ON EIGENVALUES AND EIGENSPACES OF A LAPLACE OPERATOR ON THE SPHERE Sn

(1)

丁裂UMathematics 17・・2 （1981） ’

C〔NEIGENVALUES AND EIGENSPACES OF A LAPLACE OPERATOR

ON THE SPHERE’sP 〔Received Octdber 31， 1981）． §1． _{IntrOduction．} ：ごThe eig・nvalues・f’th・ L・place’bperat・r㎝th・n−dim・n・i・n・1・phere Sn With the cati6hf’cal metric are・㎞σ㎞expliとitly． The canonical rne’tric bf sn is：invari’ant under七h・acti・n・f the首・OP SO（・i1）プ加d麺a鵬tri・1・ essentially uniqμe． But there exist VariOus So（n）−inva士iant．metrics on Sn．囁It seems that there exist few㎞㎝1edge『ab6uでthe spectrtini‘6f Lap1とce operat。rs ass・ciated with g・nera1 SO（n）−mvaril垣t施t・ic・・n sn」’espe・ially・b6ut．th。．dilnensions ρf eigenspaces （ see・12］ and・，．｛4］）．、凸epu・p・・e・f・thiS・n・t・i・．t・dgt・㎜・th・皿1tipli・ities・f th・fi・・t ・6n−ze・6five eig・nv・・ue・’・f・L・p・ace ・pera・。r’。n sn『。i・h孤s・（h）．ifivari。n， metric defbrmed from the canonica1』metric．ーピ1：．』．『． ’』 ‘ ． ’ 』吊 F°「this ai皿・in§3・e fi・・t・h。・・㎝・g・n・・a1 P・叩・rti・・c・ncerni・g・ behavior of eigenvalues and eigenspaces of a，・Laplace bperator under a ヒertain

defb㎜ti・n・f ki・㎜i頭鵬t・ics・S両・餌・・ntly・m§4・e・bw・u・ma血

．theor㎝（Theor㎝3）as an application．of these theor㎝s−in 53．．． §2． Notations and lemmas． In thエs Secti°n．岨ist呼・n°gati・亘騨d・や1・m・・頑r㎜・．gn・h・b・・i・

°f・砲lgh、・甲th・・r卵can b・pr。・誕・ w、、、、．、．．

2’．1． Notations。、・．，、、．1 ・ ’

M：ac卿act s頑h㎜i飴1麺thout bO皿蜘，．dim M・n，・

｛gt｝t’∈1・：as…thf頑y・f趾・㎜i餌耐・i…n． M，1・（一δ・，δ・），δ・＞0， △t：theゆ1ace。隅tpゴ．ass・ci・ted With th・鵬t・i・gt・ ∵ Eλ（・）・｛fε庁0の1・，f・λf｝・the eig・nSPace’・f△，・・rresp・・ding・・ 273

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K．FURurANI ．！．．tt・．』． ‘ ’ ．飢1◎ige・悔1・・．λ6．．・．．・’・・．1．’．・’．‘「’・1・．・．．『 d，・・th・v・1…e el・鵬・t ass・ci・t記醐th・輪t・i・gt・（…），・∫評・，・・t−er p・・血・t・・恒・・pect t・・t？・ H。（M）・th・ S・b・1・v・・paCe・f・・de・．・≧0°n t品㎜ifbld．M・s．：an intege「・ ll ull。・th…m・f孤・1・鵬・t・u∈HSOの・． 1国1，，。’・the・・m。』⑳erat・r A・H，Oの’H。0の・・（△t）・｛0・λ・〈λ1（t）・λ・〔t〕・λ・（t〕・・…｝・the・p・Ctim・f・h・・p・rat・r ’2・2・・［h・v・1um・・1em・nt dtx．m・y be e・rPreS・ed．a・d∼9＝e（t・x）dOx血 tenns ．of a smpoth fUncti㎝θ〔t，x）defined，on I×M．予r㎝．t与is， i？is，．easy． to ・h・wth・t・11 th…m・i（；’；’；」こ。・HO （M）are eq・i・・1・nt…鴫t泳e t』・・m ’．厄可『、a・’・n・rn・f th・・pace HOOの・㌦一・：・∵，・F・・紐int・ger S＞0．th・S・b・1・v・pace HSOO i・d・f血・d・・f・11・w5・L・t ｛（Ui・Xi）｝』・finit・・P㎝・・vering・f M植th・・。・din・t・n・ighb・・h・｝・ds （Xi・Ui ・ fii， bi i・紐叩・n・et・in Rii）・A・・・…φi・C款Ui）be sU・h ．．・ha・φ、≧・and U・、・M，砲ere Vi．・｛・・U、1φ、〔・〕・・｝・．・・ra㎞・t・・n f∈C°°Oのth・S・bO・ev・・m， llfll。，・i・d・f桓・d by．・，・・．・ 2 ★ 2 ＝lll〔・1’）（φ・f）ll・，R”・一” 一． llflls

曲ere

@l卜ll：バ㍉。F，、∫ぷ（・〕1？・x・喋・li≒．…、：k…（……内・

△ t’ and lα1 ＝ Σαi・．．．．‘ゴ：． ’ 、．． Ath・・p…H。0りi・th・・gmP・・ti・n・f、．C°°．⑭O M・h・e・Pe・t tg・再・m㎝・ ’ tS・B・na・h・pace・・』・pace H、（均，．f・r e・9b．S4・d・・d・e・npt d・典・・ th…h・ice・f・bOth｛（Ui・Xi）｝孤d｛φi｝be・鋤・e・f the c・⑪actness・f’M・ 2・3・W・q・n・9・the c1・sure・f th・L・place・p・・at・r△in HO CM）by・th・ same s）rrril）01． The domaih’． of the closed．．extensionof I迫［Place operators is the ・pace H2（M）≒A・・㎎1ex・伽berλ．己・．・aid． t・’be・fe・・1・・nt・f−a．逗1・ce

・perat・r△・if△一λ・H20の→ HOOの「i・bijectiv・・IfλeC is n°t a

TesolvOnt， thenλis、said to be a spect㎜of△． Fof． Laplage operators on・ compact manifolds the spectrum consists of the co皿table’ number of i．solated and non−negative real eigenvalues with finite㎜1t鎗1icities．

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275 IAPtAαs OPERATOR ON．IHE SH｛ERE Sn 2．4．・We shall now state the lemmas． Since they can be deriVed without ．difficuユty．from ProPOsition．1 be10w．and・standard． arg㎞ent・‡n qperational ca1− culus，， the proofs are㎝itted （f6r，deta茸s， se《ジ．［1］ and 【6エ）．．Proposition 1［1］． For any・integer”m≧O there e）とists a pOSitivel c㎝一・t飢tCm Su・；h th・t｛b・飢y tξI and・・ny uξH派200ジ』‖・llm．2≦Cm〔ll△t・ llm＋ll・llO）・ This proposi亡ion is basic in our arg㎝㎝ts孤d frtm thiS the following lemmas can be derived． Le㎜・1・L・tα・・’飢d・”b・ th・ee ei’genvalu・S・f．△O su・h th・t ・’・α・α”EAss㎝・th・t・・eig・w・1ues・f△0・xi・t m th・int的・1・〔・’・・）孤d（・，・”〕・・A・・…t・i（i・・，・）−b・p・・i・i…⑭・士ξ・u・h・｝旙・・ εo ＞ ε1，α’ ＜α 一 εo and α＋ εo ＜α”． If δ1＞ O is sufficiently sma11，血⊇・t∈［一δ・・δ・］㎝いr￠・．・・≧1λ一・1≧．r．i・血r「eρ・ist「er°1ve”t ⑳・rat… （λ一△t）−1 and ，1晋、、ll〔A−△〕’111・，耐2＜輪・ ε1≦1λ一α1≦ε0 ’一．・ ’．． ’ ．㎞ 2． Let t and λ be restricted as in Iβm㎎1． Then thg．reSo1− ve・・．_{@era・・r・〔λ一N）−1 i・adifferen・i・b・・f麺・y・f叩erat・r・f・㎝H。0の}

t・Hm．2 CM）・and・・’．．・ … ’ 1

妾（λ一△t）一・・（λ一△t〕’1・妾（△t）・（λ一・，）−1 ・． He・e妾（△t〕・i・a・・ff・・㎝・i・・叩・・at・・…h・・eff・・i・n…f△t・d・f』・i・ted with respect to the．paτamete了 t． This fommila can be shom by a foτmal calculation．『 Let t andλbe restricted・as in Lenmia 1． Put

…士∫1、．αトε、（λ一△・）−1d・・ −

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− ．・：K．「FURUTAN〔1 ．『．． LeiTinia 3． ’ ・．三 ’ 1『『・一．・ ’ （1）』lh・bp・・at征pt i・dif』nti泌1・with reS・ISe・t・tO・th・par・het・・t，（2）P・’sap「°ject’°』H・Pm E°1、1。1、E、E・（t）’i ・atid the「e飲’sts aconstant δ2， 0〈 δ2≦δ1．，．．such．that fbr t i， ltl．≦δ2．．the．restriction of Pt t

戟E）E・（2ぷ瀦1’Tl（，）と♂（i：δ1，il 、’珊．∴・．∴『．

脆can prove this by usi皿g the spectral representation of缶e operator△ t and Proposition 1・・．．．．一．： 1 ．．・．二．

・ 93・緬・9…r・1．・h・・r㎝・・．．・．．・，一

・p・h・f・…win、・，・。t。，。’，。〃，。。∴、，、∴．and、、．、。 th。1 ’same ・as・．in §2，，，alld・ltl≦δ2．，．、．．・、．．

・li・F・㎝・he・』・mh・We．・・t…nce．1一’り．1−

Proposition 2．． 1、1。1、9PE・〔t〕＝d’m E・〔°）・f°「tc［・δ・・δ・］・・．一’．＿や，麺「°vr∫㌣’s f°mtula as「1．、、、‘1

_{￨．，．、．．二』．1＿．}

［「「h・・rem 1・SS・㎝・t｝iat f・迦yφξE。〔0）・φ≠0，．二∵・．・’t ．．

〔妾（△t〕1，．。（・）・φ）。・… ∵ 一 ”

Then・the「e ex’sts a c°nstat’tδ・〉』°” such that’ fgt．t・二゜’1．t．＜1・・．’

。i、≦。喪1E・（t）r輌・〔°〕・．．．．．．．

J and fbr t， 0 ＞ t ＞一δ3， ’ 。」、、。璽1E・（t）＝d’m・E・（°）・． 3・2・ Before provi皿g Theorem l we show a lemma． For φ∈C°°（M）， φf O，

(5)

27．7 一rPLACE・OPERttT6R oN極SPHEre．S・

㌦。・〔△tφ，・，6），・．…．’

・．，．．．．・（P・φ，1）・．・．．、．1．． F°「each fixed t・the fmcti°nλ（φ・t〕is・as a fmcti°n°f Dφ・h°m°gene°us

of degree zero．、．

’ Le㎜a 4．〔1）F・rφ∈E。（0）・φ≠0・1 ・：1・．∴．・・ …d・」．（妾〔・，），．。〔φ）；φ）。・．’．一・「．． D旺λ

_{iφ’°i＝．．一（・，・〕。，、’．＿＿．}

〔2） under the salng assumption． as i皿．：ぴeoτem l Y ・・i・・妾・〔φ，・），・…up妾・（φ，・）…，．、0≠φξEα（0｝、．． 0≠φξEα（0〕，、．，，，

・∵’．、、〔≒）：E』・．三・1七巨；．1“C．．ド；一∴＿．

1・（・，・）一α一t妾・（・，・）1・Ct2， ⊇∴・・砲e「e the C°nStant C d°es n°t deﾋ゜n1φ∈E・（°〕・．．「’∴．苛 Proof◆ 〔2） alld （3〕 are obvious by the lemmas in §2，’ so we show 〔1） only・ By the definition of λ（φ，t）．・ ’．・㌧．㌧．’ ∫M△tφ・？・φ・〔…）…∵．、、．、．

λ〔φ’t）＝1。・ぷ・）・。・一∴ …

’H9・・6 6y・S・噸㎞r己ica・趣i・n’，． te・・t’．−㍉．．．．‘”．1 ‘．’ x．ｨ・（…）・E￠ii6−2

i1。9（△i・藁θ（醐｝…1・・1÷・辰｛《〕d・・1・一・｝，

and

(6)

K．FURUTANI ∫妾（・，φptφ・（…））d。・1，．。−c・∫，1，（・ptφ・（…））・。・1，。。・∫（竈，lt．。φ万・。x・∫〔・。φ）藷，φ1，．。d。x・∫・。φ砲（・）1，．。d。・一『ｿ∫癖，φ1，．。d。x−・∫1・12☆〔…）1，．。d。・・（￡〔△t）1，．。φ・・）。・ S・鳩・bt・i・七』re・ult・恥t・t｝迫t．△0φ＝1￠．飢d POφ＝φ・f。・φ∈E。〔0）・ 3．3． Proof of Theorem 1． First we take a positive constant δ3 as ・；・m・・｛・・，・’1・血・☆〔φ，・〕｝，．・』h O≠φ∈Eα（0）

曲e「eC’s the c°nstant ’n（3）°f垣㎜4・dSsu’ne

Cψ・EE・。（t・）・ψ・≠°・ °＜t・＜δ・・1λ・一α1≦… 血・坤．L・㎜3t垣re exi・t・孤・1・鵬・・φ・∈E。〔°） sucht』t P・。（φ・〕＝ψ・・F°「th’sφ・刊e h餅eλ（φ・・t・）＝λ・・［the「e飴「e・ from the inequality ・．．．・ 1・。一α一t。〔9△tl，．。（・。），・。〕。1・C・。2・一．．．．． we．get ．．：・・ ’ ．1 − ．㌦．．・．「』・．・。・α・t。（9・，1，。。〔・。〕，・。〕ガC・。2＞α・ This『shows Theorem l fbr the case t＞0．：‘ 『 F°・the case t＜0・the・n・1・9・u・ar呼nt h・ld5・ 3．4． Let G be a conpact Lie grotrp acting on M smoothly． Assume that

all the鵬t「ics gt（t∈1）ar・血随迦t頑・T the aCtiq・・f『・L・‥λ（t）

』t輪坤e・㎝t・ti㎝・f th・9r・・p G・n・th・・ig・鵬pace Eλtt）・be・・t・by m〔t・λ・ρ）th・皿皿tipli・ity・f・n irredurible c・mP・n飢tρin Uλ〔t）・where p ・i・an． irred・・iblr坤・e・entati㎝・f G・th頭，鳩．｝蹴・』

_@，

Theoren 2． For t， l t l＜δ2（δ2 is the constant in terrma 3），’．w

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2．72 IA］PI、ACE OPE．RATOR ON THE SPHERE Sn m〔0，α，ρ）＝ Σ m（t，λ，ρ）．．． 1α一λ1≦ε1 卜 Pr・・f・By the assurrpti・n㎝d Le㎜3・the叩erat・r pt ・： Eα〔0）・ΣBλ〔t）．『 ’ ．層．．・」α一λ1≦ε1 〔 ltl＜ δ2 ） is an isomorphism of the representatiops Ud（0） a皿d ． Σ ● Uλ〔t〕． 1α一λ1≦ε1 So we get the result at once． Corollary． If m（0，α，ρ）＝1 fot an irredUcible． co呵x）nent』ρ， then λ〔φ・t）i・孤・ig輌1…f△t f・r・Uffi・i・・tly・㎜11．t・砲ere O≠φeE。（0） is contained in the invariant subspace cgrrespopding to． Oie irreducible cqmp㎝ent ρ of Uα（0〕， and λ（φ，t） is independent of such φls． In particular， if U。（0）is i・re血・ib1・・the・the・眠．，h・1d・and thg ・・1tipli・lty gf the eig・・−

valueλ（φ・t）i・dim E。（0〕・ ’ ．

§4． An application． 4・1・ Let Sn＝｛x＝〔xO，・…・・，）㌔）∈Rn＋11Σ文f＝1ポbe the n−dimensiona1 ・…r・・a・・…tΦt・S”・Rn＋1 b・・’・・ma・SW・’ ?qtΦt（・）・〔・。，・㍉xn．、，〔…）・n），

飢dd・m・・gt th・臼一i飢鵬・・ics・・．Sn m中Ced・by・比㎜PΦ亡・加m・h・

Euclid・皿輪t・i・・It i・泌11’㎞・岨t｝皿t the・Pe・tτ皿・．〔△0〕・fψe伍Place 叩・・at・r・ass・ci・t頭・ith th・鵬t・i・g。〔the c孤・・ica・鵬・・i… ♂）i・・（・・）・｛・2・k（・・k−・）・・孤dd加㍉斐・≡仁埜（・・2k−・）（ see 【3］）．恥concem here the eigewaluesλ1．（t〕，λ2（t〕，λ3（t），λ4〔t）， andλs（t〕・f・h・ L・p・ace叩Cra・・r・・n S”．・i・h・he．・』・・鵬・・i・g，（・≠・〕・・ lh・。・㎝3． ts・㎜・≧3． Tl・en・w・・ha・・， ’♂『「・1い：．・．〔・〕血・eexi・t・ac㎝・t・n・・’・。…ud迦t飾r「t，σ』＜・・t。， 0 〈 λ1（t）＜ λ2〔t）＜n，玄 … ’．

and｛br t∵to〈t＜0・・

n 〈 λ1（t）＜ λ2（t）＜ 2（n＋1），；・（2） in both cases of （1）（ t≠ 0），、．．・

(8)

K．FURurANI d迦Eλ、（t）〔t〕＝1・and dim・Eλ、〔・〉（t）＝nプ〔3）λ、（t）飢dλ、〔t）are・m・・thf皿とti・ns・f t紐d ・、λ・〔・）・n二2 F≦…＋1）…（t2），

・・（・）・n−ni， t・・（t2）．・ ’ ．

（4〕 As in ．（1）， for sufficlently small t， 0 ＜ t，．「．． n＜λ・（t）＜λ・（t〕9・（t）〈2〔n＋手）・ and fOr． t ＜ 0． sufficiently sma11，．． ” 2（n＋1）＜ λ3（t）＜ λ4（t）＜ λ5（t）＜ 3（n＋2）．』 ’ 閲．（5） In both cases of’（4〕−〔t≠ 0）； ’「．’ dim Eλ，〔t）（t）＝1・ dim Bλ、〔t）〔t）＝n・・i・・E、，〔，）（・）・去〔n−・）（…）・ ’”：’ 、．（6）λ3（t）・み〔t）・・dλ・．（t）are Sm°ρth fmcti・ns・f t・｛md ・、〔・）・2（…）−4（n誇・◆3〕…（t2），．．．． ‘λ・〔・）・・〔…）−2〔n

狽氏{8）…〔t2），＿．・．

・・（・）・・〔…）一。ii…（t2）．．・ 4・2・L・tθ・．（θ、，θ2，…，θ。）b・th・p・…c・・rd皿tes・n Sn・ −Xn國＝C・Sθn・ Xn．1＝・inθnC・sθn．1・ … ・。・Si・・。・麺・。．、……・i・62・血・i，ン． ’、〉． m・n・・h・肥・…t・n・・r・（・，）、j・f．・，…hre・pecf・・this c66・d…t・・are given as fbllows：

〔・，）、j（・）・9，（、；i・、＆）…エ≠j・ ’ −

2 2 2

（gt）n〔θ〕＝si・θ。・i・θn−1…・inθ2・．、・

：・ 2 （9t）。一・，。一、〔θ）＝sinθ。・ 2 2 2 （9t）。，。＝（t＋1）sinθn＋c・sθ。・ ’・

(9)

28．1 LApua…o囲凧ToR．（）N冊I SPHERE sn Le㎜a 5． Let

metri・9t・then・

△tb・th・L・place．。Perat・r・1㎝Sn n−・一・』・；皿・』sphere♂’1・｛（xO・…・・｛，i−1・0〕∈・n｝． 9「d皿t・r．fi（θ0・…・θn−1）＝，fi〔θ0…rr・θ。二1，・42）・・’ E・Ch）．・iS an』「orthogO！ial．basis』of the first eig6血space ：．； 12・．。ご．惣「㌻：ぷ：le野a1鵬t「’c・，9・・ The fbllowing 1㎝ma is we11一㎞o岨（fbr the ・PrOOf， aSsociated with the 9（・・）1・・・・…血2θ・、、ll・・…th・ゴ・b・・。㌃・’． n ．：1 ・・二 lThe proof of this fbτmula is given bY the Straightfoward calculation ac− cording to the fbτ㎜L】ユa of Laplace operators represented in ternts of the polar coordinates．・・thg・・・…mh・・we・…t・the・Pe・at・は（△t〕1，．。． by ．A・．・ ’e・f・・，S” ・・be． f・（・）・x・鋼i・Yb・re・r手rC・r・・f f…th・ land the fUmctiOns Then in the POIar co− f” ．｛fi｝〔i＝O・ E・｝°f th9 Laplace °pe「＾ and als6． the㎞ctions see・固）． L・㎜6．th・・⑤・esent・ti・・U庶SO（。・ユ）ナ1（エ（E・h）・〆’i9’・ifredn。ib16孤d Pl Pl the「est「icti°n°f this t°th・・ubg・・XP S°（・〕・・n・iSt・・f⑭1耳・血・ib・e rep− resentations of SO（n）．， one is the trivial representation on the 1−dimnensiona1

灘：：霊諜、慧元．．i：二f）≡「麺噸es a卿nthe

P・f．・CC血n・◎・…pt・Jh・1＝．・。（・…，・・も。）・一・in”’1θ。三・i・P’2en−、

3fi：㌶：．．、：惜蒜、？：．、ご鷲：蹴三1蕊，。12）．1：、．．．

ココ ’ ぞ ’ コ ’

d％−1・・ ’．．・．‘ ’㌦．一ゴ

We havb the following lemma．『・・．．．、：・三㌧二・．± ㎞7．（1） ’（2） ’〔3）（4）（Af。｝（e）r−一∼・〔n＋1｝，・in2e。・f。（θ〕・「．！・：〔、．．、’ （Afi）（・）＝2（・…S2e。−Si・2erf）・・三（1）（…｝∴：・・i・）・（Afi， fn）0 ＝ 0 （i＝0… ．，nrユ）， and ．三（Mn・fi）0＝0（i＝0・…・・r1）・〔Afn， fn）0 ＝−2．：ltig｝・VO1〔Sn一ユ）・In＋iジ：；Where．Vbi（SI｝「1） is the volume

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・、・In＋1・Σ呈：；． ci211まi l l 2＋n…1 1n＿1 Vo1〔Sn．−1）・cn2 ’・ and this ilnplies that for any φ∈B n ， φ ≠ 0， μ1 ．

（・…）・・∫，。鞠・・… ：

4．3． Proof of（1〕，（2）…md．（3〕of Theorem 3． Ow垣g to Le㎜a 8， we ・ee th・t th・f蹴i・y・f趾・−i飢・e・・i・・．｛gt｝・n Sn・a・i・fi・・the ass岬・i㎝ ’・th・・rem・f・r the ca・e th・t…呈・n・．・1・・f・・…㎜・an・・C・r・…ワ・f Theorem 2 we have λ1〔t〕・＝λ〔f。・t）・ndλ・〔t）＝λ（f1・t）・．、 K．FURUTANI 、．・fSn＾1．・i・h re・pect t・the c血。。i。a・iii。・。i。，・・．

〔5〕f°「f＝己。．、c・f・・ − ・

〔M・f）・・−nl・・・…も、1釦一、・i2 tli・‖2・曲ere l割2・∫、。．・7i2J。．・d・・dθ2…・・。．i・ Proof・ We show 〔5〕 only・．、（M・・）・・∫，n・〔・…s2θ。一・血2θ。〕（Σ・・f・〕2・・。・… ．・・轣C。（・…s2θn−sin2efi）・・1・h＋1θ。（Σ・、i、〕2・Jn．、…、d；、…・・n 〒・／。T［∵（…）・in2θ。1・・血n＋1・。…。・∫，n−・（Σ・孟）2・」n，、…、dθ2…・・。．、＝ 2［n・In＋1 − （n＋1〕In＋3］ ⊆Σ ci2111…i【12）＝ n≡…； In＋1 Σ Ci211ii 112．． Here w…eaf・㎜・・1。．2・：ltiSl．・。．

」By L・㎜．7…gr・

Lemma 8・Letφ＝il。 c・f・・th・・．・，一

畜（、，。〕。一1・・・・…Σ呈二；・i2 ll’・B2＋c・2・Z｛（llf1’〕・・・… （・n’1〕

(11)

283 IAPI、ACE OPBRATOR ON THE SPHERE Sn 妾・・〔・〕＝一 2n（n＋1） n＋3 ・・d妾・・（・）・−ni，・ Hence the result follows from Theorem l and Theorem 2． 4．4． Proof of 〔4），（5） and plished along the same line as above． h．．＝x，x． IJ 1］

（0≦i＜j≦n），

ki・xO2・．・12 十●．■十〔6〕 of Theorem 3． The proof is accom− So we give an outline only． Put ・i．12−i・i2〔i・1・…・・〕・ It is we11一㎞own that the representation U n：SO〔n＋1）今GL（E n）is ir− V2 Y2 reducible， and the restriction of this to SO（n〕 decomposes into three皿tu− ally inequivalent irreducible col町）onents：the one−dimensional trivial represen− tation on the subspace spanned by the function kn， the representation on the

sub・pace sp㎜・d by｛hj。｝（°≦j〈・〕and th・ rep…ent・ti…nthe sub−

space spanned by ｛ki （ i ＝ 1，… ，n−1 ）， hij （ 0≦ i ＜ j ＜n）｝． By a s迦ilar calculation as in Le㎜a 7 and Le㎜a 8 we have （nk。・k。）0．4（。・＋3。・3）

『一’・＋5 ’

麟。＝−2〔・鵠n＋8〕・an・

（Ak1， k1）0 12 〔k1・K1）o n＋5’ Conse（luently by Corollary of Theorem 2 we get the results． REFFERENCES 【1］ S．Agmon， On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic bOundary value problems， Co㎜． Pure and Appl． Math．，15（1962），119−147．［2］ M．Berger， Sur les premiers valeurs propres des vari6t6s riemanniennes， COIT［［）o． Math． 26， Fasc． 2 （1973） 129−149．［3］ M．Berger， P． Gauduchon and E． Mazet， Le Spectre d，une vari6t6 riemamieme， Lecture Notes in Math．， 194 〔1971），Springer−Verlag．［4］ J．Hersch， Quatre propri6t6s isop《≦rimetriques de membranes sph6riques h㎝ogさnes， C．R．A．S．，270〔1970〕1645−1648．［5］ T．Kato， Perturbation theory for linear operators， Springer−Verlag，1966．［6］ J．Morrow and K． Kodaira， Complex manifblds， Holt， Reinhart and Winston， New York，1971．