「数学5」(2変数関数の微分積分)
−12−
< 2 階偏導関数 1 >
2
変数関数z = f (x, y)
をx
に関して2
回偏微分したもの,
すなわちf
x(x, y)
のx
に関する偏導関数をz
xx= ∂
2z
∂ x
2= ∂
∂x µ ∂
∂x z
¶
= f
xx(x, y) = ∂
∂x µ
f
x(x, y)
¶
= ∂
2∂x
2µ
f(x, y)
¶
= µ ∂
∂ x
¶
2f(x, y)
等の記号で表し，xに関する
2
階偏導関数という。全て同じ意味である。同様に，z
= f (x, y)
をy
に関して2
回偏微分したもの, すなわちf
y(x, y)
のy
に関する偏導関数をz
yy= ∂
2z
∂y
2= ∂
∂y µ ∂
∂y z
¶
= f
yy(x, y) = ∂
∂y µ
f
y(x, y)
¶
= ∂
2∂ y
2µ
f(x, y)
¶
= µ ∂
∂y
¶
2f (x, y)
等の記号で表し，yに関する
2
階偏導関数という。全て同じ意味である。例
(1) f (x, y) = x
5− 4x
3y
2+ 2xy
3− y
6 のときf
x(x, y) = 5x
4− 12x
2y
2+ 2y
3, f
y(x, y) = − 8x
3y + 6xy
2− 6y
5 よりf
xx(x, y) = 20x
3− 24xy
2, f
yy(x, y) = − 8x
3+ 12xy − 30y
4(2) z = sin(2x + 3y)
のとき,∂z
∂ x = 2 cos (2x + 3y) , ∂z
∂y = 3 cos (2x + 3y)
より∂
2z
∂ x
2= − 4 sin (2x + 3y) , ∂
2z
∂y
2= − 9(sin 2x + 3y)
問
