採点基準 数学 【共通事項】

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(1)

採点基準 数学

【共通事項】

1.約分の未了,根号内の整理不備は1点減点 2.分母の有理化の不備については減点なし 3.別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】(100点満点)

第1問(30点満点)

(1) (配点13点)

 点Pでの接線の方程式を求めて3点

 原点での接線の方程式を求めて2点

 点Qのx座標をtで表して2点

S1を求める定積分の式,および答えに6点 (2) (配点11点)

 点Rのx座標をtで表して4点

S2を求める定積分を含む式,およびS2の値に6点

2

1

S

S を求め,証明の結論を述べて1点 (3) (配点6点)

ll0が直交する条件を記述して2点

 相加平均・相乗平均を用いた証明に4点

第2問(35点満点)

(1) (配点12点)

n回の試行で,状態がどのように遷移するかを示して4点

 サイコロの目の偶奇の出方を記述して4点

 答えに4点 (2) (配点23点)

 題意を満たすときのn回目の試行直後の箱の状態を述べて4点

n回目の試行で2番の箱に2個の球がある状態が(1)の確率に一致することを述べて2点

n回目の試行で2番,3番の箱に1個ずつの球があるときの状態の遷移を示して4点

n回目の試行で2番,3番の箱に1個ずつの球があるときのサイコロの目の偶奇の出方を記述 して6点

n回目の試行で2番,3番の箱に1個ずつの球があるときの確率に6点

(2)

第3問(35点満点)

 問題文の等式をqr=(p+1 r)( -2)に変形して6点

rr-2の約数でないことを述べて6点

 上記の説明のもとp+1 = kr (kは自然数)のように表して4点

 上記の式においてk = 1またはk = qが必要であることを導いて4点

k = 1のときp = 2となることを理由と合わせて述べて4点

k = 1のときqが素数であることに矛盾することを導いて4点

k = qのときq = 2となることを理由と合わせて述べて4点

 答えに3点

(3)

【理系】(250点満点)

第1問(50点満点)

(1) (配点20点)

I2の値を求めて6点

Inに部分積分を適用して8点

 答えに6点 (2) (配点30点)

p{f(x)} dx2

p

ò

- において{f(x)}2を展開した形で表して6

psinmx dx = 0 (m: )

p

ò

- 正の奇数 を適用して6

I4,I6の値を求めて8点(各4点)

p{f(x)} dx2

p

ò

- aの関数とみて平方完成して6点

p{f(x)} dx2

p

ò

- を最小にするa b, の組と最小値に4点(各2点)

第2問(50点満点)

(1) (配点9点)

 題意の状況を説明または図などで示して6点

 答えに3点 (2) (配点17点)

 1度目の黒球が1回目に出るときの確率を求めて4点

 1度目の黒球の直前が赤球でないことを述べて3点

 1度目の黒球が2回目以降に出るときの確率を求めて7点

 答えに3点 (3) (配点24点)

 (1)(2)の結果が利用できることを述べて3点

 題意を満たす球の取り出し方で,(n - 1)回目に赤球,n回目に黒球を取り出すものがあるこ とを述べて3点

(n - 1)回目に赤球,n回目に黒球を取り出す場合での場合分け(1回目から(n - 2)回目までに 黒球を取り出すか取り出さないか)に4点

 上記の1回目から(n - 2)回目までに黒球を取り出さない場合の確率に4点

 上記の1回目から(n - 2)回目までに黒球を取り出す場合の確率に8点

(n - 1)回目に赤球,n回目に黒球を取り出す場合の確率に1点

 答えに1点

(4)

第3問(50点満点)

(1) (配点30点)

 点Pの座標を設定し,円Cの方程式を表して5点

 円C C

,

0の方程式からx2 +y2を消去した式を作って5点

 上記の式が直線であることを示して5点

 円C C

,

0の方程式を満たす実数の組(x y, )が存在する条件を点と直線の距離を用いて記述して 5点

 領域

2 2

9 5

p q

+ ≧1に点(±2,0)が含まれていないことの説明に5点

 答えに5点 (2) (配点20点)

Lの最小値を求めるのに,点Pが境界

2 2

x y

9 + 5 =1上にある場合を考えれば十分であることを 述べて4点

L2の式からy2を消去し,xの2次関数とみて平方完成を行って8点

4

k =3 の前後での場合分けができて4点

 答えに4点

第4問(50点満点)

(1) (配点23点)

 2つの曲線C1,C2の上下関係を調べて5点

S1 -S2を定積分の式で表して6点

 途中の計算と答えに12点 (2) (配点27点)

S1 -S2tの関数とみて微分して6点

 上記の微分した結果を符号が調べられる形に変形して5点

S1 -S2の増減を調べて5点

S1 -S2の最大値を与えるtを求めて5点

S1 -S2の最大値に6点

第5問(50点満点)

(1) (配点10点)

z1,z2を極形式で表し,さらにz1

+

z2を極形式で表して7点

 残りの議論に3点 (2) (配点40点)

a b, を極形式による設定に6点

(5)

+ = 2cos(k - l)n

{

cos(k + l)n + isin(k + l)n

}

p p p

a b のように極形式で表して4点

(a+b)n =

{

2cos(k-nl)p

}

ncos(k+l)pのような形で表して3

 上記の表記に対し,a+b

(*)

の解である必要条件として,

{

2cos(k-nl)p

}

n =1あるいは

( )

cos k l 1

n = ±2 p

- を記述して2点

 ( ) cos k l 1

n = 2 p

- と ( )

cos k l 1

n = 2

p

- - の場合分けに2点

 ( ) cos k l 1

n = 2 p

- のとき,

k + l k - l ,

がともに偶数であることを示して4点

 ( ) cos k l 1

n = 2 p

- を満たす(k - l)

n

pを一般解の形で表し,さらにnが6の倍数であることを示

して8点

 ( )

cos k l 1

n = -2 p

- を満たす(k - l)

n

pを一般解の形で表して4点

 上記の一般解の形からk - lが偶数,nが3の倍数であることを示して4点

 ( )

cos k l 1

n = -2 p

- の場合にもnが6の倍数であることの残りの議論に3点

Figure

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