レポート問題解答

(1)

レポート問題解答

2007/5/14 山田博仁 1) a) 内側(中心)および外側導体間に電圧Vを印加することにより、内部導体の外側面には単位長さ当たり+qの

電荷が現れたと仮定する。この時当然、外部導体の内側面にも単位長さ当たり–qの電荷が現れるはず。

内側(中心)導体の内部で電界はゼロであるから、

内側導体を包む単位長さで半径rの円柱に

Gaussの法則を適用する。

dV dV

div

V e

V

∫ ^D ⁼ ∫ ^ρ ^dS ^q

S

=

∫ ^D ⋅ ⁿ

Gaussの定理

q E r dS

dS

_r

S S

=

⋅

=

⋅ ∫

∫ ^D ⁿ ^ε ^E ⁿ ² ^πε

中心導体の周りは誘電率εの媒質で充填されている中心導体は無限に長いという仮定の下での計算なので、

単位長さの円柱の上面および底面に垂直方向の電場成分はゼロ。従って、円柱の側面だけを考えれば良く、円柱の中心対象性より、側面での電場の向きはr方向E_rとなり、面積分の値はこのようになる。

従って、中心から半径rの位置での電場の強さE_rは、

) 1 2 (

)

( L L

r r q

E

_r

= πε

電場が存在する領域(a≤r≤b)で電場を積分すると、電位差Vになる。

φ

− grad

= E

V d

r d d

grad

d

^b _a _b

a b

a

⋅ = − = − =

∂

− ∂

=

⋅

−

=

⋅ ∫ ∫ ∫

∫ ^E ^r ^φ ^r ^φ ^r ^φ ^φ ^φ

より、

[ ]

a b r q

dr q r dr q

r

q

b

a b

a

log

log 2 2 1 2

2 πε ⁼ πε ∫ ⁼ πε ⁼ πε

∫

a V b

q =

∴ log

2 πε

a b q V

log 2 πε

=

^を(1)式に代入すると、

a r b r V E

_r

log )

( =

b) 単位長さ当たりの静電容量Cは、C= q/Vであり、

a C b

log 2 πε

=

c) 電場の強度が最大となるのは内部導体の側面で、

a a b a V E

E

_r _r

log )

max

= ( =

V

+q +q +q

+q +q +q -q

-q -q

-q -q -q

ε ^a ^b ^c

r +q

+q +q

+q +q +q ε

V n

n

S

1 E

E

b c

a

(2)

2) a) 半径rの円盤でAmpereの法則を用いる。

∫

∫ ^⋅ ⁼ ^⋅

S e S

dS dS

rot H n i n

Stokesの定理

∫ ^⋅ ⁼ ∫ ^⋅

S e C

dS d l i n H

ⅰ) 0≤r< a

ⅱ) a≤r<b

2 2 2

2

2 a

I r a I r dS rH

dl H d

S e C

C

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⋅

=

⋅ ∫ ∫

∫

^H ^l ^ϕ

^π

^ϕ ⁱ ⁿ

_π ^π

2

)

( a

r r I

H

^ϕ

⁼ π

∴

I dS rH

dl H d

S e C

C

=

⋅

=

⋅ ∫ ∫

∫ ^H ^l

^ϕ

² ^π

^ϕ

ⁱ ⁿ

r r I

H

^ϕ

( ) = 2 π

∴

ⅲ) b≤r<c

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− −

− =

− −

=

⋅

=

⋅ ∫ ∫

∫ ^d ^H ^dl ² ^rH ^dS ^I ^I ₍ ⁽ _c ^r

²²

_b ^b

²²

₎ ⁾ ^I ¹ _c ^r

²²

_b ^b

²²

S e C

C

π

_ϕ

π

ϕ i n

l H

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− +

−

= −

∴ r

r c b c

I b

c

b r b c r r I

H

2 2 2 2

2

2 2 2 2

) (

2 ) 2

( π π

ϕ

ⅲ) r≥c

0 2 = ⋅ = − =

=

⋅ ∫ ∫

∫ ^d ^H ^dl ^rH ^dS ^I ^I

S e C

C

n i l

H

_ϕ

π

_ϕ

0 ) ( =

∴ H

_ϕ

r

r H

_ϕ

(r)

a b c

a I π 2

b I π 2

μ

₀

dl I S

b c

r

H

a

(3)

2) b) 磁場のエネルギー密度は、 ₀ ²

2 1 H

u = μ

ⅰ) 0≤r< aの範囲の磁場のエネルギーは、単位長さあたり

であるから、

π μ π

μ π

μ

π π μ μ π

ϕ

16 4

4 4

2 4 2

2 0 0 4 4 2 0 0

3 4 2 0

0 2 4

2 2 0 0

0 2 1

I r

a dr I a r

I

a dr r r I dr

rH U

a a

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

=

∫

ⅱ) a≤r<bの範囲の磁場のエネルギーは、単位長さあたり

[ ]

a b r I

dr I r I

r dr r I

dr rH U

b a b

a

b a b

a

4 log 4 log

1 4

2 4 2

2 0 2

0 2

0

2 2

2 0

0 2 2

π μ π

μ π

μ

π π μ μ π

ϕ

=

∫

ⅲ) b≤r<cの範囲の磁場のエネルギーは、単位長さあたり

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ + − + −

= −

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − +

= −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

= −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

= −

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= −

=

∫

) 4 (

) log (

4 log 4 )

( 4

) 2 (

4 ) 2 (

4 ) (

2 4 2

4 4 2 2 2 4

2 2 2

2 0

4 2 2 4

2 2 2

2 0

3 2 4 2 2 2

2 0

2 2 2 4 2

2 2

2 0

2 2 2 2 2 2

2 0

0 2 3

b c c

b b c c c b c

I

r r c r b c

c I

dr r r r c

c b

c I

dr r r c

r c b c

I

dr r r

c b c r I dr

rH U

c

b c

b c b

c b c

b

π μ π

μ π

μ

π π μ μ π

ϕ

ⅳ) r≥cの範囲の磁場のエネルギーは、磁場の強度がゼロなのでゼロ

0 2 2

0 2

4

= ∫

^∞

^rH ^dr =

U μ

c

π

ϕ

従って、全領域での磁場のエネルギーUは、

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧

− + − + −

+

= + + +

= 4 ( )

log 3 ) log (

4 1

4

² ²

2 2 2

2 2 2 4

0 4 3 2

1

c b

c b b c b

c c a

b U I

U U U

U π

μ

c) 単位長さあたりのインダクタンスLは、 ²

2 1 LI

U =

^{で与えられるので、}

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧

− + − + −

+

=

= 4 ( )

log 3 ) log (

4 1 2 2

2 2

2 2 2

2 2

4 0

2

c b

c b b c b

c c a

b I

L U

π μ

1 μ

₀

I

b c

H

dr

r

a

(4)

3) 同軸線路を流れる電流の周波数が高くなると、表皮効果により、

電流は導体の表面を流れるようになる。従って、中心導体は、

表皮効果によって電流が流れる領域のみの厚さを有する円筒導体と考えても差し支えない。また、外側導体においても表皮効果により、電流はその表面を流れるようになるため、外部導体は半径bの薄い円筒導体と、半径cの薄い円筒導体で近似できる。

このような導体系に電圧Vを印加した場合に、導体表面に現れる電荷分布は、1)a)で仮定した電荷分布と全く同じであり、

従って、静電容量Cは周波数によって変化はしない。

一方、インダクタンスLの方は、磁場のエネルギーUが変化することにより、変化する。(L=2U/I²)

磁場のエネルギーの変化分は、中心円筒導体の内部には磁場が存在しなくなるので、2)b)におけるU₁=0となる。a≤r<bの範囲におれる磁場のエネルギーU₁₂は、2)b)ⅱ)における計算で求めた値に等しい。b≤r<cの範囲の磁場のエネルギーは、

外部導体の内側を流れる電流の割合により異なるが、2)b)において求めたU₃よりは小さくなる。r≥cの範囲の磁場のエネルギーは、磁場の強度がゼロなのでゼロ。

従って、全空間での磁場のエネルギーは、2)b)で求めた直流の場合に比べて小さくなり、従って、高周波でのインダクタンスはL=2U/I²の関係より、小さくなる。

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