TYPES OF FAITHFUL METACYCLIC 2-GROUPS

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SUT Journal of Mathematics （】Formerly TRU Mathematics） Vbl㎜e 28， Number 1（1992），2346

TYPES．OF FAITHFUL METACYCLIC 2−GROUPS

YoulcHI IIDA AND TosHIHIKo YAMADA

（Received April 6，1992） ABsTRAcT． Let X be a’ D complex irreducible character of a 2−group G． By Roquette，s work， X is classified into quaternion type， dihedral type， semidihedral type and cyclic type． In the paper we explicitly classify irreducible characters of metacyclic 2−groups． Also given are remarks on Roquette，s work． AMS 1991 Mathmatics Subj’ect Clαssificαtion． Primary 20C15；Secondary 20D15． Keyωords and phrases． Metacyclic， quaternion， dihedral， and semidihe− dral group， primitive， imprimitive， induced character．

1．Introduction

Let Q denote the rationals． Let G be a 2−group and x be an irreducible character of G．（lrreducible means complex irreducible．）Then there exist subgroups Hレ1V in G， and there exists a character（ρof H such that ）cニgc， Q（）c）ニQ（g）， ker p＝Nand

H／N≡≡Qn（n≧2）or 1）n（n≧3）or Sl）n（n≧3）or（7n（n≧0），（1．1）

where Qη， Dn and SDn are， respectively， the generalized quaternion， di− hedral and semidihedral group of order 2n＋1， and On is the cyclic group of order 2”（see Theorem 2．12）． This result is essentially due to Roquette l7］， and seems known to experts in the丘eld． In Section 20f the paper， we give its proof along the Roquette，s work， where the notion of imprimitivity plays a fundamental role． We also prove that an irreducible Q lq−module is imprimitive if and only if a correspond− ing complex irreducible character is imprimitive（Theorem 2．6）． Now an irreducible character）（of a 2−group G is defined to be（ぴQ−type 23

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24 _{METACYCHC 2−GROUPS}

or D一伽e or SD−type or C−type according to（1．1）． Without loss of gener− ality， we may，assume that X is faithfU1． A 6nite group G with a f泊thful irreducible character is called aプ’aithj勉1 groμp． A natural question arises：丘従α1ωαy8励e伽舌α〃‡んe声〃朔伽e4％C硯e cんaracters of a∫faithful 2−group Gαre 9∫the 5αme‡仰）e g We will call it the乃pe Problem of faithful 2−groups． If all the faithful irreducible characters of G are of the same type， we simply say that G is qf Q−type or D−type or SD−type or C−type． Here we note that if x and）（’ are algebraically conj ugate characters， then）（and． w’are of the same type． But there exists a丘nite 2−group G with fdithful irreducible characters X and）（’such that X and X’are not algebraically conjugate． The purpose of the paper is to determine the type of an irreducible character of a metacyclic 2−group． As a by−product， we see that the Typ．e Problem is aMrmative for all faithfUl metacyclic 2−groups． In Section 3， we will classify all faithful metacyclic 2−groups． Iri Section 4，we will prove the fbllowing： The faithful metacyclic 2−groups of Q−type are precisely Qn（n≧2）． The faithful metacyclic 2−groups of D−type a re precisely Dn（n≧3）． The faithfu1 metacyclic 2−groups of SD−type are precisely 5Dη（n≧3） and the fbllowing groups G： G−〈・，b 1 a2” 一 b2￡−1，励一1一α一1＋2 t＞，（2≦t≦れ一2）． All other faithfu1 metacyclic 2−groups are of C−type． Notation． C， R and Z are respectively the complex numbers， the real numbers and the integers． R）r a finite group G， Irr（G）is the set of irreducible char㏄ters of G． FIrr（G）is the・set of faithful irreducible characters of G・F（）r）c∈Irr（C）， mQ（x）is the Schur index of）（over Q． R）rapositive integer d，ζd is a primitive d−th root of unity．

2．Remarks on Roquette，s work

we recall the definition of iinprimitive irreducible Q［G｝module（see Roquette l7D． As is remarked in l7］， the concept．・of imprimitivity origi− nates in Witt l8］． Let G be a丘nite group． L・et頒be all irreducible Q［q’−module． Put

S＝EndQ［q（頒）， the skew一丘eld of Q［q−endomorphisms of肌 We re−

gard頒as the right Q［q−alld left S−module．飢is called mP惚禰一

加e，if there exist left S−modules飢1，飢2，＿，飢r（r≧2）such that

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Y．IIDA and T． YAMADA

25 頒＝飢1㊥飢2㊥…㊥飢rand that飢1，班2，＿，飢r are transitively per−

muted by G． Pu七9τ＝飢1． Let H be the group of elements九∈Gsuch

that 9τん＝飢． Then l G：H「1＝r． If G＝Hgl U Hg2 U… UHgr， then

効＝Stg1㊥9tg2㊥…O 9tg。，

動竺飢⑧Q［珂Q｛G］・

If頒is not imprimi七ive， then Qn is called primitive． Lemma 2．1（Roquette［7， p．243D． Notation bei皿g the same as above， S＝EndQ［c］（捌）i≧EndQ［Hl（飢）・ Lemma 2．2（Roquette［7， Lemma 1］）． If G has a faith血1， primitive， jr−

reducjble Q［q−module頒， the皿every abelian llormal subgroup of G js

cyclic． Theorem 2．3（Roquette［7D． Let p be a pr輌me． Let G be a p−group such that every abelian皿ormal subgroup of G is（］yclic． The皿G・itself is（）yclic，

except（］＝＝Qn（n≧2）or（］＝Dn（γL≧3）or G＝S1）n（n≧3）．

F（）rafield K of characteristic O and for a finite group G with）（∈ Irr（G）， A（X， K）is the simple component of K［G］which corresponds to X・F（）raring S and a positive integer t， Mt（S）is the complete matrix ring of degree t with coef丘cients in S．

Here we state a fundamental theorem about induced character and

Schur index． Theorem 2．4． Let G be a finite group and H a sUbgroup of G． Let （ρ∈Irr（H）such that（ρG∈Irr（G）alld Q（gc）＝Q（9）． Pu亡）（ニ（ρG and K＝Q（〉（f）ニQ（〈P）．・Then there exis亡s a sketu−field s central over K such

that

m＝mQ（X）＝mQ（9）＝ IS：Kl，

・4（x，Q）竺Mx（1）／m（S）， A（（ρ， Q）…≧ハ侮（1）／m（S）・ Proof． This is part of the Brauer−Wit七theorem（cf． Yamad4［10，（IV） of p・31］）． we also note that A（）c， Q）1A（x， K）and A（9， Q）ny A（9， K），（cf．［10， Chap．1D．口

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Definition 2．5． Let G be a finite group and X∈Irr（G）． X is called imprimitive， if there eXists a proper subgroup H of G with g∈Irr（H） such that）（＝gG and Q（x）＝Q（9）． If x is not imprimitive， then）（is called primitive．

Tlleorem 2．6． Let（］be a五nite group wit力X∈Ir「（G）・Pu亡m＝mQ（X）

and K＝Q（x）・Let頒be an∫rreducible Q［q−module励jch aff（）rds t血e

character M Z）σ∈g xσ of G，吐ere g＝Gal（κ／Q）・The皿頒js jmprimf輌e if and only’if x is imprimitive． ProOf． Suppose first that効is imprimitive． We use the same notation as befbre． So there exist a proper subgroup H of G and an irreducible

Ql珂一module 9T such that

G＝正19iリHg2∪… UHgr，（ア≧2），

頒＝飢g1（D偵92㊥… ㊥貌9r竺飢⑧qH】Q［q，（2・1）

S＝EndQ｛G］（劾）＝EndQ［H】（飢），（2・2） and S is a skew−field centra1 over K． It follows from（2．2）that七here exists ψ∈Irr（H）such that Q（ψ）＝K， mQ（ψ）＝mQ（x）， and the character of H 雄brded by gt is precisely mΣσ∈σψσ． By（2．1）， we have

mΣxσ一（mΣψσ）G−mΣ（ψσ）G・

σ∈ρ 、 σ∈9 σ∈9

Hence

Σxσ＝Σ（ψσ）G・ σ∈c σ∈9 1t fbllows easily that fbr someア∈9， X＝（ψア）G． Putting g＝ψτ， we have x＝1ρG、and Q（）（）＝Q（9）， so x is imprimitive． Conversely， supPose that）c is imprimitive． Then there exist a proper subgroup H of G and 9∈Irr（H）such that）（＝gc and K＝Q（x）＝Q（P）．

By Theorem 2・4・m＝MQ（X）＝mQ（9）・Put・X＝mΣσ∈g Xσandφ＝

mΣσ∈σ 9σ，where 9＝Gal（K／Q）・Then

φG−（mΣ9σ）G−mΣ（（pG）σ一mΣ’xσ一x・

σ∈9 σ∈9 σ∈9 There exists an irreducible Q［珂一module飢which a狂brds the characterφ of H． Again by Theorem 2．4， S＝EndQIGI（頒）＝Endq司（飢）・（2・3）

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Since X＝φG， it fbllows that 頒竺飢⑧Q［H】Q［G］．（2・4） as Q［G］−modules． we conclude from（2・3）and（2・4）that頒is imprimi−− tive．口 Remark 2．7． If Q is replaced by an arbitrary field of characteristic O， then Lemmas 2．1 alld 2．2， and Theorems 2．4 and 2．6 also hold． Corollary 2．8．∬a五n∫te group G has a faithfu1， Primitive， i「「educible character X， then eve】ry abelian norma1 subgroup of G is（）yclic・ Proof． This follows immediately from Lemma 2．2 and Theorem 2．6．□ Let G be a finite group and）（∈Irr（G）． It is clear that there exist a subgroup H of G andψ∈Irr（H）such that x＝ψG， Q（x）＝Q（ψ）， andψ

is primitive．（Possibly， H＝Gandψ＝X．）Put」V＝kerψ．ψis regarded

as a character of正1／2V， which is denoted byψ． It is easy to see thatψ is primitive， becauseψis primitive． Then by Lemma 2．2， every abelian normal subgroup of H／N is cyclic． Thus we have Corollary 2．9． Let G be a finite group and X∈Irr（G）． Then there exist

subgroups・H＞Nin G with the folloWing properties：

（i）Every abelian n・rmal subgr・up・f H／1V fs（）yclic・（ii）There existsψ∈Irr（H）such that kerψ＝」V，）（・＝ψG and Q（）c）＝Q（ψ）．（Possibly， H・＝Gandψ＝）（．） In the notation of Corollarly 2．9， if G is a 2−group， thell by Theorem

2．4，H／N is isomorphic to Qn（n≧2）or Dn（n≧3）or SDn（n≧3）or

acyclic group， a皿dψis regarded as a faithful irreducible character of one of the above groups． The fbllowing results are well−known．

Proposition 2．10． Putζ＝ζ2n．

F・・9∈FIrr（Qn）， Q（9）ニQ（ζ＋く一1）， MQ（9）＝MR（q）＝2，（n≧2）． For g∈FIrr（Dn）， Q（q）＝Q（ζ＋ζ一1）， mQ（P）＝MR（9）・＝1，（n≧2）． For（q∈FIrr（SDn），Q（9）＝Q（ζ一ζ一1）， MQ（9）＝mR（9）＝1，（n≧3）・

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Moreover， forψ∈FIrr（Qn）， A（g，Q）9（−1， Q（ζ），り＝Q（ζ）・1＋Q（ζ）・u． u2＝＝−1， uζu−1＝ζt＝ζ一1， where（−1， Q（ζ），りis a（ryclic algebra central over Q（ζ＋ζ一1）．（2．5） ProOf By the method in［9］we have（2．5）and the following： Fbr 9∈FIrr（Dn）， A（9， Q）or−（1， Q（ζ）， L）． Fb・9∈FI・・（sDn）， A（9， Q）1（1， Q（ζ）， r），ζ’・ζ一1＋2n−1． Both cyclic algebras split． Furthermore we have （−1，Q（ζ）， L） XQ（く＋ζ一・）R9（−1， C， t）， where the right side is the Hamilton’s quaternion algebra（over R）． Hence f・r 9∈FIrr（Qn）， MR（9）＝mQ（9）＝2．ロ Now Corollary 2．9， Theorem 2．4， Theorem 2．3 and Proposition 2．10 yield the following Theorems： The・・em 2・11・L・t G b・a・P−9r・・p b≠2）and・X∈Irr（G）． Th・P・th・・e exist a subgroup H of G and（9∈Irr（H）such that’ x＝gc， Q（）c）＝Q（9）， and H／ker P is cyclic・In particular， Q（x）＝Q（Cpn）for some n≧oand the Schur index MQ（X）＝1．． The・rem 2・12・L・t C be a 2−9・・up a皿d X∈Irr（G）． Then t力ere・・xist subgroups H＞」v of G and（ρ∈Irr（H）such that x＝gPG， Q（x）＝Q（9）， 1V＝kerψand・ne・f・the・f・11・wing h・1ds：

（i）H／N1Qn伽≧2）， mQ（x）＝2， Q（x）＝Q（ζ＋ぐ1），

（ii）H／」v 2！ Dn（n≧3）， mQ（x）＝1， Q（x）＝Q（ζ＋ζ一1），（iii）H／N竺SDn（n≧3）， MQ（x）＝1， Q（x）＝Q（ζ一ぐ1），（iv）H／1v竺σゴ（n≧o）， mQ（x）ニ1， Q（x）＝Q（ζ），励ereζ＝ζ2・・瓦励e㎜・re， mQ（）C）＝mR（）C）． Finally we will determine types of the 2−groups with a cyclic subgroup of index 2． Put Mn−〈・， b，1 a2n−b2＝1， b・b“1ニα1＋2 1＞，（n≧3）．

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Y．HDA and T． YAMADA

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It is well−known that if a non−abelian 2−group G contain． a cyclic sub− group of index 2， then G is isomorphic to either Qn（n≧2）， Dn（n≧ 2）， S1）n （n≧3）， or Mn（n≧3）． Theorem 2．13．．Qn（n≧2）is of Q−type． Dn（n≧3）is of D−type． D2， the dihedral group of order 8， is of C−type． SDn（n≧3）is of SD−type． Mn （n≧3）js of C一句！pe． Proof． We only need to prove that D2 and Mn． are of C−type． Put D2＝〈・，b，1α4＝b2＝1，b・b−1＝α一1＞， 9（1）＝2，9（α2）＝−2，9（勾＝Of・・x∈D2（x≠1，・2）， H＝〈・2＞×〈b＞，θ（・2殉＝（−1）i，（i，元＝0，1）． ’ ・，「 ‘ It is easy to see that（ρis the unique faithful irreducible character of D2，ψ is induced from the linear character e of正1：g＝θD2，and Q（g）＝Q（θ）＝Q． Consequently， D2 is of C−type． The faithfUI representations of Mn ＝〈α， b＞are the fbllowingこJu （2†〃）： Uu（・）一 iτζ・（・』π一））， Uv（b）一（！；），（ζ一く・n）・こ1レand［ん’（〃≠〃’）have the same character if and only if v’≡〃（1十2n−1）（mod 2n）． The character X“ofσレis as fbllows： Xu（a2’）＝ 2ζ2’”，（0≦i＜2”−1）， X。（x）−0，呼〈α2＞． Hehce Q（Xu）＝Q（ζ2・一・），（n≧3）， and so Mn is of C−type． We remark that）（〃＝θダπand Q O（“）＝Q（θ“）， whereθレis七he linear character of H＝〈α2＞×〈b＞given by θ“（α2τめニζ2”i，（0≦i 〈 2”−1，ゴ＝0，1）．（Cf． Fbrd［3， Section 4］）．ロ・

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30 _{METACYCLIC 2−GROU？S}

3．Classification

In this section we will classify faithfu1 metacyclic 2−groups． The center Z（G）of a faithfUl metacyclic 2．group G is cyclic（cf． Isa㏄s l5， Theo− rem（2．32）D． Let G contain a cyclic normal subgroup、A ＝〈α＞of order 2π， n≧2，with a cyclic factor group C／A＝〈Ab＞of order 2t，￡≧2． Then we

may write

G−〈・，b 1 a2”−1，b2t−a2m，b・b−1−・・〉，

n＞2，n≧m≧1， t≧2，2†rand r≠1（mod 2n）．

（3．1）（3．2） 1・fa・t， if b2t一α2m・，2†α， th・n w・hav・th・f・・m（3．1）by・epl・・i・g・ withαα． Furthermore， we hqve r2t ﾟ1（m・d・2n）， r≡1（mod 2n→pa）．（3．3）（3．4） Conversely， it is well−known that if n， m， t and r satisfy（3．2），（3．3） and（3．4）， then（3．1）de丘nes a metacyclic group G＝〈α， b＞of order 2n＋tt Lemma 3．1． The int（）gers r satis」fying（3．3）are given by t力e f（）110wing．︵i︶（ii）（iii）

n＝2，

n＝3，

’n≧4， r≡土1（mod 22）， r≡圭1，土1十22（mod 23）， r≡土1，土1十2n−1（mod 2n），

and

r≡土1十k・2nLl（mod 2n），

（3．5）

wh ere 2≦1≦min（t， n−2）and 2仕，1≦k＜2t．

Proof． Clear．口 First we will consider n＝2． We necessarily have r≡−1（mod 22）． The condition（3．4）means−一 1≡1（mod 22−m）， so m＝10r 2． We nQ七e that Z（C）＝〈α2， b2＞． Since Z（G）is cyclic， we haVe b2t＝α2 ．−Then it、 is easy to see that G＝〈α， b＞＝〈b， ab2t−1＞竺Mt＋1． So we get the fbllowing．

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Proposition 3．2． Let G be a faith血1 metacyclic 2−group defined by （3．1）一（3．4） w1’th n＝2． Then G二≡Mt＋1． Next we will consider n≧3． We denote the order of x∈Gby o（x）． Case I． r is a primitive 2−th root of 1（mod 2n）（i．e．， r≡−1，土1十 2n−1（mod 2n））．（i）r≡−1（mod 2n）

By the condition（3．4）we have−1≡1（mod 2n−m）． So m＝nor

n−1．We note that Z（G）＝〈a2” 1， b2＞． Since Z（G）is cyclic， it fbllows easily that b2t＝a2”nt 1．Hence m＝n−1． So we have G、一〈・，b i ・2”−1，b2tニa2n’1，b・b−1一α一1＞．

（ii）r≡1十2n−1（mod 2n）

From（3．4）we have 1十2n−1≡1（mod 2n−m）． So m≧1． We note

that Z（G）＝〈α2， b2＞． Since Z（G）is cyclic， we have b2t＝α2， i．e．， m＝1． W・fi・d七h・t G−〈・， b＞一〈b， a−1b2t−1＞竺Mn＋ト1．1・f・・t， o（b）＝2t×2n−1＝2n＋t−1，（α一・b2t“1）・一α一・b2t”1α一・b2t”一α一・α一（・＋・n”1）2“’1 b2t ＝α一’a−’b2t ・・ 1，（・一’b2t’1）b（・一’b2‘’1）−1 一 afflb・一α一1α1＋2””b −（b2t）2n”2b ・， b1＋2”＋t−2．（iii）r≡−1十2n−1（mod 2n） From（3．4）we have −1十2n−1≡1（mod 2n−m）． So mニnor n−1． We note that Z（G）＝〈a2”−1， b2＞． Since Z（G）is cyclic， we have b2t＝α2”−i i．e．， m＝n−1． So we have G−〈・，b1 a2” −1，b2t ＝・a2”一’， b・b−’ ＝α一1＋2”’1＞． But this group is isomorphic to the group in（i）． In fact G＝〈α， b＞＝

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32 _{METACYCHC 2−GROUPS}

〈・b2‘一㍉b＞

竺G1：

（・b2t−1）2−a2b2t一α2（’＋2n−2），…（・b2t‘”）−2n．（・b2￡−1）2九㌔α2 1（b2t）2 2一α2 1−b2t． b（・b2t”1）b−1ニα一1＋2n−’b2t”1，（・b2￠−1）−1＝α一1b−2t−1＝α一’a2”“’b2‘“1＝α一・＋2竹一’b2t−1，・・b（・b2t−1）b−1−（・b2t−1）−1．

Summarizing， we have・

Propositio皿3．3． Let G be a∫滅th血11 me古aqγcljc 2−group de五ned by （3．1）一（3．4）wl’th n≧3． Suppose that r js a primitive 2一古h robt of 1 （mod 2n）． Then G 1．Mη＋￠＿10r G1，励ere G、＝〈・，b1 a2” ・1，b2t ＝ a2”−1，励一1＝α一1＞． Case II． r is a ptimitive 2i−th root of 1（mod 2η），2≦ In七his case n＞4． 1≦min（t， n−2）．（II−1）r≡1（mod 4）（i．e．， r≡1十k・2n−t（mod 2n），2tk for some k）． By the c・nditi・n（3・4），1＋k・2””≡1（m・d 2η一m）・S・m≧1・・Th・ group defined by（3．1）is isomorphic to

G＝

〈・，b 1 a2”−1， b2t 一 a2M， b・b−1−al＋2””〉．（3．6） In fact， there exists vk such that（1十2n一りvk≡1十k・2n−t（mod 2n）．

Then we have

G＝〈α，b＞＝〈aVk， bUk＞ 2〈・，b1α2” 一 1， b2t ・． a2M，b・b−1一α1＋k・2””〉． W・n・t・th・tZ（G）＝〈a2’， b21＞．

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Y．IIDA and T． YAMADA 33 （i） 2 ≦ 1 ＜ t． Since Z（G）is cyclic， we have b2tニα21，i．e．， m＝1． So the group G in （3．6）is of the fbrm：、 G、一〈・，b1α2n−1，b2‘ ・・ a21，b・b−1一α1＋2n−’〉．（ii）2≦．1一ち（t≦n−2）． Z（G）i・necessa・ily・y・li・becau・e Z（G）＝〈α2亡〉．1・thi・cas・th・g・・up Gin（3．6）is isomorphic to the fbllowing G3：『 G，一〈・，blα2n＝1，b2t−1，b・ゲ1−・1＋2 t＞． 1・deed bec・u・e 2・ll・2t−・and 2−・ll卜・， w・hav・2・ll・1≒・．S・・h・・e

existsゴsuch that

ゴ（1＋・＋…＋・2L1）＋2m≡0（m・d2・）．恥・thi・ゴ，（・ゴb）2㌧・ゴ（・＋・＋…・・2t−1）b2㌧・． C・n・eq。・ntly〈。， b＞一〈α，α」・b＞：！ G3．（II−2）r≡−1（mod 4）（i．e．， r≡−1十k・2n−1（mod 2n），2擁fbr some k）． By the condition（3．4），−1十k・2n−t≡1（mod 2n−m）． Then−2（1−k・ 2n−1−1）≡…0（mod 2n−m）．So we have m＝n or n−1 because n−1−1≧1． As in（II−1）， the group defined by（3．1）is isomorphic to G−〈・，blα2n・．1，b2t 一・a2M，励一1一α一1＋2 ‘〉．（3．7） In fact there exists Yk such that（−1十2n−1）uk≡−1十k・2n−t（mod 2n）．

Then we have

G＝〈α，b＞＝〈αUk， bレk＞ 9〈・，blα2π一1，b2‘ 一・a2’n，b・b−1一α一1＋k・2”“’〉． W・n・t・that z（G）一〈α2 1， b2t＞．

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_{METACYCLIC 2−GROUPS}

（i）2≦1＜孟・・ Since Z（G）is cyclic， we have b2t＝α2n−1，i．e．， m＝n−1． So the group Gin（3．7）三s ofthe fbrm： G、一〈・，b；・2” ・・ 1，b2t一α2“∴b・b−1一α一1・2””〉．（ii）2≦1＝ち（t≦η一2）・ Z（C）i・・ecessa・ily・y・1i・becau・e Z（G）ニ〈・2”＝1＞．1・thi・cas・th・ group G in（3．7）is isomorphic to the fbllowing G5： G、一〈・，bl・2n−1，b2t−1，b・b−1＝α一1＋2n−￡〉． 1・deed becau・e・2・・ll r2t−・・nd・2・ll卜1， w・hav・2・一・1ド1≒・．S・・h・・e

existsゴsuch that

ゴ（1＋r＋…＋r2t’1）＋2m≡0（m・d2・）： Th。n（。ゴb）2t−。」（1＋・＋・…r2t−1）b2t−・． C。n，eq。，ntly〈・， b＞一〈・，・・b＞ i≧G5．

Summarizing， we have

Proposi七ion 3．4． Let G be a faithfu1 meta（：yclic 2−group defined by（3ユ）一（3．4）with n≧4． Suppose that r is a primitive 2i−th root of 1（mod 2π）， 2≦1≦mil1（‡， n−2）． Then G is isomorl）hfc to one of the ft）110wing groups： G，一〈・，b’ 1 a2” −1，b2‘一α2‘，b・b−1一α1＋2 t＞， G、一〈・，bl・2” ＝1，62iニ1，b・b−1＝・1＋2n−t＞，t≦n−’2， G、一〈・，blα2π一1，b2t 一 a2”−1，励一1一α一1＋2 ‘〉， G，一〈・，bl・2” …1，b2t＝1，b・b−1一α一1＋2”．−t＞，舌≦n−2．

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Y．IIDA．and T． YAMADA 35 Thus we have explicitly determined all the faithful metacyclic 2−groups

G．We’

№奄魔?@the orders of Z（G）and G’as follows． z（G） lz（G）1

_α

1α1

G1

〈b＞ 2ε 〈α〉 2η一

G2

〈b21＞ _{2π＋￡−21} 〈α2π一1＞ ₂₁

G3

〈α2￠〉 2n一亡〈α2 t＞ 2t

G4

〈b2’〉 _2ε一1＋1 _〈α2＞ 2n−1

G5

〈α2π一1＞

₂

〈α2＞ 2η一1 Mπ＋￡＿1 〈α2＞ _2η＋z−2 〈α2叶ト2＞

2

Qπ＋t＿1 〈α2π＋亡一2＞ 2 〈α2＞ 2π＋￡−2 Dπ＋ト1 〈α2π＋‘−2＞

2

〈α2＞ 2π＋￠−2 3Dπ＋t＿1 〈α2π＋ε一2＞

2

〈α2＞ 2η＋￡−2 1七fbllows from this table that these groups are non−isomorphic to each other．

4．Determination of the type

First we quote the following theorem from Yamada［9， Theorem 1］．

Theorem 4．1． Let G be a metabelian group wl’th a刀abeljan normal

subgr・up A such that G／A is abelian． Let．κbe an algebraical！y c1・sed 五eld whose（］haracteristic does not divide IGI． Then・f（）r eve・y jrreducjble K−representation U of G， there exists a one−dimensiona1 representation th of a certain subgroup H whjch contains A， such thatσ＝ψG． Afaithful representation of a faithful metacyclic group is easily ob一七ained from the abOve theorem． Lemma 4．2． Let G be a faith血1 metacyclic group of order nm． Let

G＝〈α，blαn＝1， bm＝α8， bαb−1＝αつ， where（n， r）＝1，・8≡

8（mod n）alld rm≡1（mod n）． Let t≧2be the least integer such

that rt≡1（mod n）． Then every faithfu1 representation js∫nduced丘om

Ht＝〈α，め．

(14)

36

_{METACYCHC 2−GROUPS}

Proof． We note that Ht＝〈a，めis a normal abelian subgroup such

that G／Ht is abelian， because Ht⊃G’＝〈α卜1＞and Z（G）⊃〈bt＞． It fbllows from Theorem 4．1 that every irreducible representation of G is induced ffom a one−dimensiona1 representation of H．＝〈α， bu＞for some

u，ult． All the onedimensional repreSentations of Hu are given by

ψ警）β，0≦α＜du，0≦β＜晋， such that

thEY），・α一ζ乳， b㌔鑑ζ4，

where du＝（η， rU−1）． Th・i・duced・ep・esent・・i・n・fψC）， i・d・n…dby破％．

破％・aH

b卜→ ζ緩．

0

く㌃

ζ㌫ζ藍

u u 1 tt−1 ζ㌃ ■ ’． 1 0 ■ ， If咋）βi・f・ithf・1， th・nζ乳m・・t b・ap・imiti・・n−th…t・f・unity，・・

u＝t．口

Corollary 4．3． Let G be a faithful meta（）yclic group． Let （and X’∈ FIrr（G），ψ∈Irr（G）． Then X（1）＝X’（1）and X（1）≧ψ（1）． In the rest ．of the paper， we will use the folldwing

Lemma 4．4（【1， Corollary（45．4）D． Let G be a麺te group and H a

subgroup of G． Let T be a one−dimensi・na1 representation of H． Then・the induced monomial representation TG of G is irreducible if and only if， for

e㏄h呼H，there exists y∈X−iHx∩H such that T（y）≠T（xyx−1）．

Now we will determine the character field Q（κ）for each faithful irre− ducible character）（of the groups Gl， G2， C，， G4 and G5．

(15)

Y．IIDA and T．・YAMADA 37．（1）G、＝〈・，bl a2” ＝ 1， b2tニa2n−1，励一1＝α一1＞（n≧3， t≧2） Put G＝GI and H＝〈α， b2＞． It丘）llows from Lemma 4．2 that every ）C∈FIrr（C）is induced from a linear character of H such that

θ“，。・αHζ；。，b2Hζ￡，

where O≦v＜2n，0≦μ＜2t and v≡μ（mod 2）． Then we have the

induced representation of G： ’” 一

u・，・・一

iζを・ 00 ζ鋭），b−（曇；）・

whose character isθ￡μ・ By Lemma 4．4，σレ，μis irreducible， if and only ifζ；π≠〈i㌫レ， i．e．，〃≠0，2n−1（mod 2n）． Next we consider when．an irreducible representation Uu，μis faithful． If 21〃， then ker（Uu，μ）∋a2n−1． So we have 2↑y， consequently 2｛μ． SinceしTu，μis induced加m the normal subgroup H’＝〈α， b2＞， it followS thatθ緩μ（αゴble）＝0，2†k． We See thatαゴb2k￠．ker（θ實μ），1≦k＜2t−1． In fact， supPose that （；1）−u・，・（・・b・・）一ζ貧（ζぎ，一゜．，〃ゴ）・ Th・nζ貧ζ詔一1，ζ姶㌫”ゴ＝1，・・d・・ζ銘一ζ㌫”ゴ． Since・2・1・v， it・f・ll・wS

th・tゴ≡0，2”’1（m・d・2n）， and・・礎＝土1． Thi・i・a…t・adi・ti・n，

because 2｛μand 1≦k＜2t−1．Thus we have proved thatθ緩μ∈Flrr（G）

ifa皿d only if2・｛v．

We have

θ緩・（・・bり一

o1ξ／・ぽ・），：il：

Consequently， ifθ緩μ∈FIrr（G）， i・e・，2↑u， then Q（θ￡∪）−Q（ζ・n＋ζ言・ζ・t）一｛雛：1；’

_n≧t，

n1_ｮt． Hence Gl is of C−type．

(16)

38

_{METACYC口C 2−GROUPS}

（II）G、一〈・， b．’1 a2n−1， b2t一α2㌧励一1一α1＋2”“t＞

（2≦1＜t， 1≦n−2）

Put（？＝G2 and H＝〈α， b2i＞． It fbllows from Lemma 4．2 that every X∈Flrr（G）is induced from a linear character of H such that θ。。・α⇔磁b2㌦ζ茅、＋t．、t，

where O≦〃＜2n，0≦μ＜2n＋t−21 and〃≡μ（mod 2n一り． Then we have

the induced representation of G： σレ，μ：α｝→ bト→ ζを。

0

ζ；≦1＋2π一り ζ㌫．t−、t 香 1 ．．．．．・ ● ’． 1 0 ζ芸・＋・n−’）21−’ ・， By Lemma 4．4， Uu，μis irreducible， if and only if v≠〃（1十2n一りゴ（mod 2n），1≦」＜21． This is clearly equivalent to・ the ’condition 2 t u． We next show that every irreducible representation Uv，μis faithful． Since・Uu，。i・i・duced加m th…rm・1・ubg・・up H−〈・， b2t＞， it・f・ll・w・ th・tθ￡。（・ゴbh）−0，2’ t k． W・・ee th・t・ゴb2’k ￠ k・・（θ緩。），1≦k＜2t−’． In fact， supP（∼『e that

（1…、）一砺醐り

一ζ㌫．。

ζ㌶ ζ芸1＋2n一リゴ・．． ζ芸・＋・n−t）2L1・・ Th・畷1＋2””’）αゴζ㍑．tご21−・，・≦α＜2t．1・剛i・u1・・， f・・α一・and・， ζ㍑．，．、、ζ㌶一・，ζ㌫、、ζ募1＋2””）」−1，and・・ζ；2一ζ募1＋2 リゴ． Since

(17)

Y∴IIDA and T． YAMADA

39

21．〃，i・f・ll・w・・h・・ゴ≡・（m・d 2り，・・d・・ζ；1瑠2‘＋μk・一・． Thi・i・a・ contradiction， because 2†μand 1≦k＜2t−1． Thus we have proved that

暖蕊「麟麟隠丘。ldQ（θ．（，。）．．硫。、

σ。，。（α28豆）＝ ζ㌶8ゴ ζ芸1＋2π一り23」， ● ζ；1・＋・n一り2t 一一125・

where O≦8＜land 2 tゴ． R）r eachαand k（0≦α＜28，0≦k＜2↓−8），

there eXispsβ∈Zsuch that

ζ日二・〃（1十2n−1）2‘−8α＋k一ζ9二・〃（・＋・ 3β）α（・＋2n−‘）k ＝ζ9，ニゴ〃（1＋2冗一星）お． Similarly， we have ζ9二・〃（・＋2n−‘）21−s’1＋m一ζ3二・U（1＋・ 3−1）（・＋・n一りm ： 1．一 cg二・・（・＋・n−’）m＋・h−’」u（・＋r””）m ＝一ζ3二豆〃（1＋2n一りm，

where O≦m＜21−8−1．So we haveθ緩μ（a2sj）＝0，0≦8＜land 2｛ゴ． It

i・easily・een th・t eg，。（α2s」）＝21ζ㍑．。，1≦・≦n・and・2 tゴ・Th・・，

θ￡・（・・め一｛1；㍑∠蹴，：：1蕊友

W・n・teth・tθ緩。vani・h…nG−Z（G）・C・n・eq・・ntl鮪ifθ￡。∈FIrr（G），

i．e．，2†〃， then Q（θ￡μ）＝Q（ζ2n一ε，ζ2n＋・一・・）＝Q（ζ2n＋ト21）．耳ence G2 is of C−type．

(18)

40 _{METACYCLIC 2−GROUPS}

（III）．C、＝〈・， b 1 a2”＝1， b2⊆α2 ㌧0ψ一1＝α一1＋2”．一’〉．．

（2≦1＜t，1≦π一2）

P・tG−C、 and・H−〈・， b・’〉． lt・f・ll・w・丘bm Ldmm・4．2 th・t・y・・y X∈Flrr（G）is induc6d f士om a Iinear character．of H su6h that

θ“，。・一ζ脇，b2’Hζ￡．峠、，

where O≦u＜2n，0≦μ＜2t−1＋1 and〃≡μ（mod 2）． Then we have the

induced representation Of G： Uレ，μ：αト〉 bト〉 ζを・

0

ζ募一1＋2n−‘） ζ￡．1＋、 1 ■ ’． 1 0 ζ募一・＋・n“t）21’1 ， By Lemma 4．4，［1レ，μis irreducible， if and only、if〃．≠〃（−1十2n一りゴ（mod 2n），1≦ゴ＜21． This is clearly equivalent tq the condition 2†v． We next show that every irreducible representation Uレ，μ・is faithfu1． Since Uv，。i・induced・ft・m th・n・・m・1・ubg・・up H＝〈・， b2t＞， it・f・ll・w・ th・tθ￡。（・ゴめ一〇，2t t k・W・・㏄th・t・ゴb2’k ￠ k・・（θ緩。），1≦k＜2t−t． In fact， supPose that

（1…1）−u・，・（㎡囲

＝ζ芸色1＋、 ζ詔 ζ募一1＋2 リゴ ζ4−・＋2 ）21”j ● Th・畷一1＋2””t）α」ζ芸色、＋、−1，・≦α＜2・． IW・i・ulai，’f・・α一・and・，鑑乞、＋、ζ詔、一・，ζ芸と1＋、ζ芸一1＋2”一リゴー・，and・・ζ募．一ζ4−1＋2 り・．Since

(19)

Y．IIDA、 and T． YAMADA

41

2恒i七f・ll・w・th・tゴ≡0（m・d 2 1），・・d・・土ζ芸を1．、一 1． Thi・i・・

contradiction， because 2↑Pand 1≦k〈2t−1． Thus we have proved that

θ緩μ∈Flrr（G）if and only if 2†〃． we now consider the character field Q（θ￡μ）・we have σ“，。（α23ゴ）＝ ζ鍔8ゴ ζち一1＋2””）2S」・・， ζ；‘一・＋2 り2t”12S・

where O≦8＜land 2｛ゴ． For eachαand k（0≦α＜28，0≦k＜21−s），

there existsβ∈Zsuch that

ζ3二・・（一・＋・n“’）21−8α＋k一ζ三・〃（・＋・ 8β）α（一・＋・りk 一ζ；ニゴレ（−1＋2ザ．

Similarly， if O≦8＜t−1and O≦m＜2t−s−1， then

ζ≧ン（一・＋2”“’）21−8−1＋m一ζ日：・〃（・＋2n”s’1）（一・＋2π一一ζ；ン（−1＋2 りm＋2n“’」・（−1＋2 りm −一ζ；ニゴy（−1＋2n−’）n’， and fbr 8＝1−1， ζ；：−1ゴv（−1＋2n一膓）一ζ㌶ε一1・・＋2n−1・・一一ζ㌶1−1ゴ・． So we have fbrゴ，2｛」， θ緩・（・2sゴ）一｛1；一・（ζ㌫一ζ諸．、），2三lj∴−1’ It i・easily・een th・tθ￡。（α2sゴ）−21”1（ζ召．、＋ζ諺。），1≦・≦・and 2け Thus， θ三。（・ゴめ一 0， 21−・ζ鵠、（ζ募∠…tl’一ζ㌶名ト1）， 2・−1ζ鵠、（ζ鵠＋ζ㌶／2’）， 2t−1 tゴor 2t†k， 2』−111ゴand 211k，

211ゴand 211k．

(20)

42

_{METACYCLIC 2−GROUPS}

C・n・equ・ntl況ifθ緩。∈Flrr（G）， i…，2恒the・ Q（θG”，μ）＝Q（ζ2n−i＋・一ζ云と1＋、，（；2・−t＋・）

一｛篭：二㍑

n≧ち

n＜t．

Hence G4 is of C−type．（IV）G、＝＜・， bl a2” 一 1， b2t−1， b・b−1＝α1＋2”’t＞（2≦t≦n−2） Put ．G＝G3 and H＝〈α〉． It follows from Lemma 4．2 that every X∈FIrr（G）is induced from a linear character of H such that θ〃： α ｝一→ ζ脇．， where O≦y＜2n． Then we have七he induced represen七ation of G：

UU：αト〉

bト〉 ζを・

0 1

令． 1 ζ袈＋2”’t）．・・ ’． 1 0 ．． ζ募・＋・n”t）2t’1 ， By Lemma 4．4， Uv is irreducible， if and only if〃≠レ（1十2η一t）」（mod 2n），1≦元く2ちThis is clearly equivalen七to the condition 2↑〃． If 2↑〃， thenθ〃is a faithful character of H＝〈α〉， and soθ9∈Flrr（G）． Thus we have proved thatθ9∈FIrr（G）if and only if 2｛v． We now consider the character field Q（θ9）． We have Uu（α28ゴ）一 ζ鍔3ゴ ζち1＋2n一り23ゴ・． ζ；！・＋・n”t）2t ”1 2S 」’ ，

where O≦8＜舌and 2†ゴ． For eac O＜k＜2トs），

there exists p∈Zsuch that

ζ；二・・（・＋・り2t−3α＋k一ζ；二・・（・＋・n−3β）α（・＋・n一りk 一〈3，：ゴu（1＋2轡．

(21)

Y．IIDA’and T． YAMADA

43

Similarly， we have 一 ζ日二・〃（1＋2”’t）2t−s’1＋m一ζ日1・〃（1＋2n−3−1）（1＋2”’t）m −．ζ日ニゴレ（1＋2冗一t）m＋2「’−1」”（1＋2n−t）m −一ζ9ニゴ”（1＋2n−t）m，

where O≦m＜2t’s『1． So we haveθ9（α23元）＝0，0≦8〈tand 2｛元． It

i・ea・ily・een七h・七θ9（α28元）−2tζち．。， t≦・．≦n・nd 2／ゴ・Th・・，

θ9（・・’・b・）一｛1ご；：1；1蕊2㌧

．We note thatθg vanishes on G−Z（G）． Consequently， ifθ9∈Flrr（G）， i．e．，2｛〃， then Q（θ9）＝Q（ζ2n−t）． Hence G3 is of C−type． We no七e that this group was treated by Ford［3， pp．599−600］．

（V）G、一〈・，blα2π一1，b2t−i，b・b−1−・−1＋2”’t＞（2≦t≦n−2）

Put（］ニG5 and H＝〈α〉． It fbllows from Lemma 4．2 that every X∈Flrr（G）is induced from a linear character of H such that θり：α←→ζ；九， where O≦〃＜2n． Then we have the iIlduced representation of G： σレ：αト今 b F−一）・ ‘ 51・・

0 1

1 ζち一1＋2n−t）゜． 1 0 ζ募一・＋・n’t）2t−1 ，

(22)

44

METACYCLiC 2二GROUPS’

By Lemma 4．4，σレis irreducible， if and only if〃≠〃（−1十2n一り元（mod 2n），1≦ゴ＜2t． This is clearly equivalent to the condition 2｛〃． If 2｛〃， thenθ〃is a faithful character of H＝〈α〉， and soθ9．∈Flrr（G）． Thus we have proved that e9∈FIrr（G）if and only if 2｛Y． We now consider the character丘eld Q（θ9）． We have Utr（α2sゴ）一 ζ蠕3」 ζ；霊一1＋2n−t）2sゴ． ■ ． ζ；‘一・＋2”“t）2t‘12s」，

where O≦8＜tand 2｛グ． 0≦k＜2t−s），

there eXistsβ∈Zsuch that

ζ；ン〃（一・＋・n一り2t−8α＋k一ζ㌫・・（・＋2n−sβ）α（一・＋2n−t）k 一ζ㍗（−1＋2π一り’e．

Similarly， if O≦8＜t−1and O≦m＜2ト3−1，then

ζ；：・・（一・＋・nL‘）2t−s−1＋m一ζZゴu（・＋2n’s’1）（一・＋・n”t）m 一ζ…二」”（−1＋2”’t）fn＋2n−1」レ（−1＋2””t）’n −一ζ；ン（−1＋2””t）m， and fbr 8＝t−1，1 ζZ−1ゴu（−1＋2n−t）一ζ㌻一1ゴ〃＋2 1ゴ・一一ば一’」u． So we have for i 2†ゴ，舶一｛0，2t−1（ζ募＿、＋、一ζ云㌘，＋、），1三1二：−1’ It i・ea・ily・ee・th・tθ9（α2sゴ）−2t−1（ζ㍑．。＋ζ；㌘。）， t≦・≦n・and・2 tゴ． Thus， θ9（・ゴbk）＝ 0， 2t−・（ζち∠る1一ζ㌶后1）， 2・一・（ζぽ＋ζ認／2‘）， 2t−1 t元or 1≦k＜2t， 2t−11［ゴand kニ0， 2‘1ゴ’and k＝0．

(23)

Y．IIDA and・T． YAMADA

45

Consequently， ifθ5∈．Flrr（G）， i．e．，2†〃， then Q（θ9）＝Q（ζ2n−t＋・一ζ云L＋、）， b・・au・eζ、n−t＋ζ云と、一（ζ・n−t＋・一ζ㌫L・ナ・）2＋2・H・nce・G・i・・f SD−t｝Tpe・

Thus we have

Theorem 4．5． Le亡Gbe a企」右h血1 metaqycljc 2−group． ff X， X”∈

Flrr（G），’then X and X’are・f the same typ巳 Theorem 4．6． The f減hfUI metacydjc 2−groups of Q−type are precisely Qn（n≧2）． The・faithfu1 meta（：yclic 2−gr・ups・f D−type are precisely Dn（n≧3）． The faithful metacyclic 2−groups of SD−type are precisely SDn （n≧3）and G5． All other faithful metacyclic 2−groups are of（）− type． Corollary 4．7． Let ）（be a faith血1 jrreduc∫ble character of a faithful meta（；yclic 2−group G． The皿mQ（X）＝ 1 except Cニ（？n・

REFERENCES

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121 ︻3︼︻4］

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TYPES OF FAITHFUL METACYCLIC 2-GROUPS