から Baker ， Matveev まで 1 対数一次形式の理論と応用 :Hermite

1

:

Hermite

Baker

Matveev

平田典子

(Noriko Hirata-Kohno)

1.1

Definition 1.1 (代数的数，超越数)

Q

0

1

代数的数全体は体をなすことが分かっている．代数的数全体の集合を，以下

Q

有理数体

Q

R

Q

C

· · ·

√

2

現在も超越数であるか，あるいは無理数であるかどうかの証明が与えられていない数が沢山 ある．古くより知られる

Euler

γ = lim

(

1 +

+ · · · +

− log n )

は超越性，無理 数性ともに未だ分からない．超越数の例として，最初に作られた数であると言われているもの

に

1844

J. Liouville

て構成された．また，Ch. Hermiteが自然対数の底

e

1873

は

F. Lindemann

π

π

は体をなすという事実を合わせると，

√

π

√

π

2

π

整数論においては，与えられた情報を用いて有限回の操作で有限時間内に計算可能なアルゴ リズムを持つ数を

effective

超越数の代数的数によるディオファントス近似理論は，A. Bakerの対数一次形式の理論のお

かげで

effective

に適用される．

なぜ超越数が面白いかということを説明しよう．それは，原始的な好奇心の所以でもあるが，

それ以外に，超越数の研究は代数的数をより詳しく調べるためにも応用できるという理由も あるからである．標語的に言ってしまえば「興味のある集合を調べることと，その補集合を調 べることは同じ」であるからとも言えるが，実はもっと強いことが分かる．簡単にここに述べ てみる．

「ある集合

G ⊂ C

G ∩ Q

与えられた不定方程式の解

G ⊂ C

G ∩ Q

与えられた代数体や有理整数環などに属する数

G ∩ Z

その場合，「effectiveな情報」を得られるような次のプログラムを考えよう．

超越数でも代数的でも実数値を取る，ある関数

F

(1)

F

B

ここで関数

F

B

(2)

(1)

F

B

(3)

F

B

G

B

F

B

G

G

effective

G

これがいわば，Bakerの対数一次形式の理論を用いて楕円曲線の整数点などを求める基本的な 方法である．見かけは違うが，フィボナッチ数列のうち完全な累乗数になるものは

1, 8, 144

(Y. Bugeaud - M. Mignotte - S. Siksek

)

上記のような議論のうち現実に動くプログラムは，ある種類の数が超越数になるための十分 条件を求める問題から派生して来る場合が多い．すなわち，超越数の研究が代数的数を調べる ために役立ったと言える．それも，単に「興味のある集合を調べることと，その補集合を調べ ることは同じ」だけのレベルにはとどまらない，より強力な情報が入ったことになる．研究開 始したときには

Hermite

Lindemann

科学にはかくなる面があるのだろう，ごく単純に

curiosity driven

気づいたときにゴールに着いていて，そこがとてつもなく豊富な世界であったことになる．ス タート地点とゴール地点がこれだけ異なる様相を呈するのも珍しい．そして後から見ると実 にしかるべき路なのだ．

だから，超越数は，面白い．

超越数の研究全般についての一般的な教科書，報告集としては例えば

[6], [45], [50], [65], [73],

[76], [78], [86], [91]

[65], [91]

1.2

ディオファントス近似とは，整数論的に意味のある形の近似と言ってしまっても良いが，後述 の「高さ」という関数を距離関数の代わりに用いた「近似」の概念であると総称するのが正し

い．さて

Liouville

は有理数であまり良く近似できないことを示す定理であるが，この対偶を用いれば非常に速 いスピードで有理数によって近似される数を構成して超越数を作ることができる．

Liouville

ではない直接証明を持つ．下記の

d

1

Theorem 1.1 (Liouville

d

1

α

Q

d

α

c(α) > 0

p

q 6 = α

q > 0

¯¯ ¯¯ α − p q

¯¯ ¯¯ ≥ c(α)

q

(1)

が常に成立する．

Proof d = 1

α

α = a

b

a, b

1

b > 0

p

q 6 = a b

¯¯

¯¯ α − p q

¯¯ ¯¯ = | aq − bp |

bq ≥ 1

bq

c(α) = 1

b

d ≥ 2

Z

f (X)(= f

(X ) ; α

Z

1

Z

1

(X )

α

Taylor

f (α) = 0

¯¯ ¯¯ f ( p

q )¯¯ ¯¯ =

¯¯ ¯¯

¯

∑

( p q − α

)

f

(α) k!

¯¯ ¯¯

¯ ≤ ¯¯

¯¯ p q − α ¯¯

¯¯ ∑

k=1

¯¯ ¯¯ p q − α ¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ f

(α) k!

¯¯ ¯¯

となる．まず

| p

q − α | ≤ 1

≤ ¯¯

¯¯ p q − α ¯¯

¯¯ ∑

k=1

¯¯ ¯¯ f

(α) k!

¯¯ ¯¯ = 1 c(α) · ¯¯

¯¯ α − p q

¯¯ ¯¯

が得られる．

d ≥ 2

f ( p

q ) 6 = 0

| f ( p q ) | ≥ p

q

| f ( p q ) |

| p

q − α | > 1

c(α) > 0

上の取り方より具体的に決定される数である．

u t

さて，これから次の結果がわかる．

Corollary 1.2 α

Q

d ( ≥ 2)

.

ε > 0

¯¯ ¯¯ α − p q

¯¯ ¯¯ < 1

q

(2)

を満たす有理数

p

q

q > 0

Proof p, q

1

c(α)

q

≤ ¯¯

¯¯ α − p q

¯¯ ¯¯ < 1 q

< 1

c(α)

q

− 1 q

< p

q < α + 1 q

p

(effective

れてしまう）である．

u t

Theorem1.1

距離が

1

1

ディオファントス問題で我々の興味を持つ対象は，有理点と総称されるような，

Q , Z , Q

1

同様に，d次の代数的数

α

Z

α

f

d + 1

Liouville

Liouville

Roth

ている．

さて，Theorem1.1を用いて

Liouville

Liouville

Theorem 1.3 α =

∑

2

Proof

q(k) = 2

, p(k) = 2

∑

2

k

1

¯¯ ¯¯ α − p(k) q(k)

¯¯ ¯¯ =

∑

2

< 2 · 2

= 2(q(k))

k

¯¯ ¯¯ α − p(k) q(k)

¯¯ ¯¯ < 1

(q(k))

が無限個の有理数

p(k)

q(k)

Liouville

α

u t

1

(q(k))

k

∑

2

は，非常に良く有理数で近似できる超越数であることがわかる．

Liouville

0

[42]

Liouville

Liouville

0.1234567891011121314...

という無限小数は超越数であるが

Liouville

n ∈ N

f (n) ∈ N

(n) → ∞ (n → ∞ )

1

f

0.f (1)f (2)f (3)...

Liouville

[49]．e

π

Liouville

1.3 Hermite

Theorem 1.4 (Hermite- Lindemann

α

0

上記の定理で

α = iπ

− 1

π

= 1

Hermite

さて

1900

e

Th. Schneider

Theorem 1.5 (Gel’fond-Schneider

α 6 = 0, 1, β / ∈ Q

α, β

α

これより，2^√2や

e

= ( − 1)

L = { ` ∈ C| exp(`) ∈ Q}

は

Q

Q

Hermite- Lindemann

` ∈ L

Q

Q

Gel’fond-Schneider

`

, `

∈ L

Q

Q

これを一般的に拡張したのが次の

A. Baker

Theorem 1.6 (A. Baker) `

, · · · , `

∈ L

Q

n + 1

1, `

, · · · , `

Q

したがって，上記の定理の仮定を満たす

`

, · · · , `

∈ L

β

, · · · , β

∈ Q

β

`

+ · · · + β

`

linear form in logarithms

0

β

= · · · = β

= 0

[6], [88]．

Hermite- Lindemann

も代数的数であることに注意すれば得られる．

Corollary 1.7 α ∈ C , α 6 = 0

αおよび sin α

αおよび cos α

1.4

Malher measure

対数一次形式の定理は

effctive

A. Baker

Definition 1.2 (

) X ∈ P

( Q )

X = (x

, . . . , x

) ∈ P

(K)

K

X

h(X ) := 1 [K : Q ]

∑

v

n

log(max {| x

|

, . . . , | x

|

} ) .

ただし和は有限次代数体

K

= [K

: Q

]

v

この定義は射影座標の取り方や有限次代数体

K

K

Product formula

a ∈ K, a 6 = 0

∏

v

| a |

= 1」から従う．後者は付値の Extension formula

L

v

L

w

[L : K]n

= ∑

w|v

n

Definition 1.3 (代数的数の絶対的 (対数的)

α ∈ Q

(1, α) ∈ P

( Q )

h(α) := h((1, α))

α ∈ Q

K = Q (α)

(1, α) ∈ P

(K)

H (α) := exp(h(α))

すなわち

x

log

x := log(max { 1, x } )

h(α) = ∑

v

[K

: Q

]

[K : Q ] log

| α |

である．

Proposition 1.8 K

α, α

, · · · , α

∈ K

(i) h(α) = h(α

)

(ii) h(α

α

) ≤ h(α

) + h(α

)

(iii) h(α

+ · · · + α

) ≤ log n + h(α

) + · · · + h(α

).

Proof (i)

(ii)

x, y

log

xy ≤ log

x + log

y

v

log

| α

+ · · · + α

|

≤ max

log

| α

|

v

log

| α

+ · · · +α

|

≤ log

n+max

log

| α

|

である．これらから従う．

u t

代数的数

α

h(α)

α

[87]（もうすこし精密化された関係式もいくつかある）．

その簡単な説明のためにこの「原始的な」（もしくは「ナイーブな」）高さ，そして

Mahler

measure

H

記号であることをお断りしておく）．

Definition 1.4 (多項式の「原始的な」高さ) a

, · · · , a

∈ C , a

6 = 0

d

f (X ) = a

X

+ · · · + a

∈ C [X ]

H

(f ) := max

0≤i≤d

| a

|

f (X)

「原始的な」高さという．

Definition 1.5 (

) d

α ∈ Q

Z

α

f

(α) = H

(f

)

α ∈ Q

H

(α)

次が本質的である．

Proposition 1.9 D ≥ 1, B ≥ 1

H

(α) ≤ B

α

d

d ≤ D

α ∈ Q

effective

Proof

B

u t

つまり「原始的な」高さと次数が

bounded

effective

effective

Definition 1.6 (Mahler measure) a

, · · · , a

∈ C , a

6 = 0

d

f (X ) = a

X

+ · · · + a

∈ C [X ]

M (f ) =

 



  exp

( 1 2π

∫

log ¯¯ f (e

) ¯¯ dθ )

if f (X) 6≡ 0

0 if f (X) ≡ 0

(3)

と定める．

M (f ) =

 



  exp

(∫

log ¯¯ f (e

) ¯¯ dθ )

if f (X ) 6≡ 0

0 if f (X ) ≡ 0

と定義している本もあるが，全く同じである．

このとき，次が成り立つ．

Proposition 1.10 (i) M(fg) = M(f) M(g).

(ii) a

, · · · , a

∈ Z , a

6 = 0

f (X ) = a

X

+ · · · + a

= a

(X − α

) . . . (X − α

) ∈ Z [X ]

このとき

Mahler measure

M (f ) = | a

|

∏

max (1, | α

| )

(iii) d

α ∈ Q

M (α) = h(α)

h(α) = d log M (α).

Proof (i)

L. V.

223

224

.

(i)

M (f ) = M (a

) ∏

i=1

M (X − α

) . . . M (X − α

) = | a

| M (X − α

) . . . M (X − α

)

1

X − α

M (X − α)

| · |

α

| z | = 1

| α | < 1

X − α

1

2π

∫

log ¯¯ e

− α ¯¯ dθ = log | α | + log | 1

α | = 0

| α | ≥ 1

1 2π

∫

log ¯¯e

− α¯¯ dθ = log | α |

| · |

1

2π

∫

log ¯¯ e

− α ¯¯ dθ = log

| α |

(ii)

(iii)

(ii)

log M (α) = log | a

| +

∑

log

| α

|

1 d

∑

log

| α

| = ∑

v|∞

log

| α |

であることと，有限付値の場合は

1

d log | a

| = ∑

v6 |∞

log

| α |

になっていることを合わせれば

(iii)

u t

Proposition 1.11

H

(P) = max

1≤i≤d

| α

|

M (α) ≤ (d + 1)

H

(α)

および

H

(α) ≤ 2

M (α)

Proof Malher measure

α

f (X ) = a

X

+ · · · + a

M (α) ≤ ( 1

2π

∫

¯¯f (e

)¯¯

dθ )

が成り立つ．ゆえに

M (α) ≤ (

∑

i=0

| a

|

)

≤ (d + 1)

H

(α)

である．H_cl

(α) ≤ 2

M (α)

| a

| + · · · + | a

| ≤ | a

|

∏

(1 + | α

| ) ≤ 2

M (α)

となり従う．

u t

以上より

H

(α)

M (α)

d

M (α)

α ∈ Q

effective

Corollary 1.12 D ≥ 1, B ≥ 1

h(α) ≤ B

α

d

d ≤ D

α ∈ Q

effective

Proof Proposition1.9

Proposition1.10

Proposition1.11

u t

1.5 A. Baker

定理の詳細は

[6], [88]

Baker

Theorem 1.13 (A. Baker) Q

d

K

`

, · · · , `

∈ L

Q

n, d, | `

| , h(exp(`

))(1 ≤ i ≤ n)

effective

C

B ≥ e

B

h(β

) ≤ log B(0 ≤ i ≤ n)

0

β

, β

, · · · , β

∈ K

| β

+ β

`

+ · · · + β

`

| > B

Baker

Theorem 1.6

β

, β

, · · · , β

0

β

+β

`

+

· · · + β

`

6 = 0

| β

+ β

`

+ · · · + β

`

| > 0

β

, β

, · · · , β

B

β

, β

, · · · , β

| β

+β

`

+ · · · + β

`

| > 1

2 | β

+ β

`

+ · · · +β

`

|

B

[80]

この具体的に表される正定数

C

E. Matveev

[53][54][55].

n

n

n

Yu. Nesterenko

[52]

β

, β

, · · · , β

Theorem 1.14 (Yu. Nesterenko) α

, . . . , α

その実数対数の値である

log α

, . . . , log α

Q

. B > 0

このとき

max

| b

| ≤ B

0

b

, . . . , b

∈ Z

| b

log α

+ · · · + b

log α

| ≥ exp

( − 2.9(2e)

(n + 2)

h(α

) · · · h(α

) log(eB) )

.

Proof Yu. Nesterenko

[52]

Theorem 2.1

u t

上記の一連の定理における指数関数を任意次元の可換代数群の指数写像に拡張して考える一 般の対数一次形式の超越性は

G. W¨ ustholz

([90])．これより Schneider

Abel

0

0

1

Schneider

Schneider

[73]

Theorem 1.15 Weierstrass

℘(z)

℘

= 4℘

− g

℘ − g

g

, g

∈ Q

∈ Q ∪ {∞}

u ∈ C

0

特別な場合として，

℘

0

.

S. David,

[19], [37]．Masser-W¨ ustholz

Abel

[51]．

2

:

Siegel

Schmidt

Faltings

2.1

m

1

(X

, · · · , X

) ∈ Z [X

, · · · , X

]，f (X

, · · · , X

) = 0

X

, · · · , X

∈ Z

ス

(Diophantus)

Z

Q

的数あるいは有限生成群，有限生成整域などの集合に，係数や解の範囲を限った方程式，及 びその有限個の連立方程式や一般化，現代的な解釈を総称してディオファントス問題とも言 う．ディオファントス

(Diophantus)

3

(Arithmetika)

X

+ Y

= Z

XY Z 6 = 0

X, Y, Z

X, Y, Z

X = a

− b

, Y = 2ab, Z = a

+ b

(a, b ∈ Z )

3

X

+ Y

= Z

自明解つまり

XY Z = 0

X, Y, Z ∈ Z

de Fermat

Fermat

A. Wiles

このようなディオファントス問題に役立つ近似である，有理数による無理数の近似，代数的数 による代数的数の近似，また代数的数による超越数の近似などの近似不等式をディオファント ス近似と呼ぶ．近似する数と近似される数の距離を，単なる距離関数ではない「高さ」関数で 表記することがその本質である．「高さ」はすなわち有理数や代数的数に対して特別に反応す る「ふるい」であり，なおかつ付値から作られていて距離のような性質をもつ「ものさし」な ので，三角不等式に近いものが成立することは前述の通りである．

ディオファントス近似は数論幾何学の主要な道具の一つになっており，例えば

G. Faltings

P. Vojta

Mordell

E. Bombieri

ディオファントス近似の教科書や最近の報告集としては

[21], [65], [71], [72], [91]

2.2 Dirichlet

まず

Dirichlet

(1842)

(Box principle)

10

1

2

Lemma 2.1

Theorem 2.1

Theorem 2.1 (Dirichlet) α

| α − p q | < 1

q

p q ∈ Q

右辺

1

q

α

任意の

ε > 0

| α − p

q | < ε

p

q ∈ Q

h( p

q ) = log max( | p | , | q | )

不等式の右辺を上記のように

1

max( | p | , | q | )

1

| q |

1

max( | p | , | q | )

ε > 0

| α − p

q | < 1

q

p

q ∈ Q

Roth

[71]

2A（後

2

Theorem 2.1

Lemma 2.1

Q

Q → ∞

p, q ∈ Z

Lemma 2.1 (Dirichlet) α

∈ R , Q > 1

1 ≤ q < Q，

| αq − p | ≤ 1

Q

p, q ∈ Z

では，

Theorem 2.1

Proof

Q

∈ R , Q

> 1

1 ≤ q < Q

,

| αq − p | ≤ 1 Q

を満たす

p, q ∈ Z

gcd(p, q) = d ≥ 1

q = dq

, p = dp

| αq

− p

| ≤ d | αq

− p

| = | αdq

− dp

| ≤ 1

Q

p q

p, q ∈ Z

1

= p, q

= q

| αq

− p

| ≤ 1

Q

1.1

α

αq

− p

6 = 0

る

(

αq

− p

= 0

α = p

q

となり有理数になってしまう

)

0 < | αq

− p

|

1

Q

< | αq

− p

|

Q

∈ R , Q

> 1

この

Q

1.2

p, q, Q

0 < · · · < 1

Q

< | αq

− p

| < 1

Q

< | αq

− p

| < 1 Q

.

ここで

Q → ∞

(p, q)

≤ q < Q

(p, q)

| α − p

q | ≤ 1 qQ ≤ 1

q

Theorem 2.1

u t C

Diophantus

| α − p

q | < C

q

≥ 1

√ 5

α

p

q (p, q ∈ Z )

この

C

C < 1

√ 5

α

A. Hurwitz, 1891

Theorem 2.1

K

K

C > 0

α / ∈ K

| α − ξ | < C max(1, | α |

)H

(ξ)

ξ ∈ K

ここで

H

(ξ)

K

ξ

h

H (ξ) = exp(h(ξ))

(ξ) = H (ξ)

次数のみ固定すると次のようになる．

d

α

d+ 1

あるいは実超越数とする．dと

α

C > 0

| α − ξ | < CH(ξ)

d

ξ

= 2

M. Schmidt）， d ≥ 3

E. Wirsing

| α − ξ | < CH(ξ)

deg ξ ≤ d

ξ

(1961)，D. Roy

2.3 Roth

Liouville

Liouville

A. Thue, C. L. Siegel, H. Davenport, F. J. Dyson

(1955)．今日 Roth

Theorem 2.2 (Roth

α

d ≥ 2

ε > 0

¯¯

¯¯ α − p q

¯¯ ¯¯ < 1

q

p

q

注意しておくが，

d = 1

α

α

¯¯

¯¯ α − p q

¯¯ ¯¯ < 1 H( p

q )

としても有限性は変わらない．Dirichletの定理から，Rothの定