代 数的K理 論 における群完備化 カテゴ リーの普遍性 を もつモデル
丹
羽
雅
彦
AModel with Universal Property of Group Completion Category in Algebraic K.theory
*M asahiko NIWA
Abstract
The group completion category S'S defined by D.Quillen for a symmetric monoidal category S has not the universal property in the category of symmetric monoidal categories(Z.Fiedorowicz,
R.Thoma-son). We construct a model equipped with universal property of group completion category in the categ・ ory of symmetric monoidal categories with weak equivalences which are analogous to出e ones in Wal-dhausen's algebraic K-theory. In this paper written in Japanese I shall describe an outline of my paper in preparation"Pseudo colimits over abelian monoids and group completion categories in algebraic K・ theory". 1.問 題 と 結 果 Mを 可 換 モ ノ イ ド と す る 。 演 算 は 加 法+と し,単 位 元 は0と 書 く。Mに(代 数 的 な)群 完 備 化 κ(初 が 対 応 す る 。 κ(初=・M×M/∼ こ こ で,∼ は 次 で 定 義 さ れ る 同 値 関 係 。(α,う), (らの ∈M×Mに 対 し, (4,う)∼(c,勿 ←>6+み+∫=6+う+!; ヨ ∫ ∈M (α,ろ)∈M×MのK(1ゆ'に お け る 類 をC(Q,ろ) と書 き, C(6,う)十C(ら の=C(6+ら う+切 に・よ り ん(初 の 演 算 を 定 義 す る と,κ(初 は 単 位 元 がC(0,0)の 可 換 モ ノ イ ドで,さ ら に, 任 意 の 元C(α,う)は 逆 元C(b,a)を も っ か ら ア ー ベ ル 群 に な る 。 ご:M→ κ(初 をf(o)=C(0, 召)で 定 義 さ れ る 準 同 型 写 像 とす る 。 そ の と き, (K(M),f)は 次 の よ う な"普 遍 性"を も っ て い る 。 ∫:!吟GをMか ら ア ー ベ ル 群Gへ の 任 意 の 準 同 型 写 像 と す る と き,∫=g。 ∫を 満 た す 群 準 同 型 写 像g:K(初 →Gが 唯 一 つ 存 在 す る 。 即 ち,/はK(初 を 通 っ て 一 意 的 に 分 解 す る 。 こ の よ う な"普 遍 性"が,可 換 モ ノ イ ドの カ テ ゴ リ ー 対 象 へ の 一 般 化 で あ るsymmetric monoidal category(単 にs.m. categoryと 書
く)に 対 して 成 立 す る 事 が 期 待 され る 。 と こ ろ が,D. Quillen[6]に よ っ て 定 義 さ れ たs.m. category Sの 群 完 備 化 カ テ ゴ リ ー515は,こ の よ う な 普 遍 性 を も た な い の で あ る 。 sm. category Tがgrouplikeと は, Tの 連 結 成 分 の な す 可 換 モ ノ イ ド πoτ が ア ー ベ ル 群 と な る と き言 う 。 πo(515)≡ ≡κ(πoS) と な り σ13はgrouplikeに な る 。 s.m. categ-ory 3か らgrouplike s.m. category 7'へ の
1992年9月18日 受 理
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丹羽雅彦
monoidal functorが513を 通 っ て 一 意 的 に 分 解 す る と い う 形 の 普 遍 性 は 成 立 しな い 。 こ の 事 は,Fiedorowiczの 論 文[2]の 誤 り を 指 摘 す る と い う形 でThomason[12]に よ っ て 示 さ れ た 。 しか し な が ら,(出 発 点 に お い て 誤 っ て い る が)Fiedorowiczの 普 遍 性 を 用 い たpairing の 構 成 は 実 に 簡 潔 で あ る。 群 完 備 化 カ テ ゴ リ ー が 普 遍 性 を もつ な ら ば,そ れ に 関 連 す る構 成 や 定 理 の 証 明 が 簡 略 化 で き る と と も に,代 数 的K 理 論 の 基 本 的 事 項 の 記 述 を 統 一 的 な もの に で き る と考 え ら れ る 。 問 題1.1. Quillenの も の と は 別 の 普 遍 性 を も つ 群 完 備 化 カ テ ゴ リ ー の モ デ ル を構 成 せ よ 。 私 は,こ の 論 文 で こ の 問 題 に 対 す る 一 つ の 答 え を 与 え る 。 基 本 的 な 着 想 は,category of s.m. categoriesの 枠 内 で 考 え る の で は な く, Waldhausenのalgebraic K・theory of categor-ies with cofibrations and weak equivalences[13]の 発 想 を 受 け 継 い で,category of s.m, categories with weak equivalencesへ と 枠 組 み
を 拡 張 す る こ と で あ る 。
定 義1.2. 対 (S,zap)がsymmetric monoidal category with weak equivalences(単 に 鼠燃o罐 喀 ・ 鍔 膨 励 徴 ￠ と 言 う)と は,次 を 満 た す も の 。 (a)ε はSm. categoryで あ る 。
(b)ω は8のsubcategoryでthe subcategory 薮3)of S consisting of isomorphisms of Sを 含 む 。 (c)ω のset of morphismsはGabriel-Zisman [3]の 意 味 でacalculus of left fractionsを admitす る 。 (d)脚 は5のs.m. structureに 関 し て い る 。 注 意:こ の 定 義 は,Waldhausen[同 上]の category of weak equivalencesよ り(c)が や や 強 い 条 件 に な っ て い る 。
定 義1.3.s.m. category with w.e.(7;の は, Tのsm, structureの 誘 導 す る 可 換 モ ノ イ ド
πoη(πoTで な い!)が ア ー ベ ル 群 に な っ て い る と きgrouplikeと 呼 ば れ る 。
さ て,考 え る 枠 組 み は 次 の カ テ ゴ リ ー で あ る 。 対 象 はs.m. categories with w.e.(5;切 で,射
(⑤ 面) → (7;♂) は monoidal functors 3[ω 一ユ]→7[τ 一1]か ら な る 。 こ こ で,5[ゴ1] は3のmor(切 に 関 す るGabriel-Zismanの 意 味 で の 局 所 化(category of fractions)を 表 す 。 主 な 目 的 で あ るs.m. category with w.e.に 対 す る 群 完 備 化 カ テ ゴ リ ー の 定 義 を 与 え よ う 。
定 義1.4.s.m. category with w.e.(5;")の group completion category k(S, w)は,次 の よ
う に 定 義 さ れ る 。
・(恥)=(殖 ∫8[姻,動
こ こ で,… 磁 は 可 探 モ ノ イ ド πoω のtransla-tion category。 可 換 モ ノ イ ド πoω の カ テ ゴ
リ ー8[が1】 の 上 へ の 作 用,即 ちpseudo func-for 7:πo勿 →Cat(但 し, Cat=2-category of small categories, functors and natural transformations)で γ(unique object)= 5[ゴ エ]と な る も の を 考 え る 。 そ し て,pseudo functor
γ:π0初 → π0τけ→Cat
か らGrothendieck constructionに よ りcofi. bered category 励 ∫8[w幽1]→ 稲 を 構 成 す る 。 最 後 に,切 は,こ のcofibered categoryのcocartesian morphismsか ら な る 婦 ∫8[ゴ1]のsubcategoryと す る 。
そ の と き,我 々 の主 要 結 果 は次 の定 理 で あ る。
主 定 理1.5.(1)κ(8切 はs.m. category with w.e.で あ る 。(2)7r ow-K(7C OW)。 特 に,κ(&切 はgrou- plikeに な る 。
(3)sm. categories with w.e.の 間 の 射(扇 面)→ (7;ψ)はtheir group completion categories の 間 の 射 κ(8切 → κ(7;")を 誘 導 す る 。 (4)(Universality)s.m. category with w.e.(⑤ 励 か ら grouplike s.m. category with w.e. (7;η)へ の 射 はgroup completion category κ(S,w)を 通 っ て, natural isomorphismを 除 い てuniqueに 分 解 す る 。
2.主
定 理 の証 明 の 概 要
主 定 理1.5の 証 明 に は,私 自 身 の 以 前 の 仕 事 [7]即 ち,可 換 モ ノ イ ド のtranslation categoryの 上 のlax colimitに 関 す る い く つ か
の 結 果 とSGA 4[10]M6に お け るfiltering categoryの 上 のpseudo colimit(SGAで はin・ duction limit of fibered categoryと 呼 ん で い
る 。)に 関 す る 結 果 を 必 要 と す る 。 (1)の た め ・ カ テ ゴ リ ーnow f S[ガ]の 対 象 と射 を考 え る 。 対 象 は,対(α,幻 こ こ でaは 可 換 モ ノ イ ド πo割 の 元 でXは8の 対 象 。 射 (Q,.X)→(b,Y)は,対(d, a)こ こ で4は α +4=う と な る πoω の 元 で,α:γ(のX→y は5[び1]の 射 。 但 し,γ(の:8[ガ]→8[ω 一1] は πoω の5[ω 一1]の 上 へ の 作 用 を 表 す 。s.m. structure iま (α,幻(D(う,y)=(4+ろ,x(ヨ)Y) に よ っ て 誘 導 さ れ る 自 然 な も の で,1.2の(a), (d)の 証 明 は 易 し い 。(b)は 明 ら か 。(c)は,爺
がfiltering categoryで あ る こ と か ら, SGA 4 班6で 証 明 な しで 述 べ ら れ て い る 事 のcofi-bered categoryへ の 変 形 を考 え て,証 明 は 長 く な る が 難 し く は な い 。 (2)を 示 す た め,ω の 射(cocartesian morphisms)の 次 の よ う な 解 釈 が 必 要 に な る 。
補 題z.1.蘇
可8[萌
の射
く4・):(4
X)→(6,め が ω に 含 ま れ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,α が 測[び1]の 射 と な る こ と で あ る 。 (3)の た め,ま ず 歪(8[び1])=切[毎1L f(7[v1])=η[げ1]に 注 意 す る 。 こ れ か ら, π0(∫(5[ガ]))=.π 。w,7r。(∫(T[げ1]))=π0" を う る 。 さ て,monoidal functor S[ω 一1]→T[び1]は 可 換 モ ノ イ ド の 間 の 準 同 型 写 像 sow→ π0η を,従 っ てcofibered categoriesの 間 の cocartesian functor磁
∫S[ゴ1]一
婦
∫T[v1]
↓ ↓ π0τθ → 7rOv を 誘 導 す る 。cocartesianと な る 事 か ら ω の 射 を ηの 射 に 写 し,よ っ てGabriel・Zisman局 所 化 の 問 の 射(爺
∫5[ガ])[面1]
→(布
∫'T[び1〕)[言1]
が 得 ら れ る 。 こ れ は,κ(S,)→ κ(7;切 に 他 な ら な い 。 (4)の た め,私 の 論 文[7]Proposition 1.5 を 必 要 と す る 。 補 題2.2.可 換 モ ノ イ ドMが カ テ ゴ リ ーXに 作 用 し て い る と き,lax colimit訂 ノ'Xを 構減 し,自 然 なfunctor(0上 のfiberのinclusion) ∫:X→ 皿 ∫Xを 考 え る 。Mが ア ー ベ ル 群 なら ば,fのright adjoint functorが 存 在 す る 。
こ の 結 果 はmonoidal structureを も つ 場 合 に 拡 張 で き る 。sm. category with w.e.(男 切 がgrouplike(即 ち πoη が ア ー ベ ル 群)の と き, monoidal functor
衛
∫T[ガ1]→T[ガ1]
で,自 然 なinclusion functorのright adjoint と な る も の が 存 在 す る 。 さ て,合 成functor
稀
ノ'3[ガ]一
掃!T[げ1]→7[び1]
はcocartesian morphismsをisomorphismsに 移 す こ と が 証 明 で き る 。 従 っ て,monoidal functor(舶
∫5[胡)[奮1]→T[げ1]
が存 在 す る。 これ が,下 の3角 にお け る点線 の
射 であ る。
(⑤") → (7;7)
↓
ノ
,' κ(5;ω) こ の3角 がnatural isomorphismを 除 い て 可 換 に な る 事 お よ び 点 線 の よ う な 射 がnatural iso・ morphismを 除 い て 一 意 的 で あ る 事 は,上 の adjoint性 か ら 容 易 に得 ら れ る 。 こ の よ う に して,主 定 理1,5は 証 明 さ れ る 。 3,補 足 我 々 の 群 完 備 化 カ テ ゴ リ ー κ(8;ω)が 意 味 あ る も の で あ り,Quillenの518と 同 等 の 資 格 を 持 ち,よ り扱 い 易 い もの で あ る 事 を 示 す た め に, 私 自 身 の(多 く は未 公 表 の)結 果 の い くつ か を4
丹羽雅彦
補 足 しよ う。
(1)Quilen.は,代
数 的K理
論 の2つ
の 定 義:
+構 成 とg構 城 との 同値 性 を証 明 す る た め に
(+=9定
理)群
完 備 化 カ テ ゴ リー515を
考
えた 。我 々の 場 合,対 応 す る結 果 は次 の もの で
ある 。
定 理3.1.Pをsemisimple exact category (i.e. Quillenの 意 味 でexact categoryで あ り, そ の 総 て のexact sequencesがsplitし て い る も の 。)と し,5をisomorphisms of Pか ら な るs.m. categoryと す る 。 そ の と き,ホ モ ト ピ ー 同 値 B(廓 ∫ 畠 田 ・・cartesian m・ ψ 傭 硲}一1] 窪 ΩB(グ8P が 成 立 す る 。 こ こ で,左 辺 は π08の8の 上 へ の 作 用 に 関 す るpseudo colimitのclassifying spaceで あ り,右 辺 の σ8PはQuillen O)QP
に お い てadmissible epimorphismsにsplitting が 指 定 さ れ た カ テ ゴ リ ー を 表 す 。 Ω は ル ー プ 空 間 の 意 味 。
② こ の 仕 事 で 中 心 的 役 割 を 果 た す 可 換 モ ノ イ ドのtranslation categoryの 上 のlax colimitと pseudo colimitに つ い て,そ れ ら の 関 係 を与 え
る次 の 結 果 が 重 要 で あ る 。
定 理3.2.11をfiltering category,γ:孟 → Catをpseudo functorと す・る と き,ホ モ ト ピ ー 同 値
lax colim 7=:pseudo colim 7 が 存 在 す る 。
こ・の 定 理 は,.Giraudの 定 理[4]とBous-field-Kan[1]に よ るfiltering categoryの 上 のhomotopy colimitに 関 す る 結 果 とThoma-sonのHo皿otopy Colimit Theorem[11]を 用 い て 証 明 で き る 。
(3)(2)に 関 連 し て,pseudo colimitはsplit化 (私 の 論 文[8]を 参 照)の(usual)colimitと 同 値 に な る 。 こ の 事 か ら,homology calculus
命 題3.3. ∬*(β(1げ ∫ ⑳).M'協*(,B幼
但 し,丑*()はhomology group with integ一
ral coefficientsを 表 す 。
の 証 明 は,Quillenの よ う にspectral sequence を 用 い る 事 な し に 直 接 分 か る 。 (4)亙 を 可 換 モ ノ イ ドMのcofinal部 分 モ ノ イ ド と し,.Mが カ テ ゴ リ ー ぶ に 作 用 す る と き, αソ『inality theorem 命 題3.4.
xfX=M∫x
の 証 明 に は,[7]で 示 し たBousfield-Kan [1]を 用 い る も の と は 別 に,SGA 418の 概 念 を 用 い た カ テ ゴ リ ー 論 的 な 方 法 が あ る 。 ⑤ Galois descent即 ち,(必 ず し も可 換 で な い) 群Gの 上 のpseudo(=lax)limit([8]参 照) と,こ の 論 文 の 可 換 モ ノ イ ドのtranslation categoryの 上 のpseudo colimitと の 可 換 性 を 与 え る 定 理 を確 立 で き る 。 こ れ は,一 般 に は 成 立 し な い(lax)limitと(lax)colimitと の 可 換 性 に 関 す る,肯 定 的 な 一 つ の 例 を 与 え て い る 。[1]
[2].
[3]
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[6]
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