8.講義内容

フーリエ面での処理

周波数成分に対する自在なフィルタリングが可能 LPF，BPF,HPF, 部分的なフィルタ（特定周波数成分の除去，周期構造をもつノイズの除去） Wiener フィルタ（周波数ごとのSN比を考慮した復元フィルタ）処理の流れ処理の流れ特徴特徴フーリエ変換フーリエスペクトルフィルタ演算処理画像原画像フーリエ逆変換 ) , (x y f F( vu, ) ) , ( ) , ( ) , ( v u H v u F v u G = ) , (x y g 例例

(3)

コンボリューション定理

) , ( * ) , ( ) , (x y f x y h x y g = G(u,v) = F(u,v)⋅H(u,v) 実空間実空間フーリエ空間_{フーリエ空間} コンボリューションコンボリューション積_積 ) , (x y f ) , (x y h ) , (x y g ) , ( ) , ( ) , (x y f x y h x y g = ⋅ G(u,v) = F(u,v)*H(u,v) 積積コンボリューション_{コンボリューション} ) , ( vu F ) , ( vu H ) , ( vu G

(4)

処理の等価性

Fourier Transform pair _フーリエスペクトル F(u,v) フィルタ H(u,v) 処理画像 g(x,y) フィルタ演算 G(u,v) 原画像 f(x,y) コンボリューション核 h(x,y)

Fourier Transform pair

(5)

平滑化フィルタ

× 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 実空間でのフィルタ（コンボリューション核）実空間でのフィルタ（コンボリューション核）空間周波数フィルタ空間周波数フィルタ u v （フィルタ特性の絶対値をとって表示）

(6)

0 10 20 30 40 50 60 70 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Width = 3 Width = 5 Width = 7

Frequency Mo du la ti on Averaging filter

平滑化フィルタの周波数特性

(7)

Laplacianフィルタ

空間周波数フィルタ空間周波数フィルタ u v 0 − α 0 − α 4 − α 0 −α 0 実空間でのフィルタ（コンボリューション核）実空間でのフィルタ（コンボリューション核） 1 = α

(8)

ラプラシアンフィルタの周波数特性

0 10 20 30 40 50 60 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 alpha = 1 alpha = 0.5 alpha = 0.25 Frequency Mo du la ti on Laplacian filter

(9)

Sobel フィルタ

空間周波数フィルタ空間周波数フィルタ u v -1 0 1 -2 0 2 -1 0 1 実空間でのフィルタ（コンボリューション核）実空間でのフィルタ（コンボリューション核） x y

(10)

0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

sigma = 1 sigma = 2 sigma = 3

Frequency Mo du la ti on

Laplacian of Gaussian filter

LOGフィルタの周波数特性

(11)

空間周波数フィルタとコンボリューション核の例

空間周波数フィルタ Sharp-cut LPF 空間周波数フィルタ Sharp-cut LPF フーリエ空間フーリエ空間コンボリューション核コンボリューション核実空間実空間

(12)

周期性のあるノイズの低減

周波数空間の一部にノイズのパワーが集中しているようなときオリジナル画像スペクトル画像ノイズパターン処理画像 Digital Image Processing, R. C. Gonzalez and R. E. Woodsから引用 ) , (x y g G( vu, ) )} , ( ) , ( { ) , (x y 1 H u v G u v p = ℑ− _fˆ₍_x_,_y₎ ₌ _g₍_x_, _y₎₋ _w₍_x_,_y₎_p₍_x_,_y₎ 重みw(x,y)は(x,y)の近 傍で推定画像の分散が最小になるように決定．

(13)

画像のフィルタリング処理

講義内容実空間フィルタリング平滑化(LPF) エッジ強調(HPF) Laplacian of Gaussian(LOG)フィルタ(BPF) 周波数空間フィルタリングＬＰＦ，ＨＰＦ，ＢＰＦ周波数選択的フィルタ線形シフトインバリアントシステムと劣化画像復元線形システム劣化画像の復元ＭＡＴＬＡＢを用いたデモ

(14)

x x Linear, time-invariant system Out In ディラックのデルタ関数：インパルス関数デルタ関数入力に対する応答：_{インパルス応答} x 入力信号 x 出力信号 τ _x 0 0 出力信号は入力信号とインパルス応答とのコンボリューションで表される．

線形時不変システム

また線形シフトインバリアントシステム ) (x h ) (x δ ) (x f g(x) x ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( x f x h d f x h x g = − = ∞

∫

∞ − τ τ τ

(15)

シフトインバリアント：インパルス応答が，シフトによらないこと． x 0 ) (x h x 0 ) (x h

シフトインバリアントシステム

) (x a h − a ) (x a h − ≠ a シフトインバリアントシフトバリアント２次元（画像）の場合インパルス応答＝点光源に対するレンズによる像

（点像分布関数point spread functionとよぶ）レンズ物体面 _像面 f x y( , ) = δ( , )x y g x y( , ) = h x y( , ) シフトインバリアントシフトバリアントレンズ物体面 _像面 PSFが場所によって異なる場合

(16)

線形システム：重ね合わせの原理が成り立つこと )} ( { )} ( { )} ( ) ( { ) ( )} ( { ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 2 2 1 1 x f S a x f S a x f a x f a S x g x f S x g x g x f + = = + = ことである．以下の関係が成り立つあるとは，このシステムが線形でに定義する．システムを以下のようを出力するに対して，入力

線形システム

x 入力信号 ) (x f x 出力信号 τ x ) (x g L + − + − + = ( ) ( ) ( 2 ) ) (x f₀ x f₁ x d f₂ x d f δ δ δ L ) 2 ( )} 2 ( { ) ( )} ( { ) ( )} ( { 2 2 1 1 0 0 d x h f d x f S d x h f d x f S x h f x f S − = −− = − = δδ δ L + − + − + = ( ) ( ) ( 2 ) ) (x f₀h x f₁h x d f₂h x d g 入力関数：出力関数： 0 … 0 f 1 f f2

(17)

入力信号のスペクトル：出力信号のスペクトル：：伝達関数 Transfer function コンボリューション掛け算 F u( ) u H u( ) u G u( ) u × 実空間フーリエ空間 G u( ) = H u F u( ) ( ) H u G u F u ( ) ( ) ( ) = = output Input ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( x f x h d f x h x g = − =

∫

∞ ∞ − τ τ τ

∫

−∞∞ − = f x j ux dx u F( ) ( )exp( 2π )

[

]

) ( ) ( ) 2 exp( ) ( ) ( ) 2 exp( ) ( ) ( u F u H dx ux j d f x h dx ux j x g u G = − − = − =

∫ ∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

周波数空間で考える

∞ ∞ − π τ τ τ π ∗ ) (x h x x x ) (x f ) (x g インパルス応答

(18)

Wiener Filter

劣化画像の復元などに用いられる ) , (x y f ) , ( ) , ( ) , ( ) , (u v F u v H u v N u v G = + ) , ( ) , ( ) , ( ) , (x y f x y h x y n x y g = ∗ + ) , (x y h 劣化の点像分布関数：理想画像：劣化画像： ) , ( 1 v u H ) , ( / ) , ( ) , ( 1 v u P v u P v u H + _N _S u ) (u H u ) (u F Inverse filter: Inverse filter: Wiener filter: Wiener filter: u u × ノイズパワー信号パワー 0 0