数理工学第一 　　中間試験問題

数理工学第一    中間試験問題

注意： ・それぞれの問題ごとに¹枚の答案用紙を使用すること。

・すべての答案用紙に学籍番号、氏名、問題番号を忘れずに記入すること。

問題１

1. 命題^pと命題^qの関係式 ^{p^:q :(p!q)} を証明せよ。

2. P(x;y)を命題関数とする。次の中で正しい推論を選び 、理由を簡単に述べよ。

9x;8y; P(x;y) ) 8y;9x; P(x;y)

8x;9y; P(x;y) ) 9y;8x; P(x;y)

問題２

1. A c

B0(B\A) が成り立つことを示せ。

2. f :A!B を写像とし 、^{P ;Q}はそれぞれ^A;Bの部分集合とする。^fが全射ならば

f(P)[Q=f(P [f 01

(Q))となることを示せ。

問題３

<から^<への写像^f を ^{f(x) = x2} と定める。また、自然数 ⁿに対し集合 ^Pnと^Qn を ^{Pn=fx2<j 020n<x<ng, Qn=fx2<j 03+ 1}

n

x3+ 1

n

g とおく。

1. P = 1

\

n=1 P

n

; Q= 1

[

n=1 Q

n とする。このとき^P;Qを求めよ（答えだけで良い）。

2. f 01

(f(P)); f(f 01

(Q)) を求めよ。

問題４

2次元の実数ベクトルの集合を^<2とする。^Aの²つの元^{x= x1}

x

2

!

; y= y

1

y

2

!

に 対し 、^y1

0x

1 x

2 0y

2 x

1 0y

1が成り立つとき^xOyとして、集合^<2における関係

Oを定義する。

1. 順序の公理を述べよ。

2. 上記の^Oが順序関係であることを示せ。