採点基準数学【共通事項】

(1)

採点基準数学

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点２．分母の有理化の不備については減点なし３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（100点満点）

第1問（30点満点）

(1) (配点13点)

 点Pでの接線の方程式を求めて3点

 原点での接線の方程式を求めて2点

 点Qのx座標をtで表して2点

 S₁を求める定積分の式，および答えに6点 (2) (配点11点)

 点Rのx座標をtで表して4点

 S₂を求める定積分を含む式，およびS₂の値に6点

 ²

1

S

S を求め，証明の結論を述べて1点 (3) (配点6点)

 lとl₀が直交する条件を記述して2点

 相加平均・相乗平均を用いた証明に4点

(1) (配点12点)

 n回の試行で，状態がどのように遷移するかを示して4点

 サイコロの目の偶奇の出方を記述して4点

 答えに4点 (2) (配点23点)

 題意を満たすときのn回目の試行直後の箱の状態を述べて4点

 n回目の試行で2番の箱に2個の球がある状態が(1)の確率に一致することを述べて2点

 n回目の試行で2番，3番の箱に1個ずつの球があるときの状態の遷移を示して4点

 n回目の試行で2番，3番の箱に1個ずつの球があるときのサイコロの目の偶奇の出方を記述して6点

 n回目の試行で2番，3番の箱に1個ずつの球があるときの確率に6点

(2)

 問題文の等式をqr=(p+1 r)( -2)に変形して6点

 rがr-2の約数でないことを述べて6点

 上記の説明のもとp+1 = kr (kは自然数)のように表して4点

 上記の式においてk = 1またはk = qが必要であることを導いて4点

 k = 1のときp = 2となることを理由と合わせて述べて4点

 k = 1のときqが素数であることに矛盾することを導いて4点

 k = qのときq = 2となることを理由と合わせて述べて4点

 答えに3点

(3)

【理系】（250点満点）

(1) (配点20点)

 I₂の値を求めて6点

 I_nに部分積分を適用して8点

 答えに6点 (2) (配点30点)

 ^p{f(x)} dx²

p

ò

- ^において^{f(x)}²^{を展開した形で表して}⁶^点

 ^psin^mx dx = 0 (m: )

p

ò

- ^正の奇数 ^{を適用して}⁶^点

 I₄,I₆の値を求めて8点(各4点)

 ^p{f(x)} dx²

p

ò

- ^を^aの関数とみて平方完成して6点

 ^p{f(x)} dx²

p

ò

- ^{を最小にする}^{a b}^, ^{の組と最小値に}⁴^点(各²^点)

(1) (配点9点)

 題意の状況を説明または図などで示して6点

 答えに3点 (2) (配点17点)

 1度目の黒球が1回目に出るときの確率を求めて4点

 1度目の黒球の直前が赤球でないことを述べて3点

 1度目の黒球が2回目以降に出るときの確率を求めて7点

 答えに3点 (3) (配点24点)

 (1)(2)の結果が利用できることを述べて3点

 題意を満たす球の取り出し方で，(n - 1)回目に赤球，n回目に黒球を取り出すものがあることを述べて3点

 (n - 1)回目に赤球，n回目に黒球を取り出す場合での場合分け(1回目から(n - 2)回目までに黒球を取り出すか取り出さないか)に4点

 上記の1回目から(n - 2)回目までに黒球を取り出さない場合の確率に4点

 上記の1回目から(n - 2)回目までに黒球を取り出す場合の確率に8点

 (n - 1)回目に赤球，n回目に黒球を取り出す場合の確率に1点

 答えに1点

(4)

(1) (配点30点)

 点Pの座標を設定し，円Cの方程式を表して5点

 円C C

,

0の方程式からx² +y²を消去した式を作って5点

 上記の式が直線であることを示して5点

 円C C

,

0の方程式を満たす実数の組(x y, )が存在する条件を点と直線の距離を用いて記述して 5点

 領域

2 2

9 5

p q

+ ≧1に点(±2,0)が含まれていないことの説明に5点

 答えに5点 (2) (配点20点)

 Lの最小値を求めるのに，点Pが境界

2 2

x y

9 + 5 =1上にある場合を考えれば十分であることを述べて4点

 L²の式からy²を消去し，xの2次関数とみて平方完成を行って8点

 4

k =3 の前後での場合分けができて4点

 答えに4点

(1) (配点23点)

 2つの曲線C₁,C₂の上下関係を調べて5点

 S₁ -S₂を定積分の式で表して6点

 途中の計算と答えに12点 (2) (配点27点)

 S₁ -S₂をtの関数とみて微分して6点

 上記の微分した結果を符号が調べられる形に変形して5点

 S₁ -S₂の増減を調べて5点

 S₁ -S₂の最大値を与えるtを求めて5点

 S₁ -S₂の最大値に6点

(1) (配点10点)

 z₁,z₂を極形式で表し，さらにz₁

+

z₂を極形式で表して7点

 残りの議論に3点 (2) (配点40点)

 a b, を極形式による設定に6点

(5)

 ⁺ ^{= 2}^cos^{(k - l)}n

{

^cos^{(k + l)}n ^{+ i}^sin^{(k + l)}n

}

p p p

a b のように極形式で表して4点

 ⁽^a⁺^b⁾ⁿ ⁼

{

²^cos⁽^k^-_n^l⁾^p

}

ⁿ^cos(^k⁺^l⁾^p^{のような形で表して}³^点

 上記の表記に対し，a+bが

()*

の解である必要条件として，

{

²^cos⁽^k^-_n^l⁾^p

}

ⁿ ⁼^¹^あるいは

( )

cos k l 1

n = ±2 p

- を記述して2点

 ( ) cos k l 1

n = 2 p

- と ( )

cos k l 1

n = 2

p

- - の場合分けに2点

 ( ) cos k l 1

n = 2 p

- のとき，

k + l k - l ,

がともに偶数であることを示して4点

 ( ) cos k l 1

n = 2 p

- を満たす(k - l)

n

pを一般解の形で表し，さらにnが6の倍数であることを示

して8点

 ( )

cos k l 1

n = -2 p

- を満たす(k - l)

n

pを一般解の形で表して4点

 上記の一般解の形からk - lが偶数，nが3の倍数であることを示して4点

 ( )

cos k l 1

n = -2 p

- の場合にもnが6の倍数であることの残りの議論に3点

採点基準 数学 【共通事項】

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