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工学のための物理数学_問・練習問題略解(166.0KB・)

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工学のための物理数学 問・練習問題略解

1章 練習問題1.1

1. 解析的であることを示すには,コーシー–リーマンの方程式が成立することを

示す.f(z) = ux+ ivx=−e−ysin x + ie−ycos x 2. ∂u ∂r = 1 r ∂v ∂θ, ∂v ∂r = 1 r ∂u ∂θ 3. z = (π/4 + 2nπ)− i ln√2 (n = 0,±1, ±2, · · · ) 4. z = 2nπ (n = 0,±1, ±2, · · · ) 5. ln 4 = 2 ln|2| + i arg4 = 1.3862 ± 2nπi ln(−3i) = ln | − 3i| + i arg(−3i) = 1.0986 −

(π 2 )

i± 2nπi

ln(4− 3i) = ln |4 − 3i| + i arg(4 − 3i) = ln |5| + i arg(4 − 3i) = 1.6094 −

i(0.6435± 2nπ) 6. ii= ei ln i= exp(i ln i) = exp { i (π 2i± 2nπi )} = exp {( −π 2 ) ∓ 2nπ} よ り,主値(n = 0)e−π/2である. 練習問題1.2 1. i) f (z) = z, C1: 1− i/3, C2 : 1 + i ii) f (z) = z2, C 1, C2: −2 + 2i 3 2.3.4. −π/2

(2)

練習問題1.3 1. Ln(1− z)/(1 + z) = Ln(1− z) − Ln(1 + z) = ( z +z 2 2! + z3 3! + z4 4! +· · · ) ( z−z 2 2! + z3 3! z4 4! +· · · ) =−2 ( z +z 3 3! + z5 5! + z7 7! +· · · ) 2. f (z) = ez= n=0 zn n! = 1 + z + z2 2! +· · · 3. cos z = k=0 (−1)k z 2k (2k)! = 1 z2 2! + z4 4! z6 6! +· · · sin z = k=0 (−1)k z 2k+1 (2k + 1)!= z− z3 3! + z5 5! z7 7! +· · · 4. f (z) = z3 ( 1 +1 z+ 1 2!z2+ 1 3!z3+ 1 4!z4+ 1 5!z5 +· · · ) = z3+ z2+ z 2!+ 1 3!+ 1 4!z+ 1 5!z2 +· · · 5. (i) f (x) =−3 {( 1 z+ 1 z2 + 1 z3+· · · + 1 zn +· · · ) + ( 1 2+ z 22 + z2 23+· · · + zn 2n+1 +· · · )} (ii) f (z) =−3 { 1 z− 1+1+(z− 1)+(z − 1) 2 +· · · +(z − 1)n+· · · } (iii) f (z) = 3 { 1 (z− 2)2 1 (z− 2)3 + 1 (z− 2)4 1 (z− 2)5+· · · + (−1)n (z− 2)n +· · · } 6. πi 7. 0 8. π/3

(3)

22.1節問略解 問1 略 問2 1 ( π2 2 − π ) +1 π n=1 (−1)n− 1 n2 cos nt+ 1 π n=1 1− (1 + π)(−1)n n sin nt3 1 2cos 2t + 2 π n=1, n̸=2 n 4− n2sin 2 cos nt4 π 3 4 + 6 π n=1 [ π2(−1)n n2 2{(−1)n− 1} n4 ] cos nt5 π 2 3 + n=1 1 n2cos 2nt− π n=1 1 nsin 2nt 偶関数への拡張: π 2 3 + n=1 4(−1)n n2 cos nt 奇関数への拡張: 2 π n=1 [ −π2(−1)n n + 2{(−1)n− 1} n3 ] sin nt6 略 問7 略 問8 例題1:cn= 1− (−1) n 2nπi (n̸= 0), c0= 1 2 例題2:cn= (−1) n+1 ni (n̸= 0), c0= 0 例題3:cn= 1 2n2π2 (n̸= 0), c0= 1 6 例題4:cn= (−1) n+1− 1 2π(n2− 1) (n≥ 2), c1= 1 4i:c−1= i 4:c0= 1 π 練習問題2.1 1. 1) −2π2 n=1 (−1)n n sin nt + 12 n=1 (−1)n n3 sin nt 2) π 5 5 + n=1 {( 2 n2 3 n4 ) cos 2nt + ( −π3 n + n3 ) sin 2nt } 3) 2 π+ n=1 4(−1)n+1 π(4n2− 1)cos nt 4) 1 π + 2 π m=1 cos 2mx 1− 4m2 1 2sin t 5) 1 3 3 2 n=1 1 n2 ( 1− cos4nπ 3 ) cos 2nπt + 3 2 n=1 1 n2sin 4nπ 3 sin 2nπt

(4)

6) n=1 1 ( 3 sin 4 − sin 3nπ 4 ) cosnπt 4 7) sinh 1 + 2 sinh 1 n=1 (−1)n 1 + n2π2cos nπt 8) 2π sinh 1 n=1 (−1)n+1n 1 + n2π2 sin nπt 2. 1) 2 π− 4 π n=1 1 4n2− 1cos 2nt 2) l 8+ 2l π2 n=1 (−1)n− cos(nπ/2) n2 cos l t 3) 2 π+ 4 π n=1 (−1)n+1 4n2− 1 cos l t 4) 2 12 π n=1 1 4n2− 9cos 2nπ l t 3. 1) 4 π n=1 (−1)n 2n− 1sin (2n− 1)π 6 sin (2n− 1)t 2 2) 16 π n=1 1 n2sin 2 sin nt 4 3) n=1 n{1− (−1)nel} n2π2+ l2 sin l t 4) 16 π n=1 n (4n2− 1)2sin 2nt + π 2sin t 4. フーリエ余弦級数:⟨f (t)2⟩= a20+ 1 2 n=1 a2n フーリエ正弦級数:⟨f (t)2⟩=1 2 n=1 b2n 5. 1) π 2 6 n=1 1 n2cos 2nt 偶関数へ拡張: π 2 6 − 2 n=1 (−1)n+ 1 n2 cos nt 奇関数へ拡張: n=1 4{1 − (−1)n} πn3 sin nt 2) 2 π− 4 π n=1 1 4n2− 1cos nt 偶関数へ拡張: 2 π 4 π n=1 1 4n2− 1cos nt,奇関数へ拡張:sin t 2

(5)

6. 1) n=−∞ 1 + (−1)n+1e−π π(n2+ 1) e int 2) e − 1 n=−∞ 1 2− ine int 3) π 4+ n=−∞, n̸=0 { i(−1)n 2n + (−1)n− 1 2πn2 } eint 4) 2 π n=−∞ 1 4n2− 1e i(2nπ/l)t 7.8. n=−∞ f (t + 2nπ) を周期 の周期関数として 複素フーリエ級数に展開し, 得られた複素フーリエ級数でt = 0とおく. 9. 1) cn= 1 2a |n|(n̸= 0), c 0= 1 2) cn= 1 2isgn(n) a |n|(n̸= 0), c 0= 0 10. 複素フーリエ級数の結果にt = 0を代入し,両辺の実部を比較する. 11. t3のフーリエ級数はt3 = n=1 { 12(−1)n n3 2(−1)n n } sin nt, t2 のフーリ エ級数をt = 0で0とおいて積分するとt3= π2t + n=1 12(−1)n n3 sin ntで一 見異なるが, π2tをさらにフーリエ級数に展開すると両者は一致する. 12. 1)∼3) 略 4) t = cos θであるからf (t) = F (θ)としたときt =−1θ = π, t = 1θ = 0となりF (θ)は0≤ θ ≤ πで定義された関数である. つぎにF (θ)を偶 関数に拡張してフーリエ余弦級数に展開すれば, f (t) = F (θ) = n=0 Fncos nθ, すなわちf (t) = n=0 FnTn(t)と展開される. 13.2.2節問略解 問1 f (1) = 1 −∞ b f (ω)eiωdω2 2 πω(2 sin ω− sin 2ω)

(6)

3 1 2e 1 4(1+iω) 2 問4 例題1:2 π sin2 ω2 例題2: 2 π (1− cos aω)2 ω2 例題3: 2 π a2 (a2+ ω2)2 例題4: 1 2ae −ω2/2a5 明らか. 問6 f∗ f = ( 1 a+|t| ) e−a|t|7 f∗ g = 2 b2− a2(be −a|t|− ae−b|t|)となることを利用せよ. 練習問題2.2 1. 1) 1 −∞ sin2(ω/2) (ω/2)2 e iωt 2) ∫ −∞ 1 2πi(c− ω) [ ei(c−ω)b− ei(c−ω)a ] eiωt 3) ∫ −∞ πi(1 + ω2)2e iωt 4) ∫ −∞ sin πω πi(1− ω2)e iωt 5) ∫ −∞ 2 πω2 ( sin ω ω − cos ω ) eiωtdω 6) ∫ −∞ 2 π sin(πω/2) ω(4− ω2)e iωt 7) f (t) = −∞ b f (ω)dω, f (ω) =b −i 2e −ω(ω > 0), i 2e −ω (ω < 0) 8) −∞ 4a√πae −ω2/(4a) eiωtdω 2. f (ω) =b 1 2exp { i ( ω2 4 π 4 )} 実部よりF{cos x2}= 1 2cos ( ω2 4 π 4 ) 虚部よりF{sin x2}=1 2cos ( ω2 4 + π 4 ) 3. 1) フーリエ余弦変換:f (ω) =b 2 πω sin ω(1− cos ω) フーリエ正弦変換:bg(ω) = −2 πω cos ω(1− cos ω) 2) フーリエ余弦変換:f (ω) =b π(1− ω2)cos πω 2 フーリエ正弦変換:bg(ω) = π(1− ω2) ( sinπω 2 − ω )

(7)

3) フーリエ余弦変換:f (ω) =b π(1− ω2)(1 + cos πω) フーリエ正弦変換:bg(ω) = π(1− ω2)sin πω 4) フーリエ余弦変換:f (ω) =b √ 2 π 1− ω2 (1 + ω2)2 フーリエ正弦変換:bg(ω) = 2 π(1 + ω2)2 4. 例題1のf (t)π/2をかけたもののフーリエ変換を計算してフーリエ逆変換 の形に表し,その実部をとる. 5. フレネル積分において t2 = ωu とおき,積分変数を u に変換すると, 0 1 ucos ωu du = 0 1 usin ωu du = 1 ωπ 2 が得られる.これらの 式でω = 1とおくと問題の式が得られる.フレネル積分からの変形はt2= v として,積分変数をtからvへ変換する. 6. 1) e−|t| のフーリエ変換を計算する. 2) e−t のフーリエ変換を計算する. 3) 例題2の関数に対するパーセバルの等式を利用する. 4) 例題1の関数に対するパーセバルの等式を利用する. 5) 例題 3の関数で a = 1とおいたものに対するパーセバルの等式を利用 する. 6) 式(2.84)の両辺を tで微分すると a π −∞ iωeiωt a2+ ω2dω =−ae −at (t > 0), aeat(t < 0)が得られる.このフーリエ変換に対するパーセバルの等 式を計算して,a = 1とおく. 7. 1) √2πf (t) =−2πt, 0 ≤ t < 1, −2π(2 − t), 1 ≤ t ≤ 2, 0,それ以外.関 数g(t) = 1, 0≤ t ≤ 1, 0, それ以外 のフーリエ変換を計算しそれを問 5の結果に当てはめる.

2) √2πf (t) = (t + 2a)/(2π), −2a ≤ t < 0, (2a−t)/(2π), 0 ≤ t ≤ 2a, 0,

それ以外.例題1の関数f (t)のフーリエ変換を問5の結果に当てはめる. 8. フーリエ余弦変換,フーリエ正弦変換の定義式(2.61),(2.62)にf′′(t)を代入

し,部分積分を繰り返す. 9. 略 

(8)

10. フーリエ変換(2.55)の積分でet= uと変数変換する. つぎに複素u平面上で 偏角が0でu = 0からu =∞へと向かう経路C1,偏角が0からまで 無限に大きな半径の円周上を回る経路C2,偏角がu =∞からu = 0 まで進む経路C3の一周積分を行い,その中に含まれる極がu =±iであるこ とを利用して留数定理を用いる. 2.3節問略解 問1 1. 指数位数,4 2. 指数位数,3 問2 s 2− b2 (s2+ b2)2 問3 1 6(e 2t− e−4t ) 問4 1 2e t+1 (t + 1)2U (t + 1)5 1. 4(3s 2− 4) (s2+ 4)3 2. 1 16(1− cos 4t)6 1. 3 2e −t− 2e−2t+1 2e −3t 2.3 4e −t1 2te −t3 4e −3t 練習問題2.3 1. 1) 可,1 2) 可,0 3) 不可 4) 可,0 5) 不可 6) 不可 2. lim s→∞s 2 logs 2+ b s2+ a = b−a ̸= 0となり,式(2.101)の条件に反するので不可能. 3. sL {f(t)} − f(+0) − Je−st0 4.5. 指数位数でラプラス変換可能な関数については,式(2.105)が成り立つ. 6. 式(2.122)を利用せよ.

7. 1) (s cosh b + a sinh b)/(s2− a2) 2) (s sin b + a cos b)/(s2+ a2) 3) (s2+2)/[s(s2+4)] 4) 6/s4+6/s3+3/s2+1/s 5) 2/[s(s2−4)] 8. 1) (7− s)/(s2− 2s + 5) 2) (1− 5s)/(s2+ 2s− 8) 3) 4(3s 2+ 12s + 25) s2(s2+ 6s + 25)2 4) 1 s2 (π 2 − tan −1s a ) 5) e −(s+3)a− e−(s+3)b s + 3 6) [(2 + s)e−2s−(2−s)e−s]/s3 7) 4(s3+ 3s2−12s−4)/(s2+ 4)3 8) log(√s2− 1/s)

(9)

9. 公式[10]を繰り返し利用する. 10. 0 e−a2/4t t e −stdt =π se −a√s の両辺をa で微分せよ. 11. 1) (1− e−s)/[s(1 + e−s)] 2) (1 + e−πs)/[(s2+ 1)(1− e−πs)] 12. 1) t4e−2t/4! 2) [1−(1+2t+2t2)e−2t]/8 3) t sin at/(2a)

4) te−4tsin 3t/6. 5) − e−(t−s)(3 cos 3t + 2 sin 3t)U (t− π)/3. 6) 2(1− cos t)/t 7) (sinh at− sin at)/(2a3)

8) cos t + (sin t− cos t)U(t − π)

9) t{1 − U(t − a)} + (t − 2a){U(t − 2a) − U(t − 3a)}

+ (t− 4a){U(t − 4a) − U(t − ta)} + · · · =

n=0

(t− 2na)[U(t − 2na) − U(t − (2n + 1)a)]

13. 1) 1 8[3e

t

+ (sin 2t− 3 cos 2t)e−t] 2) 1 5e t1 5e −t+ 3 10sin 2t 3) t− 3 + e−t(3 + 2t + t2/2) 4) 2 45e 2t +e −t 18 (1 + 3t)− 1 10(cos t + 2 sin t) 5) 1 3a [ eat/2 ( cos 3 2 at + 3 sin 3 2 at ) − e−at ] 6) e−t(1− cos t + 2 sin t) 14.15.16. 式(2.114)よりΓ (n + 1) = 0 tne−tdt = nn+1e−n −1 (1 + z)ne−nzdz ここで t = n(1 + z) さらに (1 + z)e−z = e−u2/2 (z ≥ 0 u ≥ 0, −1 ≤ z < 0u < 0) により変数 u を導入すると,z = 0 のと き u = 0, |z|, |u| ≪ 1 では z ≈ u となる.これから n ≫ 1 のとき Γ (n + 1)≈ nn+1e−n −∞e −nu2/2 du =√2πe−nnn+12 となる. 17. S = Γ (p)Γ (q) = 0 e−xxp−1dx 0 e−yyq−1dy とおく.新しい積 分変数 u, vu = x + y, v = x/(x + y) と導入すると,2 重 積分の変換公式によりS = 0 du ∫1 0

dv e−u(uv)p−1(u− uv)q−1u =

0 e−uup+q−1du ∫ 1 0 vp−1(1− v)q−1dv = Γ (p + q)B(p, q)が得られる.

(10)

2.4節問略解 問1 y(t) = e−3t+ 5te−3t+1 6t 3 e−3t2 y = e2tsin 2t, z = e2tcos 2t3 e−4at 練習問題2.4

1. 1) (2 sinh t− sin 2t)/10 2) 5/18− t/3 − 2e−t+ e−3t/45 + 11e2t/30 3) (−9et+ 6tet+ 3e−t+ 6 sin t)/8

4) − et+ 7e4t/10 + et(3 cos t− sin t)/10

5) cos(t− 2)U(t − 2) − cos(t − 1)U(t − 1) + U(t − 1) − U(t − 2) 6) e −t 4 + et/2 4 ( 3 cos 7 2 t− 1 7sin 7 2 t )

2. 1) (1− π/2 + t)etsin t 2) e2t− 2 sin t

3) 1 2[1− e −t(cos t + sin t)] + k=1 (−1)k { (1− e−(t−kπ)[cos(t− kπ) + sin(t − kπ)] } U (t−kπ) 4) k = nπ (n = 0,±1, ±2, · · · )のとき,y = C sin kt,ただしCは任意定 数.k̸= nπのとき,y = 0

3. 1) x = −1 + et/5 + 14 cos 2t/5 − sin 2t/10, y = 4et + cos 2t/5 + 28 sin 2t/5

2) x =−2 + (−4t + 4et+ 2 cos t + sin t)/3, y =−2 + (−2t + 5et+ cos t

sin t)/3

3) y = 8e2t/45 + 2e−t/9 + 2te−t/3− 2 cos t/5 + sin t/5, z = −2e2t/45 +

4e−t/9 + 4te−t/3− 2 cos t/5 + sin t/5

4) x =−1 + 2et, y = 1 + et+ 2tet, z = 1− et+ 2tet

4. A(t) = 1− et/m+ (t/m)et/m, 0 < t≤ 1のときy(t) = 1 + (t/m− 1)et/m, t > 1のときy(t) = (t/m− 1)et/m+ (m− t + 1)e(t−1)/m/m

5. y(x)|a→0= W0 6EI { (l− x0)(2lx0− x20)x−(l − x0)x 3 + l(x− x0)3U (x− x0)} 6. I(t) = E0 Lωe −R/(2L)tsin ωt,ただしω = √ 1 LC− ( R 2L )2

(11)

7. 極はs = ae±π/4i, ae±3π/4i であるから 1 2a3 ( cosh√a 2t· sin a 2t− sinh a 2t· sin a 2t ) 8. t < 0ならRe s > 0のときRe st < 0となり,逆変換積分(2.168)において 積分経路の半円部分を図2.27とは反対側の右側の,被積分関数が特異点をも たない領域にとることができるため積分値がゼロとなる. 9. s = 0 が分岐点だから,σ = 0 とおき,積分形路を偏角 −πi−∞ か らゼロまで動く C1 と 偏角 πi でゼロから −∞ まで動く C2 に変形する. C1 ではs = ue−πi,C2 では s = ueπi とおくと ∫σ+∞ σ−∞ e −a√s estds = ∫0 exp ( −a√u e−πi/2− ut ) (−du) + 0 exp ( −a√u eπi/2− ut ) (−du) = 2i 0

e−utsin a√u du と な る .u = q2/a2 と お く と ,積 分 = 4i a2 ∫ 0 q sin q e−q2t/a2dq = 4i 2t 0 cos q e−q2t/a2dq = a πi t3/2 e −a2/(4t) が 得られる. 10. 逆変換積分(2.168)によって式(2.155)のy(t)を計算する.図2.28の積分経 路をとると,y(t) = 1 2πiσ+i∞ σ−i∞ estF (s)Z(s)ds = estF (s)Z(s)の各極にお ける留数の和 となる.仮定より極の位置はs平面の右半平面Re s > 0には 存在しないことから証明される. 11. 左側の回路に流れる電流をI(t),コンデンサに蓄えられる電荷をC(t)とする.

L{Ein} = (R + 1/(sC)) L{I}L{Eout} = L{Q}/C = L{I}/(sC)より, L{Eout} = (1 + sRC)−1L{Ein}これからZ(s) = (1 + sRC)−1なお,周波 数をωとすると,s = iω. 第33.1節問略解 問1 略 練習問題3.1 1. 3A− 10B + 9C

(12)

2. A =1 4(5X− 7Y + 3Z), B = 1 4(X + Y − Z), C = 1 4(3X− 5Y + Z)

3. i = ercos θ− eθsin θ, j = ersin θ + eθcos θ

4. i = (ersin θ + eθcos θ) cos ϕ− eϕsin ϕ, j = (ersin θ + eθcos θ) sin ϕ +

eϕcos ϕ, k = ercos θ− eθsin θ

3.2節問略解 問1 略 練習問題3.2 1. cos θ =− 1 14, sin θ = 195 14 2. A× B = 0だからA//B,またAB = 0によりA⊥ B.これを同時に 満たすベクトルBはゼロベクトル以外にありえない. 3. ± 11 55 (13i− 9j − 5k) 4. A = A1i + A2j + A3kとおき,A・i, [Ajk]などを計算せよ. 5. 2 8 ( 6±√7)i + 2 8 ( 6∓√7)j (複号同順) 6. 式(3.34)および(3.37)により(A× B)(C× D) = (AC)(BD) (AD)(BC)を示して,この関係を使えばよい. 7. 平面上の2つのベクトル(A− B)(C− B)A× B + B × C + C × A に垂直であることを示せばよい. 8. 三角錐の相隣る2辺を表すベクトルのベクトル積は,それらを含む面の面積の2 倍で,向きは面に垂直である.四角錐に対しては,これを2つに分けて考えよ. 9. sin2θ = 1− cos2θへ代入せよ. 10. まず,|A + B| + |C| > |A + B + C|を示せ. 11. 7 12. A1・A2= A1A3= A2・A3= 0を示せ. 13. A2= 2 7(5i− 6j − 3k), A 3= 1 35(−20i + 3j + 54k) 14. A = A1i, B = B1i + B2jとして証明する.

(13)

3.3節問略解 問1 s = aθ

2 t =− sin θi + cos θjn = − cos θi − sin θjb = k

練習問題3.3 1. aを定数,α(t)をtの関数とするとa = a(cos α(t)i + sin α(t)j)と書 ける. 2. A× B = 0の両辺をtで微分せよ. 3. A//Aなら,A= λ(t)Aと書ける. 4. dA/dt・(A× d3A/dt3) 5. X = A cos2t + B sin√2t,だたし,A, B は任意定ベクトル.また, Y =1 2(A sin 2t− B cos√2t)

6. A, B, C は任意定数として R = (A cos Ωt + B sin Ωt)i + (−A sin Ωt +

B cos Ωt)j + Ck 7. ±√1 34(3i− 4j + 3k) 8. sを曲線の長さとするとds =f1′2+ f2′2+ f3′2dtである.

9. ±(−a sin θi + b cos θj)/a2sin2

θ + b2cos2θ

10. t = nπ, θ = (−1)n+12nπ, nは正整数.

11. 微分して代入せよ.

12. dR

= a(1− cos θ)i + a sin θj, d2R

2 = a sin θi + a cos θj,

n = cosθ 2i− sin θ 2, θ = π 13. 4a ( 1− cosθ 2 ) 14. 両者は一般には一致しない. 15.16. t = 1 R2+ h2(−R sin u, R cos u, h), κ = R R2+ h2, n = (− cos u, sin u, 0), b = 1 R2+ h2(h sin u,−h cos u, R)

(14)

3.4節問略解 問1 2x i + 2y j + 2z k2 0 問3 0 練習問題3.4 1. A = 2(x + y + z), ∇ × A = −3(i + j + k)

2. ∇(AB) = 2xyz(i + j + k) + yz(y + z)i + zx(z + x)j + xy(x + y)k, (A× B) = y3− z3+ z3− x3+ x3− y3 = 0, ∇ × (A × B) =

−3{yz(y + z)i + xz(x + z)j + xy(x + y)k}

3. ∇f = −r−3eκr(κr + 1)R, 2f = r−1κ2eκr= κ2f

4.7.

8. 式(3.76)においてA = Bとおけ.

9. 前問の結果を利用せよ.

10. ∆A = ∆Axi+∆Ayj+∆Azk. ∇(∇A) = (∂x2Ax+∂x∂yAy+∂x∂zAz)i+

(∂y∂xAx+ ∂2

yAy+ ∂y∂zAz)j + (∂z∂xAx+ ∂z∂yAy+ ∂z2Az)k. ただし, ∂x2Axなどは,∂2Ax/∂x2などを意味する. 11. A = (cx + e)i + (dy + f )j +{−(c + d)z + g}k.ただし,c, d, e, f, gは任意 定数. 12. A = c1i + (−2z + c2)j + (3x + c3)k.ただし,c1, c2, c3は任意定数. 13. n =±√1 21(−i − 2j + 4k), x + 2y − 4z = −1 14. cos θ = 3(1 +√6)√7/28 15. 2つの座標系において, i ∂x + j ∂y + k ∂z = i ∂x′ + j ∂y′ + k ∂z′ および,次式を示せばよい. ∂V1 ∂x + ∂V2 ∂y + ∂V3 ∂z = ∂V1 ∂x′ + ∂V2 ∂y′ + ∂V3 ∂z′ 16. tをも含む(t, x, y, z)空間で考えるとよい. ∂f ∂t + u ∂f ∂x + v ∂f ∂y + w ∂f ∂z = 0

(15)

3.5節問略解 問1 略 問2 略 練習問題3.5 1. (a) xによる積分I:27, II:9, III:, IV:II - I =−18, V:36 5 yによる積分I:8, II:14, III:6, IV:II - I = 6, V:37 5 (b) I:29, II:11, III:11, IV:−18, :465 (c) I:35, II:23, III:313, IV:35 2. V //dRである. 3. 0 4. 1 3 5. 球座標を使う.∫∫∫ V f dV = 15j, ∫∫ S fndS = 0, ∫∫ S (∇ × f)dS = −πi 6. 171 32π 7. ∫∫ S pn・dS = 2πa 3ρ 0g 3 k (kz方向の単位ベクトル) 8. S =C rds, V = 2π ∫∫ S0 rdS 9. S = 4π2ah, V = 2π2ha2 10. ∫∫ S x2y2z2dS = πh 2a6 12 + πh3a5 6 , ∫∫∫ V x2y2z2dV = πh 3a6 36 11.

12. x = r cos θ,y = r sin θとおけ. 13. 3 2 πa 2 14.15. 式(3.104)で∇ = ϕAととれ,Aは定ベクトルである. 16. 式(3.104)で∇ = ∇ϕととる. 17. 式(3.104)で∇ = V × Aととる. 18. fの各成分に対して,式(3.106)を使う. 19. gの各成分に対して,式(3.104)を使う. 20. ガウスの発散定理において,f = ϕ∇φととった式を使う.

参照