< 平面上の線積分 3 >

1999年度 基礎数学ワークブック番外編N o.2 −16−

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平面上の線積分

例 右図の曲線Cは

C: x= 3 cost, y = 3 sint, 0 ≦ t ≦ ^π₂ と表されるが，別に

C⁰ : x= 3 cos (2t), y = 3 sin (2t), 0≦t≦ ^π₄

とも表される。ここで14ページの線積分では Z

C

(x²+y²)dt= Z ^π₂

0

n

(3 cost)²+ (3 sint)²o dt=

Z ^π₂

0

9dt= 9 2π Z

C⁰

(x²+y²)dt= Z ^π

4 0

n¡3 cos (2t)¢2

+¡

3 sin (2t)¢2o dt=

Z ^π

4 0

9dt= 9 4π

となり結果が異なる。一方15ページの曲線の長さに関する線積分では Z

C

(x²+y²)ds= Z ^π₂

0

n

(3 cost)²+ (3 sint)²op

(−3 sint)²+ (3 cost)²dt= Z ^π₂

0

9×3dt= 27 2 π Z

C⁰

(x²+y²)ds= Z ^π

4 0

n

(3 cos (2t))²+ (3 sin (2t))²op

(−6 sin (2t))²+ (6 cos (2t))²dt

= Z ^π

4 0

9×6dt= 27 2 π

となり一致する。すなわち曲線の長さに関する線積分では 曲線Cの表し方によって線積分の値が変わらない。

問 右図のように曲線Cは原点を中心と した半径rの円周を反時計まわりに 進むとする。このとき次の線積分を 求めよ。

(1) Z

C

(x²+y²)ds (2)

Z

C

(x+y)ds