色付き Jones 多項式と ADO 不変量

色付き Jones 多項式と ADO 不変量

森　祥仁

東北大学大学院　理学研究科　数学専攻

2022年12月22日

目次

概要

予備知識 量子群

枠付きタングルの不変量 不変量の性質

plumbedグラフと絡み目

主定理

概要

代数と絡み目不変量

量子群の表現を使うと枠付き絡み目の不変量を構成できる.

I Reshetikhin–Turaev + small quantum group −→ RT不 変量F.

I Geer–Patureau-Mirand–Turaev + unrolled quantum group −→ re-normalized不変量F⁰.

F,F⁰は色付きJones多項式, ADO不変量に対応する.

Costantino–Geer–Patureau-Mirand による F ^と F

の関係

「結び目」を一つ固定するとF⁰は有理型関数になる.

Costantino–Geer–Patureau-MirandはF⁰の留数がFで書ける ことを証明した.

なぜ「結び目」なのか

絡み目を固定するとF⁰は正則関数になり留数が消えるから.

主定理

plumbedグラフΓに対応する枠付き「絡み目」に対して以下

の等式が成立する.

Fr(Γ_f(r −1−x)) = (−1)^|E|+

P

v∈V≥2(dv−1)xv

r{1}

× X

ε∈{±1}^E

Y

e∈E

ε(e)

!

α→x(ε)lim

F⁰r(Γ_f(α)) Q

v∈V_≥2{rα_v}^dv−1

定理の読みかた

Fは正則関数F⁰の高次の項の線型和として書かれる. 結び 目のときは−1次の項にFが現れたが,絡み目では1次以上 の項に出る.

主定理を plumbed 絡み目に制限する理由

一般の絡み目への拡張は次の理由から難しい.

I そもそも計算が難しい.

I 計算できたとして, 得られた表示が比較に適しているか どうか怪しい.

例えば村上順先生によってWhitehead link, Borromean rings に対してF,F⁰が計算されているが両者の関係はまだわかっ ていない.

今回の状況に制限すれば次の特徴から計算・比較がなんと かできる.

I Hopf絡み目に対しては簡単に計算・比較できる.

I plumbed絡み目はHopf絡み目の連結和で書ける.

量子群

small quantum group

r ∈Z>0を固定し, q=exp(^π

√−1

r )とする.

small quantum groupとは以下の生成元と関係式で与えられ

るC上の代数である.

生成元

E,F,K^±1

関係式

KK⁻¹ = 1 =K⁻¹K, KEK⁻¹ =q²E, KFK⁻¹ =q⁻²F, [E,F] = K −K⁻¹

q−q⁻¹ , E^r =F^r = 0, K^2r = 1.

small quantum group の表現

各 n∈ {0, . . . ,r −1}に対して以下の基底と作用で定義され る表現S_nが存在する.

基底

{s_i}ⁿ_i=0

作用

Es_i = [i][n−i + 1]si−1, Fs_i =s_i+1, Ks_i =qⁿ⁻²ⁱs_i, Es₀ = 0 =Fs_n

ただし複素数zに対して[z] = ^q_q−q^z−q−1^−z,q^z =exp

π√

−1z r

.

注意

関係式K^2r = 1から, nは整数でなくてはならない.

unrolled quantum group

unrolled quantum groupとは以下の生成元と関係式で与えら れるC上の代数である.

生成元

E,F,H,K^±1

関係式

KK⁻¹ = 1 =K⁻¹K, KEK⁻¹ =q²E, KFK⁻¹ =q⁻²F, [E,F] = K −K⁻¹

q−q⁻¹ , E^r =F^r = 0, K^2r = 1, [H,K] = 0, [H,E] = 2E, [H,F] =−2F.

unrolled quantum group の表現

各α ∈Cに対して以下の基底と作用で定義される表現V_αが 存在する.

基底

{v_i}^r_i=0⁻¹

作用

Ev_i = [i][i −α]v_i−1, Fv_i =v_i+1, Hv_i = (α+r −1−2i)v_i, Ev₀ = 0 =Fvr−1, Kv_i =q^{α+r−1−2i}v_i.

注意

K^2r = 1が要請されていないのでパラメータが複素数まで拡 張されている.

不変量 F , F ⁰

枠付きタングルの不変量 F ^{の構成方法}

以下のように線型写像を割り当てる.

V idV: V →V

W V

c_V,W: V ⊗W →W ⊗V V

b_V: C→V ⊗V^∗

V

d_V: V^∗⊗V →C V

θV:V →V

枠付きタングルの不変量 F ^{の構成方法}

絡み目図式に従って各線型写像のテンソル積,合成をとる.

ℂ

ℂ

線形写像

線形写像

線形写像

線形写像

線形写像 Vi

V*

⊗ V

V*

⊗ V*

⊗ V

⊗ V

V*

⊗ V*

⊗ V

⊗ V

V*

⊗ V

⊗ V*

⊗ V

不変量の性質

F ^の性質と F

I L：表現で色付けられた絡み目,

I T_Li：V_iで色付けられた成分L_iで切り開いて得られる (1,1)タングル.

このときhT_Lii ∈Cが存在して

F(L) = qdim(Vi)hTLii.

問題点

qdim(V_α) = 0なので, unrolled quantum groupの表現を使 うとF(L) = 0.

Geer–Patureau-Mirand–Turaevはmodified quantum dimension dを導入してF⁰(L) =d(V_α)hT_Liiとすることでre-normalized 不変量F⁰を構成した.

関数としての F

絡み目L=L₁ ∪ · · · ∪L_nを固定し, U¯_q^Hsl₂の表現{V_αi}ⁿ_i=1を 動かせば複素変数の関数F⁰(L(α)) : (C rX_r)ⁿ→Cになる.

この関数について以下の特徴が知られている.

I F⁰(L(α))は次のように定義される.

F⁰(L(α)) =d(αi)hT_Li(αi)i I d: C rX_r →Cは次のように定義される.

d(α) = (−1)^r−1r(q^α−q^−α) (q^rα−q^−rα)

I F⁰(L(α)) = d(α_i)hT_Li(αi)i ∈ _qrαi−q^1−rαiC[q^±α1, . . . ,q^±αn]

F

にとっての結び目と絡み目の違い

結び目の場合, 切る場所が1箇所しかないから F⁰(K(α))∈ 1

q^rα−q^−rαC[q^±α] だが, 絡み目は切る場所が複数あるから

F⁰(L(α))∈ 1

q^rαi −q^−rαiC[q^±α1, . . . ,q^±αn]∩ 1

q^rαj −q^−rαjC[q^±α1, . . . ,q^±αn] となる. したがってF⁰(L(α))は全平面Cⁿに拡張可能となる.

plumbed 絡み目

plumbed グラフと絡み目の対応

I グラフの頂点は自明な結び目,

I 二つの頂点が辺で結ばれるとき, 対応する自明な結び目 たちはHopf絡み目のように絡む,

I 頂点の重みはフレーミング.

f_v1 f_v2 f_v3

f_v4

f_v1

f_v2 f_v3

f_v4

連結和

頂点での接着は頂点に対応する自明な結び目で連結和を取 ることに対応する.

V で色付けられた成分で絡み目L,L⁰の連結和をとる. この ときF,F⁰は次の関係式を満たす.

F(L#L⁰) = qdim(V)⁻¹F(L)F(L⁰), F⁰(L#L⁰) = d(V)⁻¹F⁰(L)F⁰(L⁰).

主定理

主定理

I Γ_f = (V,E,f)：基点を持つ重み付きplumbedグラフ, I d_v：v ∈V の次数,

I x ∈X_r^V = (Z rrZ)^V：固定, I α = (α_V)v∈V ∈C^V：変数, I x_v(ε) = Q

e∈Pv ε(e)

x_v, ただしε∈ {±1}^E, P_v：基点か らv に向かう道.

Fr(Γ_f(r −1−x)) = (−1)^|E|+

P

v∈V≥2(dv−1)xv

r{1}

× X

ε∈{±1}^E

Y

e∈E

ε(e)

!

α→x(ε)lim

F⁰r(Γ_f(α)) Q

v∈V_≥2{rαv}^dv−1

証明の方針

Step1

Hopf絡み目で証明する. f_v1 fv⁰

Step2

帰納法で一般の場合に証明 する.

fv1

f_v⁰ e⁰

証明（ Hopf 絡み目）

目標は以下の等式：

Fr (H_f(r −1−x)) = (−1)¹ r{1}

X

ε∈{±1}^{e}

ε(e) lim

α→x(ε)F⁰r(H_f(α))

Hopf絡み目に対するFの値は

Fr(H_f(r −1−x)) = framingの項(−1)¹

r{1} (−1)^r−1r{x_v1x_v⁰}.

{x_v1x_v⁰}= (q^xv1xv0 −q^−xv1xv0)と F⁰r(H_f(α, β)) = framingの項

(−1)^r−1rq^αβから右辺を得る.

証明（一般の plumbed グラフ）

連結和に対する不変量の性質と帰納法の仮定から Fr(Γ⁰_f(r −1−x)) = (−1)^r−1−xv1 {1}

{r −x_v1}

(−1)^|E|+

P

v∈V≥2(dv−1)x_v

r{1}

× X

ε∈{±1}^E

Y

e∈E

ε(e)

!

α→x(ε)lim

F⁰r(Γ_f(α)) Q

v∈V≥2{rα_v}^dv−1

×(−1) r{1}

X

εH(e⁰)∈{±1}

ε_H(e⁰) lim

αv1→xv1,α_v0→ε_H(e⁰)x_v0

F⁰r(H_0,fv0(α_v1, α_v⁰)).

符号ε, ε_HをΓ⁰に対する符号ε⁰でまとめて右辺を得る.