PowerPoint プレゼンテーション

応力・まさつ・断層の強度

地震は断層に加わる応力が断層の強度を越えたときに発生する．

・まさつ 　　　摩擦法則　摩擦法則の温度依存性 ・応力 　　　 Mohr Circle 　どの断層がすべるか？ 　　　応力の連続性 　　　断層近傍の応力場 　　　内部応力源 ・断層の強度 　　　 SAF は弱いか？　高い間隙水圧　クラックの選択配向 　　　 SAF は強い？ 　　　地震前後の主応力軸の方向変化

まさつ・応力・断層の強度

Coulomb-Mohr

の破壊基準

　圧縮応力下において，断層の 強度 τ s　 は，断層に加わる法線応力 σ n に比例する．断層の凝着力 (法線応力の無い場合の強度 )を無視でき る場合 τ= µ s s σ n 　　　 µ s　 は，断層の摩擦係数 間隙水圧を P とすると，面の有効法線応力 σ eff は， σ Ν –P となる． τ s = µ s σ eff = µ s ( σ Ν –P)

Byerlee

の摩擦法則

室温， 岩石の種類に よらず成り立つ τ s = 0.6 σ n 　　　

現実に存在するあらゆる表面はでこぼこ しているので，アスペリティ（突起）のみで 接触している． 真実接触面積 Α r ，は法線応力 σ Ν に比例 する． Α r = σ Ν / P ， P: 貫入硬さ 摩擦応力 F は，接触部の溶着力 (weld) 　 　の総和となる． sを単位接触面積あたり の溶着力 (法線応力によらない )とすると ， F = s Α r µ 　 = F/ σ Ν = s σ Ν / P σ Ν = 　 s / P 　　 µ は，断層の摩擦係数，法線応力によら ない． _Αは非弾性的な過程により決定される r Æ 　時間依存性を持つ

Dieterich & Kilgore(1994) アスペリティの接触面積の変化

摩擦の仕組み＝アスペリティーの接触

Bowden & Tabor (1950,1964)

すべり弱化 (slip wea kening) すべりとともに摩擦力が減少する． 詳しくは，大中・松浦（ 2003 ）の 教 科書参照

すべり依存摩擦法則と摩擦の安定性

摩擦の安定性．

すべりによる摩擦の減少の

割合が系のスティフネスより

大きいと不安定すべりとなる．

速度

-状態依存摩擦法則　

Dieterich

(1978), Ruina(1983)

定常状態 (stready-state) での摩擦力は， すべり速度による． sｓ µ −µ ∗＝ (a-b)ln (V/V*) すべり速度が大きくなると摩擦が小さくな る場合（速度弱化），不安定すべりとなる． Ruina (1983) による全体の式は， µ = µ∗ + a ln( V/ V* ) + b ln( V* θ/ L) dθ /dt = 1-V θ/ L 実験データ． B lanpied et al.(1995)

両者の問題点

すべり依存摩擦法則

強度回復過程を含んでいない．

速度

速度

-状態依存摩擦法則の温度依存性

Blanpied

et al.(1995)

高温になると，

a-b

は正となり，摩

擦は速度強化となる（

wet

の場合）．

応力

n : ある面の法線ベクトル σ : 応力テンソル（座標軸に直交する平面に働く応力ベクトルの　 　　成分で定義される） t : ある面を通して働く応力ベクトル　　とすると， t = σ ・ n 　 法線応力は， σ n = [( σ ・ n) ・n]n せん断応力は， τ = t ー σ n = σ ・ n ー [( σ ・ n) ・n]n

Mohr Circle

任意の角度の面上での応力

θ σ σ τ θ σ σ σ σ σ 2 sin 2 2 cos 2 2 3 1 3 1 3 1 − = − + + = N σ 1 :最大圧縮応力 σ 3 : 最小圧縮応力が 加えられているとき， σ 2 を含み最大圧縮 応力となす角が θである面上の応力は，

Mohr Circle

どの断層がすべるか？

同じ摩擦係数 µ s と間隙水圧を持つ既存の 断層面がいくつかある場合， p をとおる傾 き µ s の直線より上方に位置する断層面だ けがすべる． 間隙水圧が高くなると，いろんな角度の 断層面がすべることができる． σ 1 が大きくなるか， σ 3 が小さ くなってもすべることが可能．

Mohr Circle

主軸応力の変化

σを小さくする方が， 3

σ 1

を大

Mohr Circle

favorably oriented fault

同じ摩擦係数 µ s とを持つ多数の断層面が あらゆる方向に分布しているとき， µ= s tan φ= tan (2θ−π/2)= − 1/tan (2θ) を満たす θの面が最もすべりやすい． このとき， cos (2θ) や sin (2θ) を µ s で置き換 えることにより θ σ σ τ θ σ σ σ σ σ 2 sin 2 2 cos 2 2 3 1 3 1 3 1 − = − + + = N

(

)

p p −       + + = − 3 2 2 1 1 σ µ µ σ

を

などと変形できる．

最もすべりやすい (

favorably

oriented)

している面だけ

に成り立つ．

３次元の

Mohr Circle

　　

山路

(2000)

より

法線応力は， σ n = [( σ ・ n) ・n]n せん断応力は， τ = t ー σ n = σ ・ n ー [( σ ・ n) ・n]n 成分表示すると， σ n = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 　　 τ = ( σ ・ n) 2 ー σ n 2 =σ 1 2 n 1 2 + σ 2 2 n 2 2 + σ 3 2 n 3 2 ー (σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 ) 2 n 1 2 + 　 n 2 2 + n 3 2 = 0 　から               − −       + − +       − = +       + − 2 3 1 2 3 1 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 2 2 2 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ n s N

Mohr Circle

(鋭角側

)

σ 1 :最大圧縮応力 σ 3 : 最小圧縮応力が 加えられているとき， σ 2 を含み最大圧縮 応力となす角が θである面上の応力は，

プレート境界断層面上のすべり時間関 数(Matsu’ura & Sato, 1989)

θ σ σ τ θ σ σ σ σ σ 2 sin 2 2 cos 2 2 3 1 3 1 3 1 − = − − + = N µ σ τ φ θ σ σ τ θ σ σ σ σ σ = − = − = − − + = p N N tan 2 sin 2 2 cos 2 2 3 1 3 1 3 1 間隙水圧を P とすると，面の有効法線応 力 σ eff は， σ Ν –P となる．

応力の連続性

ある面を境にして，応力が満たすべき条件は何か？ t (1) : 面に I側から働く応力ベクトル t (1I) : 面に II 側から働く応力ベクトル 　とすると，応力ベクトルの連続性 から (1) t =-t (1I) つまり，面に働く，せん断応力と法 線応力が等しい． 他の応力テンソルの成分は等しく なくても良い．

応力の連続性２

ある面を境にして，応力が満たすべき条件は何か？ 3の軸に垂直な面に関しては， σ : 応力テンソル           33 32 31 23 22 21 13 12 11 σ σ σ σ σ σ σ σ σ のうち           33 32 31 23 13 σ σ σ σ σ ・ ・ ・ ・ が等しい必要がある． 面の摩擦強度が大変小さい場合は，           33 0 0 0 0 _σ ・ ・ ・ ・

応力の連続性３

非常に強度の小さな断層の場合

鉛直な横ずれ断層の両 側では，水平主応力の 方位は同じ． 非常に低角な逆断層 (detachment) の両側で は，水平主応力の方位 は違っていても良い． 均質で内部応力源が無い場合．

応力場と断層のすべりの向き

とする．断層すべりの向きは，断層

と主応力軸とのなす角，および主

応力の値に関係する．

          3 2 1 0 0 0 0 0 0 σ σ σ

主応力を

静水圧は断層すべりに関係ないので，

          − − +           =           2 3 2 1 2 2 2 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

_{すべりの向きは，}

σ

1

−σ

2

σ

3

−σ

2

による．さらに，主応力値が定数倍

されてもすべりの向きは変わらないので，

              − − 1 0 0 0 0 0 0 0 2 3 2 1 σ σ σ σ 3 1 2 1

σ

σ

σ

σ

−

−

=

R

をパラメータとするこ

とが多い，

2 3 2 1 σ σ σ σ − −

結局

で決まるが，

断層のすべりの向きー

Means

の図式解法ー

ステレオネットの円が断層面， Ｐは断層面の法線ベクトル 主応力による断層面のせん断応力は， σ 1 方向の大きさ σ 1 −σ 2 のベ ク ト ル σ 3 方向の大きさ σ 3 −σ 2 のベクト ル の断層面上の成分の和， S (1) + S (2) と なる． 例えば， S (1) ＝ 1/2(σ 1 −σ 2 )sin 2 δ σ 2 が断層面内にある場合，つまり， σ 1， σ 3 が S,Τ 上にある場合は， S (1 ) は S (2) の が同じ向きとなり，どちらの寄与が大 きいか区別がつかなくなる．しかも， 現実の地震では， σ 2 が断層面内にあ る場合が多いと考えられる． これが，応力比 R が決まりにくい理由 である．

地殻内の応力場

基準状態の応力場は？　釣り合い方程式による理論解

g z y x zz yz xz ρ σ σ σ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 基準状態の応力場とは，水平方向の応 力がない場合の応力場である．応力の 釣り合いから， 水平方向の応力変化がない場合， gh gdz g z h zz zz ρ ρ σ ρ σ

∫

− = = = ∂ ∂ 0 , 水平方向の変位は無いので， e xx ， e yy =0 応力 − 歪関係から， zz zz zz zz yy zz xx e e e e µ λ σ λ σ λ σ 2 , , + = = = zz xx σ σ 3 1 = λ=µ とすると， 水平応力は鉛直応力の 1/3 となる．

地殻内の応力場

主応力の深さ変化の観測値

核燃料サイクル機構 , 1999, わが国における高レベル 放射性廃棄物地層処分の技術的信頼性 -地層処分研究開発第２次取りまとめ -σ v = ρgh ~ 27h (h:km, MPa) 鉛直応力は上載岩圧となる．深さに比 例して増加する． 水平応力も深さに比例して増加し，鉛直 応力と同程度の大きさ に見える ． σ v = σ ｈ = ρgh を lithostatic な 応力状態と呼ぶ． 非常に長期間にわたる変形 (応力緩和 ) により形成されたものであり，応力源が ない場合の基準状態と考えられる (Mcgarr, 1980) ． １気圧 (1bar)=10m の水柱の圧力 =0.1MPa 100MP a = 10km の水柱の圧力

応力の深さ変化

Brudy

et al.(1997)

KTB

　（ドイツ）

世界で２番目に深い穴での測

定結果．

主応力の大きさは深さにほぼ

比例している

ように見える．

間隙水圧は，

hydrostatic

，水柱

圧

(10h,

h:km, MPa

)に等しい．

(

)

p p −       + + = − 3 2 2 1 1 σ µ µ σ σ 3 = 20h (h:km, MPa) としたとき， µ=0.6 　で σ １ を説明できる

SAF

は弱い

主応力軸が断層に直交している

Zoback

周辺は強い

Beyerlee(1978)

の摩擦

則が成り立っている．

Zoback et al.(200?)

San Andreas

断層だけが弱い，

Horizontal deformation velocities in

southern California with respect to

the North American Plate

Crustal Deformation Working Group 1

弱くするメカニズム　１

_{断層帯内の高い間隙水圧}

over pressure

(Rice,1992;Beyerlee,1992)

(Hardebeck & Hauksson,1999) より

弱くするメカニズム　

2

クラックの選択配向

Yamamoto(2000)

Yamamoto et al. (2001) 3 1 3 1

σ

σ

σ

σ

+

−

=

r

野島断層周辺において変 形率変化法で得られた応 力測定結果のまとめ最大 主圧縮応力軸は断層に直 交している． 断層に近づくほど rの値が 小さくなる．

し 単位面積の断層面における真実接触面積は 　 Α r = σ Ν / P 　（ P: 貫入硬さ） 摩擦応力は， F = s Α r （s ：単位接触面積あたり の溶着力） µ　 = F/ σ Ν = s/p 　となる．　　 断層面の形状に大きなスケールの不均質性が あり，単位面積の断層面上で， Α a のみが巨視 的に見て接触しているとき， Αaにかかる法線応力　 σ Ν a= σ Ν /Α a は 1 /Α a 倍 となる．しかし， 真実接触面積は Α r = (σ Ν a / P) Α a = σ Ν / P とな り，変わらない．これは，巨視的に見て接触し ている面積が Α a倍となるためである．，結局 µ も同じとなる． 摩擦係数は，断層の巨視的な接触面積によら ない

し すきまを断層ガウジが埋めており，それが， 法線応力は支えるが，せん断応力を支えない 場合， Αaにかかる法線応力　 σ Ν a= σ Ν そのままで， 真実接触面積は Α r = (σ Ν a / P) Α a = (σ Ν /P) Α a となり， µ は　 Α a倍と小さくなる． 断層ガウジが，法線応力を支える場合は，摩 擦係数は，断層の巨視的な接触面積に比例 する． クラックが断層面の走向と鉛直方向に選択 配向している場合，鉛直方向の強度は大き いが，せん断には非常に弱くなる (Yamamoto, 2000 )．

SAF

は強い　

Scholz(2000)

左上のモデルから計算された せん断応力と摩擦係数の関係． SAF の摩擦係数は小さくなら ない． 地震のメカニズム解から推定さ れた断層近傍における最大主 圧縮応力軸と断層のなす角．

Hardebeck

& Hauksson

(1999)

SAF

は強い　

Scholz(2000)

(

)

()

t xx ss xx xy 3 3

cot

cot

σ

σ

ψ

σ

σ

ψ

τ

−

≠

−

=

(

)

p p t xx −       + + = − 3 2 2 1 σ µ µ σ 断層より十分遠方 では最大主圧縮応 力軸は断層に直交 している． µ=0.6 が成り立って いる． 断層近傍では下部延長のローディン グによりせん断応力が加わる．

断層に加わるせん断応力

と，

rおよび最大主圧縮応

力軸と断層のなす角との

関係．

rは断層面上，およ

び周辺の値を計算．

3 1 3 1

σ

σ

σ

σ

+

−

=

r

断層から離れたところで

を

0.6,0.4,0.2

と変え

σ 1

て

の大きさを変化させてい

る，

rが大きいと，断層周辺で応

力比

rが

0.6

より大きくなって

しまう．

San Andreas

断層以外の断層も弱い

Landers

地震前後の応力場の時間変化

Hardebeck &

H

auksson

(200?)

断層に対して低角だった

P

軸はより低角に，

高角だった

P

軸はより高角に変化

地震前後の応力変化

      +           ∆ ∆ − =       22 21 12 11 22 21 12 11 2 0 0 2 ' ' ' ' σ σ σ σ τ τ σ σ σ σ

地震後の応力場＝地震による応力変化＋地震前の応力場

地震前後の主応力軸の方向変化の

模式図

地震前後の主応力軸の方向変化の

模式図

内部応力源

断層近傍の応力場

断層近傍の応力場は相似である． ここで示した結果は，クラック理論にお ける亀裂先端の応力集中 ((a/r) 1/2 に比 例 )とは違 う ． Okada(1982) のプログラムを用いた

空洞のまわりの変形

北海道大学岩盤力学研究室の HP 　 http://r ock.eng.hokudai.ac.jp/japanese.html より 空洞 0.5 1 0.5 1 0 x y 変形前 変位 ベクトル u 変形後 変位量 ：u/{(a σv )/(4G)} 0 3.0 円形断面空洞周囲のθ＝ 0 上のσθの分布。 初期地圧は　σ v ＝ 2 σ h1 を仮定

Hardebeck & H auksson (1999) 横ずれ型プレート境界における地震間と 地震時の変形 (Scholz,2002)

周辺の断層帯と間隙水圧

水が流れた形跡がある

fracture

が大きなシンボルで示さ

れている．それらの応力比は大きい．

小断層は地殻を強くする．

Zoback et al.(200?)

断層近傍における応力場とその時間変化

仮説１　野島断層は弱い

(Yamamoto et al.,2002) 最大圧縮応力は常に断層に直交

仮説２　急速に強度回復した

(Yamada et al., 2001;Tadokoro et al, 2002) (メカニ ズ ム変化や S 波のスプリッティングの変化 ) 最大圧縮応力は地震直後のみ断層に直交 Y ama mot o e t a l. ( 200 1) 兵庫県南部地震後のメカニズム解の時空間変化 Yamada et al. (2001)

矛盾