Documenta Mathematica

(1)

Documenta Mathematica

Gegr¨ undet 1996 durch die Deutsche Mathematiker-Vereinigung

Decomposing the trefoil knot

into two linked twisted unknotted filaments by crossover collision, see page 695ff.

Band 5

_·

2000

(2)

Documenta Mathematica ver¨offentlicht Forschungsarbeiten aus allen ma- thematischen Gebieten und wird in traditioneller Weise referiert.

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http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta

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Title Page: Decomposing the trefoil knot into two linked twisted unknotted filaments by crossover collision, see page 695ff.

ISSN 1431-0635 (Print), ISSN 1431-0643 (Internet) SPARC

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Documenta Mathematica

Band 5, 2000

Atallah Affane

Formules de Repr´esentation Int´egrale

pour les Domaines de Cartan 1–13

Karl-Heinz Hoffmann, Victor N. Starovoitov Zur Bewegung einer Kugel

in einer z¨ahen Fl¨ussigkeit 15–21

A. Iliev and D. Markushevich

The Abel-Jacobi Map for a Cubic Threefold

and Periods of Fano Threefolds of Degree 14 23–47 N. Christopher Phillips

A Classification Theorem

for Nuclear Purely Infinite Simple C^∗-Algebras 49–114 Eva Maria Feichtner and G¨unter M. Ziegler

The Integral Cohomology Algebras of

Ordered Configuration Spaces of Spheres 115–139 Laurent Bonavero and Shigeharu Takayama

Some Boundedness Results for

Fano-Like Moishezon Manifolds 141–150

Jinya Nakamura

On the Milnor K-Groups of

Complete Discrete Valuation Fields 151–200

Elke Wilczok

New Uncertainty Principles

for the Continuous Gabor Transform

and the Continuous Wavelet Transform 201–226 Claudia Wulff

Transitions from Relative Equilibria

to Relative Periodic Orbits 227–274

Jens Lieberum The Number of

Independent Vassiliev Invariants in

the Homfly and Kauffman Polynomials 275–299 Heinz K¨onig

On the Inner Daniell-Stone

and Riesz Representation Theorems 301–315

(4)

Erez Lapid and Jonathan Rogawski

Stabilization of periods of Eisenstein series and

Bessel distributions on GL(3)relative to U(3) 317–350 Andrew Baker

In-Local Johnson-Wilson Spectra

and their Hopf Algebroids 351–364

Hans-Georg R¨uck and Ulrich Tipp

Heegner Points andL-Series of Automorphic

Cusp Forms of Drinfeld Type 365–444

J. F. Jardine

Motivic Symmetric Spectra 445–552

Ivan Kausz

A Modular Compactification

of the General Linear Group 553–594

Ralph J. Bremigan

Pseudok¨ahler Forms on Complex Lie Groups 595–612 Michael Brinkmeier

Strongly Homotopy-Commutative

Monoids Revisited 613–624

Robert Lauter, Bertrand Monthubert, Victor Nistor Pseudodifferential Analysis

on Continuous Family Groupoids 625–655

M. V. Bondarko

Local Leopoldt’s Problem

for Rings of Integers in Abelian p-Extensions

of Complete Discrete Valuation Fields 657–693 Bernold Fiedler and Rolf M. Mantel

Crossover Collision of Scroll Wave Filaments 695–731

iv

(5)

Documenta Math. 1

Formules de Repr´ esentation Int´ egrale pour les Domaines de Cartan

Atallah Affane

Received: May 31, 1999 Communicated by Joachim Cuntz

Abstract. For a bounded, symmetric and circled domain D in Cⁿ,considered as the unit ball of some Jordan triple system V, we give Koppelman-Leray and Cauchy-Leray formulas. These formulas supply us integral operators for solving the equation ∂u = f when f is a closed (0, q) form with coefficients inC⁰(D).These operators, constructed by the help of the generic norm of V, are invariant by some Lie subgroup in the group of biholomorphic transformations of D and the solutions obtained satisfy an estimation of growth at the boundary.

2000 Mathematics Subject Classification: 32M15, 32F20.

Keywords and Phrases: ∂-problem, bounded symmetric domains.

1. introduction.

Nous appellerons domaine de Cartan tout ouvert born´eDdeCⁿqui soit

• symétrique, c’est à dire que pour toutzdeD, il existe une transformation biholomorphe involutiveϕ∈Aut(D) dont zest un point fixe isolé.

• cerclé, c’est à dire qu’il contient l’origine et qu’il est stable par les transformations du type z−→eîtz, t∈R.

Un domaine de Cartan est dit irréductible s’il n’est pas produit de deux autres domaines. La classification de tels domaines fournit quatre classes dénombrables et deux domaines exceptionnels, le premier dansC¹⁶,le second dansC²⁷.Pour la classe des boules de Lie et le premier domaine exceptionnel, des formules de représentation intégrale ont été établies par Roos [7]. Plus tard, Hachaichi [2] a donné, pour la classe du disque généralisé, une formule permet- tant de résoudre le∂-problème avec une estimation de croissance au bord. Dans ce travail, nous mettons à profit une approche algébrique, approche développée dans [5] et qui consiste à considérer un domaine de CartanDcomme la boule unité d’un système triple de Jordan V (associé canoniquement) pour obtenir deux formules générales, la première du type Koppelman-Leray, la seconde du

(6)

2 Atallah Affane

type Cauchy-Leray. Ces formules, construites à l’aide de la norme générique de V, fournissent des opérateurs de résolution f −→T f du ∂-problème avec une donnée dansC⁰(D) et vérifiant des estimations de la forme:

sup

z∈D|T f(z)d(z, ∂D)^N|≤Csup

z∈D|f(z)|

oùdest la distance usuelle etN un entier positif fonction de la dimension, du rang et du genre deV. Il s’avère queTest invariant par un certain sous groupe de LieH du groupe des automorphismes deV, c’est à dire:

T(h^∗f) =h^∗(T f) ∀h∈H.

Lorsque D est irréductible, H n’est autre que le stabilisateur de l’ origine dansAut(D).Dans la seconde section, nous rappellons certains éléments de la théorie des systèmes triples de Jordan qui permettent d’une part de prouver que les domaines de Cartan sont à pseudo-bord, de l’autre de construire de manière naturelle des sections de Leray. Dans les sections suivantes, nous donnons les formules annoncées et comme tous les éléments intervenant dans leur élaboration sont invariants par le stabilisateur de l’origine dansAut(D), l’invariance des opérateurs de résolution sera assurée.

2. Les domaines de Cartan et les syst`emes triples de Jordan.

La r´ef´erence pour toutes les notions introduites dans cette section est [4], [5]

et [6]. Nous appellerons système triple de Jordan (en abrégéST J) un espace vectorielV de dimension finie surCmuni d’ un triple produit

V × V × V −→ V

x y z −→ { x y z }

C-bilinéaire et symétrique en (x, y),C-antilinéaire en z et vérifiant l’identité {xy{uvz}} − {uv{xyz}}={x{yuv}z} − {{uvx}yz}.

Dans la suite, nous utiliserons les notations suivantes:

{xyz}=D(x, y)z=Q(x, z)y; Q(x) = 1 2Q(x, x) B(x, y) = 1−D(x, y) +Q(x)Q(y)

et nous d´esignerons parAut(V) le groupe des isomorphismeshdeV tels que:

h({xyz}) ={h(x)h(y)h(z)} ∀x, y, z∈V.

Un sous-syst`eme deV est un sous espace-vectorielW tel que{W W W} ⊆W.

Un id´eal est un sous-espace vectoriel I tel que {IV V}+{V IV} ⊆I et nous

Documenta Mathematica 5 (2000) 1–13

(7)

Représentation Intégrale pour les Domaines de Cartan 3 dirons que V est simple s’il ne possède pas d’idéal propre, semi simple s’il est somme d’idéaux simples. UnST Jest dit hermitien positif (en abrégéST JHP) si la forme hermitienne hu|vi = trD(u, v) est définie positive. En fait, tout ST JHP est semi-simple. Pour tout ce qui suit, V désigne un ST JHP de dimensionneth.|.ison produit hermitien.

Un élémentedeV est dit tripotent siQ(e)e=e. Lorsque deux tripotentseet e⁰ vérifient l’une des propriétés équivalentes suivantes:

D(e, e⁰) = 0 ; D(e⁰, e) = 0 ; {eee⁰}= 0 ; {e⁰e⁰e}= 0

nous dirons qu’ils sont fortement orthogonaux. A tout tripotent ecorrespond une décomposition deV dite de Pierce. De fait,D(e, e) est un endomorphisme deV auto-adjoint pour la forme hermitienneh.|.i et ne peut admettre comme valeurs propres que 0, 1 et 2. D’où la décomposition orthogonale

V =V0⊕V1⊕V2

Vi(e) étant le sous espace propre associé à la valeur propre i. Chacun des Vi(e) est un sous système deV et on a la formule:

{V0V2V}={V2V0V}= 0.

(1)

Un tripotent e6= 0 est dit minimal si V2(e) = Ce. Un repère est une famille maximale {ei}î=1,...,r de tripotents minimaux fortement orthogonaux deux à deux. Comme deux repères sont conjugués par Aut(V), tous les repères ont même cardinal que nous appellerons rang deV et noteronsr. La hauteur d’un tripotent e sera par définition le rang du sous systèmeV2(e) qui est aussi le nombre d’éléments d’une décomposition deeen somme de tripotents minimaux fortement orthogonaux deux à deux. Voici maintenant trois résultats de la théorie desST J qui nous serons utiles.

Théorème2.1. Un élémentxde V s’écrit de manière unique x=λ¹e1+...+λ^ses

où{ei}î=1,...,sest une famille de tripotents fortement orthogonaux deux à deux et0≤λ¹<· · ·< λ^s des nombres réels. Cette écriture s’appelle décomposition spectrale de x. De plus, la fonction x −→| x |= λ^s est une norme que nous appellerons norme spectrale de V. La distance associée sera appellée distance spectrale et notée δ.

Théorème2.2. i) La boule unité pour la norme spectrale d’unST JHP est un domaine de Cartan, irréductible si et seulement siV est simple.

ii) Un domaine de Cartan est de manière canonique la boule unité d’unST JHP V. De plus,V est simple si et seulement si D est irréductible. Le stabilisateur de l’origine dans Aut(D)est alors exactementAut(V).

(8)

4 Atallah Affane

Pour tout tripotent e le sous-systèmeV0(e) est un ST JHP et nous noterons De sa boule unité ouverte pour la norme spectrale. Comme conséquence de l’unicité de la décomposition spectrale, les sous ensemblese+Desont disjoints deux à deux.

Th´eor`eme2.3. Soit pourj= 1, ..., r Mj l’ensemble des tripotents de hauteur j, Dj = {e+y; e∈Mj et y∈De},

pj : Dj −→ Mj l’application qui `a x ∈ Dj associe l’unique e ∈ Mj tel que x∈De.

Alors

-LesMj et lesDjsont des sous variétés analytiques réelles localement fermées de V et les pj :Dj −→Mj sont des fibrés analytiques localement triviaux. Les Mj sont compacts. La frontière∂D est la réunion des Dj.

-La codimension de Dj est la dimension complexe de V2(e), e ´etant un point quelconque deMj.

-Mr est la fronti`ere de Shilov deD.

-Aut(V)est un groupe de Lie compact op´erant sur chaque Dj.

Lemme 2.1. Posons D^j = Dj ∪...∪Dr pour j = 1, ..., r. Alors Dj est un ouvert dense deD^j.

Preuve:

i) Montrons queD^j+1 est fermé dansD^j.Soits > jet{xl}^l≥1une suite dans Dsconvergente versx∈D^j.PuisqueMsest compact, nous pouvons supposer quexl=yl+el où leselconvergent versedansMs,yl∈V0(el) et|yl|<1.A la limite, il vient x = y+e avec y ∈ V0(e) et | y |≤ 1. Si | y |< 1, alors x ∈Ds.Sinon, le théorème 2.1 appliqué ày comme élément du sous-système V0(e) donne y =λ¹ε1+...+λ^tεt+εt+1. Puisque εt+1 ∈ V0(e), on vérifie à l’aide de la formule (1) que e+ εt+1 est un tripotent et que V2(e) ⊆ V2(e+

εt+1); alorsx ∈Dτ, τ ≥s´etant la hauteur de e+εt+1.Ainsi, Dj est ouvert dansD^j.

ii) Soit s > j, x∈Dset λ¹ε1+· · ·+λ^tεt+εt+1sa d´ecomposition spectrale;

comme la hauteur deεt+1est aussi sa hauteur dans le sous-systèmeV2(εt+1),il possède une décompositionεt+1=σ1+· · ·+σsen tripotents minimaux fortement orthogonaux deux à deux choisis dansV2(εt+1).D’autre part, la formule (1) entraine que lesεi et les σjsont fortement orthogonaux deux à deux pour 1≤i≤tet 1≤j ≤s.Soitxl=λ¹ε1+· · ·+λ^tεt+αl(σj+1+· · ·+σs)+σ1+· · ·+ σj où 0< αl <et lim αl = 1.Par construction, xl ∈Dj et lim xl =x.Ceci prouve queD^j⊆Dj.

Ce lemme et le théorème 2.3 assurent que D est à pseudo-bord au sens de [8]

et que la formule de Stokes y est donc valable.

Dans tout ce qui suit,V sera identifié àCⁿpar le choix d’une base orthonormale pour le produit hermitienh.|.i.AlorsdetB(x, y) est un polynome holomorphe en x, antiholomorphe eny et relié au noyau de Bergmank(x, y) de D par la formule:

(9)

Repr´esentation Int´egrale pour les Domaines de Cartan 5

detB(x, y) = (volD)⁻¹k(x, y)⁻¹∀x∈D, ∀y∈D.

(2)

Rappellons aussi la formule de transformation:

k(x, y) =Jϕ(x)k(ϕ(x), ϕ(y))J ϕ(y) ∀ϕ∈Aut(D) (3)

(Ici Jϕ d´esigne le jacobien de ϕ et Jϕ son conjugu´e).

Une propriété particulière des domaines de Cartan est que:

k(0, z) =k(z,0) =k(0,0) ∀z∈D.

Par ailleurs, lorsqueV est simple, il existe un entier positifg et un polynome irr´eductibleN(x, y) tel que:

N(0,0) = 1 et detB(x, y) =N(x, y)^g.

N(x, y) s’appelle la norme générique etg le genre. Par construction, N(x, y) est holomorphe enx, antiholomorphe eny et vérifie:

N(x, y) =N(y, x) etN(x,0) =N(0, x) = 1 (4)

Si V = V1⊕...⊕Vm où chaque Vi est un idéal simple de norme générique Ni(xi, yi), nous poserons:

N((x1, ..., xm),(y1, ..., ym)) = Π

1≤i≤mNi(xi, yi), L(x, y) =N(x, y)N(y, x)−N(x, x)N(y, y).

Nous introduisons aussi le groupe de Lie:

Aut⁰(V) ={h= (h1, ..., hm); hi∈Aut(Vi)}.

Etant donné un repère{ei}î=1,...,retxj =a¹_je1+...+a^r_jerpourj = 1,2 nous avons la formule:

N(x1, x2) = (1−a¹₁a¹₂)...(1−a^r₁a^r₂).

(5)

Proposition 2.1. i)N(x, y)6= 0 ∀x∈D, ∀y∈D.

ii)N(y, y) = 0 ∀y∈∂D.

iii) ∀x∈D, ∀y∈D, L(x, y)≥0avec ´egalit´e si et seulement six=y.

(10)

6 Atallah Affane Preuve:

Il suffit de l’établir dans le cas où le systèmeV est simple.

i) On a d’apr`es la d´efinition deB(x, y), B(x,λy) =B(λx, y) pour toutλdans Rce qui donne:

N(x, λy) =N(λx, y)∀λ∈R, ∀x∈V, ∀y∈V.

(6)

Soit x ∈ D et y ∈ D; puisque D est une boule centr´ee en l’origine, il existe λ ∈ R, y⁰ ∈ D tels que λx ∈ D et y = λy⁰. Nous aurons donc N(x, y) = N(x, λy⁰) =N(λx, y⁰).Or d’apr`es (2),N(λx, y⁰)6= 0.

ii) C’est une application de la formule (5) en observant que l’un des facteurs du terme de droite est nul.

iii) Soit h., .ile produit hermitien usuel del²(N), {ϕp}^p∈N une base hilberti- enne de l’espace des fonctions holomorphes de carr´e int´egrables et Φ :D −→

l²(N) d´efinie par Φ(x) ={ϕp(x)}^p∈N.On sait que:

k(x, y) =hΦ(x),Φ(y)i ∀x∈D, ∀y∈D.

L’inégalité à établir n’est autre que celle de Cauchy-Schwartz et l’égalité n’a lieu que si Φ(x) et Φ(y) sont colinéaires, ce qui exigex=y.Enfin, pourx∈D ety∈∂D, d’après les points i) et ii), on aL(x, y)>0.

Lemme 2.2. On a l’in´egalit´e:

yinf∈D|N(x, y)|≥δ(x, ∂D)^r∀x∈D.

Preuve:

Soitx un point de D. Si x= 0,il suffit d’appliquer la formule (4). Soit donc x6= 0 et considérons surD×D la fonction Ψ(u, y) =N(|x|u, y)⁻¹.C’est une fonction holomorphe enu, antiholomorphe enyet continue surD×Dd’après le i) de la proposition 2.1. Pourufixé dansD,le principe du maximum donne un pointtdansMrtel que:

|Ψ(u, y)|≤|Ψ(u, t)| ∀y∈D.

Toujours, par le principe du maximum appliqu´e maintenant `a la fonction w−→Ψ(w, t),il existe un point s∈Mrtel que |Ψ(u, y)|≤|Ψ(s, t)|.Mais en combinant la formule (6) et le iii) de la proposition 2.1, on obtient:

|Ψ(s, t)|≤(N(|x|¹² s,|x|¹² s)N(|x|¹² t,|x|¹² t))⁻¹². Or, d’après la formule (5), le terme de droite de cette inégalité vaut (1− |x|)^−r.Pour conclure, il suffit de prendreu= x

|x| et de remarquer que D étant la boule unité, l’inégalité 1− |x|≥δ(x, ∂D) a lieu.

Nous adopterons la notation suivante:

(11)

(u, v) = X

1≤j≤n

u^jv^j ; hu|vi= (u, v) pouruetv dansCⁿ et µd´esignera la forme de Cauchy-Leray:

µ(u, v) = (n−1)!

(2iπ)ⁿ X

1≤j≤n

(−1)^j+1 u^j (u, v)ⁿ Λ

m6=jdu^m Λ

1≤k≤ndv^k d´efinie sur{(u, v)6= 0}.On sait queµest ferm´ee.

Nous terminerons cette section par le fait que toutes les notions qui y sont introduites¹ sont invariantes par le groupeAut⁰(V).

3. La formule de Koppelman-Leray.

Dans cette section, nous adaptons aux domaines de Cartan qui en général ne sont ni strictement pseudo-convexes, ni de classeC¹par morceaux la démarche de [3]. Le développement de Taylor du polynome holomorpheu−→N(u, t) au pointu=vs’écrit

N(u, t) =N(v, t) + (α(u, v, t),(v−u)) (7)

o`u

α^k(u, v, t) =− Z1 0

∂N

∂x^k(u+s(v−u), t)ds.

Les α^k(u, v, t) sont des polynomes holomorphes en (u, v) et antiholomorphes en t. Posons alors ω(z, ξ) = α(z, ξ, ξ); par construction et d’apr`es les points i) et ii) de la proposition 2.1, ω est une section de Leray pour le domaineD holomorphe enzc’est `a dire (ω(z, ξ), ξ−z)6= 0 pour toutz dansD etξ dans

∂D.On introduit la section de Bochner-Martinelliσ(z, ξ) =ξ−zet la section d’homotopie:

η(z, ξ, λ) = (1−λ) ω(z, ξ)

(ω(z, ξ), ξ−z)+λ σ(z, ξ) (σ(z, ξ), ξ−z)

d´efinie pour ξ 6=z, (ω(z, ξ), ξ−z)6= 0 et 0≤λ≤1.A l’aide de ces sections, on construit les formes diff´erentielles:

Ω = (n−1)!

(2iπ)ⁿ X

1≤j≤n

(−1)^j+1 ξ^j−z^j (σ(z, ξ), ξ−z)ⁿ Λ

m6=j(dξ^m−dz^m) Λ

1≤k≤ndξ^k

1norme spectrale, produit hermitien, norme g´en´erique, composantesDj etc..

(12)

8 Atallah Affane

Ω =(n−1)!

(2iπ)ⁿ X

1≤j≤n

(−1)^j+1η^j(z, ξ, λ) Λ

m6=j(∂z,ξ+dλ)η^m(z, ξ, λ) Λ

1≤k≤ndξ^k. Remarque 3.1. Pour une transformation h ∈ Aut⁰(V), une section ρ(z, ξ) telle que ρ(h(z), h(ξ)) = h(ρ(z, ξ)) et une section ρ⁰(z, ξ) v´erifiant ρ⁰(h(z), h(ξ)) =h(ρ⁰(z, ξ)),la forme diff´erentielle

X

1≤j≤n

(−1)^j+1ρ^j(z, ξ) Λ

m6=jdρ^m Λ

1≤k≤ndρ⁰^k est invariante par la transformation eh(z, ξ) = (h(z), h(ξ)).

Ceci provient seulement du fait que sih∈Aut⁰(V) alors|det h|= 1.D’autre part, pourh∈Aut⁰(V) l’identit´eN(h(z), h(ξ)) =N(z, ξ) donne apr`es calcul direct:

α(h(z), h(ξ), h(t)) =h(α(z, ξ, t)).

(8)

Etant donnée une (0, q) forme f à coefficients continus sur D,on définit par intégration partielle par rapport àξ les formes différentielles:

BDf(z) = Z

ξ∈D

f(ξ)ΛΩ(z, ξ) R^ω_∂Df(z) = Z1 0

dλ Z

ξ∈∂D

f(ξ)ΛΩ(z, ξ, λ)

T f = (−1)^q(BDf+R^ω_∂Df).

Pourq= 0, on aBDf = 0 etR^ω_∂Df = 0 tandis que pourq≥1,on obtient des formes de type (0, q−1) enz.

Lemme 3.1. Les op´erateurs BD et R^ω_∂D sont invariants par Aut⁰(V) c’est `a dire:

h^∗BDf =BDh^∗f et h^∗R^ω_∂Df =R^ω_∂Dh^∗f ∀h∈Aut⁰(V).

Preuve:

Pour h∈ Aut⁰(V), notons eh l’endomorphisme de V ×V défini par eh(z, ξ) = (h(z), h(ξ)).Il est trivial que la remarque 3.1 s’applique aux sectionsρ(z, ξ) = σ(z, ξ) etρ⁰(z, ξ) =ξ.D’après la formule (8), elle est également applicable pour ρ=ηetρ⁰=ξ; on obtient ainsieh^∗Ω = Ω eteh^∗Ω = Ω.Il suffit donc, d’effectuer dans les intégrales définissant BDh^∗f et R^ω_∂Dh^∗f le changement de variable h(ξ) =τ pour retrouverh^∗BDf eth^∗R^ω_∂Df.

Théorème3.1. Etant donnée une(0, q)forme(q= 1, ..., n)f continue surD telle que ∂f soit aussi continue surD on a:

(13)

f =T ∂f+∂T f.

En particulier, pour q = 1, ..., n et si ∂f = 0, T f est solution de l’´equation

∂u=f.De plus, cet opérateur de résolutionT vérifie:

T h^∗f =h^∗T f ∀h∈Aut⁰(V).

Enfin, il existe C >0tel que sup

z∈D|T f(z)δ(z, ∂D)^r(n⁻¹⁾|≤Csup

z∈D|f(z)|. Preuve:

Du moment que l’on a construit ci-dessus une section de Leray holomorphe en z et que la formule de Stokes est applicable, il suffit de reprendre mutadis mu- tandis les paragraphes [1.6]-[1.12] de [3] pour avoir la formule de représentation intégrale annoncée.

La propriété d’invariance deT résulte directement du lemme 3.1.

Pour l’estimation de croissance au bord, toujours suivant [3], on n’a besoin de l’établir que pour l’opérateur R^ω_∂D.Or d’après les calculs effectués dans le paragraphe [2.2] de [3], les coefficients deR_∂D^ω f sont des combinaisons linéaires d’ intégrales de la forme:

E(z) = Z

ξ∈∂D

fI(ξ)Γ(z, ξ)

N(z, ξ)^n−s−1hz−ξ|z−ξi^(s+1) Λ

m6=jdξ^m Λ

1≤k≤ndξ^k

où 0≤s≤n−2, 1≤m≤n, fI est un coefficient def et Γ une expression ne dépendant que de la sectionωet vérifiant une inégalité du type

|Γ(z, ξ)|≤C|z−ξ| ∀z∈D, ∀ξ ∈D.

Appliquons le lemme 2.2, il vient:

δ(z, ∂D)^r(n⁻¹⁾|E(z)|≤Csup

z∈D|f(z)| Z

ξ∈∂D

|z−ξ|⁻⁽²ⁿ⁻³⁾ ∀z∈D.

Mais par la formule de Stokes, cette derni`ere int´egrale se majore parR

ξ∈D|z−ξ |⁻⁽²ⁿ⁻²⁾qui est born´ee enz.

4. La formule de Cauchy-Leray.

Appliquons l’identit´e (7) pour u=z, v =ξ, t=ξ, puis pour u=z, v =ξ, t=z,il vient:

(14)

10 Atallah Affane

N(z, ξ) =N(ξ, ξ) + (α(z, ξ, ξ), ξ−z) ; N(z, z) =N(ξ, z) + (α(z, ξ, z), ξ−z).

On aura alorsL(z, ξ) = (s(ξ, z), ξ−z) avec

s(ξ, z) =N(ξ, z)α(z, ξ, ξ)−N(ξ, ξ)α(z, ξ, z).

Il est ´evident ques(z, z) = 0 et donc il existeC >0 tel que:

|s(ξ, z)|≤C|ξ−z| ∀z, ξ∈D.

(9)

Sur l’ouvert{L(z, ξ)6= 0}, consid´erons la forme diff´erentielle:

K(ξ, z) = (n−1)!

(2iπ)ⁿ X

1≤j≤n

(−1)^j+1 s^j(ξ, z) (s(ξ, z), ξ−z)ⁿ Λ

m6=jds^m Λ

1≤k≤n(dξ^k−dz^k).

C’est l’image r´eciproque deµpar l’application qui `a (z, ξ) associe (s(ξ, z), ξ−z);

elle est donc fermée. Pour 1≤q ≤ n, on noteK^q la composante de bidegré (n, n−q) enξet de bidegré (0, q−1) en z.

Lemme 4.1. Soit des ST JHP simples Vi, de boule unit´e ∆i pour i = 1, ..., m, V = ⊕ Vi et D la boule unit´e de V. Notons Aut⁰(D) = {ϕ = (ϕ1, ..., ϕm); ϕi ∈ Aut(∆i) ∀i = 1, ..., m.}. Pour un point z de D et ϕ dans Aut⁰(D)telleϕ(0) =z,on a

L(z, ξ) =|N(z, ξ)|²L(0, ϕ⁻¹(ξ)) ∀ξ ∈D.

Preuve:

Il s’agit d’appliquer plusieurs fois la formule (3) `a chacun des syst`emes simples Vi.

Lemme 4.2. i) On a l’in´egalit´e

L(0, τ)≥|τ |² ∀τ ∈D.

ii) Pour tout point z∈D, il existe Cz>0et un voisinage Uztels que:

L(z, ξ)≥Cz|z−ξ|² ∀ξ∈Uz. Preuve:

i) Par la formule (4) on a L(0, τ) = 1−N(τ, τ) pour tout τ dansD. Or, la décomposition spectrale d’un point τ ∈ D s^’écrit τ = λ¹e1+...+λ^rer où les ei constituent un repère et | τ |= sup λⁱ; d’après l’identité (5) on aura N(τ, τ)≤1− |τ |²ce qui suffit.

ii) Soit z ∈ D, puisque Aut⁰(D) opère transitivement sur D, choisissons ϕ∈ Aut⁰(D) tel queϕ(0) =z. D’après le théorème des accroissements finis, il existe

(15)

Repr´esentation Int´egrale pour les Domaines de Cartan 11 un voisinageW dezet une constanteC >0 tels que|ϕ⁻¹(ξ)|≥C|z−ξ|pour toutξ dansW.On conclut alors en utilisant le lemme 4.1 et le point i).

Ainsi, pour z ∈ D fixé et tenant compte de l’inégalité (9), la fonction s(ξ, z)/L(z, ξ)ⁿ est intégrable sur D. On peut donc définir pour toute forme différentelle u de type (0, q−1), (2≤q≤n+ 1),la (0, q−2) forme:

T u(z) = (−1)^q Z

ξ∈D

u(ξ)ΛK^q⁻¹(ξ, z).

Lemme 4.3. i) ∂ξK¹(ξ, z) = 0 et pour q ≥ 2, on a ∂ξK^q(ξ, z) =

−∂zK^q⁻¹(ξ, z).

ii) Pourq≥2,on aK^q(ξ, z) = 0lorsquez∈D et ξ∈∂D.

Preuve:

i) Provient du fait que la forme diff´erentielleK est ferm´ee.

ii) En reprenant l’expression deK, on constate que K^q provient de la somme:

X

1≤j≤n

(−1)^j+1 s^j(ξ, z) (s(ξ, z), ξ−z)ⁿ Λ

m6=j∂s^m Λ

1≤k≤ndξ^k. D’autre part, un calcul direct donne:

∂zsⁱ(ξ, z)Λ∂zs^j(ξ, z) = 0 ∀z∈D, ξ∈∂D et 1≤i, j≤n.

Ceci assure le lemme pour q ≥ 3. Pour q = 2, on constate apr`es calcul que K²est multiple de

X

i≺j

(−1)^j+i(sⁱ∂zs^j−s^j∂zsⁱ) Λ

k6=i,j∂ξs^k

et on v´erifie que sur{z∈D, ξ∈∂D},on asⁱ∂zs^j−s^j∂zsⁱ= 0 ∀1≤i, j≤n.

Lemme 4.4. Il existe C >0telle que:

|ϕ(τ)−ϕ(0)|≤C|τ | ∀ϕ∈Aut(D), ∀τ ∈D Preuve:

Comme D est la boule unit´e, on a|ϕ(τ)|≤1 pour toutτ dansD et ϕdans Aut(D). D’apr`es la formule de Cauchy pour les polydisques, il existe C > 0 telle que:

sup

ϕ∈Aut(D),|τ|≤¹2

|Dτϕ|≤C.

Le théorème des accroissements finis donne alors le lemme sur{|τ |≤ ¹2}.Sur le complémentaire{|τ |≥¹2}l’inégalité à établir est triviale.

(16)

12 Atallah Affane

Th´eor`eme4.1. Soit pour 1≤q≤n+ 1une (0, q−1) forme ucontinue sur D telle que ∂usoit aussi continue sur D, alors:

i) siq≥2,on a u= (−1)^qT ∂u+∂zT u.

ii) pour q= 1,on au(z) = R

ξ∈∂D

u(ξ)K¹(z, ξ) − T ∂u(z) ∀z∈D.

iii)T(h^∗u) =h^∗(T u) ∀h∈Aut⁰(V).

iv) On suppose V = ⊕

1≤i≤mVi et pour tout i, soit ki, gi, ri, δi, ∆i les noyaux de Bergman, genres, rangs, distances spectrales et boules unit´e de chacun des STJHP simplesVi.Posons N(i) =ri(2n−gi);alors il existe C >0telle que:

sup

(z1,...,zm)∈D

1≤Πi≤mδi(zi, ∂∆i)^N(i)|T u(z1, ..., zm)|≤Csup

z∈D|u(z)|. Preuve:

Grace au lemme 4.3, on peut reprendre le raisonnement du paragraphe 1 de[1]

et obtenir ainsi les points i) et ii).

iii) Par ailleurs la formule (8) assure que la remarque 3.1 est applicable pour les sections ρ = s et ρ⁰(z, ξ) = ξ −z; on aura ainsi eh^∗K = K pour tout h dansAut⁰(V) et après le changement de variablesξ⁰ =h(ξ) dans l’intégrale qui définitT(h^∗u),on retrouveh^∗(T u).

iv) Les coefficients de T u(z)sont des combinaisons lin´eaires d’int´egrales de la forme:

F(z) = Z

ξ∈D

RI(z, ξ)uI(ξ)s^j(ξ, z) L(z, ξ)ⁿ

où uI est un coefficient de u, RI un polynome et j = 1, ..., n. Soit ϕ ∈ Aut⁰(D) telle queϕ(0) =z; on aura à l’aide du lemme 4.1 et du i) du lemme 4.2 l’inégalité:

|T u(z)|≤Csup

t∈D|u(t)| Z

ξ∈D

|s(ξ, z)|

|ϕ⁻¹(ξ)|²ⁿ|N(z, ξ)|²ⁿ

Effectuons le changement de variableξ=ϕ(τ) puis utilisons le lemme 4.4 et la formule (9), cette int´egrale sera major´ee par:

Z

τ∈D

|Jϕ(τ)|²|τ |¹⁻²ⁿ|N(z, ϕ(τ)|⁻²ⁿ. Mais la formule (3) donne:

|Jϕi(τi)|²=ki(0,0)ki(zi, zi)|ki(zi, ϕi(τi))|⁻² et on conclut alors en appliquant le lemme 2.2 `a chaqueVi.

(17)

Repr´esentation Int´egrale pour les Domaines de Cartan 13 References

[1] P. Charpentier, Formules explicites pour les solutions minimales de l’´equation ∂u =f dans la boule et le polydisque de Cⁿ.Ann. Inst. Fourier 30, 4(1980), 121-154.

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[8] L. Schwartz,Cours d’analyse. Hermann. Paris (1967).

Atallah Affane

Institut de Math´ematiques U.S.T.H.B, B.P. 32 El Alia Bab Ezzouar

Algiers, Algeria.

atallahaffane@hotmail.com

(18)

14

Documenta Mathematica 5 (2000)

(19)

Documenta Math. 15

Zur Bewegung einer Kugel in einer z¨ ahen Fl¨ ussigkeit

Karl-Heinz Hoffmann, Victor N. Starovoitov

Received: March 13, 1997 Communicated by Alfred K. Louis

Abstract.In dieser Arbeit untersuchen wir die Bewegung einer Fest- kugel im beschränkten Gebiet, das mit einer inkompressiblen zähen Flüssigkeit gefüllt ist. Wir beweisen, dass die Festkugel die Wand des Behälters mit der Geschwindigkeit Null erreicht. Als eine Folgerung wird die Lösbarkeit der Aufgabe gezeigt.

1991 Mathematics Subject Classification: 35Q30

1 Einf¨uhrung und Hauptergebnisse.

Es sei Ω ein Gebiet im R³ mit Rand ∂Ω. Wir nehmen an, daß Ω mit einer inkompressiblen Flüssigkeit gefüllt ist, und ein Festkörper darin schwimmt.

Das Ziel dieser Arbeit ist es, diese Bewegung zu beschreiben.

Die Hauptschwierigkeit der Aufgabe besteht darin, daß der Körper an die Wand des Behälters stoßen kann. Es ist nicht ganz klar, welche Bedingungen man in diesem Moment erhält. Daher wurde das Problem bisher mathematisch nur für solche Gebiete betrachtet, die mit dem ganzen Raum übereinstimmen ([1], [2]).

Eine Übersicht über mechanische und numerische Behandlungen des Problems kann man in [3] finden. In [4] haben wir für den zweidimensionalen Fall bewiesen, daß der Körper die Wand mit der Geschwindigkeit Null erreicht, wenn sein Rand und der Rand des Gebietes zur Klasse C² gehören. Als eine Folgerung wurde die Lösbarkeit der Aufgabe gezeigt. Jetzt wird dieses Ergebnis auf den dreidimensionalen Fall erweitert werden. Wir setzen einschränkend voraus, daß das Gebiet Ω und der Körper Kugeln sind. Die Ergebnisse gelten aber auch, wenn man mehrere Kugeln im Gebiet betrachtet. Diese Voraussetzung wird ei- gentlich nur im Satz 2 benutzt. Um die Berechnungen zu vereinfachen, nehmen wir außerdem an, daß die Dichten der Flüssigkeit und des Körpers beide gleich eins sind, und keine Volumenkräfte vorhanden sind.

(20)

16 K.-H. Hoffmann, V.N. Starovoitov

Es seien V(t) das Gebiet, das der Festkörper einnimmt, und Γ(t) sein Rand zur Zeit t. Es ist die Aufgabe, das Geschwindigkeitsfeld ¯v der Flüssigkeit, die Geschwindigkeit ¯u_∗=d¯x_∗/dtdes Schwerpunktes ¯x_∗ des Festkörpers (des Mit- telpunktes der KugelV) und seine Winkelgeschwindigkeit ¯ωzu finden, die den Gleichungen

¯

vt+ (¯v· ∇)¯v= divP, div¯v= 0,

P =−pI+D(¯v),

¯

x∈Ω\V(t) (1.1) m^d_dt^u^¯^∗ = R

Γ(t)

P <n > ds,¯ J_∗^d_dt^ω^¯ = R

Γ(t)

(¯x−x¯_∗)×P <n > ds,¯ (1.2)

genügen. Hier sindmdie Masse des Körpers,J_∗der Tensor des Inertiamomen- tes des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes,P der Spannungstensor,pder Druck undD(¯v) der Deformationsgeschwindigkeitstensor mit den Komponen- ten

Dij(¯v) =1 2

∂vi

∂xj

+∂vj

∂xi

.

F¨ur das Gleichungssystem (1.1)–(1.2) stellen wir folgende Rand- und Anfangs- bedingungen

t= 0 : ¯v= ¯v0, u¯_∗= ¯u⁰_∗, ω¯= ¯ω0, V =V0, (1.3) Γ(t) : v(¯¯x, t) = ¯u_∗(t) + ¯ω(t)×(¯x−x¯_∗(t)), (1.4)

∂Ω : ¯v= 0. (1.5)

Wir nennen (1.1)–(1.5)Aufgabe A.

Nun definieren wir den Begriff der verallgemeinerten L¨osung der Aufgabe A.

Es seien

ϕ(¯x, t) =

1, x¯∈V(t), 0, x¯∈Ω\V(t),

K(χ) ={ψ¯∈H₀¹(Ω)|D( ¯ψ)(¯x) = 0 f¨ur ¯x∈S(χ), div ¯ψ= 0},

wobeiχdie charakteristische Funktion einer Teilmenge von Ω ist, undS(χ) die Menge der Punkte mitχ= 1 bezeichnet. MitLp(0, T;K(χ)),p≥1, bezeichnen wir die Menge der Funktionen ausLp(0, T;H₀¹(Ω)), die f¨ur fast alle t∈[0, T] zuK(χ) geh¨oren.

Es seienChar(E) die Klasse der charakteristischen Funktionen aller Teilmen- gen einer MengeE undQ= [0, T]×Ω f¨urT <∞.

Definition 1. Ein Paar von Funktionen

¯

v∈L_∞(0, T;L2(Ω))∩L2(0, T;K(ϕ)),

ϕ∈Char(Q)∩C^1/p(0, T;Lp(Ω)), 1< p <∞,

(21)

Zur Bewegung einer Kugel . . . 17 heißt verallgemeinerte L¨osung der Aufgabe A, wenn die Integralidentit¨aten

Z

Q

{v( ¯¯ψt+ (¯v· ∇) ¯ψ)−D(¯v) :D( ¯ψ)}d¯xdt=− Z

Ω

¯

v0·ψ¯0d¯x, (1.6) Z

Q

ϕ(ηt+ ¯v· ∇η)d¯xdt=− Z

Ω

ϕ0η0d¯x (1.7)

f¨ur beliebige Funktionen η ∈C¹(Q), η(T) = 0, ψ¯∈H¹(Q)∩L2(0, T;K(ϕ)), ψ(T¯ ) = 0 gelten.

Bemerkung. Wir charakterisieren den Festkörper durch die Bedingung, daß D(¯v)(¯x) = 0 für ¯x ∈ S(ϕ). Das ist folgendermaßen motiviert. Der Kern des OperatorsD besteht aus Funktionen, die die Form ¯v = ¯a+ ¯ω×¯x, ¯a,ω¯ ∈R³, haben ([5], S.18). Damit bewegt sich die Flüssigkeit wie ein Festkörper. Deshalb nennen wir solche Funktionen auch“starre” Funktionen.

Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist der folgende Satz.

Satz 1. Seiv¯0∈L2(Ω). Wenn Ωund S(ϕ0)Kugeln in R³ sind, hat die Auf- gabe A mindestens eine verallgemeinerte L¨osung.

Außerdem gelten:

1. Es gibt eine Familie von Abbildungen As,t :R³ →R³, s, t ∈[0, T], so daß S(ϕ(t)) =As,t(S(ϕ(s))) (und S(ϕ(t)) =A0,t(S(ϕ0))), As,t(¯x)ist “starr” (im Sinne obiger Bemerkung), und As,t Lipschitz-stetig bez¨uglichs undt ist.

2. Wenn h(t) = dist(∂Ω, S(ϕ(t))) und h(t0) = 0 f¨ur t0 ∈ [0, T], so gilt

t→tlim0

h(t)|t−t0|⁻¹= 0.

3. Für fast allet∈ {t∈[0, T]|h(t) = 0}weistω(t)¯ in Richtung vonn¯M, und es giltv¯M = 0. Ferner sindM =∂Ω∩∂S(ϕ(t))ein Punkt,v¯M die Geschwindigkeit des Punktes des Körpers, der mit M übereinstimmt, undn¯M die Normale der Fläche ∂S(ϕ(t))(und∂Ω) inM.

Bemerkung.Die zweite Behauptung des Satzes bedeutet, daß der Festk¨orper die Wand mit Geschwindigkeit Null erreicht.

2 Der Raum K(χ).

Hier untersuchen wir Eigenschaften der Funktionen, die zum Raum K(χ) geh¨oren. Es wird immer angenommen, daß Ω und S(χ) Kugeln sind, und 0 der Mittelpunkt von Ω ist.

Es sei{As}eine Familie von AbbildungenAs:R³→R³, die die Form As(¯x) = ¯a(s) +B(s)<x >¯ (2.1) haben, wobei ¯a:R→R³, B :R→R³×R³glatte Funktionen sind, B(s) f¨ur jedesseine lineare orthogonale Abbildung ist, und ¯a(0) = 0, B(0) =I gilt.

(22)

Satz 2. Es seienχ die charakteristische Funktion einer Kugel S(χ)⊂Ωund χs(¯x) =χ(A⁻_s¹(¯x)), s≥0,d.h. S(χs) =A(S(χ)). Wenn S(χs)⊂Ωfür jedes s∈[0, s0], s0>0,gilt, dann konvergiertK(χs)→K(χ)fürs→0 inH₀¹(Ω), d.h. für jede Funktionψ¯∈K(χ)gibt es eine Folge von Funktionenψ¯s∈K(χs) mitψ¯s→ψ¯in H₀¹(Ω).

Beweis.WeilS(χ) eine Kugel ist, gibt es viele Abbildungen der Art (2.1), die S(χ) aufS(χs) abbilden. Wir nehmen ein solchesAs, so daß|¯a(s)|minimal ist.

Es sei ¯ψ eine Funktion ausK(χ). Wir m¨ussen eine Folge von Funktionen ¯ψs∈ K(χs) konstruieren, die gegen ¯ψinH₀¹(Ω) konvergiert. Zuerst konstruieren wir eine Folge von Funktionen ¯ζs = B(s) < ψ(B¯ ⁻¹(s) < x >)¯ >. Es ist klar, daß ¯ζs ∈ K(ηs) ist, und ¯ζs gegen ¯ψ in H₀¹(Ω) f¨ur s → 0 konvergiert, wobei ηs(¯x) =χ(B⁻¹(s)<x >) ist. Jetzt haben wir nur zu beweisen, daß eine Folge¯ von Funktionen ¯ξs∈K(µs) existiert, wobeiµs(¯x) =χ(¯x−¯a(s)), die gegen ¯ψin H₀¹(Ω) konvergiert. Wir merken an, daß der Vektor ¯ain Richtung des Radius von Ω zeigt.

Es sei ¯udie “starre” Funktion, die mit ¯ψin S(χ) ¨ubereinstimmt. Wir nehmen ξ¯sals die L¨osung der folgenden Aufgabe:

∆ ¯ξs=∇qs+ ∆ ¯ψ,

div¯ξs= 0, x¯∈Ω\S(µs) ξ¯s(¯x) =

0, ¯x∈∂Ω,

¯

u(¯x), x¯∈∂S(µs).

Es ist nicht schwer zu sehen, daß ¯ξs gegen ¯ψ in H₀¹(Ω) konvergiert. Wenn n¨amlich|a(s)¯ | 6= 0, haben wir [6]:

kψ¯−ξ¯sk^H¹^(Ω\S(µs))≤Ckψ¯−u¯kH^1/2(∂S(µs)). (2.2) Aber mit dem Spursatz ([6], [7]) gilt die Absch¨atzung

kψ¯−u¯kH^1/2(∂S(µs)) ≤Ckψ¯−u¯kH¹(S(µs))=Ckψ¯−u¯kH¹(S(µs)\S(χ))

mit einer vonsunabh¨angingen KonstanteC. Somit,

kψ¯−ξ¯sk^H¹^(Ω)=kψ¯−ξ¯sk^H¹^(Ω\(S(µs)∩S(χ))≤

≤ kψ¯−ξ¯skH¹(Ω\S(µs))+kψ¯−ξ¯skH¹(S(µs)\S(χ))≤

≤Ckψ¯−ξ¯sk^H¹^(S(µs)\S(χ)).

Die rechte Seite dieser Ungleichung konvergiert aber f¨urs→0 gegen Null, weil

|S(µs)\S(χ)| →0 gilt.

Damit ist der Satz bewiesen.

Jetzt untersuchen wir Eigenschaften der Funktionen aus K(χ), wenn der Festk¨orper (die Festkugel) die Wand ber¨uhrt.

(23)

Zur Bewegung einer Kugel . . . 19 Satz 3. Es seien ψ¯∈K(χ)und ∂S(χ)∩∂Ω6=∅. Dann gelten

1. ψ(M¯ ) = 0, wobei M der Punkt des K¨orpers ist, der mit ∂S(χ)∩∂Ω ¨ubereinstimmt.

2. ψ(¯¯x) ist ortogonal zun¯M f¨ur alle x¯∈S(χ), wobei n¯M die Normale an ∂Ω im PunktM ist.

Bemerkung. Der erste Punkt des Satzes kann sch¨arfer formuliert werden.

N¨amlich, es gilt

ρlim→0|Rρ|⁻¹ Z

Rρ

|ψ(¯¯x)|d¯x= 0,

wobeiRρ={x¯∈S(χ)|dist(¯x, M)≤ρ}.

Beweis des Satzes 3. Es sei ¯ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) ein solches orthogonales Koor- dinatensystem, so daß (0,0,0) =M, und der Vektor (0,0,1) in Richtung von

¯

nM zeigt. Nehmen wir an, daß ∂Ω bzw. ∂S(χ) durch Funktionen g bzw. f beschrieben werden, d.h.

∂Ω ={ξ¯∈R³|ξ3=g(ξ1, ξ2)}, bzw.

∂S(χ) ={ξ¯∈R³|ξ3=f(ξ1, ξ2)}. Es seiLρ={(ξ1, ξ2)∈R²|f(ξ1, ξ2)≤ρ}. Dann gilt:

Z

Lρ

|ψ(ξ¯ 1, ξ2, ρ)|²dξ1dξ2= Z

Lρ

|ψ(ξ¯ 1, ξ2, ρ)−ψ(ξ¯ 1, ξ2,0)|²dξ1dξ2=

= Z

Lρ

Zρ

0

∂ψ¯

∂ξ3dξ3

2

dξ1dξ2≤Cρ Zρ 0

Z

Lρ

|∇ψ¯|²dξ1dξ2dξ3,

wobei ¯ψmit Null außerhalb Ω fortgesetzt wird. Es gilt aber|Lρ| ≥Cρ. Daher erhalten wir die Beziehung

ρlim→0|Lρ|⁻¹ Z

Lρ

|ψ¯|²dξ1dξ2≤Clim

ρ→0

Zρ 0

Z

Lρ

|∇ψ¯|²dξ1dξ2dξ3= 0,

und der erste Punkt des Satzes ist bewiesen.

Nun seien G^α_ρ ={ξ¯∈ R³|(ξ1, ξ2)∈ Lρ, g(ξ1, ξ2)≤ξ3 ≤f(ξ1, ξ2), ξ1 ≤αξ2} f¨urα∈R,F_ρ^α=∂G^α_ρ∩∂S(χ),W_ρ^α=∂G^α_ρ ∩∂Ω undV_ρ^α=∂G^α_ρ \(F_ρ^α∪W_ρ^α).

Weil div ¯ψ= 0 ist, haben wir Z

∂G^α_ρ

ψ¯·nds¯ = 0,

(24)

und folglich Z

F_ρ^α

ψ¯·nds¯ + Z

V_ρ^α

ψ¯·nds¯ = 0.

Aber ¯ψhat die Darstellung

ψ( ¯¯ξ) = ¯ω×ξ¯

f¨ur ¯ξ∈S(χ), wobei ¯ω ein von ¯ξ unabh¨angiger Vektor ist. Deshalb gilt

|ω¯· Z

F_ρ^α

ξ¯×¯nds| ≤ Z

V_ρ^α

|ψ¯|ds. (2.3)

Wir merken an, daß R

F_ρ^α

ξ¯×¯nds=k(ρ)¯τα ist, wobei ¯τα ein vonρunabh¨angiger Tangentialvektor an die Fl¨ache ∂Ω im PunktM ist, undk(ρ)≥Cρ^3/2 gilt.

Die Integration der Ungleichung (2.3) von 0 bisσ >0 bez¨uglichρergibt

σ^5/2|ω¯·τ¯α| ≤ Z

G^α_σ

|ψ¯|dξ¯≤ |G^α_σ|^1/2



 Z

G^α_σ

|ψ¯|²dξ¯





1/2

=

=|G^α_σ|^1/2



 Zσ

0

Z

G^α_σ(ξ3)

|ψ¯|²dξ1dξ2dξ3





1/2

, (2.4)

wobei G^α_σ(s) die Menge{ξ¯∈G^α_σ |ξ3=s}bezeichnet. Aber es ist|G^α_σ| ≤Cσ², und, weil ¯ψgleich Null auf∂Ω ist, gilt die Absch¨atzung

Z

G^α_σ(ξ3)

|ψ¯|²dξ1dξ2≤Ck∇ψ¯k²L2(Ω)|ξ3|.

So erhalten wir aus (2.4):

|ω¯·τ¯α| ≤Cσ^1/2.

Weilσ eine beliebige Zahl war, ist ¯ω·τ¯α= 0 f¨ur alleα∈R, und folglich zeigt

¯

ω in Richtung von ¯nM. Damit ist der Satz bewiesen.

3 Beweis des Satzes 1.

Die Lösbarkeit der Aufgabe A und die erste Behauptung des Satzes können genau wie in [4] bewiesen werden. Für die Lösung gilt die folgende Abschätzung:

Z

Ω

|v(¯¯x, t)|²d¯x+ Zt 0

Z

Ω

|∇v(¯¯x, s)|²d¯xds≤ Z

Ω

|v¯0(¯x)|²d¯x. (3.1)

(25)

Zur Bewegung einer Kugel . . . 21 Das heißt ¯v∈H₀¹(Ω) f¨ur fast allet∈[0, T], und die Behauptung 3 des Satzes ergibt sich aus dem Satz 3. Es bleibt noch die Behauptung 2 zu beweisen.

Wie in [4] (Aussage 3.4) k¨onnen wir die Absch¨atzung

dh(t) dt

≤Ch^1/2(t)(z(t) + 1)

herleiten, wobeiz(t) =k∇v(t)¯ k^L2(Ω)ist. Wenn h(t0) = 0 f¨ur eint0∈[0, T] ist, gibt uns die Integration dieser Ungleichung:

h^1/2(t)≤C Zt t0

(z(s) + 1)ds

≤C|t−t0|^1/2



 Zt t0

(z(s) + 1)²ds





1/2

.

Weil die Funktionz zuL2(0, T) geh¨ort, ist die Behauptung bewiesen.

Literatur

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The Abel–Jacobi Map for a Cubic Threefold and Periods of Fano Threefolds of Degree 14

A. Iliev and D. Markushevich

Received: October 15, 1999 Revised: January 17, 2000 Communicated by Thomas Peternell

Abstract. The Abel–Jacobi maps of the families of elliptic quintics and rational quartics lying on a smooth cubic threefold are studied. It is proved that their generic fiber is the 5-dimensional projective space for quintics, and a smooth 3-dimensional variety birational to the cubic itself for quartics. The paper is a continuation of the recent work of Markushevich–Tikhomirov, who showed that the first Abel–Jacobi map factors through the moduli component of stable rank 2 vector bundles on the cubic threefold with Chern numbers c1 = 0, c2 = 2 obtained by Serre’s construction from elliptic quintics, and that the factorizing map from the moduli space to the intermediate Jacobian is ´etale. The above result implies that the degree of the ´etale map is 1, hence the moduli component of vector bundles is birational to the intermediate Jacobian. As an application, it is shown that the generic fiber of the period map of Fano varieties of degree 14 is birational to the intermediate Jacobian of the associated cubic threefold.

1991 Mathematics Subject Classification: 14J30,14J60,14J45 Introduction

Clemens and Griffiths studied in [CG] the Abel–Jacobi map of the family of lines on a cubic threefoldX. They represented its intermediate JacobianJ²(X) as the Albanese variety AlbF(X) of the Fano surfaceF(X) parametrizing lines onX and described its theta divisor. From this description, they deduced the Torelli Theorem and the non-rationality of X. Similar results were obtained by Tyurin [Tyu] and Beauville [B].

One can easily understand the structure of the Abel–Jacobi maps of some other familes of curves of low degree onX (conics, cubics or elliptic quartics), in reducing the problem to the results of Clemens–Griffiths and Tyurin. The first non trivial cases are those of rational normal quartics and of elliptic normal

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quintics. We determine the fibers of the Abel–Jacobi maps of these families of curves, in continuing the work started in [MT].

Our result on elliptic quintics implies that the moduli space of instanton vector bundles of charge 2 on X has a component, birational to J²(X). We con- jecture that the moduli space is irreducible, but the problem of irreducibility stays beyond the scope of the present article. As far as we know, this is the first example of a moduli space of vector bundles which is birational to an abelian variety, different from the Picard or Albanese variety of the base. The situation is also quite different from the known cases where the base isP³ or the 3-dimensional quadric. In these cases, the instanton moduli space is irreducible and rational at least for small charges, see [Barth], [ES], [H], [LP], [OS]. Remark, that for the cubic X, two is the smallest possible charge, but the moduli space is not even unirational. There are no papers on the geome- try of particular moduli spaces of vector bundles for other 3-dimensional Fano varieties (for some constructions of vector bundles on such varieties, see [G1], [G2], [B-MR1], [B-MR2], [SW], [AC]).

The authors of [MT] proved that the Abel–Jacobi map Φ of the family of elliptic quintics lying on a general cubic threefoldX factors through a 5-dimensional moduli component MX of stable rank 2 vector bundles E on X with Chern numbersc1= 0, c2= 2. The factorizing mapφsends an elliptic quinticC⊂X to the vector bundleE obtained by Serre’s construction fromC (see Sect. 2).

The fiber φ⁻¹([E]) is a 5-dimensional projective space in the Hilbert scheme Hilb⁵ⁿ_X, and the map Ψ from the moduli space to the intermediate Jacobian J²(X), defined by Φ = Ψ◦φ, is ´etale on the open set representing (smooth) elliptic quintics which are not contained in a hyperplane (Theorem 2.1).

We improve the result of [MT] in showing that the degree of the above ´etale map is 1. Hence MX is birational to J²(X) and the generic fiber of Φ is just one copy ofP⁵(see Theorem 3.2 and Corollary 3.3). The behavior of the Abel–

Jacobi map of elliptic quintics is thus quite similar to that of the Abel–Jacobi map of divisors on a curve, where all the fibers are projective spaces. But we prove that the situation is very different in the case of rational normal quartics, where the fiber of the Abel–Jacobi map is anon-rational3-dimensional variety:

it is birationally equivalent to the cubicX itself (Theorem 5.2).

The first new ingredient of our proofs, comparing to [MT], is another interpre- tation of the vector bundlesE fromMX. We represent the cubicX as a linear section of the Pfaffian cubic inP¹⁴, parametrizing 6×6 matricesMof rank 4, and realize E^∨(−1) as the restriction of the kernel bundle M 7→kerM ⊂ C⁶ (Theorem 2.2). The kernel bundle has been investigated by A. Adler in his Ap- pendix to [AR]. We prove that it embedsXinto the GrassmannianG=G(2,6), and the quinticsC∈φ⁻¹([E]) become the sections of X by the Schubert varieties σ11(L) for all hyperplanes L⊂C⁶. We deduce that for any line l ⊂X, each fiber ofφcontains precisely one pencil P¹ of reducible curves of the form C⁰+l (Lemma 3.4). Next we use the techniques of Hartshorne–Hirschowitz [HH] for smoothing the curves of the type “a rational normal quartic plus one of its chords in X” (see Sect. 4) to show that there is a 3-dimensional family