4 問題演習　解答例

Revised at 14:55, November 2, 2015 統計学 第4回 http://my.reset.jp/˜gok/math/statistics/ 1

4 ^{問題演習 解答例}

4.1 第１回

演習問題 4.1 確率変数Xの密度関数がf(x)であるとはどう云う事か説明して下 さい。

任意のa≤bに対して

P[a≤X ≤b] = Z b

a

f(x)dx が成り立っている事。

演習問題4.2 密度関数が次のf(x)で与えられているデータ／確率変数Xに対して：

f(x) =





3x² 0≤x≤1 0 otherwise 確率P[−2≤X≤0.5]を求めて下さい。

P[−2≤X ≤0.5] = Z 0.5

−2

f(x)dx

= Z 0.5

0

3x²dx

= [x³]^0.5₀

= 0.125

演習問題4.3 次の関数h(x)がある確率変数の密度関数であるためには：

h(x) =





ke^−3x 0≤x 0 otherwise 定数kの値は幾つでなければならないでしょうか。

h(x)が密度関数であるためにはR₁

−1h(x)dx= 1でなければなりません。従って

1 = Z ₁

−1

h(x)dx= Z ₁

0

ke^−3xdx=

∑

−k 3e^−3x

∏₁

0

=k 3 によればk= 3が分かります。

4.2 第２回

演習問題4.4 次のデータの平均値と分散を求めて下さい。

{3,6,4,3,6,6,5,9,5,2,5,6}

まず平均値は

（平均値）= 3 + 6 +· · ·+ 6

12 = 5

であり、分散は

（分散）= (3−5)²+ (6−5)²+· · ·+ (6−5)² 12

= (2−5)²+ 2(3−5)²+ (4−5)²+ 4(6−5)²+ (9−5)² 12

= 9 + 8 + 1 + 4 + 16 12

= 19 6 となります。

Revised at 14:55, November 2, 2015 統計学 第4回 http://my.reset.jp/˜gok/math/statistics/ 2

演習問題 4.5 白玉３個赤玉２個の入った袋から３個の玉を同時に取り出すとき白 玉の個数を表す確率変数をXとします。Xの確率分布表を書き、平均値と分散、

標準偏差を求めて下さい。

n 1 2 3

P[X=n] ₁₀³ ₁₀⁶ ₁₀¹

E[X] = ⁹₅ = 1.8, V ar[X] = ₂₅⁹ = 0.36,p

V ar[X] = ³₅ = 0.6（計算略）。

演習問題4.6 密度関数が次のh(x)であるデータの平均値と分散を計算して下さい：

h(x) =











x 0≤x≤1

−x+ 2 1≤x≤2 0 otherwise.

このデータをXとして、まず平均値は

E[X] = Z ₁

−1

xh(x)dx

= Z 1

0

x²dx+ Z 2

1

x(−x+ 2)dx

=

∑1 3x³

∏1 0

+

∑

−1 3x³+x²

∏2

1

=1 3 −8

3 + 4 +1 3 −1

= 1

です。また分散は

V ar[X] =E[X²]−1

= Z 1

0

x³dx+ Z 2

1

x²(−x+ 2)dx−1

= 1 4+

∑

−1 4x⁴+2

3x³

∏2 1

−1

=−1

4(16−1) +2

3(8−1)−3 4

= 56−45−9 12

= 1 6 となります。

4.3 第３回

演習問題4.7 Xが平均4、分散4の正規分布に従うとき、標準正規分布表を参照 して確率P[6≤X ≤9]を求めて下さい。

P[6≤X≤9] =P[2≤N(0,4)≤5]

=P

∑

1≤N(0,1)≤ 5 2

∏

=P[0≤N(0,1)≤2.5]−P[0≤N(0,1)≤1]

= 0.4938−0.3413

= 0.1525.

Revised at 14:55, November 2, 2015 統計学 第4回 http://my.reset.jp/˜gok/math/statistics/ 3

演習問題4.8 Zが標準正規分布に従うとき、標準正規分布表を参照することによっ て条件P[Z≥t] = 0.015を満たすtの値を求めて下さい。

まず与えられた式からt >0である事が分かります。また、

0.015 =P[t≤N(0,1)]

0.5−0.015 =P[0≤N(0,1)≤t]

0.485 =P[0≤N(0,1)≤t]

ですから、標準正規分布表からt= 2.17が分かります。

演習問題 4.9 ある試験を30000人の受験者が受けました。100点満点のところ平 均点が63.6、標準偏差が13.4、点数の分布はほぼ正規分布でした。

（１）40点の受験者はだいたい上から何番目ですか。

（２）12000番の受験者の得点はだいたい何点ですか。

得点を表す確率変数をXとすると、題意よりこれはN(63.6,13.4²)で近似されます。

（１）P[40< X]が４０点を超えたの人の相対度数ですから、これに全体の人数であ

る30000を掛ければ大体の４０点を超えた人の人数が出ます。

P[40< X]∼P[40< N(63.6,13.4²)]

=P[−23.6< N(0,13.4²)]

=P

∑

−23.6

13.4 < N(0,1)

∏

= 0.5 +P

∑

0≤N(0,1)≤23.6 13.4

∏

= 0.5 +P[0≤N(0,1)≤1.76]

∼0.9608 ですから、これに30000を掛けて

0.9608×30000 = 28824

となるので、４０点の人は大体28800番目と考えられます。

（２）12000番の人がt点だったとすると 12000

30000 =P[t < X]

0.4 =P[t < N(63.6,13.4²)]

=P

∑t−63.6

13.4 < N(0,1)

∏

ですが、この値が0.5より小さいためt >63.6であって 0.4 = 0.5−P

∑

0≤N(0,1)≤t−63.6 13.4

∏

0.1 =P

∑

0≤N(0,1)≤ t−63.6 13.4

∏

ですから標準正規分布表から t−63.6

13.4 ∼0.255 すなわち t∼67

が得られます。従って12000番の人は大体６７点だったと考えられます。