相対不連続変位を付加 自由度と した修正X‑FEM解 A modified
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(2) こ こ で ▽ は ナ ブ ラ演 算 子,σ. はCauchyの. ル,uは. そ れ ぞ れ 境 界 お よ び き裂. 変 位,n,nc+,nc‑は. 面r、+,r♂. 応 力テ ン ソ. の 外 向 き 法 線 ベ ク トル を 表 して い る.(・). は テ ン ソル とベ ク トル の 内積 を 示 して い る.ま き の(‑)は. た上付. 既 知 量 で あ る こ と を 示 す.. ひ ず み は 変 位 よ り以 下 の よ うに 示 され る.. (4) εはひず み テ ン ソル を表 し,(×)はテ ン ソル 積 であ る. 上 式 の右 肩 のsは 対 称成 分 で あ る こ とを表 す.. 図‑ 1物. 応 力 とひ ず み を関係 付 け る構 成 関 係 は次 の よ うな Hookeの法 則 に従 うものとす る. 体の領域と境界. (5) こ こでCは 弾 性構成 テ ン ソル で,(:)は4階 ル と2階 のテ ン ソル の内積 を示 す.. のテ ン ソ. 2.2.弱 形 式 化 式(2)を弱形 式化 す るた め次 の よ うなГc上 で不連 続 とな る試 験 関数 ηを考 え る.. 図‑2き. 裂部分の領域 と境界. (6). す る.また議 論 を簡 単 にす るた め,運動 は静的 で あ り, 物 体力 も無 い もの とす る.更 に,き 裂表 面 は 自由表 面 で あ り,き 裂 面 間 に結 合 力や 摩擦 な どの表 面 力 は生 じ. この試 験 関数 を式(2)の両 辺 に掛 け,物 体 の領 域 Ω全体 で積 分 しGaussの. 発 散 定理 を用 い る と次式 とな る.. ない もの とす る.. (7) 2.1.支 配 方 程 式 と境 界 条 件 1に 示す よ うな物 体図‑ Ωを考 える.き 裂 とそ の先 端 に お け る接 線 を延 長 した線(図‑1中. の破 線)に よっ. 更 に,境. 界 条 件(3),式(4),式(5),お. よ び σ と εの 対. 称性 を 考 慮 し て 変 形 す る と,. て分 割 され る2つ の領 域 を,それ ぞれ Ω+,Ω‑とす る. 1に は,Ω+を 灰 色 で塗 りつぶ して示 す.rで. 物 図‑ 体. の全 境界 を表 し,変 位 が既 知で あ るru,表 面力 が既 知 で あ るrt,き. (8). 裂 の 面Гcを 合 わせ た もの で あ る.. (1) き裂 面r、 は,図‑2に. 示 す よ うに,Ω+側. 側 の 面Гc‑か ら な る.そ して,釣. とな る.. の 面rГ+と Ω. り合 い 方 程 式 と境 界 ‑. 2.3.不 連 続 変 位 の 離 散 化 この節 では有 限要 素 法 に適用 す るため,式(8)の 離散. 条 件 は 以 下 の とお り で あ る.. 化 を行 う.一 般 に,有 限要 素法 で は連 続節 点 変位dを. (2). 未 知量 と して計 算 を行 うが,本 解 析 では き裂 面で の変 位 の不連 続 性を表す た め に,付 加 的 な 自由度 と して き. (3). 裂 面 と要素 辺 の交点 で の相対 不 連続 変位eと,き. 裂を. 含 む要 素 の Ω+側の節 点 の不 連続 変位成 分d+,を. 連続. 節 点変位 とともに用 い る.以 下,こ れ らの付 加 的 な 自 由度 をそれ ぞれ,き 裂 面不 連続 量e,節. ―118―. 点 不連続 量d+.
(3) (12) こ こで. はそれ ぞ れ[N],. の各成 分 をx,yで 微 分 した行 列 で あ る. 試 験 関 数 η に 関 し て も 同 様 に 離 散 化 を 行 う と,式 (12)中 のd,e,d+に 対 応 す る未 知 量 α,β,γ を用 い て,. (13) ま た,▽()η. も,次. 式 の よ うに 表 せ る.. (14) この試 験 関数 にお い て も,変 位 と同 じく第2,3項 はき. 図‑3付 加的な自由度を持つ点 と呼 ぶ.こ れ らの付 加 項 を加 え る点 は図‑3の. 裂 が存 在 す る要 素 にの み付 加 され る. 各 要 素 ご とに式(12),式(14)を 式(8)に代 入 す る と次 通 りで. 式 を得 る.. あ る.要 素 ⑤ 内の き裂 先端 点 で は,き 裂 が閉 じて い る こ とを保 証 す るた め,き 裂面 不連 続 量eを 付加 しな い. 同様 の理 由に よ り,△ で示 され る点 にお いて も節 点不. (15). 連 続 量d+は 付 加 され な い. 節 点変 位d,き. 裂 面 不連 続 量e,節. 用 いて き裂 面Гcで 変位uが. 点 不連続 量d+を. 不連 続 とな るよ うに離散. 化 す る変 位uは 次 式 の よ うに表 せ る.. こ こで左 辺 の行 列 の項 は それ ぞれ. (9). ただ し,第2,3項. は き裂 が存 在す る要素 に(図‑3中,(1). ,(2),(5)要 素)のみ付 加 され る.こ こで[N]は 節 点 変 位dに 対 す る形 状 関数 行 列,{d}は 節 点 変位 ベ ク トル, {e}はき裂 面不 連続 量 ベ ク トル,{d+}は 節 点 不連 続 量ベ ク トル[Nec]ほ,き. (16). 裂 面 不連 続量{e}の形 状 関数 行列. [N+c]は節 点不連 続 量{d+}の形 状 関数行 列,H(x)は き裂 面に よ り分割 され た Ω+,Ω‑に 対 して以 下 の よ うな値 を持 つ 階段 関数 で あ る.. (10) ここで Ωeは各 要 素 の領 域 を表 す.ま た 右 辺 は 式(9)を指標 を用 いて 表 す と,次 式 の よ うに表せ る.. (17). (11). ひ ず み も 式(9)を 微 分 して,次. 式 の よ うに 表 せ る.. (Гt)eは各 要 素 の 表 面 力 境 界rtを. ―119―. 示 して い る..
(4) 3.X‑FEMとMX‑FEMの. 比 較. この章 で は,簡 単 な例 に よ りX‑FEMとMX‑FEM の 近似方 法 の違 いに つ いて議 論す る.X‑FEMの 化 の詳細 は,Belytschkoら4)の きた い.. 定式. 報告 を参照 してい た だ 図‑ 5MX‑FEMで. 付加 され る未 知 量. 3.1.近 似 方 法 4に 示図‑ す 長 さL,左 がLの2節. 端 か ら不連 続 点 まで の長 さ. 点1次 元要 素 を考 え る.式(10)で 区別 され. る領 域 は,不 連続 点よ り右側 を Ω+,左側 を Ω‑とす る. ここで は,節 点1か らx軸 を要素 の軸 と同方 向 に とる. 図 中の変 数d1,d2の 位 置 は,そ の変 数 が属 す る節 点 を 表 してい る.ま た,塗 りつぶ され た三 角形 は節 点1の 形 状 関数N、 の値 の分布 を示 す.形 状 関数N2の 分 布 は, Nlの 三角 形 の 向 きを反 対 に した もの で ある.図‑5,6 は,そ れ ぞれMX‑FEM,X‑FEMで. 図‑ 6X‑FEMで. 付 加 され る未 知 量. 変位 不連続 を表現. す るた め に付加 され る未知 量 とその値 を持 つ 点,そ の 値 に対す る形状 関数 を表 して い る.こ の時,節 点 変位 が与 え られ た とす る と形状 関数 に よ り要素 内 の変位u はそれ ぞ れ図‑7,8の. 太 線 の よ うに与 え られ る.こ れ. か ら明 らか な よ うに,X‑FEMで. はd1+は物理 的 な意 味. を 持 た ず,近 似 の た め の 量 で しか な い.し か し MX‑FEMで は不連 続 点 にお け る相対 変位 とい う意 味 づ けが な され る.こ こでき裂 面不 連続 量eをX‑FEM のd1+,d2+を 用 い て表 す と,. 図‑ 7MX‑FEMに. よ るuの. 補間. よ るuの. 補間. (18) となる.こ の様 な 自由度eを 導入 す る こ とは,き 裂 面 に生 じる結 合 力 が相 対変位 の 関数 とな る よ うな場 合 や, 圧縮 荷重 下 に ある き裂面 に摩 擦力 が生 じ接触 判 定が 必 要 とな る解 析 に おい て非 常 に有用 で あ る と考 え られ る. 3.2.付 加 未 知 量 次 に,2次 元4節 点4角 形 アイ ソパ ラメ トリック要 素 を用 いて付 加 され る未知 量 の数 の比 較 を行 う.直 線 き裂 が向 か い合 う2辺 を横 切 って 通過 す る要 素 で は X‑FEMで は一般 にそ の要 素 の全点 に2自 由度ず つ 付 加 され 全 体 と して8自. 由度 ほ ど増加 す る.MX‑FEM. で も Ω+側の節 点 に2自. 由度,き 裂 面 上 の点 に2自. 図‑ 8X‑FEMに. 由. 度 ず つ の8が 付加 自由度 とな る(図‑9参 照).. 図‑ 41次. 図‑9き. 元 モ デル. ―120―. 裂が通過する要素の付加項.
(5) 図‑10き. 裂先端を有する要素の付加項. 図‑12要 素 分割. 図‑11一. 様 引 張 りを受 け るき裂 を有 す る無 限 板. それ に対 し,き 裂 先 端 が在 る要 素 で は,X‑FEMは. 各. 点 に8自 由度ず つ の,全 体 で32自 由度が付 加 され る. MX‑FEMで は き裂 先 端 で は相 対 変位 が 生 じな い こ と か ら,2点. に のみ付 加 自由度2ず つ を加 え,全 体 と し. て増加 す る 自由度 を4に. 抑 える こ とが で きる(図‑10. 参 照).な お式(16)の数 値 積分 に関 して は付 録 で詳 述す る. この様 に 自由度 の低 下 と付 加 項 に物 理 的 な意 味 を. 図‑13σy分. 布. 持 たせ る こ とで,よ り直感 的 に分 か りや す く簡 便 な方 法 とな る.次 章 で は この 方法 の 精度 の比 較 を行 う.. 4.解. (19). 析 方 法 の検 証. こ の 章 で は,前. 章 で 展 開 した 式 に 基 づ き,有. 限要 素. 法 プ ロ グ ラ ム コー ドを作 成 し,理 論 解,X‑FEMの. 結. 図‑13に,き. 裂右 端 か ら右 側 の応 力 σyを理 論 値 とと. もに示 す.ガ ウス の積分 点 の値 で あ るた め,き 裂 延長. 果 と の 比 較 を 行 う.全 て解 析 は線 形 等 方 弾 性 体 の 平 面. 線 上 よ り少 し下の位 置 での値 であ る.両 手 法 とも,き. ひ ず み 状 態 とす る.体. 裂先 端付 近 で応 力 が増大 す る理論 解 の特 徴 を表 してい. ソ ン比vは0.3を. 用 い る.図‑11に. る 無 限 板 を 考 え る.角 r1,r2は. 積 弾 性係 数Eは7.OGPa,ポ 示 す,き. 度 θ,θ1,θ2お. そ れ ぞ れ き 裂 中 央,右. 端,左. 裂 を有す. よ び 長 さr, 端 で の 値,σyω. は 無 限 遠 点 で の 一 様 引 張 り応 力 で あ る.こ の σyの 理 論 解 はWbstergaardの. ア. るが,X‑FEMの. 値 は き裂先 端 に近 づ く と理 論 解 か ら. 大 き く値 が離 れて い る.こ れ よ り本MX‑FEM解. 析手. 法 が精 度 の向 上 も伴 って い る こ とが 分 か る.. の様 な 場 合. 応 力 関数 を使 用す る. こ とに よ り式(19)で 与 え られ る(7).数 値 解 析 は,図‑. 5.結. 論. 12の よ うな 要 素 分 割 に よ り,無 限 板 を 近 似 す る.き 裂 は 中 央 に 長 さ4で. 水 平 に 入 っ て い る.. 電算 機 の急 速 な発 達 と,土 木 へ の有 限要 素法 の普及. ―121―.
(6) に よ り,そ の解 析対象 も等 方 弾 性体 の よ うな比 較 的簡. 付録. 単 な もの か ら,非 等方 性や 弾 塑 性体,せ ん断帯 や不連 続 性な ど,よ り複 雑 な特性 を持つ ものへ の拡 張 もな さ. 数値 積 分 の方 法 X‑FEMで 不 連続 性 を有 す る要 素 を用 い る場 合,そ. れ て きた.そ の 中で,不 連続 性 を対象 とす る研究 で は,. の要 素 にお け る数値 積 分 は非 常 に重要 で あ る.例 えば. 要 素分割 的 な方 法 か ら,不 連続 な形 状 関数 を用 い る強. 4節 点 四角形 要 素でGaussの4点. 不連 続 解析 手 法 の使 用,X‑FEMな. 2つ の場 合 を考 え る(図‑14).. ど要 素の近 似性 能. 積 分 を用 い,以 下 の. の 向上 に よ る方 法 へ と移 っ て きた.そ して本研 究 で は, そ の 中のX‑FEMを. 修 正 しそ の比 較 と精度 の検 証 を行. った.以 下 に要 点 を列 挙 す る. 1.要. 素 に付加 され る 自由度 に相 対不連 続 変位eと い う物 理 的 な意 味 を持 たせ た.. 2.き. 裂先 端 を有 す る要 素 の付加 項 を変 え る こ とで, 大 幅 に未 知 数 の 数 を減 らす こ とが で きた.. 3.本. 論 文 の 例題 にお いて,き 裂右 端 か ら右側 の応 力 σyの 分 布 に 関 して,理 X‑FEMよ. りもMX‑FEMの. 図‑14積 分 と不連続 性の関係. 論解 との比 較 に よ り ほ うが よ り良 い近似. この数値 積分 を行 うと積 分 点が2つ ずつ に分 け られ る. 解 が 得 る こ とが 分 か っ た.. こ とか ら結 果 は同 じもの とな る.そ の た め本 解 析 では. 参考文献 1)T. Belytscheko, and T. Black: Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing, Int. J. Num. Meths. Engng, 45, pp.601-620, 1999. 2)N. Moes, J. Dolbow, and T. Belytschko: A finite element method for crack growth without remeshing, Int. J. Num. Meths. Engng, 46,. 以 下 の よ うな 手順 で,式(16)の 数 値積 分 を行 っ た. 1.. 形 ア イ ソパ ラメ トリ ック要 素 とみ な したGauss 積 分 点 を決 め る. 2.. 上 記 の積 分 点 の全 体 座標 を(x,y)を求 る. 3.2. で 求 めた座 標 の,分 割 前 の 要素 にお けるGauss. pp.131-150, 1999. 3)J. C.Simo: On the variational foundations of assumed strain methods, J. Appl. Mech. 53 , pp.51-54, 1986. 4)Oliver ,J.: Modeling strong discontinuities in solid mechanics via strain softening constitutive equations. Part 2: Numerical simulation, Int. J. Num. Meths. Engng. 39, pp.3601-3623, 1996. 5)Ortiz M, Leroy Y, Needleman A: A finite element method for localized failure analysis, Comput. Meths. Appl. Mech. Engng. 61, pp.189-214, 1987. 6) M. Jirasek and T. Belytschko: Computational resolution of strong discontinuities, Proc. MCCM-V, Vienna, Austria, pp.7-12, 2002. 7)岡 村 弘 之: 線 形 破 壊 力 学 入 門, 培 風 館,. き裂 で分 割 され た 四辺形 領域 を新 たな4節 点4角. 点 の 正規 座 標 系 にお け る座 標(ξ,η)を 求 め る. 4.. そ の 点 で必 要 な値 を計 算 し数 値積 分 を行 う.. 5.. 分 割 され た他 方 の領 域 で も同様 の作 業 を行 う.. 上記 手順 を,図‑15に. 示 す.こ の様 に数値 積 分 を改 良. す る こ とに よ り,図‑14の. よ うな場 合で もそ れ ぞれ に. 対応 した積 分 値 を得 る こ とが 可 能 とな る.. 1976. 図‑15積. 分 領 域 の分 割 (2003年4月18日. ―122―. 受 付).
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