連絡事項

(1)

1.

教科書および参考書

1)

大学課程電気回路

(1) (

第

3

版 ) 　大野克郎、西哲　生共著、オーム　　社

2)

電気回路　

-

三相、過渡現象、線路

-

　喜安善市、斉藤伸自著、朝　　倉書店

3)

電気・電子工学基礎シリーズ　電気回路　山田博仁著、朝倉書店

2.

成績評価

　　・講義点と定期試験の点数（約３：７の比率）を勘案して行う

　　・講義点 (約

30

点 ) は毎回講義時の演習レポートの提出をもって認定す　　・定期試験を受けていない者は再試を受けても失格となるる

　　　 ( 再試は行なわないかも知れない

) 3.

オフィスアワー

　　　随時、場所

: 2

号館

203

号室　 ( 事前に電話または

E-mail

により予約のこと

)

E-mail: [email protected]

、電話 ( 内線

): 7101

4.

連絡および講義資料のダウンロード

: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/

5.

講義に関するご意見などはブログ「講義の落書き帳」へ

: http://kougi.at.webry.info/

6.

その他、

Skype

や

Twitter

、

Facebook

などで私とのコンタクトが可能です

。

Twitter

名は

@yamada_hirohito Skype

名

: hirohito__yamada

連絡事項

(2)

講義日程と内

　日程

(

回目

)

　　　　　　講義内容　　　　　　教科書、参考書

容

の章との対応

1)

2)

3)

10/6 (

第

1

回

)

　重ね合わせの理　　　　　　

8.1 -

5.1, 5.2

10/13 (

第

2

回

)

　双対回路と相反定理　　　　　　　　

8.2, 8.3

-

5.3

～

5.5 10/20

休講

10/27

休講

11/10(

第

3

回

)

　等価電源と補償定理　　　　　　　

8.4, 8.5

-

5.6, 5.7

11/11? (

第

4

回

)

供給電力最大の法則　　　　　　　　　

8.6 -

3.4e

11/17 (

第

5

回

)

　二端子対網、

Y

行列　　　　　　　　

9.1, 9.2

-

6.1, 6.3

11/24 (

第

6

回

) Z

行列と縦続行列　　　　　　　　　

9.3, 9.4

-

6.2, 6.4

12/1 (

第

7

回

)

　諸行列間の関係、

Y-

変換　　　　

9.7, 9.8

-

6.6, 6.7

12/2? (

第

8

回

)

　二端子対網の伝送的性質　　　

10.1, 10.2

-

6.8 12/8 (

第

9

回

)

　円線図　　　　　　　

10.7 -

3.5c

12/15(

第

10

回

)

　分布定数線路の方程式　　　　　　　

-

8.1

～

8.3

7.1

～

7.4 12/22 (

第

11

回

)

　線路の縦続行列、波の反射　　　　

-

8.4

～

8.6

7.5

～

7.8 1/12 (

第

12

回

)

　理想線路、無ひずみ線路　　　　　　

-

8.8

7.9 1/19 (

第

13

回

)

　複合線路　　　　　　

-

9.1

7.10 1/26 (

第

14

回

)

　無損失線路と反射波　　　　　　　　　

-

9.2

7.11

2

月第

2

週

?

　　　定期試験　　

(3)

線形回路

実在する電気回路素子は非線形素子であるが、線形電気回路学では近似的に線形素子として扱える場合を対象にしている

V = R

^(I)

I R

^(I)

I V

実在する抵抗は、抵抗値が素子を流れる電流

I

の関数になっている ( 非線形素子

)

V = R I

しかし、電流がごく小さい範囲では、

R =

一定とみなせる ( 線形近似

)

R

が線形素子なら、

R (I

₁

+I

₂

) = R I

₁

+ R I

₂

R

が線形でなければ、　　　　　　　である

R

(I₁+I₂)

(I

₁

+ I

₂

) ≠ R

(I₁)

I

₁

+ R

(I₂)

I

₂

R

が線形であれば重ね合わせが可能で、素子に

I

₁ のみが流れている状態と、

I

₂ のみが流れている状態を重ね合わせると、

I

₁ と

I

₂ が同時に流れている状態に等価となる

つまり、

V

と

I

は比例関係にない

つまり、

V

と

I

は比例

( 重ね合わせ

)

( 重ね合わせ

)

R

(4)

重ね合わせの

複数の電源を含む線形回路網中の電圧・電流分布は、各電源が単独にその

理

位置に存在するときの分布の総和に等しい。

E

₁

Z

₂

Z

¹

Z

4

Z

₃

複数の電源を含む回路網

E

₁

E

₂

J

₁

J

₂

Z

₂

Z

¹

Z

4

Z

₃

J

₁

Z

₂

Z

¹

Z

4

Z

₃

E

₁ のみ存在

J

₁ のみ存在

I I

₁

I

_n

V = V

₁

+ V

₂

+ + ‥ V

_n

I = I

₁

+ I

₂

+ + ‥ I

_n

V V

₁

V

_n

その他の電源は殺す

電圧源→短絡電流源→開放

その他の電源は殺す

(5)

重ね合わせの理の証

n

個の電圧源

E

₁

, E

₂

, , ‥ E

_n が存在する線形回路網において、各閉路に電流

明

I

₁

, I

₂

, , ‥ I

_n が流れていたとすれば、

) 1

2

(

1

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1

 











    





 





 





 







 





 





n nn n

n

n n

n

I

I I

z z

z

z z

z

z z

z

E E E

) 2 ( 0

0

1 12 11

2 1

2 22

21

1 12

11 1

 











    





 





 





 







 





 





n nn

n n

I I I

z z

z

z z

z

z z

z E

次に

E

₁ のみが存在する場合の各閉路の電流を

I

₁₁

, I

₁₂

, , ‥ I

_1n とすれば、

次に

E

₂ のみが存在する場合の各閉路の電流を

I

₂₁

, I

₂₂

, , ‥ I

_2n とすれば、

) 3 ( 0

0

2 22 21

2 1

2 22

21

1 12

11

2















    





 





 





 







 





 





n nn

n n

I I I

z z

z

z z

z

z z

z E

Z

行列は、

線形回路なので普遍

インピーダンス

(Z)

行列

(6)

重ね合わせの理の証明

) 4 0 (

0

2 1

2 22

21

1 12

11

 











    





 





 





 







 





 





nn n

n

nn n

n

n n

n

I

I I

z z

z

z z

z

z z

z

E

さらに

E

_n のみが存在する場合の各閉路の電流を

I

_n1

, I

_n2

, , ‥ I

_nn とすれば、

) 5 0 (

0 0 0

0

₂

1

2 22 21

1 12 11

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1 2

1

 













 



  



 





 



 





 





 







 





 







 





 





 





 







 





 







 





 







 





 







 





 





nn n

n

n n

nn n

n

n n

n

I

I I

I I I

z z

z

z z

z

z z

z

E E

E

E E E

(2), (3), ,(4) ‥

式の左辺同士、右辺同士を足し合わせると、

(5)

式と

(1)

式とを比較すると、

) 6

2

(

1

2 22 21

1 12 11 2

1

 



    





 







 





 







 





 







 





 





nn n n

n n

n

I

I I

I I I

即ち、もとの回路の電流は、各電源が単独に存在する場合の電流の総和となる。

(7)

重ね合わせの

例題

8.1 理

R I E

7

1 1



R I E

21

2 2

 

7 4

3

I   J

3 2

1

I I

I

I   

重ね合わせの理

E

₁ のみ

E

₂ のみ

J

のみ

E

₁

E

₂

J 12R 6R

I 3R

E

₁

6R 12R

I

₁

3R

E

₂

6R 12R

I

₂

3R

J 12R 6R

I

₃

3R

(8)

例題

8.2

重ね合わせの理 E

₁ のみ

1 1

1

R

I  E

E

₂ のみ

1 2

2

R

I   E

J

のみ

J I

₃



3 2

1

I I

I

I   

E

₁

E

₂

R

₂

J

R

₃

R

₁

I E

₁

R

₁

I

₁

E

₂

R

₂

R

₁

I

₂

J R

₃

R

₁

I

₃

(9)

I E

R

₁

J R

₂

R

₃

R

₄

I

E 2E

J 2R 2R

I R

出席レポート問

以下の回路において

I

を求めよ

題

(a) (b)

•

次回の講義

(10/13)

開始前までに提出された場合のみ、本日の出席点を認定します

•

提出先

:

次回の講義時に持参するか、私のメールボックスに投函のこと

(c)

(10)

演習問題

(8.1)

重ね合わせの理

I

₁

E

₁ のみ

R I E

4

1 1



(11)

I

₂

重ね合わせの

E

₂ のみ

理

R I

₂

 E

²

I

₃

I

₂

J

のみ

3

4 I   J

(12)

電気回路学

I

演習

2010/10/8 (

金

)

※以下の回路で、RやjXはインピーダンスを表すものとする.

jX

₁

R

jX

₂

I

₀

E

₀

I

問

1

問

2 jX

₁

jX

₂

E

₀

I

₀

+

 +



重ね合わせの理を用いて、電流 I を求めよ. ただし E₀とI₀は同相とする .

重ね合わせの理を用いて、電流 I を求めよ. ただしE₀とI₀は同相とする.

(13)

問

3

問

4 R

jX

₁

jX

₂

A B

I

jX

₃

I

₀

I

E

₀

jX

₂

R

jX

₁

+

 +



上図の端子A と端子Bにそれぞれ電圧源E_Aと E_Bを接続したときにインダクタに流れる電流I は、E_Aのみを接続してBは短絡した場合に流れる電流のちょうど2倍になった。

E_BはE_Aの何倍か?

またE_Bの位相はE_Aの位相に比べて何度進んでいるか(又は遅れているか )?

重ね合わせの理を用いて、電流 I を求めよ. ただしE₀とI₀は同相とする.

E

_B

E

_A

(14)

電気回路学

I

演習

2010/10/8(

金

)

出題分解答

問

1 jX

₁

R

jX

₂

I

₀

I

₂

1. まず電圧源を短絡除去する.

回路の左半分に流れる電流をI₁,右半分に流れる電流を I₂とすると、

I

₁

0 2

1

I I

I  

1 2

2

1

: I R jX : jX

I  

これらより、



¹₁ ⁰ ₂



2

R j X X

I I jX



 

2. 次に電流源を開放除去する. このとき回路に流れる電流I₃は、

jX

₁

R

jX

₂

E

₀

+

－

I

₃



⁰₁ ₂



3

R j X X

I E



 



⁰₁ ⁰ ₂



1 3 2

X X

j R

E I

jX I I I





 





以上より、求めるべき電流は、

(15)

問

2 jX

₁

-jX

₂

E

₀

+

－

I

₁

1. まず電流源を開放除去する.

このときインダクタに流れる電流I₁は、



₁ ⁰ ₂



1

j X X

I E

 

2. 次に電圧源を短絡除去する.

jX

₁

jX

₂

I

₂

このときインダクタに流れる電流I₂は、電流の分配則より、



₁ ² ⁰₂



2

j X X

I I jX



 

I

₀



⁰ ₁ ² ₂⁰



2

1

j X X

I jX I E

I

I 

 





従って元の回路の求めるべき電流 Iは、

(16)

問

3

1. まず電圧源E_Aのみを接続し Bは短絡する. このとき回路を書き直すと以下の様になる.

R

jX

₁

jX

₂

E

_A

+

－

I

_A

I

₁

1 2

2 1

jX jX

X R X

Z    

従って回路全体を流れる電流I_a, 及びインダクタに流れる電流 I_Aはそれぞれ、

 

^A

A

E

X X

jR X

X

X X

j Z

I E

2 1

1

 

 





₁ ₂



2 1 1 2

1 2

2

X X

jR X

X

E I jX

jX jX

I

_A

jX

^A





 





 

電圧源から見た回路の合成インピーダンスZは、

2. 次に端子Aを短絡除去しE_Bを接続する.

このとき回路は以下と同じ形になる.

R

jX

₁

jX

₂

E

_B

+

－

I

_B

I

₂

2 1

'

1

jX

jX R

Z jRX 

 

従って回路全体を流れる電流I_b, 及びインダクタに流れる電流 I_Bはそれぞれ、

 

^B

B

E

X X

jR X

X

jX R

Z I E

2 1

2 1 2 1

'  

 





₁ ₂



2 1 2

1

X X jR X X

I E jX R

I

_B

R

^B



 

電圧源から見た回路の合成インピーダンスZ’は、

(B) (A)

(17)

従って, E_A, E_Bともに接続した場合にインダクタに流れる電流I_A+Bは、次のように求められる.



₁ ₂



2 1

2

X X

jR X

X

RE E

I jX I

I

_A _B _A _B ^A ^B





 





A B

A

I

_

 2

題意より、であるから、



₁ ₂



₁ ₂ ²



₁ ₂



2 1

2

2 X X

jR X

X

E jX X

X jR X

X

RE E

jX

_A _B _A





 







A

B

E

R j X E  

²



R j X

²



_倍

答

:

90

度遅れている

.

(18)

2. 次にI₀のみを残してE₀を短絡除去す

ると、回路は以下の形に等しくなる. 破線で囲まれた部分の合成インピーダンスZ は、

問

4 jX

₃

+

－

I

₁

E

₀

jX

₂

R

jX

₁

1. E₀のみを残して I₀を開放除去した場合、回路は以下の形に等しくなる .

電源から見た回路全体の合成インピーダンス

Zは、

 

 R

¹

jX

₂

 jX

² ₁

^jX

³

jX R

Z jX 





 

I

_a

すると回路を流れる電流I_aは、

 



₂



₃

 

₂



₁



⁰

1

1 2

0

E

jX jX

R jX jX

R jX

jX jX

R Z

I

_a

E







 



   

     

 



₁ ₃



₁ ₂² ⁰ ₂ ₃ ₁ ₃

1 2

3 2

1

0 2 1

2 1 2

X X X

X X

X jR

E jX R

jX jX

R jX jX

R jX

E jX I R

jX jX

R

jX

I R

_a









 





 





 

インダクタに流れる電流I₁は、このI_aと電流の分配則とから、

(19)

以上より、元の回路でインダクタに流れる電流

I

は、 (I₂の向きに注意して )

 



₁ ₃



² ₁ ⁰₂ ₂ ³ ₃⁰ ₁ ₃

2

1

jR X X X X X X X X

I jRX E

jX I R

I

I    



 





 X

₁¹ ³

X

₃

 ^jX

²

j

X

Z X 

 

すると回路の中段を流れる電流I_bは、

 



₁ ₃



¹₁ ₂ ³ ⁰₂ ₃ ₁ ₃

3 1

2 3

1

0 0

X X X

X X

X jR

I X X

jR X X

j

X X

R X

RI Z I

R I

_b

R









 



 



 

インダクタに流れる電流I₁は、このI_bと電流の分配則とから、

jX

₃

I

₀

I

₂

jX

₂

R

jX

₁

I

_b

Z



₁ ₃



₁ ₂³ ⁰ ₂ ₃ ₁ ₃

3 1

2 3

X X X

X X

X jR

I I jRX

jX jX

I jX

_b









 



 

(I₂の向きに注意)

(20)

双対性

電気回路においては、法則や記述などが多くの場合に二つずつ対をなして現れる。例えば、電圧と電流、抵抗とコンダクタンス、並列と直列などがそれに当たり、このような対応関係にある概念は双対といわれる。

ある電気回路に対して成立する関係式があるとき、その関係式に対して電圧と電流とを入れ替えた式もまた成立し、この新たな関係式を満足するような電気回路があるとき、このような

2

つの回路を互に双対回路という。

電圧　

V

電流　

I

インピーダンス　

Z

アドミタンス　

Y

抵抗　

R

コンダンタンス　

G

インダクタンス　キャパシタンス　

L C

電圧源　

E

電流源　

J

リアクタンス　

X

サセプタンス　

B

直列接続

閉路カットセット短絡

Y

型接続

並列接続開放



型接続

キルヒホッフの第

1

法則キルヒホッフ

の第

2

法則

双対関係にある素子などの例双対関係にある概念の例

双対回路

(21)

双対回路

I

E R E = R I

J V G J = GV

上の

2

つは双対回路

I

E L

J V C

E = jL I

J = jC V

上の

2

つも双対回路

(22)

双対回路の作り

双対な回路を求めるには、まず双対グラフを求め、原グラフの枝と双対グラ

方

フの枝とが合い交わる枝同士で、素子をそれと双対な素子に入れ換えればよい。

E Z

原グラフ双対なグラフ

原回路双対回路

1

2 J Y

2’

1’

電源など、極性のある素子の扱い

(a)

電圧源　→　電流源

　原回路で点

p

を囲んで時計回りに電圧が上昇

(

降下

)

する電圧源なら、新回路では点

p

の方向

(

点

p

から出る方向

)

に電流を流す電流源になる

E p

E J p

q

p

(23)

双対回路の作り方

E

₁

Z

₁

Z

₂

E

₂

Z

₃

以下の回路と双対な回路を求めよ

J L C G

(b)

電流源　→　電圧源

　原回路で点

p

を囲んで時計回りに

(

反時計回りに

)

電流を流す電流源なら、新回路では点

p

の方向に電圧が上昇

(

降下

)

する電圧源になる

J p J E

(c)

ダイオード　→　ダイオード　原回路で点

p

を囲んで時計回りに順方向

(

逆方向

)

のダイオードなら、新回路では

p

の向きに順方向

(

逆方向

)

のダイオードとなる

p

(24)

双対回路の作り方

E

₁

Z

₁

Z

₂

E

₂

Z

₃

原グラフ

双対なグラフ原回路

双対回路

p q

r Y

₂

Y

₁

Y

₃

J

₁

J

₂

Y

₂

Y

₁

Y

₃

J

₁

J

₂

(25)

双対回路の作り方

E

₁

J

₂

1 2

3 4

J

₁

E

₂ 原回路の電源

E

₁

が閉路

3

と同じ向きなので、節点

3

に向かうように

J

₁

=E/K

を入れる

原回路の電源

J

₂ が閉路

2

と同じ向きなので、節点

2

に向かうように

E

₂

=K J

₂ を入れる

(26)

逆回路

R

2

D

R

3

R

1

L

1

2 2

R

K D

L K



2

3 2

R K

1 2

R K

1 2

1

L

D  K

逆回路の作り方

逆回路とは

2

つの二端子回路があり、そのインピーダンスを

Z

₁

, Z

₂ とするとき、その積が周波数  に関係なく

Z

₁

Z

₂

=K

² となるならば、二つの回路は

K

に関して互いに逆回路であるという。

Z

₁

Z

₂

逆回路 ¹

2

Z

Z  K

D=1/C

ただし、

D

₁

=1/C

₁

(27)

逆回路

演習問題

(8.2)

L

1

D

₁

R

1

R

₂

1 2

R K

2 2

R K

1 2

1

L

D  K

1 2

1

D

L  K K

に関しての逆回路を求めよ

上の二つの回路は双対回路となっているが、逆回路は

Z

₁

Z

₂

=K

² の関係を満たしていればよいので構造的な双対性は必要なく、一般に種々の逆回路が存在する

逆回路

(28)

逆回路

演習問題

(8.2

) の解答

2 2

2

L

D  K

2 2

2

D

L  K

R K

²

3 2

3

L

D  K

⁴

2

4

D

L  K

1 2

1

L

D  K

2 2

2

D

L  K

3 2

3

D

L  K

2 2

2

L

D  K

3 2

3

L

D  K

1 2

1

D

L  K

4 2

4

L

D  K

K

に関しての逆回路は、

(29)

定抵抗回路

インピーダンスが  に依存しない二端子回路

Z R

²

Z R

R

Z R

R R

R

Z R

²

Z Z

R

²

Z

Z Z

R

²

Z R

²

R

下の回路のインピーダンスはいずれも

R

となり、 には依存しない定抵抗回路

10/13

の出席レポート問題

　上記回路のインピーダンスがいずれも

R

となることを確かめよ

※ 次回の講義

(11/10)

前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと

(30)

定抵抗回路

演習問題

(8.4)

R

1

L C

R

2

この式が、周波数  の値に関係なく成立するためには、分母と分子の各項の係数の比が