博 士 （ 理 学 ） 大 坂 裕 夫
学 位 論 文 題 名
PSEUDO ・ EIGENVALUES OF ワ レ OPERATORS ON HILBERT R/IODULAR FORIVIS
（ヒトベルトモジュラーフオーム上のW 作用素の凝固有値に関する研究）
学位論文内容の要旨
Fをn次 の 総 実 代 数 体 と し ， そ の 整 数 環 をOFと す る ．Fの ＾ ッ ケ 指 標 Xの 導 手cond(x)に 対 し ，cond(X)Icな るFの 整 イ デ ア ルcと れ ケ の 自 然 数 の 組 七 〓 (ki， あ2‥ ゜ ，k） に つ い て 定 ま る ヒ ル ベ ルト 尖 点 形 式 の 空間 を 鍬 （c， ゆ ） ， ま た ， そ のnew formか ら な る 部 分 空 間 をSk(c， り と 表 す ， ア を 鍬 （c， サ ） の 元 と す る と ， ア （ ； ； ） ， （ ジE磁 ，xEFA） の フ ー リ エ 展 開 か らFの 各 整 イ デ ア ルnに っ い て フ ー リ エ 係 数C(n， ア ） 、ECが 定 ま る ． ま た ，Fの 整 イ デ ア ルnに 対 し て 鍬(c， ゆ ） 上 に は ＾ ッ ケ 作 用 素 ぞ(n） が 定 義 さ れ ，Sg(c， サ ） は 全 て の ＾ ッ ケ 作 用 素 に っい て 閉 じ て い る．
ヒ ル ベ ル ト 尖 点 形 式 ア が (1)アESk(c，功 ；
（2）（n，c） =1なる全てのヰ（n）に対して，fITc'(n)〓A(n，ア）ア，(A(n，ア）E C）と なる；
′
(3) C(oF，ア）‑1；
を 満 た す と き ， ア を原 始 形 式 で ある と い う ． この と き ，A(n， ア ） ＝C(n， ア ） と な る ．
整 イ デ ア ルqをqlc， （q，c/q)＝1を 満 た す も の と す る と き ，cond(X)lq か つ ，xI（ °F/q) ＝ ゆI（ ゜F/q) を 満 た す へ ッ ケ 指 標Xに 対 し て， 楕 円 尖 点 形 式 に お け る ア ト キ ン ・ レ ー ナ のinvolutionの 拡 張 と な るW作 用 素 Wq(cX)： 鍬 （c， 仂 → ＆ （c， ゆ ギ ） が 定 義 さ れ る． 原 始 形 式 アESg（cIサ ） に 対 し て は ， あ る 原 始 形 式gE Sk(c，lpX2)に よ ル ァIWq(cX)＝Ag，(AEC） が 成 立 す る ．Aを ァ に 付 随 す る 剛 豊 の 擬 固 有 値(psuedo―eigenvalue)と い う ， 原 始 形 式 gは 素 イ デ ア ルpに 対 す る フ ー リ エ 係 数C(p，g） が ヮ （p， ア ）I （p，q） =1の と き ，
∞M￣ ； 辮
（p）C（p， ア ） ，(p q） ≠1の と き ，
と な る も の と し て 一 意 に 定 ま る ． こ こ で ，X゛ はXに 付 随 す るFの イ デ ア ル 群 上 の 指 標 で あ り ， 石 は ロ の 複 素 共 役 を 表 す ，
上 に 定 義 さ れ た 擬 固 有 値 を 決 定 す る こ と が 本 論 文 の 目 的 で あ る ， 整イ デ ァ
5 ‑
ルql，q2をqiICっ(qi，c/qi)＝lt（ ＝1｜2），(ql，q2) =1を満た すもの とし ， ヘッケ指標X1，X2をcond(Xi) lqiかっ，Xil（°F/q ） 〓ゆ｜（°F/qi) j（i=1｜2） を 満 た す も の と す る と き ， 具 体 的 に わ か る 定 数cに よ りWq(cq)2，Xlx2 ‑ c Wqc)xエWq(2)Xユ と な る の で，clが 素 イデ ァ ル の 冪 であ る 場 合 を 調べ れ ぱ よ k丶．
主 定 理 ア E Sk(c， サ ） を 原 始 形 式 ， pをplcな る 素 イ デ ァ ル と し ， eo ‑ oTdp(COTrd（ 伽)，e＝ordp(c)と お く ． ヘ ッ ケ 指 標Xをcond(X)ゆ ° かつ，xI（°F/p ） 〓ゆ1（゜F／p ） を満たすものとし，ア｜Wp(eC)X＝Agっ（9E Sk(C, .q)X2)：原始形式，AEC）とする．
(1) e ‑ eoな ら ぱ ， IC(p, f)l = N (p)(ko−1） ／2≠ oで あ り ,
A = Xp(‑1)（ゆX)'(Pe)N (pe)(k0 ‑2)/2gp (X)C(p, f)‑e
であ る ． こ こ で，ko〓max{ki，k2， … ，k｝ ，Xーxlc゜F/p゜ ） で あり ， 9p(X)はXのpに 於 ける 局 所 ガ ウ ス和 で あ る ，
（2） e‑l，eoニニ ：0な ら ぱ，C(p，f)2： ゆ゛(p)N (p)ho―2≠0であ る，更 に，
x ldに 対 して ，
A‑ーN(p)l‑ko/2C(p， ア ） で あ る ．
(3)e＞ ―2か っe冫eoな ら ぱ ，C(p， ア ）=0で あ る ， 更 に ，3eo＜ −eな ら ば ，
A2a＝ GPa)゛(pe)
で あ る ． 但 し ，0は ゅI（ °F/peo） の 位 数で あ る ． 特 に ，ゆ が 有 限 位 数 で あ る な ら ぱ ，Aは1の 冪 根 で あ る ，
(1)，(2)の 場 合 はT.Miyake:Modular forms，SpringerーVerlag，Corollary 4.6.18の 拡 張 で あ り ， そ こ で の 議 論 と 同 様 の 方 法 で 示 さ れ る ．(3)は 楕 円 モ ジ ュ ラ ー 形 式 の 場 合 で も 新 し い 結 果 で あ り ，twist作 用 素RxとW作 用 素Wq(,cX)と を 組 み 合 わ せ て 定 義 さ れ る 作 用 素 取 の 性 質 を 調 べ る こ と に よ り 証 明 さ れ る ．
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学位論文審査の要旨 主査 教授 三 宅敏恒 副査 助教授 前田芳孝 副査 教授 山 下 博
学位論文題名
PSEUDO ‐EIGENVALUES OF ワレ OPERATORS ON HILBERT IN/IODULAR FOR /IS
（ヒトベルトモジュラーフオーム上のW 作用素の凝固有値に関する研究）
た ， N が 自 然 数 ， X が (Z/N Z) の 指標 であ ると する ．ヘ ッケ の楕 円モ ジ ュラ ー 群 r'o(N) 関 す る 重 さ が た の モ ジ ュ ラ ー 形 式 の 空 間 ＆ (N ， X) に 対 し て 】 次 元 1 定 理 が 成 り 立 っ て い る ， こ れ は 体 を 拡 張 し Q を n 次 の 総 実 の 代 数 体 と し た ヒ ルベ ルト モジ ュラ ー 群に 対し ても 成り 立つ ．こ のと きっ レベ ルを 割り 切る よ うな 素 因 子 p に 対 し て へ ッ ケ 作 用 素 の 擬 固 有 値 に 対 し て 新 し い 結 果 を 得 た ． F を n 次 の 総 実 代 数 体 と し ， そ の 整 数 環 を OF と す る ． co'nd(X) ｜ c な る F の 整 イ デ ア ル c と n ケ の 自 然 数 の 組 k‑ (ki ） 協 冖 ． ） k,,) に つい て定 まる ヒ ルベ ル ト尖点形式の空間を＆（c ，砂）とする．ここでSk(c ，砂）が定義され7 その基底とな る原始形式f が定義される．
ま た ， 楕 円 尖 点 形 式 に お け る ア ト キ ン ・ レ ー ナ の involution の 拡 張 と な る W 作用素Wq( cx) ：＆（c ，ゆ）―→＆(c ，y)X2) が楕円尖点形式の場合とまったく平行に 定 義 さ れ る ． こ の と き 、 著 者 の 求 め た 主 定 理 は 次 の よ う に 述 べ ら れ る ， 主 定 理 fE 鍛 （ c ） l ） を 原 始 形 式 ， p を plc な る 素 イ デ ア ル と し ， eo 二 二 ニ ordp(co'ndp)),e ＝ordp(c) とおく．ヘッケ指標X をcond(X)lp °かつ，XI(oF/p ゜） ＝ ゆ I(OF/p ° ） を 満 た す も の と し ， fl Wp(c), エ ニ ニ Ag と す る ， (1)e‑ eo ならば，A がX の局所ガウス 和を用いて表される，
（2 ）e ＝1 ，eo ニニ0 ならば，C(p ，f)2 ：砂゛(p)N (p)ko ー2 ≠0 であり，X 二二ニid な らば
A ＝ ‑N (p) トko/2C(p ）f ）
である．ここで，C （plf ）はf の係数である．
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（ 3 ）e ≧ 2 かつ e 冫 eo ならば， C(p ， f ） =0 である．更に，3eo ＜ーe ならば，
A2cr ：（ゆ゜）゛（p °）
である． 但し，a は q の位数で ある．特 に，砂が 有限位数で あるならば，A は 1 の冪根で ある・
(1) ，(2) の場合はT.Miyake:Modular forms ，Springer‑Verlag ，Corollary 4.6.18 の拡張であり，そこでの議論と同様の方法で示される， (3) は楕円モジュラー形 式の場 合でも新 しい結果 であり， twist 作用素 Rx と W 作用素Wq(CX) とを組み合 わせて定義される作用素Vx の性質を調べることにより証明される．さらに）主 定理の応用として著者はいくっかの重要な結果を得た，
以上により，著者は北海道大学博士（理学）の学位を授与されるに値する業績 を示したものと認められる．
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