機械システム基礎実験 テーマ 2
熱力学理論の確認実験
第 1 章 概論
1.1 はじめに
熱力学は機械システム工学の核となる分野のひとつであり，エネルギーに関する問題に取り組むた めに必要不可欠な知識や考え方を提供するものである．人類がいかにエネルギーを有効に利用してい くかが地球温暖化問題解決の鍵であることからも，熱力学の重要性がわかるであろう．
熱力学では気体の状態変化について考えるが，「気体の状態変化」とはどういうことであろうか．
気体（例えば空気）に熱い状態や冷たい状態があるのは，日常生活の中で誰もが経験することであ る．つまり温度の高低で気体の状態を表わすことができ，温度の変化を状態変化と考えることができ る．また，気体には圧力が高い状態と低い状態がある．例えば，スプレー缶に充填されているガスは圧 力が大気よりも高いので，ボタンを押すと外に噴出してくる．さらに大気そのものにも高気圧や低気 圧というように圧力の高低がある．
このように，気体の温度と圧力が変わることが状態変化である．だが，変化するのは温度と圧力だ けではない．次の例を考えてみよう．
空のペットボトルのキャップを固く締めて，冷蔵庫に入れる．翌日になって冷蔵庫を開けると，ど うなっているだろうか．ペットボトルはつぶれているはずである．これはボトル内の空気の体積が小 さくなったことを意味している．つまり，温度が低下する過程で体積も減少したのである．
以上のことからわかるように，気体が状態変化するときは
・圧力 (pressure) 記号: P 単位: Pa ⇒ N/m2と同じ
・温度 (temperature) 記号: T 単位: K ⇒ 摂氏温度℃+273.15
・体積 (volume) 記号: V 単位: m3
の三つが変化する．厳密にはこれ以外にも変化する量はあるが，この三つが基本的な変数である．
気体がある状態 1（P1, V1, T1）から状態 2（P2, V2, T2）に変化したとする．このときこれら 3 種類の 変数が互いに無関係に変化していくことはあり得ない．これらの値の間に成り立つ関係が熱力学の理 論によって与えられている．ボイル･シャルルの法則や熱力学の第一法則がそれである．
今回は，体積Vを一定として，圧力と温度を変化させる実験を行う．こうした変化を等容変化，ま たは定積変化と呼ぶ．本実験では変化前後の気体の圧力と温度を測定して，ボイル･シャルルの法則が 成り立っているかどうかを検証する．また熱力学第一法則より気体が受け取った熱量を計算し，燃焼 熱量との比較から熱効率と熱量保存について考察する．
なお，理論と実測の間には必ず隔たりがあるものである．エンジニアは常にその隔たりの原因を追 究し，説明する責任を負っている．これを怠る者は工学に携わる資格が無いと心得よ．誤差解析を駆 使して理論と実験の差異を追及する訓練を行うことも本実験の大切な趣旨である．
1.2 ボイル･シャルルの法則
理想気体に関するボイル･シャルルの法則は，以下のように表現される．
2 2 2 1
1 1
T V P T
V
P （ただし変化の前後で質量が変化しないこと） (1.1)
言い換えれば，
T C
PV
（質量が一定ならばC は一定） (1.2) ということである．Cはどういう量かを考えてみよう．圧力と温度が一定のまま，質量を2倍にすれば体積は2倍になるか ら，Cは質量に正比例している示量性量であることがわかる．質量を記号m, 単位 [kg] で表わすとす れば
Rm
C （R は比例定数） (1.3)
ここで定数R は気体定数と呼ばれるものであり，空気の場合はR = 287.03 [J/(kg･K)]である．
式(1.2)，(1.3)より，以下の有名な状態方程式が導き出される．
mRT
PV (1.4)
つまり，ボイル･シャルルの法則と状態方程式は，まったく等価である．
ボイル･シャルルの法則は，理想気体について成り立つものである．一方，我々が扱う気体（例えば 空気）は実在気体であり，厳密には理想気体ではない．しかし，極めて高圧，または極めて低温でな い限り，実在気体でも理想気体として扱ってよいことがわかっている．本実験では圧力が最大でも5 気圧程度，温度は最低でも20℃であり，この条件を十分満たしている．
1.3 状態量と密度
圧力P，温度T，体積Vを熱力学の基本変数として考えているが，この三つの変数のうち体積Vは 他の二つと性質が異なる．
P，T：質量と無関係．気体を入れる容器の大きさとは関係がない．状態を純粋に表わす．
V ：質量に依存する．気体を入れる容器の大きさそのものを表わす．
熱力学では状態変化を考えるのであるから，P やT のように状態を純粋に表わす変数を使う方が望ま しい．ところが体積Vは気体を入れる容器の大きさであり，人間の都合で大きかったり小さかったり する．つまり体積Vは純粋な状態量ではない．そこで密度を以下の式で定義する．
V
m
(1.5)密度の次元は[kg/m3]であり，1 立方メートルあたりの気体の質量を表わしている．これは，質量や気 体を入れる容器の大きさには関係がない状態量である．密度を用いるとボイル･シャルルの法則(1.1) と理想気体の状態方程式(1.4)は以下の様に書き換えられる．
2 2
2 1 1
1
T P T P
(1.6)
(1.7)
1.4熱力学の第一法則
熱力学の第一法則は以下の式で表わされ，エネルギー保存の法則を意味している．
U W
Qin out (1.8)
ここにQinは気体が受け取る熱量，Woutは気体が外部に行う仕事，Uは気体の内部エネルギー変化量 である．下付き添え字のinやoutはエネルギーや仕事の向かう先を表わしており，inならば気体の内 部に向かってという意味，outならば気体から見て外部に向かって，という意味である．
この法則は，受け取ったエネルギーQinは，仕事に消費される分Woutと内部に貯めこまれるUとに 振り分けられるという当たり前の事実を表わしている．
Woutは気体が外部に行う仕事であるが，主語が気体であることに注意してほしい．逆に，外部から気 体の内部に対して行う仕事Winを定義すれば，
out
in W
W (1.9)
となる．式(1.8)と(1.9)よりWoutを消去してUについて整理すると
in
in W
Q U
(1.10)
となる．理想気体の内部エネルギー変化量Uは等容比熱cvを用いて T
mc U V
(1.11)
のように温度変化Tに比例する形で表わすことができる．よって，熱力学の第一法則は
in in
v T Q W
mc (1.12)
と表現される．式(1.12)より非常に重要な以下の事実がわかる．
なお，理想気体ではWinは
2
1
V
V
in PdV
W (1.13)
と与えられる．これよりわかるように体積変化V2 - V1 = 0であればWin = 0である．つまり，等容変化 の実験ではWin = 0であるから，気体の温度を上昇させるためにはQinを加える(1)の方法しかない．
気体の温度上昇Tを引き起こすためには以下の二つの方法がある．
(1) 外部から気体に熱量Qinを加える方法 (2) 外部から気体に仕事Winをする方法
1.5 単位の換算 (1) 摂氏温度と絶対温度
一般社会では，温度として通常は摂氏温度を用いる．これは単位[℃]で表わされ，水の融点が 0 ℃，
沸点が 100 ℃と定められている．しかし，熱力学の理論式を扱うときはこの摂氏温度ではなく絶対温 度（単位：[K]）を用いなければならない．摂氏温度t [℃]と絶対温度T [K]の間には以下の関係がある．
15 .
273
t
T (1.14)
1.6 単位の換算 (2) ゲージ圧力と絶対圧力
従来，分野毎に用いられる圧力の単位はまちまちであった．SI単位を基準とした統一化が進んでい るが，いまだ慣習的に多くの単位が使用されている．以下に本実験に関わる単位の換算法を示す．
1 [kgf/cm2] = 9.81×104 [Pa] = 98.1 [kPa]
1 [bar] = 105 [Pa] = 100 [kPa] = 1000 [hPa]
1 [mbar] = 1×10-3 [bar] = 100 [Pa] = 0.1 [kPa] = 1 [hPa]
※ 本実験では圧力の単位はすべてkPa（キロパスカル）にそろえること 絶対圧力とは，気体が実際に面を押している力を面積で割ったものに相当する．一方，ゲージ圧力 とは絶対圧力から大気圧P0を差し引いたものである．これらを明確に区別するために絶対圧力をPabs， ゲージ圧力はPgのようにそれぞれ下付き添え字を付すことがある．
圧力計により計測される圧力値はすべてゲージ圧力である．ところが熱力学の理論式中のPはすべ て絶対圧力である．したがって諸君は以下の式により，測定されたゲージ圧力を絶対圧力に変換しな ければならない．ゲージ圧に大気圧の和が絶対圧力になるが，その際に単位をそろえること．
P0
P
Pabs g (1.15)
※ 大気圧は時と場所により異なるため，実験当日に実験室における大気圧を必ず測定すること．
1.7 空気の物性値
本実験で扱う気体は空気であり，理想気体とみなす．もちろん空気は正確には理想気体ではないが，
本実験では圧力の値が最大でも350 [kPa]程度とそれほど高くないため，理想気体とみなしてよい．
以下に空気の物性値ならびにそれらに関連した式を示す．等圧比熱cpおよび等容比熱cvの値は比熱 比の式とマイヤーの関係式より求めることができる．
気体定数： R = 287.03 J/(kg･K) 比熱比： κ = cp / cv= 1.40 マイヤーの関係式： cp－cv = R
等圧比熱：cp = J/(kg･K)
等容比熱：cv = J/(kg･K) 各自計算しておくこと
課題を行う際には，ブタンとプロパンの燃焼熱の値が必要となる．図書館の文献やハンドブックで 以下の値を調べておくこと．また，その際は単位に注意せよ．kcal/mol などの単位で与えられている 資料もある．その場合は必ず単位を変換すること．
ブタンの燃焼熱：qb = J/g プロパンの燃焼熱：qp = J/g
1.8 マナー上の注意
・ 遅刻，欠席をした場合は即不可．ただし，医師の診断書など，客観的な証拠を示した場合にのみ正 当な理由のあるものと認め，救済措置をとることがある．
・ 指示された予習をしていない場合は実験を受けさせず，即不可とする．
・ 実験中または解説中に居眠りや私語をした者は即退室させる．
・ 未完成のレポートは即不可とする．何かが書いてあっても内容があまりに薄い場合は未完成とみ なす．
・ 本資料のコピーは即不可とする．また，他者のレポートをコピーした場合は両者共に即不可とする．
コピーか否かは教員の判断による．
・ 教員またはTAの指示に従わない場合は退室を命じる．
※ これ以外にも実社会で認められないことは，本実験でも一切認めない．
第 2 章 等容変化の実験
2.1 ボイルシャルルの法則
等容変化とは図 2.1 に示すように容積Vが一定に保たれたまま温度Tと圧力Pのみが変化するもの である．ボイル･シャルルの法則
2 2 2 1
1 1
T V P T
V
P
(2.1)に加えて，等容変化では容積一定，つまり体積一定の条件
2
1
V
V
(2.2)が成立する．これらの式よりV1とV2が消去できるので結果的に次式を得る．
2 2 1 1
T P T
P
(2.3)この(2.3)式が等容変化の式である．本実験では容積一定の圧力容器内に常温空気を封じ込め，これを ガスバーナーで熱することで等容変化を生じさせる．このとき
変化前の温度 T
1と圧力 P
1，変化後の温度 T
2と圧力 P
2を測定し，実際に式(2.3)が成り立つかどうかを検証する．
図 2.1 等容変化の概念図
2.2 熱力学の第一法則
次に，もう一つの普遍的法則である熱力学の第一法則について考える．
等容変化では体積変化量がゼロであるから，Win = 0である．つまり気体が外部に対して行う仕事はゼ ロであるから，熱力学の第一法則は式(1.12)より以下のように簡略化される．
in
v T Q
mc （ただし
T T
2 T
1） (2.4)本実験では容器内の気体の質量mならびに変化前後の温度 T1，T2が既知であるので，式(2.4)に代入 してQinを計算することができる．
熱
状態 1 （初期状態） 状態 2
p2 T2
圧力計
p1 T1
容積一定
気体分子 熱
温度計
2.3 実験装置と実験方法
図 2.2 に本実験概要を示す．容積300 [cc]の金属製容器内に常温の空気を封じ込め，これをガスバー ナーで熱することにより空気に等容変化を生じさせる．変化前後の圧力はゲージ圧力計で，また温度 は容器内に設置した熱電対ねつでんついによってそれぞれ測定する．圧力容器の壁面には 3 箇所に壁面温度測定用 の熱電対が貼り付けられているが，これらはガスバーナーで熱するときにできるだけ均一な温度とな るように努める必要があることより実験者の目安として設置されているものである．
また，電子天秤を用いて燃焼前後のガスバーナーの重量を測定する．
以下のデータは実験結果を処理する上で必要となる．当日のデータを忘れずに記録しておくこと．
ガスバーナー
（容器内ガス温度を表示） 温度計
（容器外壁温度を表示） 温度計
熱電対
（容器内ガス温度測定用）
45℃
ゲージ圧力計
止め弁 リリーフ弁
圧力容器 (300 cc)
(容器外壁温度測定用・3 ヶ所) 熱電対
図 2.2 等容変化の実験概要
U M L
L M U
月 日（ ） ： am/pm 大気圧P0 : mbar = kPa
（室温: ℃ = K）
2.4 取得するデータ
実験時に測定器から直接読み取るデータのことを“生なまデータ”と呼ぶことがある．この言葉はレポ ートや論文などの文書で使うのは不適切であり，あくまでも口頭で使う話し言葉であるが，ここでは 便宜上この言葉を使って説明を進める（諸君はこの言葉をレポート中で絶対に使用しないように！）． 本実験で測定する“生データ”の種類とそれらから導き出すデータを単位と共に以下に示す．
状態１ 摂氏温度 t1 = ℃ = 絶対温度 T1 = K ゲージ圧力P1,g = kgf/cm2 = kPa
⇒ 絶対圧力 P1,abs = P1,g + P0 = kPa 燃焼前のバーナー燃料の残量 m1 = g
状態2 摂氏温度 t2 = ℃ = 絶対温度 T2 = K ゲージ圧力P2,g = kgf/cm2 = kPa
⇒ 絶対圧力 P2,abs = P2,g + P0 = kPa 燃焼後のバーナー燃料の残量 m2 = g
⇒ 燃料消費量 mfuel = m1- m2 = g
※なお，上の記入欄はあくまでもメモである．
レポートには理路整然とデータ処理の流れを書き，
最終的なデータの表を必ず示すこと．
2.5 レポート課題
レポートには最低限以下の内容について記述すること．
2.5.1 ボイルシャルルの法則の成立についての検討
F1 = P1/T1，F2 = P2/T2とおく． F2はF1に近い値となるであろうが，完全に同じ値にはなっていない はずである．その差の大きさ|F1－F2|を計算してみよ．
次に，F2とF1に差が出た理由について定量的に考察する．F1 = P1/T1，F2 = P2/T2より
i i i i
i i i
i
P F T P
T P P
F
( / ) 1
(i = 1, 2) (2.5)
i i i
i i
i i i
i
T F T
P T
T P T
F
2
) /
( (i = 1, 2) (2.6)
となるので，誤差解析の式にこれらを代入して次式を得る．
i i i i
i i i
i i i i i
i
T
T F P P F T
T F P P F
F
(2.7)∴
i i i
i i
i
T T P
P F
F
(2.8)
ここで実験の状況，使用した測定器の分解能，精度から推定誤差ΔP1, ΔT1，ΔP2，ΔT2の値がどのく らいか大体の値を見積もって，それらを式(2.7)に代入して|ΔF1|と|ΔF2|のそれぞれを計算し，両者の和 をとってみよ．その値は先に求めた|F1－F2|の値と比較して大きいか，それとも小さいか．またそれ が意味するところを考察せよ．
2.5.2 熱力学第一法則とガスバーナーの熱効率についての検討
等容変化における熱力学の第一法則(2.4)より，実際に容積 300 [cc]の容器内の空気が受け取った熱 量Qinを計算してみよ．なお空気の質量mは状態1における状態方程式より以下のとおり計算できる．
（容積の単位に注意）
1 1 1
RT V
m P
(2.9)一方，ガスバーナーの燃料はブタン 60 %，プロパン 40 %の混合ガスであると仮定する．測定され た燃料消費量mfuel [g]より，燃焼したブタンガスの質量とプロパンガスの質量がそれぞれ計算できる．
各ガスの発熱量[J/g]にこれらの質量をかけて和をとれば，ガスバーナーの総発熱量 Qburn [J] が計算で きる．Qinは Qburnよりも小さい値になるはずである．どのくらい小さい値なのか．またなぜそのよう な値になるのか考察せよ．
2.6 レポートの構成
レポートは以下の章に分けて記述すること．
1. 実験目的 2. 理論 3. 実験方法 4. 実験結果 5. 考察 6. 結論 7. 参考文献
※ 各章の記述に本資料の丸写しをした者は即不可とする．
（但し，図2.2に限りコピーしたものを貼付してもよい）
レポート提出日（1回目） 月 日 時 （ ） レポート返却日（1回目） 月 日 時 （ ） レポート提出日（2回目） 月 日 時 （ ） 参考 レポート作成時の注意
・ 必要かつ充分な情報を記載すること．
レポートとは，実験実施者がその実験内容を知らない他者に報告するために作成する．そして，
それを読んだ者が完全に同じ実験を再現できるように作成されなければならない．そのために 必要な情報は全て書き，かつ余分な情報は書かないこと．
・ 「4. 実験結果」には，結果として得られた客観的データのみを記述すること．その結果に対す る実験者の判断や主観，計算による判定などは「5. 考察」に記述すること．
・ 「6. 結論」には，「1. 目的」に書いた目的が達成できたかどうかを必ず記述すること．
・ レポートは読者が見やすいよう細心の注意を払うこと．
見にくいレポートは読者の誤解・無理解を招いてしまう．読みやすい字，明解な文章，行間や 改行の挿入や文章構成の配慮もすること．また数値データ等は文章のみで表現するよりも表に まとめたほうが見やすく，数値の大小や傾向はグラフのほうが見やすいことが多い．適切な表 現方法を自分で見出すこと．
・ 途中計算を必ず書くこと．何の式を用いたかがわかるようにまず文字式を書き、次に各文字に 数値を当てはめた式を書き，最後に値を算出すること．
・ 最終的なデータを表でまとめること．
・ 提出前に必ず一度以上見直すこと．見直せばすぐ気づくようなミスを残したまま提出すること は許されない．
付録
本実験の温度測定は熱電対ねつでんつい（J型）による．熱電対とは，ゼーベック効果を利用することで温度差を 電位差として検出するセンサである．
A+
図 3.1 ゼーベック効果（左）とペルチェ効果（右）
T1
高
T2
低 B-
emt = E －ΔQ
吸熱
＋ΔQ 吸熱 B-
A+
図 3.2 各種熱電対の熱起電力の大きさ
Jは鉄 (＋) とコンスタンタン (－) による回路
（コンスタンタンは銅とNiの合金）
メモ
