f(A1∩A2)⊃f(A1)∩f(A2)が必ずしも成り立たないのは，∀y∈f(A1)∩f(A2) ならば，y∈f(A₁)からは∃x₁∈A₁s.t. y=f(x₁)が示せ，同様に，y∈f(A₂) からは∃x2 ∈A2 s.t. y =f(x2)が示せるが，x1 =x2が成り立つとは限らないことからである．写像が単射であれば，f(x1) = f(x2)であるのだから，x1 = x2が成り立ち，x1 = x2 ∈ A1∩A2 も成り立つ．したがって，

y=f(x1) =f(x2)∈f(A1∩A2)が示され，f(A1∩A2)⊃f(A1)∩f(A2)も成り立つ，このことから，単射であればf(A₁∩A₂) =f(A₁)∩f(A₂)も成立

することがわかる． □

(13)

2.2. 写像 13

2.2.2 全射，単射

• 1対1(単射): f(x) =f(x^′)ならば，x=x^′をみたす．

• 1対1(単射): ∀y∈f(V)について，f⁻¹({y})は1点

• 上への写像(全射): f(V) =W

問題 13 次の関数を全単射にする定義域，値域を定めてください．

sinx, cosx, tanx, e^x

解.

sinx: [−π 2,π

2]→[−1,1]

cosx: [0, π]→[−1,1]

tanx: (−π 2,π

2)→(−∞,∞) e^x:R→(0,∞)

これらには逆関数を考えることができて，それぞれ，arcsinx,arccosx,arctanx,logx

である． □

問題 14 次の集合の間の全単射を作ってください．

• [0,1]→[−2,2]，

• (0,1]→[−2,2)，

• (0,1]→[1,∞)，

• N→Q，

• N→Z，

• [0,1]→(0,1]，

• S²\{0} →R²

問題 15 f:X →Y が全単射ならば，その逆関数f⁻¹:Y →X も全単射であることを示してください．

(14)

集合V, W について，ある1to1，ontoな写像が存在するとき，#V = #W と定める．{1,2, . . . , n}と1to1，ontoな写像が存在するとき，その集合の元の数はn個である．Nと同じ元の数をもつ集合の元の個数は可算無限，[0,1]と同じ元の数をもつ集合を連続無限という．

全単射によって保たれる不変量が集合X の濃度#X である．このためには，集合の濃度が等しいということが同値関係をみたしていることを示さなければならない．

2.2.3 同値関係

a∼bが同値関係であるとは 1. a∼a

2. a∼b =⇒b∼a 3. a∼b, b∼c=⇒a∼c X上に同値関係があるとき，

{y∈X:y∼x} をxの同値類と呼ぶ．X =∪

λ∈ΛA_λ と同値類の和集合に表すことができる．

ここで

1. x, y∈A_λならば，x∼y

2. x∈Aλかつy∈Aµでλ̸=µならばx̸∼y

各Aλから1つ元xλ∈Aλをとりだすとき，それを代表元とよぶ．

問題 16 Rの上の同値関係をx∼yとはx−y∈Zと定めるとき，これが同値関係になることを示してください．また，各同値類から1つずつ代表元をとりだすとき，[0,1)が選べることを示してください．

集合の濃度が同値関係であることを示すには

1. #X = #Xは，X →Xとして，恒等写像をとればよい．

2. #X = #Y ならば#Y = #Xを示すには，f:X → Y が全単射ならば，f⁻¹が存在して，全単射であることを示せばよい

3. #X = #Y かつ#Y = #Zならば，#X = #Zであることを示すには，

f:X →Y，g:Y →Zが全単射ならば，合成写像g◦f:X →Zが全単射であることを示せばよい

(15)

2.2. 写像 15

2.2.4 濃度

集合Xの冪集合とはXの部分集合全体のことである．これを2^Xで表す．

2^X は，2^X の集合Aに対して，定義関数1_Aをかんがえることより．写像 X → {0,1}全体と等しい．

まず，もっとも簡単なNと2^Nが異なることを示そう．もし，∃f:N→2^N ならば，言い換えれば2^Nの元を並べることができたならば，

1 → x¹₁x¹₂· · · 2 → x²₁x²₂· · ·

... → ... とするとき，yⁱ₁yⁱ₂· · · を

yⁱ_j=











xⁱ_j ifi̸=j

1 i=j andxⁱ_j= 0 0 i=j andxⁱ_j= 1 とおく．そこで，新しい列を

y1y2· · ·=y₁¹y²₂· · ·

とおくと，この列はxⁱ₁xⁱ₂· · · とはi番目で異なるので，どのxⁱ₁xⁱ₂· · · とも等しくないが，仮定によれば，xⁱ₁xⁱ₂· · · 全体は0,1の無限列全体のはずだから矛盾である．この論法を対角線を選んだことからCantorの対角線論法とよぶ．

これをちょっと拡張すると，可算無限と連続無限が等しくないことが示せる．注意しなければならないことは[0,1]の元を2進展開して，小数点以下を書くとき，011111· · · と1000· · · は同じ点を表すことである，そこで，[0,1]

の点を10進展開することにする．上と同様に，[0,1]の元が並べられたとすると

1 → x¹₁x¹₂· · · 2 → x²₁x²₂· · ·

... → ...

i̸=jのときにはy_jⁱ =xⁱ_jとおいて，i=jのところでは，xⁱ_jおよび0でも9 でもない数を選ぶことで，y₁ⁱy₂ⁱ· · · を作り，再び，対角線をとることで

y₁¹y²₂· · ·

は，上の中に現れてこないことがわかり．矛盾である．

これを一般化すると

(16)

定理 2.1(Cantorの対角線論法) 集合Xの濃度は2^Xの濃度より小さい．

証明. 濃度が等しいとしよう．f:X →2^Xを全単射としよう．2^Xの元とはXの部分集合に対応するから，

Y ={x∈X:x̸∈f(x)}

とおくと，f(x) =Y となる元x∈Xは存在しない．もし，存在したとしたら，

1. x∈Y とする．x∈Y =f(x)となるので，Y の定義に矛盾する 2. x̸∈Y とする．x̸∈Y =f(x)だが，x̸∈f(x)ならば，x∈Y でなけれ

ばならず，矛盾である．

どっちにしろ，矛盾である． □

この定理により，無限に順序関係ができる，ℵ0で可算無限，ℵ1で連続無限，

一般に，ℵiの集合の部分集合全体の集合の元の数をℵi+1とすると，無限に無限大が大きくなる．

可算無限と連続無限の間に別の無限大があるか，という問題を思いつくが，

これには壮大な結論が待ち受けている．

ゲーデルの不完全性定理（G¨odel)とよばれるもので，クルト・ゲーデルが 1931年に発表したものだが，私の理解の範囲を越えている．ともあれ，上の問題，「可算無限と連続無限の間に別の無限大があるか」の答えは「どっちでもいい」ということらしい．

2.3 逆関数

f:X →Y が1 to 1かつontoならば，逆関数f⁻¹:Y →X が存在する．

問題 17 次のf: R → Rが逆写像をもつような定義域と値域を求めてください．

x², e^x, sinx, cosx, tanx 後ろの3つをarcsinx,arccosx,arctanxという．

問題 18

arcsinx+ arccosx=π 2 を示してください．

定理 2.2 X, Y ⊂Rが区間のとき，f が連続関数ならば，f は単調関数でなければならない．このとき，f⁻¹も連続関数になる．

(17)

2.3. 逆関数 17 証明. x1< x0< x2が存在して，[x₁, x0]で単調増加，[x₀, x2]で単調減少とする．f(x₁) =f(x₂)だと1 to 1ではないので，f(x₁)< f(x₂)とする．

任意のy ∈(f(x1), f(x2)について，中間値の定理より，x₁< z1< x0, x0<

z₂< x₂が存在して，f(z₁) =f(z₂) =yとなる．これは1 to 1に反する．

f⁻¹が不連続とする．yn →f(a)でf(yn)> a+εをみたすものが存在するとする．x_n =f(yn)とおくと，部分列を選んでxn →x0≥a+εとする．

f の連続性より，f(x0) =f(a)，これは1 to 1に反する． □

問題 19

f(x) = 2x³−3x²−12x+ 1 の逆関数の定義域と値域を定めてください．

解. (−∞,−1]，(−1,2]，(2,∞)を定義域，(−∞,8]，[−19,8)，(−19,∞) を値域にすれば全単射になるので逆関数を作れる． □

2.3.1 逆関数の微分

定理 2.3 f が微分可能でf^′(a)̸= 0ならば，b=f(a)で (f⁻¹)^′(b) = 1

f^′(a) = 1 f^′(f⁻¹(b))

証明. 雑な証明:f⁻¹(x) =yならば，x=f(y)なので，合成関数の微分より1 =f^′(y)_dx^dy

まともな証明:f は微分可能なので，∀ε >0について∃h0>0 s.t. |h| ≤h0

なら

f^′(a)−f(a+h)−f(a) h

< ε

そこで，b+η=f(a+h)とηを選ぶと，

f⁻¹(b+η)−f⁻¹(b)

η = a+h−a

f(a+h)−f(a) = 1 f^′(a) +θε

η→0ととると，証明終わり □

例 2.4 • arcsinx: [−1,1]→[−^π₂,^π₂]

• arccosx: [−1,1]→[0, π]

(18)

• arctanx: (−∞,∞)→(−^π₂,^π₂)

直角三角形ABC(Cを直角，AB= 1)を考えて，x=BCとすると，∠ABC=

arccosx，∠BAC= arcsinxなので

arcsinx+ arccosx=π 2 逆関数の微分

y= arcsinx⇒siny=x⇒cosydy

dx = 1⇒ dy

dx = 1

√1−x² y= arccosx⇒cosy=x⇒ −sinydy

dx = 1⇒ dy

dx =− 1

√1−x² y= arctanx⇒tanx=y⇒⇒ 1

cos²y dy

dx = 1⇒ dy dx = 1

1 +x² 例 2.5 e^x: (−∞,∞)→(0,∞)の逆関数はlogx: (0,∞)→(−∞,∞)なので

y= logx⇒e^y=x⇒e^ydy

dx = 1⇒ dy dx = 1

x

(19)

19

第 3 ^{章収束}

3.1 ^{収束の比較}

定理 3.1 1. a < bならば，^x^b

x^a →0 (x→ ∞) 2. a >1ならば，^x_a_x^b →0 (x→ ∞)

3. ^a_n!ⁿ →0 (n→ ∞) 4. a >0ならば，^log^x

x^a →0 (x→ ∞) 5. |r|<1ならば，lim_n_→∞n^krⁿ = 0 6. lim_x_→∞x^ke⁻^x= 0

証明.

1. _x^xa^b =x^b⁻^a 2. k > bととって

a^x=e^x^log^a =

∑∞ n=0

(xloga)ⁿ

n! ≥x^k(loga)^k k!

これより

x^b

a^x ≤x^b⁻^k k!

(loga)^k →0 (x→ ∞) 3. n₀> aととる．

a n

a

(n−1)· · · a n0

a

n0−1· · ·a

| {z 1}

有界

≤ ( a

n0

)n−n₀

×定数→0

4. x^a =e^uととる(u=alogx)．

logx x^a = u

ae^u →0 例:^log_nⁿ →0

(logx−x^a)^′= 1

x−x^a⁻¹=1−x^a x

(20)

は

x 0 · · · 1 · · ·

f^′ + 0 −

f −∞ ↗ −1 ↘ によっても示せる．

5. an=n^k|r|ⁿとおくと，

an+1

a_n =

(n+ 1 n

)k

|r| 十分大きなn₀が存在して，n≥n₀ならば，(_n+1

n

)k

|r|<√

|r|<1 となるので，n0以降は単調減少かつ下に有界(an≥0)．したがって，極限が存在する．a_n ≤C√

|r|ⁿをみたす定数Cが存在するので，極限は 0に等しい．

6. 上の5でx=n, r= 1/eで示せるが，

f(x) =x^ke⁻^x

とおくと，f^′(k) = 0なのでf(k)≤k^ke⁻^k．したがって 0< x^ke⁻^x=x^k+1e⁻^k1

x≤(k+ 1)^k+11 x により，x→ ∞で挟み撃ちで求めることもできる．

□

3.2 収束のオーダー

3.2.1 無限大における漸近挙動

f(n)に対して

nlim→∞

g(n) f(n)= 0

のとき，g(n)はf(n)のスモールオーダーであるといい，o(f(n))で表し，_f(n)^g(n) が有界にとどまるとき，ラージオーダーであるといい，O(f(n))で表す．

これをLandauの記法という．一般にはn^k などと比較することが多く，

O(n^k), o(n^k)などと書く．とくにO(1)であることは有界であること，o(1)であるとは0に収束することを意味する．

(21)

3.2. 収束のオーダー 21

3.2.2 無限小における漸近挙動

無限大と同様に，g(x)がO(x^k)であるとは，^g(x)_x_k がx→0のときに有界にとどまることを表し，o(x^k)であるとはlim_x_→₀^g(x)_x_k = 0であることを表す．

例 3.1 x以下の素数の数は π(x) =

∫ x 2

dt

logt +O(√ xlogx) であることが，リーマン予想が正しいければ導かれる．

(22)

第 4 ^{章微分}

4.1 ^定義

関数f のxにおける微分の定義は

f(x+h)−f(x) h

の極限が存在するときに，その値をf^′(x)とか _dx^df(x)と表すのです．f の微分が存在して連続ならC¹級，さらにf^′が微分できて連続ならばC²級などといいます．多変数の場合，他の変数を定数だと思って微分するのを偏微分と言います．例えば

∂f

∂x(x, y) = lim

h→0

f(x+h, y)−f(x, y) h

です．2変数ならば，^∂f_∂xと ^∂f_∂y が1回の偏微分，これらをさらに偏微分した

∂²f

∂x² = ∂

∂x

∂f

∂x

∂²f

∂x∂y = ∂

∂x

∂f

∂y

∂²f

∂y∂x = ∂

∂y

∂f

∂x

∂²f

∂²y = ∂

∂y

∂f

∂y

などを2回の偏微分と言います．k回の偏微分がすべて存在して連続なとき C^k級と言います．

定義なんか知らなくてもよいと思う人はいるでしょうが，実際の問題を考えるときには定義に基づいて考えるのです．

4.1.1 定義に基づく計算

(cosx)^′ = lim

h→0

cos(x+h)−cosx h

= lim

h→0−sin(x+h

2)sinh/2 h/2

= −sinx

(23)

4.1. 定義 23

(sinx)^′ = lim

h→0

sin(x+h)−sinx h

= lim

h→0cos(x+h

2)sinh/2 h/2

= cosx ここで

hlim→0

sinh h = 1 であることは

hcosh≤sinh≤h

から導かれる．左側は三角形の面積とtanhの比較，右側は弧度法の定義による．注意しなければいけないのは，πは単位円の外周の長さの半分と定義されていることです．このとき，上の左側の不等式を導くのに用いた「単位円の面積はπに等しい」ことは証明しなければいけないことです．これはアルキメデスにより紀元前に証明されました．これについてはπに関するノートを参照してください．

参考のために 三角関数の和積の公式

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb sin(a−b) = sinacosb−cosasinb これより

cosacosb = cos(a+b) + cos(a−b) 2

sinasinb = cos(a−b)−cos(a+b) 2

sinacosb = sin(a+b) + sin(a−b) 2

cosasinb = sin(a+b)−sin(a−b) 2

eの微分

(e^x)^′ =e^xlim

h→0

e^h−1 h =e^x であることの証明：

e= lim

n→∞

( 1 + 1

n )n

(24)

から

e^h= lim

n→∞

( 1 +h

n )n

したがって

e^h−1 = lim

n→∞

( _n

∑

k=0 nC_k

(h n

)k

−1 )

= lim

n→∞

∑n k=1

nCk

(h n

)k

= h+ lim

n→∞

∑n k=2

nCk

(h n

)k

より，右辺第2項が0(h)であることを示せばよい．

1 h

∑n k=2

nCk

(h n

)k =

∑n k=2

nCk

(h^k⁻¹ n^k

)

≤ |h|

∑n k=2

nCk

( 1 n^k

)

≤ |h|

∑n k=0

nC_k ( 1

n^k )

= |h| (

1 + 1 n

)n

≤ |h|e

4.1.2 懸垂曲線 (catenary)

天井からつり下げた紐の作る曲線で，アーチにも使われています．一見すると，放物線に見えますが，放物線ではありません．この曲線を導いてみましょう．微分の定義を用います．最下点からの長さsをパラメータにして考えてみます．パラメータがsからs+ ∆sの部分を考えましょう．紐の密度をρとすると，この部分にはρ∆gの下向きの力と，その部分の左端に接線にそっての張力，右端の接線にそっての張力の3つの力が働いていますが，これらは釣り合っているはずです．水平方向の力は，左端と右端の水平方向の力だけですから，これらは等しくなければなりません．これをTとしましょう．パラメータsのところの接線の傾きをθ(s)とおくと，左端では下向きに Ttanθ(s))の力，右端では上向きにTtanθ(s+ ∆)の力が働いています．これと重力がバランスがとれているのですから

Ttanθ(s+ ∆)−Ttanθ(s) =ρ∆g が成り立ちます．微分の定義にしたがえば，この式は

T d

dstanθ(s) =ρg

(25)

4.1. 定義 25 を得ます．この微分方程式は容易に解けてC= ^ρg_T とおくと

tanθ(s) =Cs または θ(s) = arctanCs

になります．s= 0のときに最下点としましたから，積分定数は0に等しいのです．

これを(x, y)で表してみましょう．最下点を(0,0)としましょう．

x(s) =

∫ s 0

cosθ(t)dt y(s) =

∫ s 0

sinθ(t)dt

tanθ(t) =Ctより変数変換すると，dθ=Ccos²θ dtなので，

x(s) =

∫ s 0

cosθ1 C

dθ cos²θ

= 1

C

∫ z(s) 0

dz

1−z² (z= sinθ)

= 1

2C(log(1 +z(s))−log(1−z(s))) ここで

z(s) = sin(θ(s)) =√

1−cos²θ(s)

=

√

1− 1

1 + tan²θ(s)

=

√

1− 1

1 +C²s²

= Cs

√1 +C²s² を代入して

x(s) = 1 2Clog

(

Cs+√

1 +C²s²

−Cs+√

1 +C²s² )

さらに，sinhy= ^e^y⁻₂^e^−y であるから x= sinh(log(x+√

1 +x²)) であるので

sinhCx(s) =Cs

(26)

を得ます．一方，

y(s) =

∫ θ 0

sinθ1 C

dθ cos²θ

= 1

C ( 1

cosθ −1 )

= 1

C (√

1 +C²s²−1 )

= 1

C(

√

1 + sinh²(Cx(s))−1)

= 1

C(cosh(Cx(s))−1) つまり，

y= 1

C(coshx−1) が懸垂曲線であることがわかりました．

e^xをテイラー展開すると coshx = e^x+e⁻^x

2

= 1

2(1 +x+x²

2 · · ·+ 1−x+x² 2 − · · ·)

= 1 + x² 2 +· · · であるから，

y= 1

C(1 +C²x²

2 +· · · −1) = C

2x²+· · · となり，放物線に近いことがわかります．

4.2 Newton 法

関数f(x)の解を近似する方法である．MathematicaではFindRoot[f,{x,x₀}] という命令として組み込まれている．初期値x0から出発し，徐々に解に近づく方法である．x₀におけるfの接線を考えると

y=f^′(x₀)(x−x₀) +f(x₀)

なので，そのx軸と交わる交点をx1とおく，この走査を続けて得た数列{xn}

の極限がf(x) = 0の解になるという方法である．実際，

xn+1=xn− f(xn) f^′(xn) をみたす．数列がx_∗に収束すれば

x_∗=x_∗− f(x_∗) f^′(x_∗)

(27)

4.3. eの存在 27 であるから，f(x_∗) = 0をみたすことになる(f^′(x_∗)̸= 0ならば)．作用素

T x=x− f(x) f^′(x)

が縮小写像であることをみれば，Tの不動点の存在を示すことができる．そのために

T^′x = 1−f^′(x)²−f(x)f^′′(x) f^′(x)²

= f(x)f^′′(x) f^′(x)²

であるので，f がC²関数であり，|f^′(x)|> δ >0ならば，十分にf(x)を小さくとれば，|T^′|<1になるので，縮小写像になることが示せる．

4.3 e の存在

「有界単調数列は収束する」を前提とする．

4.3.1 単調増加

( 1 + 1

n )n

=

∑n k=0

nC_k 1 n^k 一方

n+ 1−r

n+ 1 −n−r

n = r

n(n+ 1) >0 を用いると，縦の各項が右の方が大きいので

n+1Ck

1

(n+ 1)^k−nCk

1 n^k =

[(n+ 1)

(n+ 1)· · ·(n+ 1−k) (n+ 1) −n

n· · ·(n−k) n

] 1 k! >0 したがって

( 1 + 1

n+ 1 )n+1

− (

1 + 1 n

)n

=

∑n k=0

(

n+1C_k 1

(n+ 1)^k −nC_k 1 n^k

)

+ 1

(n+ 1)ⁿ⁺¹

≥ 0 これはJensenの不等式: 凸な関数fについて

∑n i=1

λ_if(x_i)≤f(

∑n i=1

λ_ix_i) (λ_i≥0,

∑n i=1

λ_i = 1) を，f(x) = logxとx1=· · ·=xn−1=a,xn=bに適用すると

√n

aⁿ⁻¹b≤ 1

n(a(n−1) +b)

(28)

を得る．一方で，示すべき式は ( n

n−1 )n−1

≤

(n+ 1 n

)n

であるから

(∗) = ( n²

n²−1 )n−1

n n+ 1

を考える．これにJensen（または相加相乗平均)を適用すれば n²

n²−1 + n n+ 1 =n であるから，

(∗)≤1 を得て，証明を終わる．

4.3.2 有界

nCk

1 n^k = n

n (n−1)

n · · ·(n−k+ 1) n

1 k! ≤ 1

k! ≤ 1 2^k⁻¹ したがって (

1 + 1 n

)n

≤1 +

∑n k=1

1 2^k⁻¹ = 3

途中をみると (

1 + 1 n

)n

≤

∑n k=0

1 k!

を用いているが，実は極限が一致して

∑∞ k=0

1 k! =e がe^xのテイラー展開から示される．

4.4 ^{テイラー展開}

e^x=

n∑−1 k=0

x^k k! +e^θx

n! xⁿ 収束半径は

a_n+1 an

= 1

n+ 1 →0 より，無限大

(29)

4.4. テイラー展開 29

4.4.1 ガウス

e^iθ = cosθ+isinθ cosx = 1−x²

2 +x⁴ 4! +· · · sinx = x−x³

3! +x⁵ 5! +· · · 剰余項は，|sinx|,|cosx| ≤1より

|Rn(x)| ≤ 1 n!|x|ⁿ したがって，収束半径は無限大

ちなみに

(sinx)⁽ⁿ⁾=











sinx n= 4k cosx n= 4k+ 1

−sinx n= 4k+ 2

−cosx n= 4k+ 3

(cosx)⁽ⁿ⁾











cosx n= 4k

−sinx n= 4k+ 1

−cosx n= 4k+ 2 sinx n= 4k+ 3 三角関数のテイラー展開は，高校で習う(sinx)^′ = cosxと(cosx)^′ =−sinx と平均値の定理からだけで導くことができます．面倒を避けるためにx >0 としましょう．まず，平均値の定理より，ある0< c < xが存在して，

sinx=xcosc をみたします．cosc≤1ですから，

sinx≤x が示せます．それを用いると，cos 0 = 1ですから

cosx = 1 +

∫ x 0

(cost)^′dt= 1−

∫ x 0

sint dt

≥ 1−

∫ x 0

t dt= 1−x² 2 さらに，

sinx =

∫ x 0

cost dt

≥

∫ x 0

(1−t² 2)dt

= x−x³ 3!

(30)

もっと，続けて

cosx = 1−

∫ x 0

sint dt

≤ 1−

∫ x 0

(t−t³ 3!)dt

= 1−x² 2 +x⁴

4!

を得ます．ここまでで

x−x³

3! ≤sinx≤x 1−x²

2 ≤cosx≤1−x² 2 +x⁴

4!

が得られます．これを繰り返せば三角関数のテイラー展開が得られるというわけです．それだけではなく，上と下からの評価を得ていることから，真の値の誤差も得ることができています．この評価はxが正の値であればどこでも成り立つことを示しました．そして，大小の評価の差は ^x_n!ⁿ ですから，これは0に収束します．すなわち，この無限級数は収束することがわかるので，

収束半径が無限大であることも導かれることになります．

4.4.2 双曲三角関数

cosx=e^ix+e⁻^ix

2 , sinx= e^ix−e⁻^ix 2i より

coshx=e^x+e⁻^x

2 , sinhx=e^x−e⁻^x

2 , tanhx= e^x−e⁻^x e^x+e⁻^x cosh²x−sinh²x= 1が成り立つ．

4.4.3 e は無理数である

証明. eを有理数e= ^p_qとする．e <3であり，かつ(1+¹₆)⁶= 2.52· · ·>⁵₂ であるのでq > eである．

e= 1 + 1 +1

2 +· · ·+ 1

q!+ e^θ

(q+ 1)! (0< θ <1) 両辺にq!をかけるとq!eは自然数になるので， ^e^θ

q+1も整数である．一方 0< e^θ

q+ 1 < e

q+ 1 < q q+ 1 <1

と矛盾する． □

目 次

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目 次

第 1 章 記号と論理

1.1 記号

1.2 論理

第 2 章 集合，写像

2.1 集合

2.2 写像

2.2.1 写像と集合

2.2.2 全射，単射

2.2.3 同値関係

2.2.4 濃度

2.3 逆関数

2.3.1 逆関数の微分

第 3 章 収束

3.1 収束の比較

3.2 収束のオーダー

3.2.1 無限大における漸近挙動

3.2.2 無限小における漸近挙動

第 4 章 微分

4.1 定義

4.1.1 定義に基づく計算

4.1.2 懸垂曲線 (catenary)

4.2 Newton 法

4.3 e の存在

4.3.1 単調増加

4.3.2 有界

4.4 テイラー展開

4.4.1 ガウス

4.4.2 双曲三角関数

4.4.3 e は無理数である

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目次目次

目 次 目 次 目 次

目次

目次

第 1 ^{章記号と論理}

1.1 ^記号

1.2 ^論理

第 2 ^{章集合，写像}

2.1 ^集合

第 3 ^{章収束}

3.1 ^{収束の比較}

第 4 ^{章微分}

4.1 ^定義

4.4 ^{テイラー展開}

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