全学ゼミナール「じっくり学ぶ数学」
レポート問題
(その１２
)問1. 3行 3 列の行列
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
の余因子を,それぞれ, A˜11 =
¯¯¯¯
¯¯¯
1 0 0
0 a22 a23 0 a32 a33
¯¯¯¯
¯¯¯
, A˜12=
¯¯¯¯
¯¯¯
0 1 0 a21 0 a23 a31 0 a33
¯¯¯¯
¯¯¯
, A˜13 =
¯¯¯¯
¯¯¯
0 0 1
a21 a22 0 a31 a32 0
¯¯¯¯
¯¯¯ ,
A˜21 =
¯¯¯¯
¯¯¯
0 a12 a13
1 0 0
0 a32 a33
¯¯¯¯
¯¯¯
, A˜22=
¯¯¯¯
¯¯¯
a11 0 a13 0 1 0 a31 0 a33
¯¯¯¯
¯¯¯
, A˜23 =
¯¯¯¯
¯¯¯
a11 a12 0
0 0 1
a31 a32 0
¯¯¯¯
¯¯¯ ,
A˜31=
¯¯¯¯
¯¯¯
0 a12 a13 0 a22 a23
1 0 0
¯¯¯¯
¯¯¯
, A˜32=
¯¯¯¯
¯¯¯
a11 0 a13 a21 0 a23
0 1 0
¯¯¯¯
¯¯¯
, A˜33 =
¯¯¯¯
¯¯¯
a11 a12 0 a21 a22 0
0 0 1
¯¯¯¯
¯¯¯ と表わすことにする. このとき, 次の問に答えよ.
(1) 行列A の行列式|A|の「2行目に関する展開公式」を, 余因子A˜ij たちを用 いて表わせ.
(2) 行列A の行列式|A|の「3列目に関する展開公式」を, 余因子A˜ij たちを用 いて表わせ.
問2. 3 行 3列の行列
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
の余因子行列
A˜=
A˜11 A˜21 A˜31 A˜12 A˜22 A˜32 A˜13 A˜23 A˜33
の行ベクトルを, それぞれ,
˜ a1 =
(A˜11 A˜21 A˜31
) ,
˜ a2 =
(A˜12 A˜22 A˜32 )
, a˜3 =
(A˜13 A˜23 A˜33 )
1
と表わす. このとき, 次の問に答えよ.
(1) R3 の勝手なベクトル
x=
x y z
∈R3
に対して,
˜
a1x=¯¯¯x a2 a3 ¯¯¯,
˜
a2x=¯¯¯ a1 x a3 ¯¯¯,
˜
a3x=¯¯¯ a1 a2 x¯¯¯
となることを示せ. ただし,行列 A の列ベクトルを, それぞれ,
a1 =
a11
a21 a31
, a2 =
a12
a22 a32
, a1 =
a13
a23 a33
∈R3
と表わした.
(2) b∈R3 として,u ∈R3 に対する
Au=b
という連立一次方程式を考える. このとき,「Cramerの公式」と (1) の結果 を用いることで, detA6= 0 のとき, 上の連立一次方程式の解は,
u= 1
|A| ·
¯¯¯ b a2 a3 ¯¯¯
¯¯¯ a1 b a3 ¯¯¯
¯¯¯ a1 a2 b ¯¯¯
∈R3
と表わせることを示せ.
2
