR has a’P−bα・isのer RP［α］． r2） R・nd・RP［・］c・r・e r・9・Z・・Z・eαZ・ri・g・・鋤批碗・α飾Z力吻9。。e。− ated宙［α］−modUZe． r3） R isαreguZCtT7 Zocαzヱtng which sαtisfies：．ω薦・4碗Wご・α古・d ．AP．td］・−m・d・z・∴

rぬ・MR・娠鵬ノ2，吻・・吃趣・唖mZ泌・z・垣

「4／R isα ？eguzar z・・αz励σωん励sα栃s方θsご．．． rαノR＝Tp・tuhe？e T isαnα方物θdomain overαperfect fieZd’ and P is

141

(8)

1421 M：、FURUYA AND H． NIITSUMA

αP・iame ideαz of T・．．．． ∵、 ’ ．．．．

伍ノ・・㌦㎜・鵜ノ2・』・MRi・』・』・』・・fR・

．tZV、en． r4ノ÷．・（5）＋r2ノ→．rヱハ． Ther・鋤・．耽・・蜘・ヱαη4吻・T・m 2加砲∫br

R・批ヱS whi・h Sαtisfy one of仇θαゐ0びθ「θ0磁痂η3・、．・、

PROOF．（4〕→（3）is clear．（3〕÷〔2〕and〔2〕→（1〕’f・11㎝・f・・皿38’．4．・f㌧［4］ and Theorem of ［2］， respectively・ §2．Extensions of higher derivati㎝s．．． L・tR・b・ a ring・Ahigher d・・i・・ti・n D・f・ank・t・n R is a se‘penceμ1 ω。・・、・…・D，）・f・ddi・ive e・d㎝・叩hi・mS．・i・f R・uごh・h・七・・ ’

．（・）・。i・the id・n・ity・maP・． tt「．．．

ω・。々ノーΣ｛・zω・〆y）1けゴー・｝f・「・＝ヱ・2・…・t． and any x・y ∈ 1∼ ． ’ ．・・『 th。，et。f。・・high。r d。。i。。・i。n，。f…k・t・n R i・d…t・d・by ’gD・・t・t・）．． Ah㎏her d・・i・・ti㎝互・f血finit・・ank・h R i・an i・fi・ite seq・・nce旦一ωo・．・ヱ・…ノ・f・nd㎝・rphi・m Di・f R…h・h・t・f・r each t・「D・・D・・…・D∂is a higher derivation of rank t on R；The set of all higher derivations．・o￡infinite rarik on R is denoted by HDer°° _{､． The following identities are we11㎞Own：・．．} ロ T t ・・。rヂノー． r・。ωノρif・一・pt・の t ・，

・。r ・pノー・if針・・内．「tt ’−「

・frD。・・ヱ・・2・…パ・ahigher d・・ivati。・・f fi・it・〔i・fi・it・〕「ank・then n−th

・・mP・n・nt Dn i・・n n’th・rder de「ivati°n・・

− PROPOSITION 2． Let 5＝R［α］ andαbe αs stαted in Theorem 2． Asswne thzt

R・has− a p−●⑭r・V・パ’［・］…t’9−『rd。・dヱ・…ノカ・・励』4・W古伽・f

infinite rank・n R． Then。 the f・Zl・ωW C・ndat伽S are eqztivaZent：

・ ω吻・・蛎・t・・high・・ d・W・ti・n a−（Do・D、・…ノ・eD・・「S）・・励

that D。1㌍4。 r… ノ… ’・

r2／ri）・アpe七・…』d。ω一・・ ’・・

θ ．

働写pe ln．砺・guαti・nf−F∂。ω一・ha・α・0硫・ni・S・

．im，thermo・・．分四S吻・higher d…iv・ti・n・’e・・h D。「・ノi・α・・Z・ti・・ θ ’ 、

・f・・h・・・？u・t伽ノー％θsr・）一西・・ハ i 『．

(9)

NO［［［ES．ON EXTENSIONS OF DERIVATIONS

145 PROOF．（1）今〔2〕珊・n petn。・−pt・，ゆ／・．t・・ノand、．．・tt．，．／t

『、∼dノ。、r！ノ．。r♂㍉・口r〆一ち、・㌧。．．t ’・’

n 8 ’ n n 軌・）nρeln．we setη一Pθ・．Then，鴨have θ θ

d．ω＝Dω＝Dθr〔xpノ＝rDr．））P．．．・

n η P3 s ： ’ θ ［ll・eref・re・・。ωi・a・・…i・n・f・he・quat・・nβ．一％・。ω．一… （2〕 ÷ （1）．We use the same notations∠［and B， that is，∠1＝r u ｛g｝ is a ρ一b・・is・f R・ver Rp and B−r・｛α｝is aρ一basis・f 3・verβ． We define a map ア：｛ヱ32．．．．｝ × B → σ in the following way： θ ．

fr・・ω一a・・…i・n・f・h…qu・ti・nβ一％・。ω一・・

and f「・・xλ）＝4汐λノf・・xλ・「’・取the m・・r・m 1・f［1］・th・re exi・t・a・uniqu・highe・d・「iV・ti・n．旦＝ω0・Dヱ・・2・…）・ HD・・°° 窒Tノ・uCh・th・t D。r〃ノーfrn・y） f・r町〃・B城・・｛ヱ・2・…｝・ Then， by the definition， we have ・一・ e θ

r・。ωかげr…））P−％・。ω・

and D。「・λ）＝fぬλ戸炉λノf・r any・・λ・「・、．

Fi・・t・・e・h・・v・’th・t Dn−dn・nAf・r… 渦㎝Pθレ，w・・h・v・ θ

Drαノ＝or（Pノ＝o＝drαノ．

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撃氏Bput・n一ρ￠・m・d ・・

，ω．。。r！）．。r。ωノPθ．d。ω「。元ω． ’ ．』

n Ps 8 ρs n．

ts・・t・d b・f・re…hav・D。一 d。 bh r・’

g・nce㌦・dn．・n A f・r冷・・

N・x・・we・h・…h…h・t l2．IR・HD・・°°r・）・脆．f返… 飢d・h…eap・・i− tiv・int・ger．m su・h that・n・pm． Then， R・ Rp閣．Since ・ny element 9・f R i・

of the fom ・ ’ 、・ … ．

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・＝Σ 「・・、…・！・・t’””・ttt∼・ぺR・x・・Aノ・∵．∫．

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D・「2’ ＝Σ 「・i、…i！．D・「x・tヱ’”幽・』 −1

ロコ dn・h・・ther hand，・ach・D。・r・、t・…・〆i・a・inea・c加b血・・i・n・f・h・p・・a一

(10)

144．・．M．・FURUYA AND H． NII㎜1A．

ucts°f〃汚ノ「＝華ゾd・°≦i’≦n・°≦ゴ≦ポノwit皇 c°efficientS・ in』R・

Thus・・e g・t〃。「z）・R ・nd・・∂。「側】R・r麺ce 21R・HD・珊孤d 21㌍旦．・n A・

・’・・hav・12．IR−d・． ”

PROPOSITION 3．五et 5＝1∼［α］ αηばαZ）θαs sカα力召d1 in Theorem 2．・4sszane カんαカ

R・ha・αP一加・i・r・… RP固…垣一r％・ち・…・dtナカ・．・吻h・・ deriv・伽・f

rankカ0ηR・tthen． the foZZ（ncringθonditionsαrθequivaZent： ω屹⊇・・．h・ghe・≡・・tiCh’・2． ’＝ rD。。・2。・∴1・t」・H…カr幻・励

微力D。1ガ4。ω… カバ．・・‘．・ ’．．二．』・

’2ノ「幻−．わθわ』・泌㎞当ロ元；−・・．．．1．・．、一

働耳pe ］・・輪・蝋伽ず一d。ω一・泌・α・・ZW吻5・

Jf・2 i・…輪殉励・励・・ti・m・then e・・h畠D。「ω−Z・α・・Zati…了砺F e

鰯伽r’）一

塔ﾆsω一・f・・…≦物θ励・α吻α・勉ω・α…

…伽己α屍加繊z垣πσf㎞．．t／P，q kZ・動・・二・・．… ．・・一一

PROOF．（1） ÷ 〔2） is the saure as ProP．2 ． 1・’ ，．㍉．、ご ” ・〔2） → （1〕：We define a map f ：｛1323．．．．3 t｝ × B ＋ ε 、 in the following way：

（・〕・fヱ… t飢d・d・鴨set fr綱一d。 de）・’一：

（b〕ifユ・・k t／pe。聡．・et・・1了r・，ω一・s・1uti・n・’・f・th．・e eqUqt主・n・．．・・ e

β一d・・ω一〇．．馳＿

P8 ・〔c） if t／pe ＜ 8 ≦ t 3 we set 了rs3αノ＝an a］d）itrary element of 5． Then， by Prop．30f ［1L there exists a uniqUe higher derivation 1）＝

r・。・・、・…・・tノ・eD・ノr・ノ・頑・ha・・。ry7 ＝了偏ノf・−y〃d飢d元ピ

｛2・2・…・t｝・、．The rgSt・f th・p…fi・alm・t the・a・・e−a・P・叩・2∵．’t．、，

… ’．．『：：・．．．肥曲蜘（ES ．‘・』・：・

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FUruya：On noetherian rings with integrable derivations andρ一basis．ジ． TRU Mathematics， 16−1〔1981）， 12−21．彊r，響、Bg51’itsuma：．伽K皿z’s cgnjCctu「e・・」・拠h・・S°c・．《・34・

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a理岬一・腿血・エ．呼P（1P71〕t・、・lt−、：一＿．．．．．・

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(11)

NOIES ON E）CI ENSIONS OF DERIVATIONS

145

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