Generalized Linear Mode1の場合の 仮説検定について
宇喜多 義 昌＊・小 野 英 夫＊＊
§1．IntroductionとSummary Generalized Linear Modelの定義
れ
p変量ベクトルXが，平均ベクトル，．E（X）＝Σαψ包，ここに，αtは既知ベクトル，
t＝1 在は未知母数とする。i＝1，2，…，3にわたる。
分散共分散行列V（x）＝E，ここにE＞0である。このとき，
「xをGeneralized Linear Modelをなす」という。
一般には，Xがヵ一変量正規分布をなすとする。すなわち
・−Np（ゑ・・⇒
……（1．1）
れ
である。便宜上肌≡ΣatPtとかく。
t＝1 （1．1）の場合の例としては，
（1．1．1）分割法実験（Split Plot Design）
（1．1．2）単純な同対象のくり返し実験（Repeated Observation）
（1．1．3）系統的くり返し実験（Systematic Repeated Observation）
等々がある。本小文は此等の場合につき，「母平均ベクトルmが，特定なベクトル空間 S＊に垂直であるとする帰無仮説H。，すなわち
Ho；m⊥S＊ ……（1．2）
の検定法」について述べる。
8＊⊥肌を解析的に表現する，dim S＊ニ∫とすると，5＊の基底となる∫個の独立なベ クトルc1，c2，…，c∫に対して
Cttmニ0 （i＝＝1，2，…，∫） ・・一（1．3）
ということと同値である。すなわち
（1．2）＝（1．3）
である。
単なるLinear Modelのとき，すなわち
E ＝σ2 lp ・・・… （1．4）
のときは，α1，α2，・・，α．の張るベクトル空間8（α1，α2，…，αm）≡S（A）と，p次元ユークリ ッド空間RPの中でS（A）の直交補空間S⊥（A）とを考え，前者S（A）を推定空間といい，
＊・＊＊一般教養教授 数学
後者8⊥（A）を誤差空間という。
（1．4）のとき，すなわちx〜Np（2atPb 02 IP）なら8（A）の任意の部分ベクトル空間gy に対して
仮説Hs．：m⊥s＊ ・ の検定（F一検定）が可能で
11Ps・xl［2＝σ2Zf2（27，・＝＝ilPs・ml［2） ・・・… （1．5）
1］Ps⊥（A）xl12＝σ2zσ2 ・・・… （1．6）
II P，．xll2』L｜IPs⊥（A）xll2 ・・・… （1．7）
であることが知られている。
ここにPsxはxの空間Sへの正射影（ベクトル）を意味し，1【Psx］12は正射影のnorm の平方である。また，11 Ps・xli2はσ22ア2（2λ＝UPs・m1【2）としたのは前者はσ22f2分布をな す統計量である意味である。（1．6）についても同様である。また（1．7）の」Lは，左右の
2種類の統計量が統計的に独立という意味である。また，∫＝dimぷ＊， g ＝dim s⊥（A）で
ある。
（1．5），（1．6），（1．7）より，仮説Hs が真のときは IIPs．xl12／dim 8＊
＝F6C§こ（A）（F統計量） ・・…・（1。8）
1［ Ps⊥（A）xll2／dim S⊥（A）
となり，仮説Hs・の統計的仮説検定が可能である。このことはよく知られていることで
ある。
（1．8）による検定法は，V（x）＝σ2ちであること。また8＊は，8＊⊂S（A）で，任意に 固定された部分空間であることに注目すべきである。
2節以下で述べる検定は，V（x）＝Eである。 S（A）の部分空間8＊は任意という訳に は行かず，特定されたS＊について，仮説rm⊥S＊」がF検定されることを述べる。
そのS＊の決定の方法は
方法1：Eの固有根21，λ，，…，λpと対応する固有ベクトルVl， v2，…， Vpと固有ベクトル空 間に注目してS＊を決める方法。
方法2：「m⊥S＊，S＊⊂S（A）」が統計的に意味があるとき， llPs・xll2＝σ＊22f2［22＝llPs・ml12j，
∫＝dim 8＊なるσ＊2に注目し， S⊥（A）の部分空間8＊⊥で 1［Ps・⊥x【12＝σ＊2Xg2，9＝dim 8＊⊥
となるS＊⊥が存在するかどうか調べ，存在するとき，F一検定で仮説検定する。
（注）勿論，方法1，方法2共に各種の11 Psxll2を用いるが，これが母数Pi，…拓や 5のelementsξ￠Jに無関係に計算可能であることは言をまたない。
以下第2節では，3段のSplit Plot Designについて述べる。第3節では， Repeated ObservationでSubjectの効果がある場合について述べる。第4節では， Systematic Repeated ObservationでEがtwo type diagonal matrixの場合を方法1で論ずる。
3×3
更に第5節では第4節と同じ分布をもつxにつき，方法2によって，仮説検定を行う。
§2．Split Plot Design（3 step）の場合（S．P．Dとかく）
kstepのS． P． Dで， r一反復の場合を論ずべきであるが，ここでは3−step，2反復の
S．P．Dで第1因子2水準，第2因子も2水準，第3因子も2水準について論ずる。しか し解説は一般性を失しないように説明するからS．P． Dがk−stepで，第1因子nl水準，
第2因子刀2水準，…第k因子nk水準で， r反復の場合も容易に理解出来るであろう。
反復 R， R2
A因子
B因子 C因子
測定値
（実現位）
くん ロシ
2＼c
／B／q
／
−＼cB／G
60 80 70
80
久
2／c
C／B／︑
／−＼cB／G
50 52 62 60
久
・＼c
／B／G
／只
G G
90 80 o5 oo 1 1
六
＼ 島
㏄く
／
−＼cB／q
75 70 80 82
小 計 中 計 反復計
（162） 1（145） （205） 1（170）
（307） （375）
（682）
（122） ； （102） （160） 1 （130）
（224） （290）
（514）
測定値（Ulll， Ul12，π121， Ui221U2n，〃212， U221， lt222）（abl、、， ab、、2， ab、21， ab1221ti211， tt212， ti221， a222）
＝Ul ＝U2 0rt 」k−， tit」kの平均値E（Ut 」k）＝E（妬￡）＝tttSk
tt，エttは第1実験誤差， yt， yttは第2実験誤差， Zt，2ttは第3実験誤差， R，， R，はそ れぞれ第1反復，第2反復での共通効果で，R、＋R2＝0として一般性失しない。2触の構 造式は
Ul
U111＝iU1！1十R，十Xl十Y1十21，
U、、2＝μU2＋Rエ＋Xl＋y・＋Z2，
ec12、＝μ、2、＋R1＋Xl＋y・＋Z・ ， U122＝μ、22＋R1＋X・＋y・＋Z・ ， U、11ニμ、、、＋R，＋Xl ＋Y1ノ＋Zl ， び212＝μ212＋R、＋Xl ＋Y・ ＋Z・ ， U221・・μ221＋R，＋X、 ＋y・ ＋Z・ ， U222＝μ222＋R，＋X、 ＋y・ ＋Z・ ，
Xl十Yl十x1＝el Xl十Yl十z2＝e2
lt！1
〃
tf
x2 ＋y2 ＋z2 ＝es とかける。
（μ、、1，μ112，…，μ222）＝μ （e・，θ・，…，e・）＝e・
前者を平均ベクトル，後者を誤差ベクトルとすると，
（2・・）ロー）［；］＋es
ただし，Jsは8×8の単位行列，18 ＝（1，1，1，…，1）である。同様に
8ケの1
u2−（・・…6）［；］＋・s
・…・・（2．1）
・・・… （2．2）
・・・… （2．3）
（2，2）， （2．3） より
調一［Is 18 01， 0 18］［三：］＋［：：］
（2．4）はつぎのようにまとめられる。
・一［⑭噸鋤
［Z］＋e16−m＋・・6
ここに
al ＝（10000000三10000000）
α・ ＝（01000000；01000000）
α8 ＝（00000001三〇〇〇〇〇〇〇1）
b，，＝（11111111≡00000000）
b2ノ＝（00000000≡11111111）
R ＝（Rl， R，）
eユ6 ＝（es ，θ8 ）……誤差ベクトルという いまels〜N16（0， V（e16））とする。
・・・… （2．4）
・・・… （2．5）
しかも V（e16）≡E とし，．A＝σi2十σ22十σ32， B＝σエ2十σ22十la32， C：＝σ12十品22十ろσ32（σt2 は第i−stepの実験誤差の分散， b， d，1は定数）。とすると。
E＝
ABCC ，
BACc l
（E） 。 ；
エ
CCAB l
CCBA ； ABcぼ o
．Bメ4CCl
o （E） 1
1｝ 】
CC／1Cl
CCBAl
0 1閻≡ll
この8の固有根λと固有空間S［2］は
21 ＝＝A＋．B＋2C 22＝ノ1＋B−2C
4重根 4重根
S［2，］ S［λ2］
λ3＝A−B 8重根
8［23］
8 ＝ コ ロ 8
（116）（cエ）
14141414
一一N−・−v・一一一一
sQ
Ct1 ＝ ヨ N E 8
（c5）
e1 el el el
（c6）
e2 e2 e2 e2
（c7）
el
−el el
−el 推定間ベクトル
S［22］＝8
（c8）
e、1
＿
。21
e、 i
＿ e21
（c3）
12 −12 12 −12
．1｝1
（c4）
12｝12
−121−12
−121 12 121−12 121−12
−12｝12
−12i−12 121 12 推定空間 ベクトル
12
−
12
−
12
12
−
12
12 12
−
12
誤差空間 ベクトル
：i 二；ミ ：i； ：i−； ］
誤差空間ベクトル ここに el ＝（1，−1，1，−1）， e2 ＝（1，−1，−1，1）
S［23コ次元8 S［22］次元4 8［21］次元4 8（C5）→Cの主効栗差検定
8（￠6）→A×Cの有意差検定 S（ci）→B×C tS S（ρ8＞→A×B×C r∫
8（c3）→Bの主効果差 B1−B2＝0の検定 8（C4）→A×Bの有意 差検定
S（11♂）
5（14 14L14L14 ）→R1−R2＝O C1 の検定
5（1、 ， 1、 ，1、 ， 1、，）→Aの主
c2 効果差 魑 五rA2＝0 の検定 82⊥次元2
S1⊥次元1
83よ次元 ⊂＝＝：コ推定空間
E≡≡≡≡≡ヨ誤差空間
llP．xl12＝［e（v）tx］2，θ（v）はv方向の単位ベクトルとする。
ll Psniコu［12＝IIP、、，ull2＋1【P．，ull2＋i【Pc、u｜12＋1【Ps、⊥u1｜2 ．
● ＿ ＿ ． ． ＿ 、 一 〜L 》 ＿ ． L 、 ＿ t、 ●
＝λ1X、2｛［θ（116） mコ2｝＋λエZ12｛e（CI） m］2｝＋λ1Z12｛e（c、） M］2｝＋21x12
なることから
H，：Cl m＝OeRi−R2＝oの検定には， lip．、uH2／1【Ps、Lul12〜Fi
H，：c2tM＝oeAの主効果差αrα2＝0の検定には，11P。、u1［2／11 Ps ，iu 1【2〜Fll
l｜Ps〔、、μ｜i2＝1｜P凶12＋｜lp．μ｜12＋［IR・、⊥ul【2、
●
． ， L L ・
＝λ，｛X、2｛［e（C3ym］2｝＋2i｛［θ（C、） m］2｝＋22z22より
H，：c3 m＝0， Bの主効果差βi一β，＝0の検定に ［1P・，・11・／11呼｜i2−F・・
H・：c4 m＝o， A×Bの有意差検定に
ll烏・［i・／by｜2−F・・
H，，4：c3 m＝0， c4「m＝0の同時成立の検定に
11債1芸鰐2〜F22
お
1［Ps〔），，〕u【12＝Σ‖p．α副2＋［］Ps，⊥α1｜2
a＝5
−・・｛ 8 ΣZ12｛［e（cα） m］2｝a＝5 ｝＋・…2より
H．：c／7π＝0の検定では
llp・・uil・／1呼ll2−F・1（・−5，・6，・7，・）
Haβ：e．tMニ0， cβ m＝＝0の同時成立の検定に
｜1篭豊1袈2−F・2
に等々で．F一検定法が得られる。
§2の数値例については，
1［ Ps［A，］ull2＝92287．5
11∫）エ16uli2＝・89401， llPc、uil2＝1764．1， ｜］Pc、ui12＝1122．25 1］1）s、⊥uli2＝9228．7−1764．1−1122．25−89401＝0．25
He、：R1＝R2に対して，
1764／0．25＝67056＞Fl 1（0．01） より 仮説R，＝R，は棄却される。
Hc，：Aの主効果，α1＝α2検定は，1122．25／0．25＝4489＞Fl1（0．01）で瓦、は棄却，
II1）s［a2コul12＝703．5， ［］P．，ul12＝＝650．25， IIP．，ul］2＝49．00 1iPs，⊥u［12＝703．5−650．25−49． oo＝4．25
1［1）s，lul［2÷2＝4◆25÷2＝＝2．125 瓦、：Bの主効果均一の仮説に対する仮説c3 肌＝0
650．25／2．125＝306＞F21（0．01）＝93．50 仮説He，は棄却，
Hc。：A×Bの交互作用（αβ）、1＝（αβ）12＝（αβ）21＝（αβ）22の仮説 49／2．125＝：22．12＞F21（0．05）＝18．51 危険率5％で仮説は棄却される。
｜｛ Psu，］u 11 2 ＝＝ 131， 11P，，u l12＝20．25， 1］ Pe6u II 2＝9．00 1［Pc7u［12＝8．1， ilPc8u 1【2＝＝12．25 よ り
llPs，⊥ull2＝＝8．5， 『8．5÷4＝2．125
H，：Cの主効果均一
20．25／2．125＝9．529＜F41（0．01）， 9．529＞F41（0．05）
より危険率5％では仮説H，は棄却される。
H，：A×Cなしの仮説は採択。
H，：B×Cなしの仮説は棄却。
Hs：A×B×Cなしの仮説は採択される。
§3．Repeated Observation（Subjectにeffectがあるとき）
第α一subjectに対して固有のeffect Rαがあり，2｝ subjectに対してヵ種類の処理T，，
T，，…，Tpをrandomな順で実験しその測定値をxl， x2，…，エpとする。これがα一subject であるとき（Xl， X2， °， Xp）＝・x「とする，その構造式は
α α α α
ta ＝μt十Ra十et
εパま誤差変数，μ乞はTt一処理効果とする。
x＝Pt＋R。1＋e， e〜Np（o，σ2［ρE，＋1一ρ1，］）
α a α
Nケのsubjectsに対しての一連の測定ベクトルは，
馴［1ピ轍
向④
＋
コ
μRoo⁝L r
お ロ0ち．．．OLO⁝0
ちち⁝毛
ll
＝［α、…α，≡b，b2…b．］μ＋θN，
＝m十eA・p
B［R］
麗窯意念、）｝
・・・… （3．1）
・・・… （3．2）
このときV（eNp）は
σ2［ρE。＋1一ρ」，］ 1 0 0
v（eN匁）ニ O lσ2［ρE，＋1一ρち］1 0
≡：r
0 1 0 1σ2［ρEp＋1一ρ1，］
となる。
ここにE… （1：：：｝）各成分…であ・…剛
⑭一刷‡…｛：：：｛］
このとき，推定空間＝S（A≡B）＝S（A）③8（．B ）である。ここにS（Bつ≡8（b一恥，
b2−bAr，…，6N．一6N）， S（A）∩S（B）＝S（IA，P）， dim S（A≡．B）＝p＋N−1である。
誤差空間8⊥（A≡．B）， dim 8⊥（A≡B）＝（p−1）（N−1）である。
またS（A−）＝S（α⊂ap，α2一αp，…， ap．1一αp）とする
8（A≡B）＝・s（A）㊥8（B−）
次元力＋N−1
s⊥（A≡B）
次元（p−1（（N−1）
推定空間 s（A） 8（A−）
誤差空間 ぷ（B）
8（1）
ぷ（B−）
百の固有根 重 根 数
固有空間
λ1＝σ2（1＋ρ一1ρ）
N
1・・一σ2（・一・）
N（カー1）
8［2，］ ぷ［22コ
しかも
−¶上 − 5
＝
00⁝OLo与ー−o ρ D ユ ひ
ρ 0⁝⁝0
コ ＝ 8 1
ロ ぷ o⁝⁝0110：・0・：11：・
l
OlO．・・O rl OlO
1
1O⁝⁝0110三
1
A
レノト
ク o⁝⁝011：
・
1
．
．
．01．︵ OlO．．・O−
G ⁝01鮭10：：：01 定 空一問 一
＝8
コロ
ct︶
＝8（α、一α，，…，α，．一α，1の
＝S（A−≡Cり＝S（A ）④8（（D dim S（A−）＝P−1 dim 8（C）＝（P−1）（N−1）
8［R2］次元N（P−1） S［21］＝S（B）次元N
8（αrα♪，α2一αρ，…，αρ一、一αρ）＝ぷ（左）
次元カー1
5（B）
次元N
8（C）
次元（N−1）（ヵ一1） E≡≡≡≡ヨ誤差空間部分
ll Ps〔），、IS｜12＝11P。，ズ）abl【2＋1｜Ps（の￡112
＝鳩．、［22＝｜IPs，仁、ml［2］＋2、Zそ。．1）（P．1）
ここに
り
II Ps（A−）M1【2＝‖Ps（A）mH2−liPimi12＝NΣ（μ1一戸）2 t＝1
となる。
H 帰無仮説μ1＝μ2＝…＝＝9pく⇒Σ（Ut−ltt）2＝0に対する検定統計量は，
ll己芸幡些鵠一、）〜Fξ；1・・（P−1）
（仮説Hが真のとき）
この場合
H，：（α一ap）tm＝（悟一μρ）N＝0ごμτ一μρ＝0の検定統計量もつぎのように得られる。
11九・ユi12／（｜IPs（のSl［2N−1）（P−1）〜F｛拒・⑭
（仮説Htが真のとき）
〈例＞ 4人の成人男子に毎晩T，（日本酒1合），T2（1．5合）， T3（2合）を3日間に わたり無作為の順序で飲まして30分後の酔度を調べて次の測定値を得た。
対舗INTo．・N・・NTo．・NTo．・
りの
N夕7
30 35 40
20 30 40
25 20 30
15 25 30
90 110 140 340
誤差平方和＝11Ps（c）SI12＝・IOO，自由度f＝＝6 1［Ps（A ）xl12＝ 902十1102十1402／4−3402／12＝：317 仮説μ1 ＝＝ Pt2＝μ3に対して
鵠；−9…＞F62（…）−5・・43 酔度の母平均均一の仮説は棄却される，
§4・…t・n｛；・i・．R・p・a・・d…erv・・…で・，E，が・w・・yp・d・・g・n・1 m・・亟．の場合
x−一・N・・（二t・t・・A・（…b）・）・・＠鵬；；）〉・・一・・ ・・（Ptl・・・・…）
からsize Nの無作為sample xl， x2，…，xNで，
（41） ・各XtはSubject effect．R，がないとき
（4．2）各xtに固有なSubject effect R，があるとき，ただしΣ R，＝0として一般性N 乞＝1
を失しない。
に分けてテスト可能な母数1次方程式を調べてみる，
（4．1）の場合（Subject effectのないとき）
躍闇一撫）一「（鶯」
＝π十e3N．
このときY（e3Ar）の固有根，重根度，固有空間は次のようになる，
有 根
固
度 重 根
ト ル間
クベ
有固空
λ1＝α
N
8［21］
ス2＝a−〜v ｛ib
N
8〔2，2］
s［λ，］＝s
O o O
r⊥01
一
0⁝⁝0
0
1占01
0
1
r⊥0司⊥
一
〇
〇0
一
＝s 1： ol
−
、1
11
0≡ち，れ，…，fAr
−1ミ 直交誤差 ＝S（dエ）㊥S（F）
． ：
三≡空間ベクトル 1：
0：
− 1：
H d，∈8（A）
1
− VTz「 0 0… 0 1
s［λ2］＝5
8［23］＝s
1．
0 一在「0… 0
1
0
1
0 0…一∨万
1
o 万
ーンー
1
0…0
0 4言0
1
8［λ，］
0 0
0
1
v万
1
＝s
＝s
8［λ2］
1 ：
− F21
1 1 1 ；
− F2≡92・93・…・9N
l l直交誤差
・ 三空間ベクトル
・1
一 力「1
1 1
ll d2∈8（A）
1 ： v−2−1
11
1；
s／百ih2・h3・…・hN
1；直交誤差
：≡空間ベクトル
11
ンラ1
11｜l
d3∈S（A）
8［23］
＝S（d2）①S（G）
＝＝s（d，）①s（H）
このことから
1｜P，［7，、〕￡1【2→IP、調｜2＋1［P，（F）￡II2
ニaXi2｛［e （d，）m］2｝十ak2 ・一 i IljOs［12ユx1【2＝1］P，、XI【2十II Ps（G）XI12
＝（a一禰一b）2，2｛［e （∂、）・π］2｝＋（・−E「b）ム
［1 PS［a，］￡112＝II P， ，￡｜12十llPS er）￡］［2
＝（a＋ン万6）z、2｛［e （d、）7π］2｝＋（α＋VTz「6）か、
ここにe（dt）はd，方向の単位ベクトルとした。
したがってTestable Parameter Equationの各々は，
H，：e （d，）nt＝o H Pt1 ＝μ、
推定空間 s（A）
誤差空間
s⊥（A）
・・・… （4．1．1）
・・・… （4．1．2）
・・・… （4．1．3）
H，：e （d、）7π＝0⇔μ、一在rμ2＋μ3＝O Hs：et（d，）m＝Oeμ1＋π「μ、＋μ、＝0 耳に対するF検定量は，つぎの通りである。
11P・・Srll・／11要翌12〜F礼1
（4．2）の場合（Subject effectがある場合）
このとき構造は，
で，
Xl
2 k
R
．⁝．．X
H［
虎 44：：：る 130： o
0…0 13…0
0…13
卵 θ
＋
￡凡⁝＆
一［a・a・as≡b，・・b・・…娠コ
園愉
一［ e，≡Bコ［μ］＋e・N＝M＋e3AT
訂（a，b） OA（a，b）O A（a，b））
・・… ◆（4．2．1）
・・・… （4．2．2）
と考えられる。
推定空間S（A≡B）＝・S（A≡B−）＝S（A）①5（B−）であり，dim S（．A≡B）ニN＋2，
（3） （3） （3） （3）
dimS（A）＝3， dim 8（B−）＝N−1であり，誤差空間S⊥（A≡B）の次元は2N−2である。
《3）
s（A三B）＝s（A）①s（B−）
次元N十2
3⊥（A≡B）
次元2N−2
S［λ1コ，8［22］，S［23コは（4己）の場合と全く同じである。
8口、］＝8（の㊥s（F），8（F）⊂8⊥（A≡B）
8［λ2］＝8（d2）④8（G）， 8（G）（丈s⊥（A：B）
8［λ3］＝8（d，）㊤S（互），S（A）在8⊥（A≡B）
であることが示される。すなわち
5［λ3］ 8［λ2］ 8［λ1］
8（d3） ば3＝α1＋ン万α2＋α3 5（の d2＝α1−V万α2＋α3
8（dエ）
ば1＝α1一α3
ぷ（B一）
ぷ（G） 8（F）
5（H）
次元N−1
1］P、、sl12＝21x，2［（e（d、） m）2］，11P。σ）jb［12ニJl，，xS，t．、
ここに，7．i＝aで， ll P。、 e1｜2⊥ぼぷF）訓2である。
H：e（d，） m＝Oeμ一μ3＝0が真のとき
11P・，・i1・／」巳篶112−F輻・ ……（4・・2・・）
このことからHの採否の検定を行うことが出来る。
§5．方法2による検定法
§2，§3，§4の仮説検定法はいずれも§1の中で述べた方法1による検定法であった。
本節では方法2によってTestable Parameter Equationsを求めてみよう，§5のSyste−
matic Repeated Observationで， Eが3×3のtwo type diagonal matrixで， Subject effectがある場合について調べる。すなわちXl，・x2，…，XATの構造は（4．2．1）とする。
・一［・一・・：bl・・b・・……］［Zi］＋e・Ar
−［A≡B］［z］＋e・N＝＝M＋e3N
−M亀イ（鶯》
s（A）
I l
推定空間8（A≡B）＝8（B−）④8（ISN）㊤8（α1一α2）①S（α1＋α2−2α3）
8（B） ぷ（A−）
＝S（B−）①、∫（13Ar）①S（α1一α3）㊥S（α1−2α，＋α3）
8（A−）
＝S（B−）①ぷ（13A・）㊥S（α2一α3）㊤S（−2αi＋α，＋α3）
s（A−）
（α一α2）⊥mの解析的意味は（α、−a2） m＝0である。
（α一α・） （μ1＋Rl，μ，＋R，，μ、＋R1，μ1＋R、，μ、＋R、，μ、＋R，，…，
μ1十RN，μ2十RAr，μ3十RN）
＝（Ptl−Y2）＋（μ、一μ，）＋…＋（μ一μ，）＝N（μ1一μ、）＝0 より
（α一α，）⊥m⇔μ一μ、＝o また
Ilp、。、＿、）XU2＝σ＊22、2日【P、。1，一＠、，m【i2］
ここに
・躯＋・）・．1］P・・、一・、・MII・−N（μ1；μ・）2
より
・・・… （5．1）
・・・… （5．2）
・・・… （5．3）
（5．4）
llPa、一，・1｜・一（・一・）2，2［N（μテμ・）2］
・・・… （5．6）
一方，誤差空間8⊥（A≡B）の部分空間8で，llP∫副2が（a−b）沙．dim．S統計量となるよ うなベクbル空間Sを見出したい，
たがいに直交するNケの3N次元ベクトルc、， c2，…， CNの張るベクトル空間Dとす （a−b）
る，ここに
c1 ＝ （1 − 1 0 ≡ 0 0 0 三 〇 〇 〇 ≡ 一 一 ヂ ● ． ・ 三 〇 〇 〇）
c2 ニ （0 0 0 三 1 − 1 0 ≡ 0 0 0 ≡ ．・・◆．． ≡ 0 0 0） ＾
cN＝ （0 0 0 ≡ 0 0 0 三 〇 〇 〇 ≡ 一一・一・・ ≡ 1 − 1 0）
である。
r⊥r⊥o
l 03 03… 03
1 03 −1
，aPb、＝s o
03 03 ｜l II Cエ C2 d2，…，d．・はたがいに直交し，
03 … 03 ＝s
1
03…−1
0 11 1｜
c3 CAr
1・ 一
＿
11
0；
−il
＿
11
01 d・・d・・…・dN
Tミ
丁「ミ
ー
・l l≡
α1一α2
第1列ベクトルα一α2とも直交するベクトルとする。
またd2，…，∂Nの張るベクトル空間をS［d2，…， dN］とする，すなわち
D＝＝S（α一α2）①S［d！2，…，dAr］ ……（5．7）
〈a〜b）
このS［d，，…，d．・］についてはつぎの定理がいえる。
定理1．S⊥（A≡B）⊃S［d2，…， dAr］
定理2．ilPs［d2…副剥2＝σ＊2痴．1，σ＊2＝＝（a−b）
定理1の証明
パア
d，＝Σ2JCj＝（21，−2b O≡22，一？．2，0≡……≡2N，−2A・，0） ……（5．8）
」＝1
己⊥al一α2より， di「（α1一α2）＝0であるから
2（21十22十… 十2入，）＝0 ・・・… （5．9）
（5．9）より，d，⊥8（A）が示されるし，（5．8）よりd！包⊥S（B）も示される（i＝2，3，…，N）
ゆえに
dε＿LS（A≡B） i＝2，3，… ，N ゆえに
S⊥（A≡B）⊃8（d2…dAr）
である。
定理2の証明
e（dt）をベクトルd、方向の単位ベクトルとする。
ll 1）s（d2＿d、）Xrll2＝＝Pe（d2）虎112十ll 1）c（d3）虎112十… 十U1）e（，，o虎li2 ・・・… （5．10）
であり
。（d、）・− 1 （λ、，−7．1，017．、，−2、，0［…R。，−2。，0）
2Σ2t2 t＝1 よって
e（dt）倫は正規分布をなし
E［et（d乞）￡］＝et（d1）m＝0 （e（dt）∈S⊥（AIB）， m∈8（AIB）より）
v［・ （d，）・］−er（の［A（：5㌧（2，、）］e（の
一2（a−b）t9、 2t2／2ゑ2・・一（a−b）
ゆえに
1［1）e（dt）元ll2〜（a−b）x12
なる分布をなす，よって［IPt（di）Xl12＝（a−b）Zl2統計量，このことと（5．10）を併せ考察 《t）
して，
【11）s（d，…剛虎ll2＝（a一ろ）｛z12十z12十…十z12｝＝（a−b）蹄．1 （2） （3） （N）
よって
帰無仮説j既2：μ一μ2＝oの検定には
11P・・，一・，・￡112／g・鴛￡1【2〜FS・一，
（」問2が真のとき）
として行う。
全く同様にして
帰無仮説H：μ1＋μ2−2μ3・＝02（α1＋α2−2α3）⊥m の検定には
11Pa、一刷1・／11P・鰐虎112−FN−，（H・・真のとき）
によって行う
ここにS［f，…fNコ とは
三q
D−g． w
1
1 03 … 03
− 2 1
03 1 … 03
−2 三
〇3 03 03
1 03 03 … 1 −2
｜1 11 ｜1 91 92 9ム
＝s
九 私
112112 112
一 α1十α2−2α3
f，…烏はたがいに直交し，第1列ベクトルα、＋α2−2α3とも直交するベクトルとする，
またち…呑の張るベクトル空間をS［f，…在・］とした。このとき D ＝＝S（α1十α2−2α3）①S［f，…fAr］
（a＿亙 3）
で
8⊥（AIB）⊃s［f，…万，］
であり
ll・Ps・r，・−rN］ eli・一・＊・27＆一・・σ・蒋十音）
であることも分る。
D D
くα一b／3） （a−b）
3（B−一）
次元N−1
1 8［α1＋α2−2α3］
次元1
5［α1一α2］
次元1
8［ち…吾］
次元N−1
5［d2…砺コ
次元N−1
s（AIB）
s⊥（AIB）
帰無仮説H12， Hともに採択されるときは処理効果μ1，μ2，μ3が均一であるμ1＝μ2＝μ3 ことになる。
§6．結 び
Generalized Linear Modelのときの処理効果μ1…μzのestimableなliμi＋…＋ltpt＝1 μ が0であるとする仮説検定，問題は，単にt μがestimableであるというだけでは， F 検定されないで，
1 μ＝E（c x），c∈Estimation Space
＾ ， ．■
【1鳥ωxll2＝σ＊2Z12［22＝1｜ε （C）m【］2］
であり，
ヨS：IIPsxli2＝σ＊2Z2dtm s， S⊂Error Spaceなるときに，仮説1 μ＝0が」F一検定されるこ
とを示した。§4〜§5ではEが3×3行列でtwo type diagonalの場合を取上げて，
Testable Parameters Equationsを論じた。
Eがρ×力行列でtwo type diagonal，更にr−type diagonalな場合のTestable Parameters Equationsの発見と，その検定量を示す問題がある。更に本文はANOVA−
Caseである。 MANOVA−Caseで， sample effectsがある場合について， Testable Parameters Equations問題がある（sample effectsがない場合については先行論文（7）で 示してある）本小文の内容，事例内容については本学名誉教授佐藤良一郎氏と十分検討し たもので，同先生に厚く御礼を申し上げます。
引用図書
（1） S．F． Arnold（1981） The Theory of Linear Models and Multivariate Analysis ， John Wiley＆Sons．
（2）A．M． Kshirsagar（1972） Multivar三ate Analysis Marcel Dekker， Inc．
（3）T． W．Anderson（1984）t An Introduction to Multivariate Statistical Analysis John VK iley＆ Sons．
（4） 宇喜多義昌（1975），実験計画法，森北出版．
（5） 宇喜多義昌（1983），多変量統計解析，その3：標本分布論，翔人社．
（6） 宇喜多義昌（1987），多変量解析一標本分布とその応用一明星大学出版部．
引用論文
（1） Y．Ukita（1976）， Hypothesis Spaces and Decomposition of Sum of Squares in Linear Models（Ogawa Volume）．
（2） 宇喜多義昌（1980），〈P。X＞， llPsx2i1の分布と応用について（東京理科大学・理学専攻科雑 誌，NTo．1， Vol．1）．
（3） 宇喜多義昌，外2名（1981），IIPs，xli2／ Ps， rli2の分布に関する定理（或京理科大学，理学専 攻科娃誌，No．1， Vol．2）．
（4）Y．Ukita（1982）， On a Geometr三cal Meaning of A22．1 and its Distribution（Tensor，
N．S． Vol．39）．
（5） 宇喜多義昌（1982，Basic数学， No．10〜No．12，1983），統計的実験の計画と，実験データ の解析（1，H，皿，IV）．
（6） 日本数学会研究発表アブストラクト（統計数学），1985年，秋季大会（富山大学），1986年春 季大会（京都大学）
（7） 宇喜多義昌：行列正規分布とその応用・・明星大学紀要（理工学部）．1986
（8）Y．Ukita＆K． Noda：About the Matrix Normal Distribution and its Application to Manava（The Second Japan・China Symposium an Statistics）1986ご
（9） Y．Ukita＆K． Noda：Testing Hypotheses on Generalized Linears Models in ANOVA （ISI 46th Contributed Papers）1987．
