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2011 年 5 月 31 日

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全文

(1)

2011

5

31

一般に集合

A, B

に対し、B

A

を、

B A = ∏

a A

B

と定義し、B

A

の元を

A

から

B

への写像という。B

A

の元は

(b a ) a A

と書くが、これは

A

の各元

a

に対して

B

の元

b a

が定まっている、ということになる。このように書くか わりに、b

a = f (a)

と書いて、f

: A B

A

から

B

への写像というのが普通である。

写像

f : A B

に対して、A

f

の定義域、B

f

の値域という。

写像の概念は前回出した宿題の中でも重要な役割を演じている。

i I

j J

A i,j = ∪

j J

i I

A i,j

は成り立たない(宿題参照)。例えば

A =

∩ 2

i=1

∪ 3

j=1

A i,j

を考えてみる。x

A

( j ∈ { 1, 2, 3 } , x A 1,j ) ( j ∈ { 1, 2, 3 } , x A 2,j )

と同値である。例えば、x

A i,j

i = 1 F T F T i = 2 T F F T

で表されているとき、i

= 1

は1行の

をとるので

T , i = 2

は2行の

をとるので

T

これを

i = 1, 2

に関して

をとって

T

となる。一方、

B =

∪ 3

j=1

∩ 2

i=1

A i,j

とおくと

x B

( i ∈ { 1, 2 } , x A i,1 ) ( i ∈ { 1, 2 } , x A i,2 ) ( i ∈ { 1, 2 } , x A i,3 )

と同値である。例えば、x

A i,j

が上の表で表されているとき

j = 1 j = 2 j = 3

F T F

T F F

F F F

1

(2)

j = 1

は1列の

をとるので

F , j = 2

は2列の

をとるので

F , j = 3

は3列の

とるので

F ,

これを

j = 1, 2, 3

に関して

をとって

F

となる。

さて、上の

A

を一般化して

A = ∩

i I

j J

A i,j

を考えると

x A

j J, x A i,j

i

に関して「かつ」で結んだものになる。しかしこの

j

i

によって異なっても良い ので、j

i

と書くことにすると

i I, ( j i J, x A i,j

i

)

となる。(j

i ) i I

J I

の元、すなわち

I

から

J

への写像と考えることができる。すると

x A

f J I , i I, x

i I

A i,f (i)

となる。したがって

i I

j J

A i,j = ∪

f J

I

i I

A i,f(i)

となる。

このことは因数分解と展開の関係と比べてみるとわかりやすい。

(a 11 + a 12 + a 13 )(a 21 + a 22 + a 23 )

を展開すると全部で9個の項からなる式になる。これは、i

= 1

について

j = 1, 2, 3

どれか

j 1

を選び、i

= 2

についても

j = 1, 2, 3

についてのどれか

j 2

を選んで積

a 1,j

1

a 2,j

2 を作っているのだから、展開すると

{ 1, 2, 3 } { 1,2 }

に対応して項ができる。一般には

m

i=1

n

j=1

a i,j = ∑

f J

I

m

i=1

a i,f(i)

となる。ただし

I = { 1, . . . , m } , J = { 1, . . . , n }

である。

積と和、和集合と交わりの役割を入れ替えたらどうなるか考えてみよ。

m

i=1

n

j=1

a i,j = ∏

f J

I

m

i=1

a i,f(i) ,

i I

j J

A i,j = ∩

f J

I

i I

A i,f(i)

は成り立つか?

2

(3)

R 2

C

とは自然に対応がある。f

: R 2 C

(x, y) R 2

に対して、f(x, y) =

x +

1y

で定義すると、xy平面と複素数平面が

f

によって同一視される。同一視され るとはどういう意味か。これを説明するために

f : A B

が全射とは

b B, a A, f(a) = b.

f : A B

が単射とは

a A, a A, (f (a) = f(a ) = a = a ).

f : A B

が全単射とは

f

が全射かつ単射のときをいう。

f : R 2 C , f (x, y) = x +

1y

は全単射。

f : A B , g : B C

に対して、合成写像

g f : A C

(g f)(a) = g(f (a))

より定義できる。

g f

が単射ならば

f

は単射。

g f

が全射ならば

g

は全射。

X A, f : A B

とするとき、

x X

{ f(x) }

{ f (x) | x X }

または

f(X)

と書き、f による

X

の像という。したがって

b ∈ { f (x) | x X } ⇐⇒ ∃ x X, b = f(x).

一般に、p(x)

x

に関する条件のとき、{

f(x) | p(x) }

という集合が定義できる。y この集合に属するかどうかは、

x : p(x), y = f(x)

という

y

に関する条件が満たされるかどうかで決まるからである。この記法は、集合を 定義するときに便利である。例えば、自然数の平方数全体は

{ x | x N , y N , x = y 2 }

これをもっと簡単に、

{ y 2 | y N}

と書くことができる。

3

(4)

また、Y

B

に対し、f

1 (Y ) = { a | a A, f(a) Y }

f

による

Y

の逆像という。

f(

i I X i ) = ∪

i I f (X i ),

f 1 ( ∪

j J Y j ) = ∪

j J f 1 (Y j ),

f −1 ( ∩

j J Y j ) = ∩

j J f −1 (Y j ),

X f 1 (f (X)),

Y f(A) = f(f 1 (Y )).

恒等写像

id A : A A

とは、∀

a A, id A (a) = a

を満たす写像。f

: A B

に対して、

g f = id A

かつ

f g = id B

を満たす

g : B A

f

の逆写像といい、g

= f 1

と書 く。f が逆写像をもつとき、Y

B

に対して

f 1 (Y )

は2通りに定義されていることに 注意。実は2つの定義は同じになる。

f

が逆写像をもたなくても、f の値域の部分集合

Y

に対して、f

1 (Y )

は上に定義さ れた逆像として意味を持つので、f の値域の元

b

に対して

f 1 ( { b } )

f 1 ( { b } ) = { a | a A, f(a) ∈ { b }}

= { a | a A, f(a) = b }

という集合になる。

f

が逆写像を持つときは、f

(a) = b

となる

a

f 1 (b)

としてただひとつ存在するの で、f

1 ( { b } ) = { f 1 (b) }

となる。

f

が逆写像を持たないときは、f

1 (b)

が定義できないので、f

1 (b)

と書くことは誤り である。

4

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