{} u b e Q () = x + () , R p x () , R + = x + p diage R R = 4 a "#$% i + = ! p # 1 p T () , Q # e a + = i p 0, A R , e e a . , B f e d d

GS19

＜M&M2013カンファレンス・2013年

10

月

12〜14

日＞

Copyright©社団法人

日本機械学会

表面微細パターンを有する半無限異方性弾性体の摩擦を考慮した接触解析 

鈴木秀磨

^*1

，古口日出男

^*2

，佐々木徹

^*2 Contact Analysis for Half-Anisotropic Elastic Region with Micropattern on

Surface Considering Friction

Shuma SUZUKI ^*3 , Hideo KOGUCHI and Toru SASAKI

* ³ Graduate School of Nagaoka University of Technology Kamitomiokamachi1603-1, Nagaoka, Niigata, 940-2188, Japan

In the present study, a contact problem between an indenter and a half-anisotropic elastic surface with the micropattern is analyzed under normal and tangential forces considering friction. Surface Green's function, the discrete convolution and the fast Fourier transform method are used to calculate displacements on a contact area, and the conjugate gradient method is employed for calculating a contact pressure, the contact area, shear tractions, and a stick-slip region, respectively. The influences of the indenter profile and material anisotropy of the surface with the micropattern on the friction property are investigated. Spherical and logarithmic profile- indenters are used in the analysis. As the result, it was found that the ratio of stick region and the coefficient of friction of the logarithmic profile indenter were larger than that of the spherical indenter.

Key Words : Friction， Contact Analysis

，

Anisotropic Material

，

Shear Traction

，

Partial Slip

，

Micropattern

1.

緒 言

構造物表面に規則的な微細パターンを設けること で摩擦特性や濡れ性などの機能をコントロールする ことができる．これらの応用範囲は，ここ

20

年で急 激に拡大し

⁽¹⁾

，近年では，ニーズも増加してきてい る．例えば，プレス成形のしわ押さえ部で，鋼板の 金型への流入特性を制御するといったニーズがある．

そこで，プレス金型の一部分に微細パターン加工を 施し，摩擦係数を変えることで鋼鈑の変形を制御す る方法が考えられている．そのために，微細パター ン加工面の摩擦係数を測定する実験が行なわれてい るが，パターン形状に関して様々な要求があるため，

多くのパターンに対する摩擦特性や優位性を実験の みで調べるのは困難である．そのため，微細パター ンを有する表面に対して摩擦を考慮した接触解析に よりパターン面の摩擦特性を評価することが求めら れている．垂直荷重と摩擦力の下では，接触面の部 分すべりを考慮する必要がある．

本研究では，半無限異方性弾性体の表面グリーン 関数を用いて，微細パターンを有する表面に球状お よび対数クラウニング形状の剛体圧子を押し込み，

摩擦力を考慮した接触解析を行うことで，圧子形状 と面の摩擦特性の関係を調べる．

2.

理 論

2・1

半無限異方性弾性体の表面グリーン関数

異方性材料における平衡方程式は弾性定数テンソル

C sjkl

と変位ベクトル

u k

を用いて，以下のように表すこと ができる．

^C

sjkl

u

_k,lj

= 0 (1)

表面の(x, y, z) = (0, 0, 0)の点に集中荷重

f = (f ₁ , f ₂ , f ₃ )が

作用するとき，表面の作用力は以下のように表され る．

t x (

₁

, x

₂

, 0 ) ^{= f!} ( ) ^x

¹

^! ( ) ^x

²

⁽²⁾

ここで，(x

₁ , x ₂ , x ₃ ) = (x, y, z)である．境界条件を考慮

し，平衡方程式を用いて，集中荷重

f

が作用したと きの変位

u

を求めると，

^u ( ^x

1

, x

₂

, x

₃

) ⁼ ₄ ⁱ

!

²

i

!

!"

"

!"

#

"

# ^{A e}

^!ip*!x3

^B

^!1

^fe

^!i

⁽

^!1x1+!2x2

^{) d!}

¹

^d!

²

(3)

が得られる．ここで，

e

^!ip*!x3

= diag e " #

^!ip1!x3

, e

^!ip2!x3

, e

^!ip3!x3

$ % , Q + p ( R + R

^T

) ^{+ p}

²

^T

{ } ^{a = 0,}

b = ( R

^T

+ pR ) ^{a = ! 1} _p ( ^{Q + pR} ) ^a.

*1学生，長岡技術科学大学 工学研究科（〒940-2188 新潟県 長岡市上富岡町

1603-1）

*2正員，長岡技術科学大学 機械系

E-mail: s_suzuki@stn.nagaokaut.ac.jp

2

であり，さらに

Q _sk =C _sjkl n _j n _l

，

R _sk =C _sjkl n _j m _l

，

T _sk =C _sjkl m _j m _l

，

A=[a ₁ , a ₂ , a ₃ ]， B=[b ₁ , b ₂ , b ₃ ]， m=[0, 0, 1] ^T

，

n=[n ₁ ,n ₂ , 0]=[cos

θ

, sin

θ

, 0] ^T

である．また，

s, j, k, l = 1, 2, 3

とする．

2・2

接触解析への表面グリーン関数の適用

一般に，単位集中荷重に対する表面の応答を

K _ij

で表 すと，接触解析において接触力

p _j

に対する応答変位

w i

は次式で求めることができる．

K ij

は

j

方向の単位 集中作用力に対する

i

方向変位から求めることがで き，上述した式(

3

)の

f

を

f = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

［

N

］ として得ることができる．また，w

_ij

は

j

方向接触力

p j

に対する

i

方向の応答変位であり，

i, j = x, y, z

とす る．

^w

^x

w

y

w

_z

!

"

#

#

# #

$

%

&

&

&

&

=

w

xx

+w

xy

+ w

xz

w

yx

+w

yy

+ w

yz

w

_zx

+ w

_zy

+ w

_zz

!

"

# #

#

#

$

%

&

&

&

&

= IFFT K !

p_x

w_x

K !

p_y w_x

K !

p_z

w_x

K !

p_x wy

K !

p_y

wy

K !

p_z wy

K !

_p

x w_z

K !

_p

z w_z

K !

_p

z w_z

!

"

#

#

# #

#

$

%

&

&

&

&

&

! p

x

! p

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_z

!

"

#

#

# #

$

%

&

&

&

&

' ( ) )

* ) )

+ , ) )

- ) )

(4)

ここで，

IFFT

は逆高速フーリエ変換を表す．

Fourier

変換の定義式は

f ! ( ) ! ⁼ # _!" ^{" f x} ( ) ^{e !2 ! ix " dx}

^，

^ξ=const

^で

ある．

本研究では，

Liu ⁽²⁾

らが提案した

DC-FFT

法を用い て接触問題を解いた．

2・3

接線力の作用する接触解析 接触面の縦

横

2

倍の領域を微小領域に分け，その中心座標を(x

_i ,

x j )とする．一般的な接触解析は i

方向の剛体変位

δ i

と

微小領域の変位

w _i

を用いて以下のように表すことが できる．

^w

^x

w

_y

w

z

!

"

# #

# #

$

%

&

&

&

&

'

!

x

!

y

!

z

!

"

# #

# #

$

%

&

&

&

&

= s

x

s

_y

g

ij

' h

ij

!

"

# #

# #

$

%

&

&

&

&

(5)

ここで，h

ij

は初期二面間の間隔で，接触時の二面間 の間隔は

g _ij

，

s _x

および

s _y

は相対スリップ距離を表す．

また，接触時の圧力分布

p _ij

は

g _ij

に関する以下の関係 式から得られる．

In!contact : g

ij

= 0!then! p

ij

> 0 In!separation : g

ij

> 0!then! p

ij

= 0

p

ij

= P

0

!

"

# $$

% $

$

(6)

ここで，第一式は接触時，第二式は非接触時，第三 式は圧力分布

p _ij

の総和と押し込み荷重

P ₀

の関係式 である．これらの条件を満たすように圧力分布を求 めるため，Polonskyと

Keer ⁽³⁾

が提案した共役勾配法 を用いた．次に，接線力

F _i

を与えた際の固着-すべ り領域の関係を以下に，関係図を図１に示す．

In!the!stick!region : q

_x²

+ q

_y²

! µ

_f

p

_z

!and ! s

_x²

+ s

_y²

= 0 In!the!slip!region!!: q

_x²

+ q

_y²

= µ

_f

p

_z

!and! s

_x²

+ s

_y²

" 0

q

_i

= F

_i

#

$

%

&

&

'

&

&

(7)

ここで，第一式と第二式は，各領域におけるせん断 力

q i

と垂直圧力

p z

の関係式および，すべり量

s i

の関 係式，第三式はせん断力の総和

q ij

，すなわち接線力

F _i

の関係式である．また，i = x, yとする．

2・4

見かけの接触部における摩擦係数

パターンを有する異方性材料の面の摩擦特性を評価 するために，見かけの接触部における摩擦係数の導 出法を提案する．等方性材料の平滑な面における摩 擦係数

µ

^と

x

方向の剛体変位量

δ x

の関係式は

Johnson ⁽⁴⁾

により次式で与えられている．

_!

x = 3

16 ^{µP 0}

2 2 ( "# ) ( ¹ +# )

E

$ %

&

' ( )

a ² " c ² a ³

* +,

-

./ ⁽⁸⁾

ここで，

P ₀

は垂直荷重，

E

は縦弾性係数，

ν

^はポアソ ン比，

a

は接触域半径，

c

は固着域半径である．しか し，式(8)は異方性材料にそのまま使用することはで きない．そこで，材料定数項を係数

K e

とし，式(8) を次式のように変形する．

! x = µ PK _e a ² ! c ² a ³

"

# $ %

&

' (9)

見かけの摩擦係数の求め方を以下に示す．

①実験等で得られる平面の摩擦係数と平面に対する 接触解析で得られた剛体変位量，接触域半径，固 着域半径を式(9)に代入し，材料定数項

K e

を求める．

②パターンを有する面に対する接触解析で得られた 剛体変位量，接触域半径，固着域半径と①で得た 材料定数項

K _e

を式(9)に代入し見かけの接触部に おける摩擦係数

µ a

を得る．

3.

解析モデルおよび解析条件

3

・

1

解析モデルおよび解析条件 本研究で は図

2

に示すモデルを解析対象として，微細パター

P

0

F

x

x

z

Rigid ball

Substrate

y

Normal load

Tangential

force Micropattern

F

y

Fig.1 Stick and slip regions Fig.2 Model of contact analysis

for surface with texture

3

ンの無い平面および表面に微細パターンを有する半 無限異方性弾性体に

2

種類の剛体圧子を押し込み，

さらに接線力を加えた際のすべり領域と固着領域の 関係を式(4), (5)を用いて調べる．解析条件を表

1

に 示す．また

Fe(111)の弾性定数は，{C ₁₁

，C

₁₂

，C

₁₃

，

C ₁₅

，

C ₂₅

，

C ₃₃

，

C ₄₄

，

C ₆₆ }={299.5， 112.0， 89.33， 32.08，

-32.08，322.1，71.03，93.72}である．

3・2

圧子先端形状 使用した圧子先端形状

は

2

種類で，単一

R

形状の球状圧子と，対数クラウ ニングを施した圧子である．対数クラウニングは藤 原ら

⁽⁵⁾

が示す次式を使用した．

z(r) = A ln 1

1! 1 ! exp ! z m

A

"

# $ %

&

( ' ) *

+ , -

r ! a K 2 a +1

"

# $ %

&

'

2 (10)

ここで，

A = K ₁ Q

! a E !

^，

1 E ! = 1" ! ²

E

^，

^{a =} l 2

であり，

l

は圧子の幅，

Q

は圧子設計に用いた垂直荷 重である．また，K

₁

，K

₂

，Z

_m

は形状パラメータであ り，そのほかに使用した設計パラメータも併せて表

2

に示す．ここで球状圧子の半径

R

は，各圧子形状 において垂直荷重のみが作用する場合の接触解析を 行い，接触半径が同等になるように設定した．

4.

解析結果および考察

図３に微細パターンを有する面の各圧子形状にお ける表面摩擦力分布

q _x

を示す．また，表

3

に接触解 析により得られた結果を示す．図３より，最大摩擦 力は球状に比べ対数クラウニング形状の方が小さい ものの，摩擦力の発生する範囲は対数クラウニング 形状の方が広い．また表

3

より，パターンを有する 面の摩擦係数は，球状圧子に比べ対数クラウニング 形状圧子のものが大きくなった．これは，球状圧子 よりも対数クラウニング形状圧子の固着域割合が大 きく増えていることが原因と考えられる．

5.

結 言

本研究では，微細パターンを有する半無限異方性 弾性体に球状および対数クラウニング形状の剛体圧

子を押し込み，摩擦力を考慮した接触解析を行うこ とで，摩擦試験における圧子形状の影響を調べた．

その結果，同等の接触面積を有する場合でも，対数 クラウニング形状圧子の固着割合が大きく，さらに 摩擦係数も大きくなることがわかった．また，今後 は実験を行い，検証をおこなう予定である．

文 献

(1) C. J. Evans, et al., CIRP Annals, Vol.48, 2 (1999), pp.541-556.

(2) S. Liu, et al., Wear, Vol.243, (2000), pp.101-111.

(3) I. A. Polonsky, et al., Wear, Vol.231, (1999), pp.

206-219.

(4) K. L. Johnson, Contact mechanics, (1985), Cambridge University Press, pp.202-24.

(5) Fujiwara, H., et al., Transactions of JSME, Series C, Vol. 72, No.721(2006), pp. 3022-3029.

Table 1 Analysis conditions

Fe (111) 220.41MPa

0.3910 1024*1024

20.0 µ m Shape Plane，Circle( ! 400 µ m)

Pitch 900 µ m

Height 30µm

Sphere, Logarithmic profile 0.3

1.00kN 0.180kN (= 0.6 µ

f

P

0

) Normal load P

0

Tangential load F

x

Indenter shape Poisson's ratio

Coefficient of friction µ

f

Material

Number of grid points Distance of grid points Pattern

Young's modulus

Table 2 Parameters of indenter shape

Sphere Logarithmic profile

Width l 18mm 18mm

Radius R 97750mm -

K

₁

- 1.25

K

2

- 1

Z

m

- 2.5 µ m

Design load Q - 1.1kN

(a) (b)

Fig.3 Shear traction qx distributions of circle pattern with different indenter shape (a)Sphere; (b)Logarithmic profile Table 3 Results of contact analysis

Indenter shape Surface profile

Apparent contact radius

[mm]

Ratio of stick area to apparent contact

area[%]

Rigid displacement

[mm] K

e

Coefficient

of friction

Plane 6.84 50.7 1.07.E-04 0.3

Micropattern 7.41 50.2 1.05.E-04 0.316

Plane 6.87 52.6 9.89.E-05 0.3

Micropattern 7.30 58.2 9.89.E-05 0.349

Sphere Logarithmic

profile

3.29.E-06

3.13.E-06