Grushin 2MA16039T

確率微分方程式の

_Grushin

作用素へ

の応用

 

九州大学大学院数理学府数理学専攻

2MA16039T

吉良 元伸

指導教員：谷口 説男 教授

 平成

30

年

2

月

2

日

序

Rd_{上の実数値 Borel 可測関数 α}i k(x), bi(x), 1≤ i ≤ d, 1 ≤ k ≤ N があ り、これらを成分とする d× N 行列値関数 α と Rd_{値関数 b を} α = α(x) := (αi_k(x))1≤i≤d, 1≤k≤N b = b(x) := (bi(x))1≤i≤d で定める。X = (Xt)t≥0を出発点 x∈ Rdをもつ確率微分方程式 dXt= α(Xt)dBt+ b(Xt)dt の解とする (詳細は 3 節で述べる)。このとき、偏微分方程式 ∂u ∂t =Au + V u, t > 0, x∈ R d u(0, x) = f (x), x∈ Rd の解は u(t, x) = Ex [ f (Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds }] という表示をもつことが知られている (定理 3.7)。ただし、 a(x) = (aij(x))1≤i,j≤d は成分 aij := N ∑ k=1 αi_k(t, x)αj_k(t, x) をもつ非負対称行列であるとすると、_{A は} A = 1 2 d ∑ i,j=1 aij(x) ∂ 2 ∂xi_∂xj + d ∑ i=1 bi(x) ∂ ∂xi で与えられる偏微分作用素である。これは確率微分方程式がもつ確率解 析上有用な特性の一つである。 本論文では特に α((x, y)) = ( 1 0 0 x ) , b((x, y)) = ( 0 0 )

で与えられる場合に焦点をおいて考える。ただし、(x, y) はR2_上の標準 座標である。これに対応する偏微分作用素は A = 1 2 {( ∂ ∂x )2 + x2 ( ∂ ∂y )2} であり、Grushin 作用素と呼ばれている。上の表示と条件付き期待値を 使って Xtの確率密度関数が具体的に表記される。さらに t→ 0 の挙動も 調べることができて、_{A の構造との対応が見える。本論文の目的はこの} 2 つの解析である。 本論文の構成は以下の通りである。1 節では確率微分方程式を駆動する Brown 運動を紹介する。2 節では積分方程式として定義される確率微分方 程式に必要な確率積分を導入し、対応する連鎖定理である伊藤の公式を 証明する。3 節では確率微分方程式の解の存在と一意性、Feynman-Kac の公式ついて述べる。4 節で本論文の目的となる Grushin 作用素について 述べる。

目 次

1 Brown 運動 4 2 伊藤の公式 6 2.1 マルチンゲール . . . . 6 2.2 確率積分 . . . . 8 2.3 伊藤の公式 . . . . 13 3 確率微分方程式 22 3.1 確率微分方程式 . . . 22 3.2 Feynman-Kac の公式 . . . . 30 4 Grushin 作用素 34

1

Brown

運動

定義 1.1. 確率空間 (Ω,F, P ) 上で定義された確率過程 B = (Bt(ω))t≥0が Brown 運動であるとは、以下の条件を満たすときにいう。 (i) B0 = 0 a.s. (ii) ∀ω ∈ Ω に対し Bt(ω) は t について連続である。 (iii) 0 = t0 <∀t1 <· · · < tn, ∀n ∈ N に対し、増分 {Bti− Bti−1}1≤i≤nは 互いに独立で、それぞれ平均 0、分散 ti− ti−1の Gauss 分布に従う。 W := C([0,∞), R), W0 := {w ∈ W ; w0 = 0} とおき、これらの空間に 広義一様収束から定まる位相を考え、この位相における Borel 集合族をそ れぞれ_{B(W ), B(W0}) とする。 定義 1.2. 定義 1.1 で Ω = W0,F = B(W0) ととり、Bt(w) = wt, w = (wt)t≥0 ∈ W0が Brown 運動となるような (W0,B(W0)) 上の確率測度 P を Wiener 測度という。 定義 1.3. d 次元確率過程 Bt = (Bti)1≤i≤d= (Bt1,· · · , Btd), t ≥ 0 が d 次元 の Brown 運動であるとは、各 Bi tが Brown 運動で、かつ{Bi}1≤i≤dが独 立、すなわちその σ-加法族の系{σ(Bi t; t≥ 0)}1≤i≤dが独立であるときに いう。 定理 1.4. (Brown 運動の性質) B = (Bt)t≥0を確率空間 (Ω,F, P ) 上で定義された 1 次元 Brown 運動 として_{F = σ(Bs}; s ≤ t), Ft = Ft0 ∨ N とおく。ただし、N = {N ∈ F; P (N) = 0} である。

(i) E[B_t2p] = (2p− 1)!! , E[B_t2p−1] = 0, p∈ N.

(ii) 0≤ s < t とすると、Bt− BsとFsは独立である。

(iii) E[BtBs] = t∧ s (:= min{t, s}), t, s ≥ 0.

(iv) 以下の確率過程はいずれも Brown 運動である。(s > 0, γ > 0 は固 定する。)

(a) Ba

(b) Bb t :=−Bt, t≥ 0. (c) Bc t := γBt/γ2, t≥ 0. (v) Bt(ω) の t ∈ [T1, T2], 0 ≤ T1 < T2における全変動は、a.s. ω に対し て無限大である。

(vi) B = (Bt)t≥0を d 次元 Brown 運動、A を d× d 直交行列とすれば、

ABtも d 次元 Brown 運動である。特に σs(ω) := inf{t > 0; Bt ∈ S}

を球面 S := ∂B(0, r) への到達時刻とすれば、到達場所 Bσs(ω)(ω) の

分布は S 上の一様確率測度になる。ただし B(0, r) := {|x| ≤ r} で

2

伊藤の公式

2.1

マルチンゲール

(Ft)t≥0を確率空間 (Ω,F, P ) で定義された増加情報系とする。ここでは (Ft)t≥0に対し、次の仮定をおく。 仮定: (Ft)t≥0は右連続で零集合を含む。すなわち∀t ≥ 0 に対し、Ft+ := ∩s>tFsとしたとき、Ft=Ft+でN := {N ∈ F; P (N) = 0} ⊂ Ftである とする。 定義 2.1. 右連続な確率過程 X = (Xt)t≥0が (Ft)t≥0についてマルチンゲー ルであるとは以下の条件を満たすときにいう。 (i) ∀t ≥ 0 に対し Xtは可積分である。 (ii) X = (Xt)t≥0は (Ft)-適合である。

(iii) 0≤ ∀s ≤ t に対し E[Xt|Fs] = Xs a.s.

条件 (iii) で E[Xt|Fs]≥ Xs a.s. が成立するとき X を劣マルチンゲール、

E[Xt|Fs]≤ Xs a.s. が成立するとき X を優マルチンゲールという。 定理 2.2. (Doob の不等式) X = (Xt)t≥0は劣マルチンゲールとし、λ > 0, p > 1 とする。このとき (i) P ( sup 0≤s≤t Xs≥ λ ) ≤ 1 λE [ Xt, sup 0≤s≤t Xs≥ λ ] . (ii) 特に∀t ≥ 0 に対し、Xt≥ 0 a.s. ならば P ( sup 0≤s≤t Xs≥ λ ) ≤ 1 λE[Xt]. (iii) X が E[|Xt|p] <∞, t ≥ 0 を満たすマルチンゲール、または非負マ ルチンゲールならば E [ sup 0≤s≤t|Xs| p ]1/p ≤ p p− 1E [|Xt| p_]1/p .

定義 2.3. σ : Ω_{→ [0, ∞] が (F}t)t≥0に関する Markov 時刻とは、∀t ≥ 0 に 対し、 {σ ≤ t} ≡ {ω; σ(ω) ≤ t} ∈ Ft が成立するときにいう。 定理 2.4. (Doob-Meyer 分解) X = (Xt)t≥0を連続な (Ft)-劣マルチンゲールとする。このとき、X が 局所的にクラス (D) に属する (すなわち σ が Markov 時刻全体を動くとき、 ∀T > 0 に対して {Xσ∧T}σは一様可積分) ならば、連続な (Ft)-マルチン ゲール M = (Mt)t≥0と A0 = 0 なる (Ft)-適合な連続増加過程 A = (At)t≥0 が存在し、X は Xt = Mt+ At, t≥ 0 と分解できる。しかもこの分解は一 意的に定まる。ただし、A が増加過程とは t > s_{≥ 0 のとき A}t≥ As a.s. であるときにいう。 以下では、_{∀T > 0 を固定し時間 t は [0, T ] に限定して話を進める。2 乗} 可積分かつ連続な (Ft)-マルチンゲール M = (Mt)t∈[0,T ]で M0 = 0 a.s. と なるもの全体を_MT とかく。Jensen の不等式に注意すれば M2 t は劣マル チンゲールになり、しかも局所的にクラス (D) に属するので、定理 2.4 よ り増加過程 Atが一意的に存在して Mt2− Atがマルチンゲールになること がわかる。 定義 2.5. 上の Atを⟨M⟩tと書き、M の 2 次変分という。 定理 2.6. M, N ∈ MT に対し ⟨M, N⟩t = 1 2(⟨M + N⟩t− ⟨M⟩t− ⟨N⟩t), t ∈ [0, T ] とおけば_{⟨M, N⟩t}は a.s. に有界変動であり、かつ MtNt− ⟨M, N⟩tはマル チンゲールになる。 ⟨M, N⟩tを M と N の 2 次変分という。 M, N ∈ MT は P (Mt = Nt, ∀t ∈ [0, T ]) = 1 であるとき同一視するこ とにすると、以下の命題が成立する。 命題 2.7. (Mt, E[⟨ · , · ⟩T]) は実 Hilbert 空間をなす。 定理 2.8. (Burkholder の不等式) ∀p > 0 に対し定数 cp, Cp > 0 が存在し、∀M ∈ MT : E[⟨M⟩pt] <∞ につ いて cpE[⟨M⟩ p t]≤ E [ sup 0≤t≤T|Mt| 2p ] ≤ CpE[⟨M⟩ p t].

2.2

確率積分

定義 2.9. 確率空間 (Ω,F, P ) 上で定義された Brown 運動 B = (Bt)t≥0が (Ft)-Brown 運動であるとは以下の条件を満たすときにいう。 (i) B = (Bt)t≥0は (Ft)-適合である。 (ii) 0≤ ∀s ≤ t に対し Bt− BsとFsは独立である。 ここでは積分 ∫ t 0 fsdBsを定義する。B = (Bt)t≥0は (Ft)-Brown 運動 であるとし、被積分関数 fs = fs(ω) は Brown 運動の s 時以前の情報量 σ(Br; r ≤ s) について可測であるとする。 定義 2.10. (単純過程の場合) f = (ft)t∈[0,T ]が ft = ˜f 1(a,b](t), t ∈ [0, T ] という形のとき f を単純過程とよぶ。ここで ˜f = ˜f (ω) はFa-可測な確率 変数で、有界とし、0_{≤ a < b ≤ T とする。f の確率積分を} Mt(f )≡ ∫ t 0 fsdBs := ˜f (Bt∧b− Bt∧a), t∈ [0, T ] と定める。 補題 2.11. ∀f, g: 単純過程に対し、M = (Mt(f ))t∈[0,T ] ∈ MT で ⟨M(f), M(g)⟩t= ∫ t 0 fsgsds, t∈ [0, T ]. (2.1) 証明. まず M = (Mt(f ))t∈[0,T ] ∈ MT であることを示す。M の 2 乗可 積分性と、連続性と、M0 = 0 は M の決め方より明らかである。あとは 0≤ s ≤ t として E[Mt|Fs] = Msを示せばよい。

E[Mt− Ms|Fs] = E[ ˜f{(Bt∧b− Bt∧a)− (Bs∧b− Bs∧a)}|Fs]

で、0≤ s ≤ a のとき、条件付き期待値の性質を使って右辺を計算すると

(右辺) = E[ ˜f{(Bt∧b− Bt∧a)− (Bs− Bs)}|Fs]

= E[E[ ˜f (Bt∧b− Bt∧a)|Fa]|Fs]

となる。特に a≤ t ≤ b のとき、(2.2) = E[ ˜f E[Bt− Ba|Fa]|Fs] = 0 とな り他の場合においても同様に計算すれば (2.2) は 0 になることがわかる。 また s > a のとき、 (右辺) = E[ ˜f{(Bt∧b− Ba)− (Bs∧b− Ba)}|Fs] = ˜f E[Bt∧b− Bs∧b|Fs] (2.3) となる。特に s≤ t ≤ b のとき、(2.3) = ˜f E[Bt− Bs|Fs] = 0 となり、他 の場合においても同様に計算すれば (2.3) は 0 になることがわかる。以上 より E[Mt− Ms|Fs] = 0 が示された。 次に (2.1) を示す。そのためには定理 2.6. から 0≤ s ≤ t として、 E [ Mt(f )Mt(g)− Ms(f )Ms(g)− ∫ t s frgrdr   Fs ] = 0 (2.4) を示せば十分である。(2.4) を示すには ft = ˜f 1(a,b](t), gt = ˜g1(c,d](t) とし て a≤ c と仮定してよい。0 ≤ s ≤ c のとき、 ((2.4) の左辺) = E [ ˜ f (B_t∧b− B_t∧a)˜g(B_t∧d− B_t∧c)− ˜f ˜g ∫ t s 1(a,b](r)1(c,d](r)dr   Fs ] = E [ ˜ f ˜gE [ (B_t∧b− B_t∧a)(B_t∧d− B_t∧c) − ∫ t s 1(a,b](r)1(c,d](r)dr   Fc ]  Fs ]   (2.5) となる。特に s≤ a ≤ c ≤ t ≤ b ≤ d のとき、 (2.5) = E [ ˜ f ˜gE [(Bt− Ba)(Bt− Bc)− (t − c)|Fc]|Fs ] = E [ ˜ f ˜gE [(Bt− Bc+ Bc− Ba)(Bt− Bc)− (t − c)|Fc]|Fs ] = E [ ˜ f ˜gE[(Bt− Bc)2+ (Bc− Ba)(Bt− Bc)− (t − c)|Fc ] |Fs ] = 0 となり、他の場合においても同様に計算すれば (2.5) は 0 になることがわ かる。また s≥ c のとき、 ((2.4) の左辺) = ˜f ˜gE [ (Bt∧b− Ba)(Bt∧d− Bc)− (Bs∧b− Ba)(Bs∧d− Bc) − ∫ t s 1(a,b](r)1(c,d](r)dr   Fs ] (2.6)

となる。特に a_{≤ c ≤ b ≤ s ≤ d ≤ t のとき、} (2.6) = ˜f ˜gE[(Bb− Ba)(Bd− Bc)− (Bb− Ba)(Bs− Bc)− 0|Fs] = ˜f ˜gE[(Bb− Ba)(Bd− Bs)|Fs] = 0 となり、他の場合においても同様に計算すれば (2.6) は 0 になることがわ かる。以上より、(2.4) が示された。 定義 2.12. (階段過程の場合) f = (ft)t∈[0,T ]が ft= n ∑ j=1 ˜ fj1(tj−1,tj](t), t∈ [0, T ] という形のとき階段過程という。ここで n ∈ N, ˜fj はFtj−1-可測で有界、 かつ分点_{{0 = t0} < t1 <· · · < tn= T} は ω によらぬものとする。階段過 程に対して確率積分を Mt(f )≡ ∫ t 0 fsdBs:= n ∑ j=1 ˜ fj(Bt∧tj− Bt∧tj−1), t∈ [0, T ] により定義する。 補題 2.13. ∀f, g: 階段過程に対し、M = (Mt(f ))t∈[0,T ] ∈ MT で ⟨M(f), M(g)⟩t= ∫ t 0 fsgsds, t∈ [0, T ]. 証明. 補題 2.11 から直ちに従う。 次に一般の場合の確率積分を定義していく。 L2 T :={f; f = ft(ω) は可測で||f||_L2 T <∞}. ただし、_||f||2 L2 T := E [∫ T 0 f_t2dt ] で、f が可測とは写像 (t, ω) ∈ ([0, T ] × Ω,B([0, T ]) × F) 7→ ft(ω)∈ (R, B(R)) として可測であるときにいう。 L2 T =L 2 T(Ft) := {f ∈ L2T; f は (Ft)-適合}

とおく。実は可測な確率過程 f が (_Ft)-適合のとき、発展的可測である (正 確にはそのような修正を持つ) ことが知られている。ここで、発展的可測 とは、_{∀t ∈ [0, T ] に対し写像 (s, ω) ∈ ([0, t] × Ω, B([0, t]) × Ft})7→ fs(ω)∈ (R, B(R)) が可測のときにいう。よって f ∈ L2 Tは発展的可測と考えてよい。 補題 2.14. ∀f ∈ L2 tに対し階段過程の列 fn, n∈ N が存在し ||f −fn||L2t → 0, n→ ∞ とできる。 証明. f = ft(ω)∈ L2T に対し、 f_tm(ω) := ft(ω)× 1[−m,m](ft(ω)), m∈ N とすれば、fm t (ω) はFt-可測で ||fm t || 2 L2 T = E [∫ T 0 f_t2(ω)× 1[−m,m](ft(ω))dt ] ≤ E [∫ T 0 f_t2(ω)dt ] <∞ から、fm _{∈ L}2 T で、 ||f − fm_||2 L2 T = E [∫ T 0 f_t21_{|ft|>m}dt ] → 0 (m → ∞) が成り立つ。よって、f は有界と仮定して証明すればよい。 このとき f_tϵ(ω) := ϵ−1 ∫ t (t−ϵ)∨0 fs(ω)ds, ϵ > 0 とおけば、fϵ_{∈ L}2 T で、 ||f − fϵ_|| L2 T → 0, (ϵ ↓ 0) となる。したがって、f は t について連続であるとしてよい。 このとき f_tn := n−1 ∑ j=0 ftj(ω)1(tj,tj+1](t), tj = T j/n ととれば、fn_{は階段過程で、} ||f − fn_|| L2 T → 0, (n → ∞) が成り立つ。

以上の準備の下で f ∈ L2 tの確率積分を定義する。補題 2.14 から階段過 程の列 fn_{, n} ∈ N が存在し ||f − fn|| L2 t → 0, n → ∞ とできる。よって M (fn) = (Mt(fn))∈ MT を考えることができ、補題 2.13 から{M(fn)} は空間_MT 内の Cauchy 列であることがわかる。さらに命題 2.7 により MT は完備だから、{M(fn)} の極限 M(f) = (Mt(f ))∈ MT が定まる。 定義 2.15. この Mt(f ) を ∫ t 0 fsdBs, t∈ [0, T ]、あるいは ∫ t 0 f (s)dBsのよ うに書き、f ∈ L2 T の Brown 運動 B = (Bt)t≥0に関する確率積分とよぶ。 ここまで t ∈ [0, T ] に限定して議論を進めてきたが、次のように t ∈ [0,∞) に拡張される。すなわち L2 :={f = (ft)t≥0 ; ∀T > 0 に対し (ft)t∈[0,T ]∈ L2T} M := {M = (Mt)t≥0 ; ∀T > 0 に対し (Mt)t≥0 ∈ MT} とおけば、_{∀f = (ft})∈ L2_{に対し確率積分 M} t(f ) = ∫ t 0 fsdBs, t≥ 0 が定 まり、M (f ) = (Mt(f ))t≥0 ∈ M となる。 補題 2.13 の極限をとることで、次のような確率積分の性質を得る。 定理 2.16. (確率積分の性質) f, g∈ L2, a, b∈ R とする。 (i) M = (Mt(f ))t≥0 ∈ M で ⟨M(f), M(g)⟩t= ∫ t 0 fsgsds, t∈ [0, T ].

(ii) Mt(af + bg) = aMt(f ) + bMt(g), ∀t ≥ 0, a.s.

(iii) Bt = (Bti)i≤i≤dを (Ω,F, P ) 上の d 次元 (Ft)-Brown 運動とする。す

なわち各成分 Bi t は (Ft)-Brown 運動であり、かつ{Bi}1≤i≤d は独 立な系をなしているとする。このとき、_{∀f ∈ L}2 _{に対し確率積分} M_ti(f ) = ∫ t 0 fsdBsi, t≥ 0 が定義され、⟨Mi(f ), Mj(g)⟩t = 0, t ≥ 0, i̸= j である。特に (i) と合わせれば E [∫ t 0 fsdBsi ∫ t 0 gsdBsj ] = δijE [∫ t 0 fsgsds ] . ただし、 δij = { 1, i = j, 0, i̸= j.

2.3

伊藤の公式

d 次元確率過程 Xt = (Xti)1≤i≤dが与えられ、各成分は次の形であると する。 X_ti = X₀i+ N ∑ k=1 ∫ t 0 f_ki(s)dB_sk+ Ai_t, t≥ 0. (2.7) ここで、Bt= (Btk)1≤k≤Nは N 次元 (Ft)-Brown 運動で、1≤ ∀i ≤ d, 1 ≤ k ≤ N に対し X₀i はF0-可測な確率変数、fki = (f i k(t))t≥0 ∈ L2であって、 Ai tは (Ft)-適合な確率過程で、Ai0 = 0 かつ∀ω について Ait(ω) は t の関数 として任意の有界区間上有界変動であるとする。 定理 2.17. _{∀φ ∈ C}2 b(Rd) に対して φ(Xt) = φ(X0) + d ∑ i=1 N ∑ k=1 ∫ t 0 ∂φ ∂xi(Xs)f i k(s)dBsk + d ∑ i=1 ∫ t 0 ∂φ ∂xi(Xs)dA i s + 1 2 d ∑ i,j=1 N ∑ k=1 ∫ t 0 ∂2_φ ∂xi_∂xj(Xs)f i k(s)f j k(s)ds, t≥ 0, a.s. (2.8) 注意 2.18. (2.7) を dX_ti = N ∑ k=1 f_ki(t)dBk_t + dAi_t と書いて、確率微分表示とよぶことにする。このとき、 dφ(Xt) = d ∑ i=1 ∂φ ∂xi(Xt)dX i t となるのが通常の微分に対する連鎖定理であるが、確率演算ではそう ならず、形式的な Taylor の公式を 2 次で打ち切った等式 dφ(Xt) = d ∑ i=1 ∂φ ∂xi(Xt)dX i t + 1 2 d ∑ i,j=1 ∂2_φ ∂xi_∂xj(Xt)dX i tdX j t (2.9) において、次の規則を適応して、確率微分の積を計算することになる。

       dBk tdBk ′ t = δkk ′ dt, dBk tdAit= 0, dAi_tdAj_t = 0. この規則を用いれば dX_tidX_tj = ( _N ∑ k=1 f_ki(t)dB_tk+ dAi_t ) ( _N ∑ k=1 f_kj′(t)dBk ′ t + dA j t ) = N ∑ k=1 f_ki(t)f_kj(t)dt となる。よって、(2.9) は dφ(Xt) = d ∑ i=1 N ∑ k=1 ∂φ ∂xi(Xt)f i k(t)dB k t + d ∑ i=1 ∂φ ∂xi(Xt)dA i t +1 2 d ∑ i,j=1 N ∑ k=1 ∂2φ ∂xi_∂xj(Xt)f i k(t)f j k(t)dt と変形される。これを積分形で書いたものが定理 2.17 である。 証明. step1 定理を示すには t∈ [0, T ], T > 0 としてよい。まず、各 fi k(t) が階段過程の場合を考える。階段過程 fi k(t) を定める際に現れる時刻の 分点の集合_{{0 = t0} < t1 < · · · < tn = T} は i, k について共通である としてよい。φ(Xt)− φ(X0) = n ∑ m=1 {φ(Xtm∧t)− φ(Xtm−1∧t)} であるから、 (2.8) を示すには s, t がある m (1 ≤ m ≤ n) について tm−1 ≤ s < t ≤ tm であるとして φ(Xt)− φ(Xs) = d ∑ i=1 N ∑ k=1 ∫ t s ∂φ ∂xi(Xr)f i k(r)dB k r + d ∑ i=1 ∫ t s ∂φ ∂xi(Xr)dA i r +1 2 d ∑ i,j=1 N ∑ k=1 ∫ t s ∂2_φ ∂xi_∂xj(Xr)f i k(r)f j k(r)dr (2.10)

を示せば十分である。s, t はすべての fi k(t) について [tm−1, tm] 内にあるか ら、_Fs-可測な有界確率変数 ˜fi k(:= fki(tm−1)) があって、Xtiは X_ti = X₀i + N ∑ k=1 n ∑ l=1 ˜ f_ki(tl−1)(Btki∧t− B k t_l−1∧t) + Ait = X₀i + N ∑ k=1 (_m−1 ∑ l=1 ˜ f_ki(tl−1)(Btkl− B k tl−1) + ˜f i k(tm−1)(Btk− B k tm−1) ) + Ai_t とかけるから、 X_ti = X_si+ ˜f_ki(B_tk− B_sk) + (Ai_t− Ai_s), 0≤ s < t ≤ T   (2.11) の形であるとして (2.10) を示せばよい。

step2 ここと以下の step3 では Einstein の規約に従い、同じ添え字が

上下に対になって現れるときには∑は省略する。区間 [s, t] を n 等分して tl = t− s n l + s, 0≤ l ≤ n とする。Taylor の定理より θ = θl(ω) ∈ (0, 1) がとれて、 φ(Xt)− φ(Xs) = n ∑ l=1 {φ(Xtl)− φ(Xtl−1)} = n ∑ l=1 ∂φ ∂xi(Xtl−1)(X i tl− X i tl−1) + 1 2 n ∑ l=1 ∂2_φ ∂xi_∂xj(Yl)(X i tl− X i tl−1)(X j tl − X j tl−1) とできる。ただし、Yl := Xtl+ θ(Xtl−1− Xtl) である。(2.11) を用いて上 の式を書き換えると、 φ(Xt)− φ(Xs) = In(1)+ I (2) n + I (3) n + I (4) n + I (5) n となる。ただし、右辺の各項は次のように定義する。

I_n(1) := n ∑ l=1 ∂φ ∂xi(Xtl−1)f i k(B k tl− B k_t l−1), I_n(2) := n ∑ l=1 ∂φ ∂xi(Xtl−1)(A i tl− A i tl−1), I_n(3) := 1 2 n ∑ l=1 ∂2_φ ∂xi_∂xj(Yl)f i k(B k tl− B k tl−1)f j k′(B k′ tl − B k′ tl−1), I_n(4) := n ∑ l=1 ∂2φ ∂xi_∂xj(Yl)f i k(Btkl− B k t_l−1)(A j tl− A j tl−1), I_n(5) := 1 2 n ∑ l=1 ∂2_φ ∂xi_∂xj(Yl)(A i tl− A i tl−1)(A j tl− A j tl−1). step3 ここでは以下の収束を示す。 I_n(1) → f_ki ∫ t s ∂φ ∂xi(Xr)dB k r in L 2_{, (2.12)} I_n(2) → ∫ t s ∂φ ∂xi(Xr)dA i r ∀ω ∈ Ω, (2.13) I_n(3) → 1 2 N ∑ k=1 f_kif_kj ∫ t s ∂2_φ ∂xi_∂xj(Xr)dr in L 2_{, (2.14)} I_n(4) → 0 ∀ω ∈ Ω, (2.15) I_n(5) → 0 ∀ω ∈ Ω. (2.16) これらが示されれば、必要ならば_{{n} の部分列 {n}′_{} を適当にとって} (2.12)-(2.16) は同時に a.s.-収束の意味で成立させることができるから、 (2.10) が得られる。 まず (2.12) の証明から始める。I(1) n は I_n(1) = f_ki ∫ t s Φi,n(r)dBrk と階段過程 Φi,n(r) の確率積分として表される。ただし、 Φi,n(r) = n ∑ l=1 ∂φ ∂xi(Xtl−1)1(tl−1,tl](r)

である。∂φ ∂xi は有界だから、ルベーグの優収束定理より   Φi,n(r)− ∂φ ∂xi(Xr)1(s,t](r)   L2 → 0 (n → ∞). よって、In(1)は ∂φ ∂xi(Xt) の確率積分に L 2_{-収束し (2.12) が示された。} 次に (2.13) を示す。Ai t(ω) は ω を固定するごとに t について有界変動関 数だから、In(2)は Stieltjes 積分の意味で収束し、(2.13) が得られる。 次に (2.15) を示す。 |I(4) n | ≤ n ∑ l=1   _∂x∂i2_∂xφj(Yl)   |fi k||B k tl− B k tl−1||A j tl− A j tl−1| ≤ sup x∈Rd   _∂x∂i2_∂xφj(x)   |fi k| max 1≤l≤n|B k tl− B k tl−1| n ∑ l=1 |Aj tl− A j tl−1| ≤ sup x∈Rd   _∂x∂i2_∂xφj(x)   |fi k| max_1≤l≤n|B k tl− B k tl−1| sup ∆ n ∑ l=1 |Aj rl− A j rl−1|. ただし、∆ ={s = r0 < r1 <· · · < rn= t} は [s, t] の有限分割全体を動く ものとする。Bk t は t について連続だから、[s, t] 上では一様連続である。 よって、 max 1≤l≤n|B k tl− B k t_l−1| → 0 (n → ∞) が成り立つことから (2.15) が示された。 (2.16) は上の証明で max 1≤l≤n|B k tl− B k t_l−1| → 0 を max 1≤l≤n|A i tl− A i t_l−1| → 0 に置き換えるだけで示される。 最後に (2.14) を示す。そのためには∀ψ ∈ Cb(R) に対し、 ˜ I_n(3) ≡ ˜I_n(3),k,k′ := n ∑ l=1 ψ(Yl)(Btkl− B k tl−1)(B k′ tl − B k′ tl−1) とおくとき、 ˜ I_n(3) → δkk′ ∫ t s ψ(Xr)dr in L2 (2.17)

を示せば十分である。そこで、k, k′_{は固定して} Zl:= (Btkl − B k t_l−1)(Bk ′ tl − B k′ t_l−1)− (tl− tl−1)δkk ′ とおく。このとき E   { ˜ I_n(3)− δkk′ n ∑ l=1 ψ(Yl)(tl− tl−1) }2  = E   { _n ∑ l=1 ψ(Yl)Zl }2  = J(1) n + J (2) n となる。ただし、 J_n(1) := n ∑ l=1 E[ψ(Yl)2Zl2] J_n(2) := 2 ∑ 1≤l1<l2≤n E[ψ(Yl1)Zl1ψ(Yl2)Zl2] である。ここで、E[Z2 l] = (1 + δkk ′ )(tl− tl−1)2より 0≤ J_n(1) ≤ n ∑ l=1 E [ sup x∈Rd ψ(x)2Z_l2 ] = sup x∈Rd ψ(x)2× (1 + δkk′) n ∑ l=1 (tl− tl−1)→ 0 (n → ∞) がわかる。さらに ψ(Yl1)Zl1ψ(Xl2−1) と Zl2 は独立で、E[Zl2] = 0 より E[ψ(Yl1)Zl1ψ(Xl2−1)Zl2] = 0 である。したがって、J (2) n は J_n(2) = 2 ∑ 1≤l1<l2≤n E[ψ(Yl1)Zl1{ψ(Yl2)− ψ(Xl2−1)}Zl2] と書き換えられる。そこで、Schwarz の不等式を用い、Zl1 と Zl2 の独立 性にも注意すれば、 |J(2) n | ≤ 2 ∑ 1≤l1<l2≤n E [ sup x∈Rd |ψ(x)||Zl1||ψ(Yl2)− ψ(Xl2−1)||Zl2| ] ≤ 2 sup x∈Rd |ψ(x)| ∑ 1≤l1<l2≤n √ E[Z2 l1Z 2 l2] √ E[{ψ(Yl2)− ψ(Xl2−1)}2] ≤ 2 sup x∈Rd|ψ(x)| √ E [ max 2≤l≤n{ψ(Yl2)− ψ(Xl2−1)} 2] ∑ 1≤l1<l2≤n (1 + δkk′) ( t− s n )2 ≤ sup x∈Rd|ψ(x)| × (1 + δ kk′_{)(t− s)}2 √ E [ max 2≤l≤n{ψ(Yl2)− ψ(Xl2−1)} 2 ]

となる。 max 2≤l≤n{ψ(Yl2)− ψ(Xl2−1)} 2_{は n → ∞ のとき 0 に収束するから、} 有界収束定理により最後の項は 0 に収束する。よって、 ˜ I_n(3)− δkk′ n ∑ l=1 ψ(Yl)(tl− tl−1)→ 0 in L2 がいえる。 n ∑ l=1 ψ(Yl)(tl− tl−1) は n→ ∞ のとき ∫ t s ψ(Xr)dr に a.s.-収束するから、 ルベーグの優収束定理より、 n ∑ l=1 ψ(Yl)(tl− tl−1)→ ∫ t s ψ(Xr) in L2. よって、   ˜I(3) n − δkk ′∫ t s ψ(Xr)dr   L2 ≤ ˜I(3) n − δkk ′∑n l=1 ψ(Yl)(tl− tl−1)   L2 + δkk′ n ∑ l=1 ψ(Yl)(tl− tl−1)− δkk ′∫ t s ψ(Xr)dr   L2 から (2.17) が示される。以上で各 fi kが階段過程の場合のときに定理は証 明された。 step4 一般の f_ki = (f_ki(t))∈ L2に対して定理を証明する。f_ki を近似す

る階段過程 f_ki,(n)をとり、f_ki,(n)を用いて得られる確率過程 Xi,(n)_を

X_ti,(n) = X₀i + N ∑ k=1 ∫ t 0 f_ki,(n)(s)dB_sk+ Ai_t で定めると、step3 までに示したように等式 φ(X_t(n)) = φ(X₀(n)) + d ∑ i=1 N ∑ k=1 ∫ t 0 ∂φ ∂xi(X (n) s )f i,(n) k (s)dB k s + d ∑ i=1 ∫ t 0 ∂φ ∂xi(X (n) s )dA i s +1 2 d ∑ i,j=1 N ∑ k=1 ∫ t 0 ∂2_φ ∂xi_∂xj(X (n) s )f i,(n) k (s)f j,(n) k (s)ds (2.18)

が成り立つ。両辺 n_{→ ∞ とし、各項が対応する項に収束すれば、結論が} いえる。 sup 0≤t≤T |X(n) t − Xt| → 0 in L2より必要ならば部分列をとり sup 0≤t≤T |X(n) t − Xt| → 0 a.s. (2.19) としてよい。(2.19) より ∂φ ∂xi(X (n) s )→ ∂φ ∂xi(Xs) a.s. (2.20) となる。(2.18) の右辺の第 2 項の収束は不等式 (a+b)2 _{≤ 2(a}2_+b2_{), a, b∈ R} とルヘーグの優収束定理から、 E [{∫ t 0 ∂φ ∂xi(X (n) s )f i,(n) k (s)dB k s − ∫ t 0 ∂φ ∂xi(Xs)f i k(s)dB k s }2] ≤ 2E[{∫ t 0 ∂φ ∂xi(X (n) s )(f i,(n) k (s)− f i k(s))dB k s }2] + 2E [{∫ t 0 ( ∂φ ∂xi(X (n) s )− ∂φ ∂xi(Xs) ) f_ki(s)dB_sk }2] ≤ 2 sup x∈Rd   _∂x∂φi(x)  2 ·||fi,(n) k − f i k|| 2 L2 T+  (_∂x∂φi(X (n)₎₋ ∂φ ∂xi(X) ) f_ki  2 L2 T → 0 (n → ∞) となることからわかる。 また (2.20) よりの右辺の第 3 項が d ∑ i=1 ∫ t 0 ∂φ ∂xi(Xs)dA i sに a.s. に収束す ることがいえる。 ∂2φ ∂xi_∂xj は有界であるから、  ∫₀t_∂x∂i2_∂xφj(X (n) s ){f i,(n) k (s)f j,(n) k (s)− f i k(s)f j k(s)}ds   ≤ C ∫ t 0 |fi,(n) k (s)f j,(n) k (s)− f i k(s)f j k(s)|ds → 0 a.s. (2.21) が成り立つ。ただし C は正の定数である。また (2.19) より ∂2_φ ∂xi_∂xj(X (n) s )− ∂2_φ ∂xi_∂xj(Xs)→ 0 a.s.

である。よって ∫ t 0 ∂2_φ ∂xi_∂xj(X (n) s )f i k(s)f j k(s)ds → ∫ t 0 ∂2_φ ∂xi_∂xj(Xs)f i k(s)f j k(s)ds a.s. (2.22) となる。(2.21) と (2.22) より、(2.18) の右辺の第 4 項は1 2 d ∑ i,j=1 N ∑ k=1 ∫ t 0 ∂2_φ ∂xi_∂xj(Xs)f i k(s)f j k(s)ds に a.s. に収束することがいえる。

3

確率微分方程式

3.1

確率微分方程式

[0,∞) × Rd_{上の実数値 Borel 可測関数 α}i k(t, x), bi(t, x), 1≤ i ≤ d, 1 ≤ k≤ N があり、これらを成分とする d × N 行列値関数 α と Rd値関数 b を α = α(t, x) := (αi_k(t, x))1≤i≤d, 1≤k≤N b = b(t, x) := (bi(t, x))1≤i≤d で定める。 定義 3.1. 確率空間 (Ω,_{F, P ) と増加情報系 (F}t)t≥0があり、その上に N 次元 (Ft)-Brown 運動 Bt = (Btk)1≤k≤N が与えられたとする。このとき、 Xt = (Xti)1≤i≤d ∈ Rdに対して確率微分で表わした方程式 dXt= α(t, Xt)dBt+ b(t, Xt)dt. (3.1) あるいは成分ごとに書いて dX_ti = N ∑ k=1 αi_k(t, Xt)dBtk+ b i (t, Xt)dt, 1≤ i ≤ d を確率微分方程式という。α は拡散係数、b はドリフト係数とよばれる。 定義 3.2. X = (Xt)t≥0が、出発点 x∈ Rdをもつ確率微分方程式 (3.1) の 解であるとは、X は (Ω,F, P ) 上で定義された (Ft)-適合かつ可測なRd-値 連続確率過程で以下の条件を満たすときにいう。 (i) ∀i, k に対し (αi_k(t, Xt))t≥0 ∈ L2, (bi(t, Xt))t≥0 ∈ L1loc([0,∞)). (ただし、第 2 の主張は ∫ T 0 |bi_{(t, X} t)|dt < ∞, ∀T ≥ 0 a.s. を意味 する。) (ii) 等式 Xt= x + ∫ t 0 α(s, Xs)dBs+ ∫ t 0 b(s, Xs)ds. (3.2) あるいは成分ごとに書いて X_ti = xi+ N ∑ k=1 ∫ t 0 αi_k(s, Xs)dBsk+ ∫ t 0 bi(s, Xs)ds, 1≤ i ≤ d

が成り立つ。 d× N 行列 α に対し ||α||2 :=∑ i,k (αi_k)2とおく。 定理 3.3. ∀T > 0 に対し K = KT > 0 が存在し、以下の条件を満たすと する。 (i) ∀t ∈ [0, T ], ∀x, y ∈ Rdに対し

||α(t, x) − α(t, y)|| + |b(t, x) − b(t, y)| ≤ K|x − y|. (3.3) (ii) ||α(t, x)|| + |b(t, x)| ≤ K(1 + |x|) . このとき (3.1) の解 X = (Xi t) で Xi ∈ L2, ∀i となるものが存在し、解は 一意的である。 証明. _{∀T > 0 を固定し、区間 [0, T ] における解の存在と一意性を示せば} 十分である。 step1 解の存在を示すために Picard の逐次近似法を用いる。まず d 次 元確率過程の列 X(n)_{= (X}(n) t )t∈[0,T ], n∈ N を n = 1 のときは X (1) t = x と おき、X(n−1) t まで定まれば、X (n−2) t , n∈ 2 を X_t(n)= x + ∫ t 0 α(s, X_s(n−1))dBs+ ∫ t 0 b(s, X_s(n−1))ds (3.4) で定める。しかし、(3.4) の右辺が数学的な意味を持つためには { αi_k(t, X_t(n−1))∈ L2_T, bi_{(t, X}(n−1) t )∈ L1([0, T ]) a.s. でなければならない。ここで n≥ 2 に対し、 X(n−1) = (X_t(n−1)) は (Ft)-適合, (3.5) E [ sup 0≤t≤T |X(n−1) t |2 ] <∞ (3.6) を帰納法により示す。n = 2 のときは、X(n−1) t = x により、(3.5) と (3.6) は成り立つ。(3.5) と (3.6) が Xt(n−1)について成り立つと仮定すると、αik

は Borel 可測であるから、(3.5) より αi k(t, X (n−1) t ) はFt可測で、条件 (ii) と (3.6) より E [∫ T 0 αi_k(t, X_t(n−1))2dt ] ≤ E [∫ T 0 ||α(t, X(n−1) t )||2dt ] ≤ E [∫ T 0 {K(1 + |X(n−1) t |)} 2 dt ] ≤ K2_E [∫ T 0 ( 1 + 2 sup 0≤s≤T|X (n−1) s | + sup 0≤s≤T|X (n−1) s | 2 ) dt ] = K2E [ T ( 1 + 2 sup 0≤s≤T |X(n−1) s | + sup 0≤s≤T |X(n−1) s | 2 )] <∞ よって αi k(t, X (n−1) t )∈ L2T で、また、 ∫ T 0 |bi (t, X_t(n−1))|dt ≤ ∫ T 0 K(1 +|X_t(n−1)|)dt ≤ K ∫ T 0 ( 1 + sup 0≤s≤T|X (n−1) s | ) dt = KT ( 1 + sup 0≤s≤T |X(n−1) s | ) <∞ から bi_{(t, X}(n−1) t )∈ L1([0, T ]) a.s. 以上から、(3.5) と (3.6) を仮定すれば、(3.4) の式が成り立つことがわ かるから、Xt(n)は (Ft)-可測であることがわかり、(3.5) は X (n) t について 成り立つ。あとは (3.6) が X(n) t について成り立つことを示せばよい。不 等式 (a + b + c)≤ 3(a + b + c) a, b, c ∈ R を用いると、 E [ sup 0≤t≤T |X(n) t |2 ] = E [ sup 0≤t≤T   x +∫₀tα(s, X_s(n−1))dBs+ ∫ t 0 b(s, X_s(n−1))ds  2] ≤ 3|x|2 + 3E [ sup 0≤t≤T  ∫₀tα(s, X_s(n−1))dBs  2 ] + 3E [ sup 0≤t≤T  ∫₀tb(s, X_s(n−1))ds 2] となる。ここで、Mi t = N ∑ k=1 ∫ t 0 αi_k(s, X_s(n−1))dB_skとすれば、Doob の不等

式から E [ sup 0≤t≤T  ∫ t 0 α(s, X_s(n−1))dBs  2 ] = E [ sup 0≤t≤T{(M 1 t) 2_{+· · · + (M}d t) 2_} ] ≤ E [ sup 0≤t≤T (M_t1)2 +· · · + sup 0≤t≤T (M_td)2 ] ≤ 4(E[(M1 t) 2_{] +· · · + E[(M}d t) 2_]) (3.7) さらに定理 2.16 から E[(Mi t)2] = E [ _N ∑ k=1 ∫ t 0 αi_k(s, X_s(n−1))2ds ] となるの で、 (3.7)≤ 4E [ _d ∑ i=1 N ∑ k=1 ∫ t 0 αi_k(s, X_s(n−1))2ds ] ≤ 4E[∫ T 0 d ∑ i=1 N ∑ k=1 αi_k(s, X_s(n−1))2ds ] = 4E [∫ T 0 ||α(s, X(n−1) s )|| 2 ds ] . さらに、Schwarz の不等式を用いると E [ sup 0≤t≤T  ∫ t 0 b(s, X_s(n−1))ds  2] ≤ E [{ sup 0≤t≤T ∫ t 0 |b(s, X(n−1) s )|ds }2] ≤ E[{∫ T 0 1· |b(s, X_s(n−1))|ds }2] ≤ E [(∫ T 0 12ds ) (∫ T 0 |b(s, X(n−1) s )| 2_ds )] = T E [∫ T 0 |b(s, X(n−1) s )| 2_ds ] となる。よって、 E [ sup 0≤t≤T |X(n) t |2 ] ≤ 3|x|2_{+ 12E} [∫ T 0 ||α(s, X(n−1) s )|| 2_ds ] + 3T E [∫ T 0 |b(s, X(n−1) s )| 2_ds ] <∞ であることがわかる。以上から、d 次元確率過程の列 X(n)_{, n∈ N が順次} 定義されることがわかった。

step2 列 X(n)が n → ∞ のとき収束し、その極限が求める解であるこ とを示す。_{∀n ≥ 3, ∀t ∈ [0, T ] に対し、(3.3) より} E [ sup 0≤r≤t|X (n) r − X (n−1) r | 2 ] ≤ 2E [ sup 0≤r≤t  ∫₀r{α(s, X(n−1) s )− α(s, X (n−2) s )}dBs  2 ] + 2E [ sup 0≤r≤t  ∫ r 0 {b(s, X(n−1) s )− b(s, X (n−2) s )}ds  2 ] ≤ 8E [∫ t 0 ||α(s, X(n−1) s )− α(s, Xs(n−2))||2ds ] + 2tE [∫ t 0 |b(s, X(n−1) s )− b(s, Xs(n−2))|2ds ] ≤ C1 ∫ t 0 E[|X_s(n−1)− X_s(n−2)|2]ds. (3.8) ただし、C1 = (8 + 2T )K2である。この評価式を繰り返し用いると (3.8)≤ C₁n−2 ∫ t 0 ∫ s 0 ∫ s1 0 · · · ∫ sn−4 0 E [ sup 0≤t≤T|X (2) t − X (1) t | 2 ] ds_n−3· · · ds1ds. ここで、C2 := E [ sup 0≤t≤T|X (2) t − X (1) t | 2 ] とおくと、C2 <∞ より上の右辺 は Cn−2 1 C2 tn−2 (n− 2)! となるので、 E [ sup 0≤r≤t|X (n) r − X (n−1) r | 2 ] ≤ C2 (C1t)n−2 (n− 2)! (3.9) がいえる。(3.9) で t = T ととり、Chebyshev の不等式を用いれば、 P ( sup 0≤t≤T|X (n) t − X (n−1) t | ≥ (C1T )n/4 (n!)n/4 ) ≤ C2 (C1T )n−2 (n− 2)! × (n!)1/2 (C1T )n/2 となる。 ∞ ∑ n=2 (n!)1/2 (n− 2)! × (C1T ) (n−4)/2 _{<∞ から、Borel-Cantelli の補題よ} り、 P [ ∃n0 s.t.∀n ≥ n0に対し sup 0≤t≤T|X (n) t − X (n−1) t | < (C1T )n/4 (n!)1/4 ] = 1

が成り立つ。よって、n > m として sup 0≤t≤T |X(n) t − X (m) t | ≤ n ∑ k=m+1 sup 0≤t≤T |X(k) t + X (k−1) t | ≤ n ∑ k=m+1 1 (n!)1/4(C1T ) n/4 _{→ 0 (n, m → ∞)} となり、X(n) t は a.s. に [0, T ] 上一様収束する。さらに E [ sup 0≤t≤T|X (n) t − X (m) t | 2 ]1/2 ≤ E   { _n ∑ k=m+1 sup 0≤t≤T|X (k) t − X (k−1) t | }2  1/2 ≤ n ∑ k=m+1 E [ sup 0≤t≤T|X (k) t − X (k−1) t | 2 ]1/2 ≤ n ∑ k=m+1 √ C2 (C1T )k−2 (k− 2)! → 0 (n, m → ∞) から、X(n) t は L2-Cauchy 列であることもわかる。収束先を Xtとすれば、        E [ sup 0≤t≤T |Xt|2 ] <∞, E [ sup 0≤t≤T|X (n) t − Xt|2 ] → 0 (n → ∞) が成り立つので、 E [ sup 0≤t≤T  ∫₀tα(s, X_s(n))dBs− ∫ t 0 α(s, Xs)dBs  2 ] ≤ 4E [∫ T 0 ||α(s, X(n) s )− α(s, Xs)||2ds ] ≤ 4K2 E [∫ T 0 |X(n) s − Xs|2ds ] ≤ 4K2 T E [ sup 0≤s≤T |X(n) s − Xs|2 ] → 0 (n → ∞) となる。よって、 ∫ t 0 αi_k(s, X_s(n))dB_sk → ∫ t 0 αi_k(s, Xs)dBsk in L 2 .

また _∫ t 0 bi(s, X_s(n))ds→ ∫ t 0 bi(s, Xs)ds a.s. よって、(3.4) で n→ ∞として(3.2)が∀t ∈ [0, T ]に対し、a.s.に成立するこ とがわかる。しかし両辺は t について連続だから、P (_{∀t ∈ [0, T ]に対し、(3.2) が成立) =} 1 がいえ、Xtが求める解であることが示された。 step3 最後に一意性を示す。Xt, Xt′がともに (3.1) の解であるとする。 τl := inf{t ≥ 0 ; |Xt| ∨ |Xt′| ≥ l} (inf ∅ = ∞), l ∈ N とする。τ が Markov 時刻のとき、 E [   ∫ t∧τ 0 fsdBsk  2 ] = E [∫ t∧τ 0 f_s2ds ] = E [∫ t 0 f_s21[0,τ ]ds ] ≤ E [∫ t 0 f_s2_∧τds ] であることを用いると、 E[|Xt∧τl− X ′ t∧τl| 2 ]≤ C1E [∫ t∧τl 0 |Xs− Xs′| 2 ds ] ≤ C1E [∫ t 0 |Xs∧τl− X ′ s∧τl| 2 ds ] ≤ C1 ∫ t 0 E[|Xs∧τl− X ′ s∧τl| 2 ]ds, t∈ [0, T ] がいえる。後述する補題 3.4 より、 E[|Xt∧τl− X ′ t∧τl| 2_{] = 0, t ∈ [0, T ].} よって、P (Xt∧τl = X ′ t∧τl) = 1, t ∈ [0, T ] がわかる。Xt, X ′ tの連続性か ら、 lim l→∞τl =∞ となるから、解の一意性が示された。 補題 3.4. 連続関数 φt, t∈ [0, T ] が 0≤ φt≤ C1+ C2 ∫ t 0 φsds, t∈ [0, T ], C1, C2 ≥ 0. を満たすならば、φt ≤ C1eC2t, t∈ [0, T ] である。

定義 3.5. 適当な確率空間 (Ω,_{F, P )、増加情報系 (F}t)t≥0と、その上の (Ft)-Brown 運動 B = (Bt)t≥0をみつけて、(3.1) あるいは (3.2) を満たす ように X = (Xt)t≥0を作ることができれば、それを弱解という。弱解が 一意とは、X の (Wd_,B(Wd_{)) 上の分布が一意的に定まるときにいう。} ここで、確率微分方程式 (3.1) が弱解をもつとする。このとき φ = φ(x)∈ C2 b(Rd) に対し伊藤の公式を用いると、 φ(Xt) = φ(X0) + d ∑ i=1 N ∑ k=1 ∫ t 0 ∂φ ∂xi(Xs)α i k(s, Xs)dBsk + d ∑ i=1 ∫ t 0 ∂φ ∂xib i_{(s, X} s)ds +1 2 d ∑ i,j=1 N ∑ k=1 ∫ t 0 ∂2_φ ∂xi_∂xj(Xs)α i k(s, Xs)α_kj(s, Xs)ds = φ(X0) + d ∑ i=1 N ∑ k=1 ∫ t 0 αi_k(s, Xs) ∂φ ∂xi(Xs)dB k s + ∫ t 0 ( _d ∑ i=1 bi(s, Xs) ∂φ ∂xi(Xs) + 1 2 d ∑ i,j=1 N ∑ k=1 αi_k(s, Xs)αjk(s, Xs) ∂2_φ ∂xi_∂xj(Xs) ) ds. これを微分表記すると、 dφ(Xt) = d ∑ i=1 N ∑ k=1 αi_k(t, Xt) ∂φ ∂xi(Xt)dB k t +Atφ(Xt)dt. ただし、 Atφ(x) := 1 2 d ∑ i,j=1 aij(t, x) ∂ 2_φ ∂xi_∂xj(x) + d ∑ i=1 bi(t, x)∂φ ∂xi(x) で、 a(t, x) = (aij(t, x))1≤i,j≤d:= α(t, x)tα(t, x) は成分 aij := N ∑ k=1 αi_k(t, x)αj_k(t, x)

をもつ非負対称行列である。確率積分の項は (_Ft)-マルチンゲールだから、 φ(Xt)− φ(X0)− ∫ t 0 Asφ(Xs)ds は (Ft)-マルチンゲールになることがわかった。 特に時間的に一様な場合、つまり係数 α, b が t によらないときA := At も t によらず、 Aφ(x) := 1 2 d ∑ i,j=1 aij(x) ∂ 2_φ ∂xi_∂xj(x) + d ∑ i=1 bi(x)∂φ ∂xi(x) と与えられる。 定義 3.6. (Wd_,B(Wd_{)) 上の確率測度 P が出発点 x∈ R をもつ A-マルチ} ンゲール問題の解とは以下の条件を満たすときにいう。 (i) P (w0 = x) = 1. (ii) ∀φ ∈ C2 b(Rd) に対し、 Mt(φ) = Mt(w, φ) := φ(wt)− φ(w0)− ∫ t 0 Aφ(ws)ds が P について (B(Wd₎ t)-マルチンゲールである。ただし、wt, t≥ 0 は w ∈ Wd_{の t 時での値 (つまり標準座標関数) を表し、B(W}d₎ t:= ∩s>tσ(wr; r≤ s) とする。 ∀x ∈ Rd_{に対し、A-マルチンゲールの解が一意的に存在するとき、適切} という。

3.2

Feynman-Kac

の公式

係数 α, b は時間的に一様で x∈ Rd_{について連続とする。確率微分方程} 式 (3.1) は∀x ∈ Rd_{から出発する一意的な弱解 X = (X} t)t≥0 をもつとす る。その分布は Px、平均は Exとかく。 初期値 f ∈ Cb(Rd) と関数 V, g ∈ Cb(Rd) が与えられているとする。さ らに係数 α, b は定理 3.3 の条件 (ii) を満たすとする。

定理 3.7. u = u(t, x) ∈ C1,2_((0,∞) × Rd₎∩ C([0, ∞) × Rd_{) が Cauchy} 問題 ∂u ∂t =Au + V u + g, t > 0, x∈ R d _(3.10) u(0, x) = f (x), x∈ Rd (3.11) の解で、さらに_{∀T > 0 に対し ∃C = CT}, p = pT > 0 が存在し、 |u(t, x)| ≤ C(1 + |x|p_{), t∈ [0, T ], x ∈ R}d _(3.12) を満たすなら u(t, x) = Ex [ f (Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } + ∫ t 0 g(Xs) exp {∫ s 0 V (Xr)dr } ds ] と表示できる。 この表示式を Feynman-Kac の公式という。 証明のために補題を準備する。 補題 3.8. 解 Xtは∀p > 1, T > 0 に対し、 Ex [ sup 0≤t≤T|X t|p ] <∞, x∈ Rd を満たす。 定理の証明. T > 0 を固定して、 Mt:= u(T−t, Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } + ∫ t 0 g(Xs) exp {∫ s 0 V (Xr) } ds, t ∈ [0, T ] とおく。ここで、          X_t0 := T − t, X_td+1 := ∫ t 0 V (Xs)ds, ˆ Xt:= (Xt0, Xt1,· · · , Xtd, X d+1 t )

とし、φ(x0, x1,· · · , xd, xd+1) = u(x0, x1,· · · , xd) exp(xd+1) として伊藤の 公式を用いると、 dφ( ˆXt) = d+1 ∑ i=0 ∂φ ∂xi( ˆXt)d ˆX i t+ 1 2 d+1 ∑ i,j=0 ∂2_φ ∂xi_∂xj( ˆXt)d ˆX i td ˆX j t = d+1 ∑ i=0 ∂φ ∂xi( ˆXt)d ˆX i t+ 1 2 d ∑ i,j=1 ∂2_φ ∂xi_∂xj( ˆXt)dX i tdX j t = ∂u ∂t(T − t, Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } (−dt) + d ∑ i=1 ∂u ∂xi(T − t, Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } (∑N k=1 αi_k(Xt)dBtk+ b i_(X t)dt ) + u(T − t, Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } V (Xt)dt +1 2 d ∑ i,j=1 ∂2_u ∂xi_∂xj(T − t, Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } (∑N k=1 αi_k(Xt)αj_k(Xt)dt ) = d ∑ i=1 ∂u ∂xi(T − t, Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } (∑N k=1 αi_k(Xt)dBtk ) + ( −∂u ∂t(T − t, Xt) +Au(T − t, Xt) + V (Xt)u(T − t, Xt) ) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } dt. ここで、(3.10) から dt の項を計算すると−g(Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } とな るので、 dMt = d ∑ i=1 N ∑ k=1 ∂u ∂xi(T − t, Xt)α i k(Xt) exp {∫ t 0 V (Xs)ds } dB_tk となる。σn:= inf{t > 0 ; |Xt| > n} とすると、(Mt)t∈[0,T ]はマルチンゲー ルだから、 Ex[M0] = Ex[MT∧σn] (3.13)

とすると、 |MT∧σn| ≤   u(T − T ∧ σn, XT∧σn)   exp{∫₀T∧σnV (Xs)ds }   + ∫ T∧σn 0 g(Xs) exp {∫ s 0 V (Xr)dr } ds   ≤ C(1 + |XT∧σn| p ) exp {∫ T 0 Kds}  + ∫ T 0 K· exp {∫ T 0 Kdr } ds ≤ C ( 1 + sup 0≤t≤T|X t|p ) | exp(KT )| + |KT exp(KT )| で、補題 3.8 から|MT∧σn| の可積分性も保証されるので、(MT∧σn) は n に ついて一様可積分である。よって、ルベーグの優収束定理から (3.13) の 両辺 n→ ∞ とすれば、(3.11) とあわせて結論を得る。

4

Grushin

作用素

Grushin 作用素とは、R2_{上の次で与えられる作用素である。} L = 1 2 {( ∂ ∂x )2 + x2 ( ∂ ∂y )2} . (4.1) ただし、_R2_{上の標準座標を (x, y) と表す。対応する熱方程式は} ∂u ∂t =Lu (4.2) である。熱核 (熱方程式の基本解)p(t, (x, y), (z, v)) ((x, y), (z, v) ∈ R2_{) と} は、f ∈ Cb(R2) に対し、 u(t, (x, y)) = ∫ R2 f (z, v)p(t, (x, y), (z, v))dzdv

とおけば、この u(t, (x, y)) が初期条件 u(0,·) = f を満たす熱方程式 (4.2)

の解となるような滑らかな関数のことをいう。ここでは、確率微分方程式 を用いて、Grushin 作用素に付随する熱核の具体形を与え、さらにその漸 近挙動について調べる。具体形の計算については、[2,3] にあるディラック 測度のフーリエ変換とは違う、条件付き期待値を利用する方法を用いる。 確率空間 (Ω,_{F, P ) と増加情報系 (F}t)t≥0があり、その上に 2 次元 (Ft )-Brown 運動 Bt= (Btk)1≤k≤2が与えられている。 α((x, y)) = ( 1 0 0 x ) とおく。X_t(x,y) = (X_t(x,y),k)1≤k≤2を確率微分方程式 dXt= α(Xt)dBt, X0 = (x, y) の解とする。 α((x, y))tα((x, y)) = ( 1 0 0 x2 ) となるから、Feynman-Kac の公式により、

u(t, (x, y)) = E[f (X_t(x,y))]

は熱方程式 (4.2) の初期条件 u(0,·) = f を満たす解となる。

定理 4.1. (x, y), (z, v)∈ R2_とし、 p(t, (x, y), (z, v)) = _√1 2πt3 ∫ R √ ξ sinh ξexp ([√ −1ξ(v − y) − 1 2 ξ sinh ξ{(x 2 + z2) cosh ξ− 2xz} ] /t ) dξ (4.3) とおく。このとき p(t, (x, y), (z, v)) は熱方程式∂u ∂t =Lu の熱核である。 証明のために補題を準備する。 補題 4.2. 連続関数 ϕ : [0,∞) → R に対し、∫t 0 ϕ(s)dB 2 s ∼ N(0, ∫t 0 ϕ(s) 2_ds) である。 証明. ϕn(t) = ϕ([2nt]/2n) とおく。このとき、 ∫ t 0 ϕn(s)dBs2 = [2n_t] ∑ i=0

ϕ(i/2n){B_t2_∧(i+1)/2n − B_t2_∧i/2n}

となる。よって∫t 0ϕn(s)dB 2 s ∼ N(0, ∫t 0 ϕn(s) 2_{ds) である。n→ ∞ として} 主張を得る。 定理の証明. 直接計算により、 X_t(x,y) = ( x + B_t1, y + ∫ t 0 (x + B_s1)dB2_s ) となる。 条件付き期待値の定義により E[f (X_t(x,y))] = ∫ R E[f (X_t(x.y))|x + B1_t = z]√1 2πte −(x−z)2_/2t dz (4.4) となる。ただし、E[·|x + B1 t = z] は条件 x + Bt1 = z のもとでの条件付き 期待値を表す。

F1_{を B}1 t (t ≥ 0) が生成する σ-加法族とする。F1と第 2 成分 Bt2 (t≥ 0) は独立であるから、補題 4.2 とあわせて E[f (X_t(x,y))|F1] = E [ f ( a, y + ∫ t 0 ϕ(s)dB_s2)]  (a=x+B1 t,ϕ=B•2) = ∫ R f (x + B_t1, v)√1 2πhx t exp ( −(v− y)2 2hx t ) dv となる。ただし、 hx_t = ∫ t 0 (x + B_s1)2ds である。これを (4.4) に代入すれば E[f (X_t(x,y))] = ∫ R2 f (z, v)E [ 1 √ 2πhx t exp ( −(v− y)2 2hx t )   x + B1 t = z ] 1 √ 2πtexp ( −(x− z)2 2t ) dvdz (4.5) となる。等式 ∫ R e−√−1λu√1 2πae −u2_/2a du = e−aλ2/2, により、 1 √ 2πae −u2_/2a = 1 2π ∫ R e√−1λue−aλ2/2dλ となるから、(4.5) とあわせて E[f (X_t(x,y))] = ∫ R3 f (z, v) 1 2πe √ −1λ(v−y)_E[e−λ2_hx t/2|x + B1 t = z] 1 √ 2πte −(x−z)2_/2t dλdvdz (4.6) を得る。 [4,Theorem 5.8.2,p268] により、 E[e−λ2hxt/2|x + B1 t = z]× 1 √ 2πte −(x−z)2_/2t = √1 2πt √ λt sinh(λt)exp ( −λ 2coth(λt){x 2_{− 2xz sech(λt) + z}2_} ) = √1 2πt √ λt sinh(λt)exp ( −1 2t λt sinh(λt){(x 2 + z2) cosh(λt)− 2xz} )

となる。これより ∫ R 1 2πe √ −1λ(v−y)_√1 2πt √ λt sinh(λt)exp ( −1 2t λt sinh(λt){(x 2_{+ z}2_{) cosh(λt)− 2xz}} ) dλ = _√1 2πt3 ∫ R e√−1ξ(v−y)/t √ ξ sinh ξexp ( −1 2 ξ/t sinh ξ{(x 2_{+ z}2_{) cosh ξ− 2xz}} ) dξ (ξ = λt) = _√1 2πt3 ∫ R √ ξ sinh ξexp ([√ −1ξ(v − y) − 1 2 ξ sinh ξ{(x 2 + z2) cosh ξ− 2xz} ] /t ) dξ である。(4.6) とあわせて、p(t, (x, y), (z, v)) が X(x,y) t の密度関数となるこ とがわかり、したがって_{L に対する熱核であるといえる。} V1 = ∂ ∂x, V2 = x ∂ ∂y とおく。V1, V2のリー括弧積は [V1, V2] = V1V2− V2V1 = ∂ ∂y となるから、 V(x, y) = {aV1(x, y) + bV2(x, y) | a, b ∈ R}, W(x, y) = {aV1(x, y) + bV2(x, y) + c[V1, V2](x, y)| a, b, c, ∈ R} とおけば、 dimV(x, y) = { 1, (x = 0) 2, (x̸= 0) , dimW(x, y) = 2 となる。この x = 0 による次元の変動の様子が p(t, (x, y), (x, y)) の t→ 0 における挙動に以下に見るように反映する。 等式

cosh ξ− 1 = 4 sinh2(ξ/2), sinh ξ = 2 sinh(ξ/2) cosh(ξ/2), と上の定理により、 p(t, (x, y), (x, y)) = _√1 2πt3 ∫ R √ ξ sinh ξ exp ( −(ξ/2) tanh(ξ/2) 2t x 2 ) dξ

となる。 これより、(0, y) においては p(t, (0, y), (0, y)) = _√1 2πt3 ∫ R √ ξ sinh ξdξ である。すなわち、t→ 0 のとき、p(t, (0, y), (0, y)) は 1/√t3のオーダー で発散する。 次に x_{̸= 0とする。g(ξ) = ξ tanh ξ, ξ ∈ Rとすると、g}′(ξ) = 4ξ + e 2ξ _{− e}−2ξ (eξ_{+ e}ξ₎2 となり、g(ξ) は ξ = 0 で最小値をとる。さらに g(ξ) = ξ2_{+ O(ξ}4_{), (ξ ↓ 0)} となる。したがってラプラスの方法により、 ∫ R √ ξ sinh ξexp ( −(ξ/2) tanh(ξ/2) 2t x 2 ) dξ ∼ √ ξ sinh ξ   ξ=0 × ∫ R exp ( −x2ξ2 8t ) dξ = 1× √ 2π4t x2 (t→ 0) となる。ただし、“g(t) ∼ h(t) (t → 0)” は、limt→0g(t)/h(t) = 1 が成り 立つことをいう。したがって、x̸= 0 のときは、(x, y) において p(t, (x, y), (x, y))∼ 1 π|x|t (t→ 0) となる。すなわち、t _{→ 0 のとき、p(t, (x, y), (x, y)) は 1/t のオーダーで} 発散する。

参考文献

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