重ね合わせ過程の点間隔系列相関係数の研究 （昭和50年5月31日

重ね合わせ過程の点間隔系列相関係数の研究

      （昭和50年5月31日 原稿受理）

情報処理教育センター 矢 鳴 虎 夫

富士通信機KK      小 田  美 博 情 報 工 学 科   磯  泰  行

Study of Serial Correlation Coef五cients of Inter−point

       Torao YANARU        Yoshihiro ODA        Yasuvuki ISO

Abstmd

  F。，tbe supe・p。sed pr。ce・s（SP）。f・e・ew・1 Pエ・ce…s（RP s）， Th・m・th・m・ti・・l expres−

si。ns are de，ived。f the seエial c。rrelati。n・。・伍・i・nts（SCC s）・f inter−P・i・t i皿teM1・・f seri・1，

numberユ and 2． As an example， these quantitiesユre calculated and illustrated when the

。。mp。n田tp・。・e・・。fth・SP i・・・…wal p・・・…wh・sedi・t・ib・ti…fi・ter−P・i・t i・t・・v・ls i・sp・ci・I E・・1・・gi・n di・t曲・ti・n with晶・t・g・s・F・・th・…h・p・i・t・・q・・n・・s・f tbe昏rSPs a「r gen醐t。d by。・mp・t・・sim・1・ti・・m・th・d． F。・th…p。i・t・・q・enc・s・th・SCC ・・f mt・「v・1sl are obtained and compared with the theoretical SC巴s．

  Th， p。i。t・eq・・…s・im・1・醜th・。・tp・t・pik・t・・i…f・・i・g1…u・・n・・e g・・…t・d by

，。mp。t，・sim・1・ti・・m・th・d， wh・n th…鵬typ・・f・・um m・dd・・p・・P・・ed・f J・P・S・gund°

i，u，ed，、nd th・p。i・t・・q…。…fSP・・e used・・i・p・t p・i・t・・q・ence・。f tl・・m・d・L The P，。P，，ti，・。fth・SCC・・。f i・t・・v・1・。fth・。・tp・t p・i・t・eq・・n。es・・e i・ve・tig・士・d・・ndwe f。u。d th、t the。。g。tine c・rrel・ti。・。∫thεi・put p・i・t・eq…cε・i・pr・se・v・d i・th・・utput point sequences of the modeL

      間隔SCCを意味する）の性質を理諭と計算機シミュレ 1・ま え が き      ＿ションを通じて調べた。更にζのSPの点列が閾値を スパイク列の重ね合わせが，神経系の各所で行なわれ   有するニューロンモデルの入力として用いられたとき，

ている可能性については，今日多くの神経生理学者の認   その出力点列はどのようなSCCのパターンを呈するか めているところである。その意味で数学的な重ね合わせ   を調べた。その結果，成分点過程の点間隔が指数分布か 過程（Superposed process， SP）は，これまで神経ス   ら正規分布に近ずくに従って・特殊アーラン分布の階数 パイク列発生モデルとしてかなり研究されている1｝2｝％   が大きくなるに従って・SPの遅れユでのSCCは負で大

しかしモれらのほとんどは．主にその点間隔の分布に関   きな絶対値を示すようになる。またこの性質はニユー口 辿したものが多く．特に点間隔の時系列に注目して行な   ンモデルの出力点列のSCCについても保存されてい われている研究は見あたらない。一方において実瞭の神   る。などの特徴を定苗的に知ることができた・

経系スパイク列の統酬理では，スパイク酬のn縣列 2点關SCC幽する麟

に関した統計量もとられており，そのうちでもスパイク

喘の系列相関係数（・，・i・1…rehti・・…缶・i・nd， ・個の成分点過融独立で・しかも同一5｝布を有する SCC）燗する資料は多い．そこで喘文は独立な複数 一様なRPのmオ蛤せ1・よるSPのSCCの麟を展

駒再蜘程（，en。w、1 P・。・es・， RP）1こよるSPに 開する・一般1・大きな遅れでのSCCの理論式を導くこ

っいて、そのSCC（以後，特別にことわらないかぎり とは極めて煩雑1・なる・しかし点過程が定常であれ ￡

の性質を決めるので，ここでは比較的取扱い易い遅れ1      to

と2の船の鵬式を鞠する・       トーx？一叫一・；L→

2．1．遅れ1でのSCC，ρ（1， F1）       RP−1 −一一憂←一一一一一一→←一一一→←一一一

〔三鱈慧賜；「瓢RF， i隔x逮

更に。（1，のゴ［。，（刷で麟されるが．ここでは   l lI ll1 一様なRPによるSPを問題けるので，すべての点   1 ト㌔・F・㌦・ヨば

間隔Hノ。．1は番号ゴには無関係に同一分布するものと考    SP −一一→←一一一→←一→←一一一一一一

…）である・以下齢上      図1

・（11め』鵠±蹴；P：（2） 1㌦一mr up，σρ，…． upり（，）

で劾す・とにする・したがって・（1・ ）を勅るには

H ・・の麟分布と（1¶㌦、いH㌦』）の同時確率分布が与 パイパー関数，

えられればよい。1・¶／山の分布についてはCOX（2）が次

式で与えている。        Rw・巡ア）＝P・・bσ吃1塙賑＞y）

      ＝Pr。b（Xf1）＞X， X㍗1＞γ，し「1卸＞x，

  Rr−1（x）＝＝ P1・ob（1↓ノH・1＞エ）＝ Rエ（よ）・ZH−1（エ）（3）      σ』2｝〉、y，＿．．， こノ｛皿｝〉司  Lr』n〕＞y） ．    （8）

       ロ

      （zω一÷∫R・ω4・・） ・個の過程はすべて蹴幽程であるので（8）式は

       エ

ここにRエ（めは成分点過程のサバイバー閲数（surv−    R賜．・・㌦兵X・」 ）

i。。，f。。、ti。。）で劫，。ヨま成分点過程の点酬酬   一P…α∫1｝〉・） P…（批＞」 ）

待値である．つまり．噺翻の成分点過程を醐      ^{P…（σ12 ＞x，び］2ハ〉か}

（」一ユ21…，。，・一・，±1，±2，…）で表わすとき，どの   xp…（U｛n）〉・・U； ｝＞」） （9）

ような∫とゴに対しても       となる。またすべてのノに対して

  Rエ（∫）ニPr。b（問∫｝〉め，        （4）     P，。b（Ul∫〕〉エ，σ：」〕＞y）＝Zα÷」つ   （10）

  μx＝E〔XP・ユ       （5）   となることが誘導される（［付録1］参照）ので（4）式と である。      合せて（9）式は

さてσ｛ノ勒II ・．・）の同日寺麟分布を求めよう・即  R。。．。。．，（切一R．ω・R。（ルz・−1（・＋y）（1D l・示すよう1醐のうち任意の ^ARP

つ郷鯨f・に注目する・とのよっな日寺点でも1個以

上の糎の存在は認めないもの Lする・すると・RP｛1たので，あとは形式的肪法で、（コ，。）を求めることが

黷ﾌどのよっな事象セ時鯖では できる．つまりH 。1の確轍関数砿、脚，伽・

rr㍑㌶懸㌶嘉㌶嘉蕊1輪）の同一幽数緬㌦μツ） とすれば

：㌫：：1：：：：：；：lllご1霊竺竺（㌶a：蒜  玩翻一一去輪・ω   （12）

蓮霊塁㍍灘三㍊㌫㌫：鷲三： 塩忌励一，…誹晒。（籾 （ユ3）

と麟される．ここにE［．1酬寺順意味する。    1 ：1 い1

ぽ月．ビ＝minα㌍，σ㍗，［雄，．…， U門）． （6）   であり，したがって

        の

  E［胴一∫。融醐礼   （・4）   嚇 恥礼σ戸＞5＋川蜘認

蹴1−∫㌫姻 ㈹成分霊：ll蕊≡るから

         エ   リ

恥欄一 tユ・論・・）ゴ・吻（16）  ＝㌔α耀：忽慧≧；1已籾

より（2）式によって・（・ ・）㈱うられる・    −R．ω蒜ア）z・−1（、＋叶．） （、9）

 2．2．遅れ2でのSCC，ρ（2，π）

剛のRPI・よるSPの相続く3っの，！澗続↓1・。、 したがって齢1でのサバイバー関数｛ま誠分点鍵の

II㌦。臨とするとき，     点喘の確囎度関数をムω（一一芸R・ω）とする

      と

で与二禦慧ては∴臨一∫⊆・一一・

認ご欝：II）：蕊；［：；；；1：鷺三ぎ     一∫IR・眺（D

R㌦1r輪（エ， y）が求められればよい。2・1・での手法と       Zn−1（5÷よ÷」 ）五（5）㎡」（20）

ほとんど同じ手法で求めることができる。ただこのとき   で与えられる。

は2っの場合わけが必要である白図2は注目したRP−1

灘膿㌶麟SII竺當：繕  ト・11Lギー・：・＋X当

の事象点とRP一ユ以外（たとえばこの図ではRP−2）の   RP−1−一一→←一一一一一一

事象点 としてつく 合の1 ある・

RP、トXI一トx・＋一当  1に認石言ゴ：H

       l       l       l    l    l  I  I

q｝t

     川…iii   図3

即一』 蕊翌≧二lll：：：二1言蕊冴

      x斗・十y        R6㍊」㌦、1㌦，一。ヂ，（工川∫）       ，

      ＝P，。bα「n＞エ∴YJn＞5十JI，σρ＞w，

 場合1；図2においてHノ昭＝X』I」＝」での条件付同      −□，＞」 ，〔ノ戸＞x，σ㌍＞F十」 ，…・

時サ・・イパー関数R61；．1㌦、1㌦，（・」，1・）（添字（1〕1ま場    σ｛n，〉エUl ）〉・÷」 1σ』21＝・）

合1を意味する）を求める。      ＝P口b（x1｛］ム＞x）P「曲（A「把＞3田う

RI｝

ｲ：二；蕊1㌔〉，1臨一の   欝芸㌶蕊ζ鮒ρ＞1；）

   ＝Prob（Xlm＞x，疋∫u＞戊・， Ul2，＞x，σ｛2，〉    ここで

一一一一 齧ｪ一一一→L−→4−一一一→−  RP．n   1  2   ・

＿＿

  P帥（L「1コ 〉川L1㌍＝ぷ）       3．数値計算とシミュレーション

    ー㌔・酬〉・＋・岬〉・）−R慧謬  すべての成綱程がRPでその点間隔の確蹴関

      （胡  数がよく知られた嚥酬…アーラン分布・

であ F㌻＿（      ∫Y臼工，ア1の）＝（・竺1ザ巴（醐（27）

   一＆ω恥÷・）鵠謬己ω・   （       占    止ここ1こ μエ＝一， α＝一       α     π）

      Z・−2（エ÷エ÷ユう（23）    したがって

で与えられる一方・      R・ω一・一・償（‡苦   （28）

  RI幕．1㌦31㌦2（エ，γ15）

    一無＿叫卿1・）   z（・）一▲ε一邸蕊（‡三）  （29）

    ＝（η一1）R 苔．1胞コ1㌦：一む1コ▲（x川5） （24）     μ皆。＝1      （30）

であるので       なる場合のSPのρ（1，の，ρ（2，π）の数値計算とこの   RI芋；．，．葛・。」（茜」う      SPの点列を計算機シミュレーションの方法で発生し

    一。−D『R認．輪1酬ぽ   三1）鷲竃蒜藍㌃！慧鷲言蕊㌶

         0

       （xJ・15）ん42］（∫）ゴ5（25）   分布の階数吉二12．5ほ0でのρ（1，のとρ②n）およ ここにん弾（のは前向再生時間σ｛21の確率密度関数で

            f，（エ）

R』卿）一（ Ｒ・（・）馬（・壬  肛5

      Rx（5十y）」Rx（5十x）Zn一叉5十工十」ウゴ」．

      （27）       0       1       2       コ

酔・と場合2と嚇反事象であるから．求めるべ調      一・．   糖

時サバイバー関数は       図 4 ありCOX ］はRPの場合には       1．5

      ↑  五i・・（3）＝Rx（5〕         （26）

       μ」r

       ］．o となることを導びいている。 したがって（23）〜（26）式

より

       何

R㌦1・w。．・（エ」う＝R；｝；．1・輪3（エ・」ウ        」、（1，。）

      ＋醐・1・輪底力    ↑似

   の   寸＆眺ω〔＋・＋y）   一：：1

    ｛な（・）z（叶工＋y）÷（n三）     一・2          x職（・＋・）R。伸）｝ゴ・  二1：：

ここに       一〇・5

（z（5÷エ十ノ）一吉∫軸五ωゴ・∫） （26）  一

      田十工÷，

で与えられる。あとは簡単な手続きで（17）式にしたが       一，n

ってβ（2，π）が求められる。       図 5

∫，（細］ ・       対して△印，た＝ユ0に対して□印で示す。これらの統

＾ o．4            ＋  、 ｛    

 ユ

0．3

02

0，1

仕…    鷲1百。 x

−0」         ロk＝5   ム

一D．2

一〇．3       」

計丑に対して次のよっな性質セ見しだgことがで百る。

1）ρ（1、η）はル＝1（成分点過程がボアソン過程）の場 合をのぞいてすべて負であり，止の値が大きくなる（正 規分布に近ずき，かつ分散が小さくなる）にしたがっ て，その絶対値は大きくなる。しかしπの値が10にも なるとそれらの伍に大差がなくなる。2）ρ（2，のはπの 仙が2の場合はすべて正であるがηの値が3以上にな         ろとρ（1，n）とほぼ同じような性質をもつ。3）ρ（1，吋      およびρ（2，n）はモれそれρ（1，π），ρ（2，吋の傾向をよ

く反映している。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10     図8と図9に，得られたSCCの1部の例を示す。図8

      −一一｝n

       はn＝10の場合について，成分点過程の分布によって      図 6

Var（n｝      0・］

↑1・1       0

i1・L≡一一． 一・1

  0・9      0       ＿0．］

       o o      巳  0．8       ≡  0       

 。7 k−2。・ 。°     ㍉1

0、6

0．5    k＝5 0．4      k＝10

0．3

0．1

一〇．1

k＝2，n＝10

k＝5、n＝10

0．2

0．1

o

］2345678910

      ハ       ＿＿→n       − 0・1       ≡ 0      図 7      匙一〇」

0       10      20      30       40      50

        一一一｝」

      図 8

n＝1

び分散γ。，（めでの理論値が重ね合せの個数πによっ     0．1

対応するSPの点列［〜u．f）（∫＝1〜2000，π＝ユ〜10）の   烏一α2

駄SCq 5（切と標本分散培，ω，つまり   ：；：i

      n＝4

       じ一〇．1       （30）    へ＿02       −03

抗珂一｛㎞1響・・⊇｝  （31） 烈     ＝1°

      ロ        曳一〇．1

 元一誌o：罫鞠      （32）

 ． ＾   ∧         0 20 40 60 80 100

のρ（1．η），ρ（2，n）および1㌔r（π）（n＝1，2，…，10）の       一一→1

値を，た＝1に対して×印，占＝2に対してO印，片＝5に       図 9

SCCのパターンがどの様に変化するかを示したもので    初期リセット閏値：正」。＝−20 rnV ある。これを見ると，すべての占の苗について遅れが    i皆止閾値：∫∫。；−50rnV

10近くまでSCCの値は負である．図91 の｛能5 閥｛幽数・H（ ）−H・・一（HrH・・）ε一よ〆 に固定した場合，πの値によってSCCのパターンがど      （ここに減衰率；λ」，＝3．47／秒）

の様1硬化す杣を示す．これを見ると・−2の場合は 初卵セ・ト膜電位・P・＝弓゜°mV

運れユと2で極めて特徴的に負と正の相関が交代してい    静止膜電位：P．。＝−70mV

るパターンが見られるがπの値が大きくなるにしたが    膜電位関数：P（∫）＝Pm−（Po−P。．）ε一よP「

って正の相関は負の方へ移行するのが見られる。         （ここに減衰率；λp＝6．93ノ秒）

      絶対不応期：ro＝10 m秒

 4．SP入力によるニコ・一ロンモデルの応答        興奮性シナプス後電位（EPSP）；A＝ユ6 mV 前節まで｛峨々はSPのSCCが・1・さい遅れで鮒を 図11〜13はこのニュー°ンモデル1 ・吉＝5・n＝10 とるという性質を理論とシミュレーションを通して見て   でのSPを入力した場合のモデル出力点間隔列〔」τ．ゴ〕

きた自一方このようなSCCのパターンを示す神経系の

i璽∵蕊三鷲｛霧：三ii二；『∈ミ三鵬：ニ…≦

電スパイ捌のいくつかをあげることができる・搬に @ 3。

1個のニューロンには．複数個の外部ニューロン出力ス   書 パイク列が時空間的に加重されて入力されると考えられ   盲2 ている。そのため第3節までに調べてきたようなSPを     10 ニューロンモデルの入力とみなしてシミュレートするこ

       5   10  20    50  100 200  500 10002000 5000 とは充分有意義であると思われる。      ＿＿．T      ×m秒  入力線の運ぶスパイク列の統計的性質がニューロン出       図 11

力に及ぼす影響に関する研究としてはSegundoら7）の

研究が有名である。しかし彼らはニューロンモデル入力    0．1 点列のSCCのパターンの及ぼす影響については謡べて    0 いない。したがって我々はζの節でSPのSCCとして

      一〇ユ の性質がニューロンモデル出力点列にどの程度保存され るかについて計算機シミュレーションによって調べる。    −02  ニューロンモデルにはSegundoらの用いたものと同

鼻       」、

「ザ

三  ・㎡    ぜ       〜   vノ

      0       1⑪      20      30      40      50

じタイプのものを用いた・図10はその糎図である・      一，j ＿，，1（1，5・）

用いたパラメータの値は次のようである。      ＿＿ρ｛1．1田       図 12

 出力スパイク列＿」．＿＿＿＿＿＿＿＿一」」一一一一一一一一一一一一一一」L−一一一

         ⊥      II

恥一 ^{g：亘ゴト：く二： す二二： ：}

，＿±＿＿一

≒一

@    ． 1＿＿．＿・一・一・一トー     輻0

1       一一一一一」．

1       

＼・ 丁  ・1       1

Pゴーr− ，」1 ／−11

⊥  A．＿．＿ll＿一＿．＿．＿．一・−1｛一・一

ii／貢・）ii／ゴ   ii    ∪5

 P・一 一 一† − 一…11亭ユ   11       1

入力ス／迂イク董

      一

11   −．＿．It．．一，．．＿．一・一・・一一・」・  ・

＿出力ヒストグラム

＿＿＿

?ﾍヒストグラム

        〜1 ・L     ．

        T。秒    0・ 、 2 3 4 5

図 10      図 13

（」＝1〜1000）について処理した結果である。図11は3   外はすべて負値をとり階数止の値が大きくなるにした つの標本SCC，      がってその絶対値は大きくなる。2）ρ（2，2）は正値をと

L翻一｛、。。講一⇒／㌦の篭綴隠芸驚真㍑ILめとほ

       （33）    Segudoらの用いたと同じ形のニューロンモデルに

㌦（r）一儲ヰ，一：…｝， （3・）≡語＝黙認し㌶：；繊

       ハ

       合にはρ冨（1，T）＝−0・2というかなり大きな負の相関

；・一誌。響1・エ     （35） を示した．つまり遅れ・でのSCC｛・関するかぎり入力

       SP点列の負の相関がモデルの出力点列の中にはっきり

（ここに緯刷モデノ㌍意味し『 ま入力§Pの 保存されることを確訊た．四ため搬系の単＿ニユ 平均点酬を鰍する）の・・（1の…（2的…（3・ 一。ンの出加．・イク列で酬関槻られるものにつc、

T）のrに対する変化の様子を上部に示す。下部は入

       ては一応入力スパイク列の皿ね合せの影響も考慮に入れ

出力点個数比         てみる躍があると思われる。

畑一 s麟   （36）   参考文献

のTに対する変化を示す。図12はT＝50m秒での    1）M・Ten Hoopen and H・A・Reuver，4The su一 入・出力SCC．；。（ノ，5・）と；（口5）（」一・〜5・）であ  ・r・p。・iti。・。f・a・d。m・・q…ce・・f・v・n・・ ・

り・図・3はその場合の入出力点醐の・ストグラムで 、）B1；1皿蕊！認蕊th謬4ぷ3惣．

ある・点線は入力であり実線は出力のヒストグラムであ    Wiley＆Soロs Ine， New York（1％1）

る。なお図13の横軸はそ・れそれ平均点間隔71＝50m    3） 矢円，磯 再生過程の重ね合わせとハザード関数 秒または∴ニR（T）・Tで規格化されている。これらの     九工大研究報告（1970）餌21号・P・115−121・

図からわかる様1・ニー・ンをSPが適過すると・・）4）

B1；ir二゜：，1∴：∴。㌃，；丁蒜lt 葦ic欝 ヒストグラムのパ eンは指齢布1 近い形カゴら醐布  S・・tti・W・・d・， B・ll・・・…＆C・・L・d、 L・nd・・

状に移行する。2）ρ∬（1，T）はT≦1000 m秒では全体     aロd Col。hEster．

的に鮪を胸；。（2，T）は正である．とく｛・丁一50皿 5）｝L Na≒ahamaぷIshii and EエY・r・…t・・

ごで興質が蹴現われる・3）榊列では ；：蕊蒜：瓢1謡㍑蒜u㌶霊

P（2・ユ0）1ρ（3・10）などが負値であったのに触（2・50），     exp． Med．，1971，104， P．373−409．

臼（3，50）は正または0である。の1伽（L50）1＞iρ   6）中浜，山本，研．佐藻 神経細胞活動のマルコフ性

（1，コ0）1である。      bit V・L 5 N・・11・1973・P・1227−1235

      7）J．P． Segundo， D． H． Perbel， H． Wyman， H．

 などの特徴を見いだすことができる・このことほ・あ    Hegstad， and G． P， Moore・Inbut．0ロtput Re一 るいは」二で述べたようなある種の中枢内神経スパイク列     lations in Computer−simulated Nerve cells に見られる負相関は，それ自身が神経系の情報伝達の1     1＜yhemetik・Band IV・Heft 5・1968・15アー171・

つのキャリアとしての役割を果しているのでなくて．ス

パイク列の亜ね合わせの機柵を経ると必然的に現われる    く付録1＞

鞭であるといえるかも鰍ない・     図14において

5．むすび      

       い ・個のRP・こよるSPで遅れユおよ酬・2のSCC  −∫綱｛・・〉エσ1・・〉γ1周班（1）〃

の鵬式を導くことができた・その例としてRPの点間   ゜      （36）

隔分布が特殊アーラン分布の掲合について数値計算を行

ない，また初RPの標本点列を計算機シミユレーシ． （ここ忙Lは聴の酬f・で酬される剛駒長

・により発生し隅本SCCを勅て麟式が嗣て妥 さを劾す聯鐡である・五のは上嚇軸度酬

当なものであることが鍵できた．と剛にSPの性質 である）このとき点｛胴肋酬齪1蝋五のとの

      ， P，。b（1ゾf力〉工， σ］」ハ〉γL＝」）

、r−・L．    」一（エ十y）（x＋γ≦力

      0     （0〈」≦x十y

トu亨1＝曙」一、 であるから（37エ（38）式を（36）竺代入すると

一．

D 図14   r（σfJ）＞x，σ』」｝〉γ）一乱三・のゴ1（39）

      ロ

．、

ﾜの一饗   ㈹ （ただし晃（∫）−L丘（⇒

また      ． 一        を得る。