は し が き
１ 「最新の過去問」を掲載 2012年に実施された国家公務員や裁判所職員の新制度の本試験問題をいち早く掲 載しています。公務員試験は年々変化しています。今年の過去問でいち早く最新 の試験傾向を把握しましょう。 ２ 段階的な学習ができる 公務員試験を攻略するには，さまざまな科目を勉強することが必要です。したがっ て，勉強の効率性は非常に重要です。「公務員試験 過去問 新クイックマスター」 では，それぞれの科目で勉強すべき項目をセクションとして示し，必ずマスター すべき必修問題を掲載しています。このため，何を勉強するのかをしっかり意識 し，必修問題から基本問題→応用問題とステップアップすることができます。問 題ごとに試験種ごとの頻出度がついているので，自分にあった効率的な勉強が可 能です。 ３ 満足のボリューム（充実の問題数） 本試験問題が解けるようになるには良質の過去問を繰り返し解くことが必要で す。「公務員試験 過去問 新クイックマスター」は，なかなか入手できない地方 上級の問題を数多く収録しています。類似の過去問を繰り返し解くことで知識の 定着と解法パターンの習得を図れます。 ４ メリハリをつけた効果的な学習 公務員試験の攻略は過去問に始まり過去問に終わるといわれていますが，実際に 過去問の学習を進めてみると戸惑うことも多いはずです。「公務員試験 過去問 新クイックマスター」では，最重要の知識を絞り込んで学習ができる講義ページ， 基本事項を確認できる章末チェック，効率的な学習の指針となる出題傾向分析， 受験のツボをマスターする10の秘訣など，メリハリをつけて必要事項をマスター するための工夫が満載です。 みなさんが本書を徹底的に活用し，合格を勝ち取っていただけたら，わたくした ちにとってもそれに勝る喜びはありません。 2012年９月吉日 株式会社 東京リーガルマインド LEC総合研究所 公務員試験部試験名 年 度 力と運動 運動量と エネルギー 波動 電気 原子・ その他 出題数 セクション 地 上（旧国Ⅱ）国家一般職 東京都 特別区 裁判所職員国税・財務・労基 （旧国Ⅰ）国家総合職 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 3 3 3 6 6 6 6 4 2 7 7 9 3 3 3 6 6 5 6 5 4 ★ ★ ★ ★★★★ ★ ★ × 4 ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★ ★ ★ ★★ ★★★★ ★★★ ★ ★★★ ★★ ★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★★ ★★ ★★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★★ ★★ ★ ★ ★ ★★★ ★ ★ ★ ・・・・・・・・・ 過去問・必修問題 ・・・・・・・・・ 式変形について学習します。暗記するのではなく，自 分で作って覚えるようにしよう。 問素数Ａに対し，下のような関係式がある。自然数m，nに対して， Ａをmで記述することができるが，そのときＡはどのように表さ れるか。 （地上2005） Ａ＝m3−n3 ＝（m−n）（m2＋mn＋n2 ） 1 ：Ａ＝m2−m＋1 2 ：Ａ＝m2＋m＋1 3 ：Ａ＝m2 3m＋1 問題 基本レベル 頻出度 地上★★★ 国家一般職★ 東京都 特別区★ 裁判所職員★ 国税・財務・労基★ 国家総合職★ 問√￣3 は√￣3 ＝ 1＋ 1 1＋ 1 2＋ 1 1＋ 1 2＋ 1 1＋…1 というように分母が無限に続く分数 で表すことができる。√￣5 を同じように表すときに以下の手順で行ったとき， 空所オに入る数値として正しいのはどれか。 （地上2008） √￣5 ＝2.236……より，√￣5 を超えない最大の整数は 2 なので，√￣5 ＝ 2 ＋x1 1と表す ことができる。これより，x1＝√￣5−21 として有理化をすると，x1＝ ア となる。 7 2 次方程式 ax2＋bx＋c＝0 （ a≠ 0 ）において， これを満たす x は， x＝ −b±√￣b2−4ac 2a となります。この値を 2 次方程式の解といい ます。 ここで，f（ x）＝ ax2 ＋bx ＋ c とおくと， 2 次 方程式の解は f（ x）＝ 0 となる x の値，つまり， 右の図のような x 軸との交点の座標を求める ことになります。 ⑵ 判別式による解の判別 2 次方程式 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 （ a ≠ 0 ）の解の種類は，解の公式中の根号の値で 分かれます。このため根号内を判別式といっています。 判別式はＤ＝ b2−4ac で表 され，次のことが成り立ちます。 D＞０ D= ０ D＜０ 異なる 2 実数解をもつ 重解をもつ （異なる 2 虚数解をもつ）実数解をもたない x （ a ＞ 0 のとき） （ a ＞ 0 のとき） x （ a ＞ 0 のとき） x ⑶ 2 次方程式の 解と係数の関係 2 次方程式 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 （ a ≠ 0 ）の 2 つの解をα βとするとき 次の関 − − ２−4 2 − ＋ −4 2 段階的に無理なくレベルアップ！
必修問題から実践問題
ビジュアルイメージで理解を サポート図 表
必修問題の後で知識の再確認！インプット
採用試験ごとの出題傾向と対策が はっきり分かる！出題傾向の分析と対策
志望先ごとの重要度が一目瞭然。 星の数が多いほど 頻出度がアップ! 勉強の効率性もアップ!頻出度
チェック欄 1回目 2回目 3回目 問題 〈有理化〉 まず，x1＝ 1 √￣5−2 を有理化すると， x1＝ 1×（√￣5＋ 2 ） （√￣5− 2 ）×（√￣5＋ 2 ） ＝√￣5 ＋ 2 ……（ア） となる。 ここで，√￣5 ＋ 2 ＝4.236……より，x1を超えない最大の整数は 4 なので， x1＝ 4 ＋ 1 x ……（イ） 7 A 1 ×（ x＋ 4 ）2＝ x2＋ 8 x＋16となる。 A 2 〇（ ax＋b）（ cx＋d）＝acx2＋（ ad ＋bc）x＋bd の公式を利用する。 A 3 × 6 x2−11x＋ 4 を因数分解すると（ 2 x− 1 ）（ 3 x− 4 ）となる。 Q1 （ x＋ 4 ）2＝ x2＋ 4 x＋16である。 Q2 （ 2 x＋ 3 ）（ 4 x− 5 ）＝ 8 x2 ＋ 2 x−15である。 Q3 6 x2−11x＋ 4 を因数分解すると，（ 2 x＋ 1 ）（ 3 x− 4 ）となる。 Q4 8 x3−18x を因数分解すると， 2 x（ 2 x＋ 3 ）（ 2 x− 3 ）となる。 Q5 x3＋ 2 x2− 3 x＋ 4 を x− 1 で割った余りは，10である。 地上 地方公務員上級（※１） 東京都 東京都職員 特別区 東京都特別区職員 国税 国税専門官 財務 財務専門官 労基 労働基準監督官 裁判所職員 裁判所職員（※２） 裁事 裁判所事務官（※３） 家裁 家庭裁判所調査官補（※３） 国家総合職 国家公務員総合職 国Ⅰ 国家公務員Ⅰ種（※３） 国家一般職 国家公務員一般職 国Ⅱ 国家公務員Ⅱ種（※３） 国立大学法人 国立大学法人等職員 （※１）道府県，政令指定都市，政令指定都市以外の市役所などの職員 （※２）専門科目は総合職法律区分と一般職（大卒程度）のみ （※３）2011年まで実施されていた試験区分
● 公務員試験の名称表記について
本書では公務員試験の職種について，下記の通り表記しております。
章末CHECK
章ごとに大事な知識を 一気に確認！ 本書の問題と解説は，見開きで掲載しております。問題を解く に当たって答え・解説が見えないようにしたい方は，巻末の 黒紙を切り取って本にはさみ，目隠しとしてご利用ください。巻末の黒紙で解説を目隠ししましょう！
前回解いた日を確認したり， 苦手な問題をマークしたり， いろいろな使い方を考え 工夫してみてください。チェック欄
その単元の出題傾向等から, どのような対策を取る必要が あるのかを紹介しています。 必修問題において,そ の単元を理解するた めに必要な知識を記 載しています。 必修問題を解くヒン ト,ひいては単元全体 のヒントです。 インプットに登場した 用語を理解するため の追加説明です。 インプットの内容を理 解するうえでの考え 方などを示していま す。 インプットに出てくる 事柄の具体例を示し ています。 インプットを学習する うえで,付随的な知識 を盛り込んでいます。
● 本書のアイコンの意味について
本書では，より学習しやすくなるように，以下のアイコンで要点を示しています。受験生達が間違えや すい部分について,注 意を促しています。 実際に出題された試 験種以外の試験の受 験者にも注目してほ しい問題です。 インプットに出てくる 専門用語など,語句の 紹介です。 LECの講座内使用テ キストの参照箇所で す。 K マスター○○ 第１編・第２章・第３節 参照
はしがき 本書の効果的活用法 自然科学をマスターする10の秘訣 第１章 数学 ……… 1 SECTION① 式と計算 問題1 ∼ 7 ……… 4 SECTION② 方程式・関数 問題8 ∼ 20 ………22 SECTION③ 図形と式 問題21 ∼ 26 ………52 SECTION④ 数列・指数・対数・三角比 問題27 ∼ 33 ………68 SECTION⑤ 微分・積分 問題34 ∼ 37 ………88 SECTION⑥ 図形の計量 問題38 ∼ 42 ……… 100 第２章 物理 ……… 121 SECTION① 力と運動 問題43 ∼ 58 ……… 124 SECTION② 運動量とエネルギー 問題59 ∼ 64 ……… 160 SECTION③ 波動 問題65 ∼ 72 ……… 176 SECTION④ 電気 問題73 ∼ 80 ……… 198 SECTION⑤ 原子・その他 問題81 ∼ 87 ……… 218 第３章 化学 ……… 243 SECTION① 物質の構成 問題88 ∼ 93 ……… 246 SECTION② 物質の状態 問題94 ∼ 98 ……… 262 SECTION③ 物質の反応 問題99 ∼ 108 ……… 276 SECTION④ 無機化学 問題109 ∼ 122 ……… 302 SECTION⑤ 有機化学 問題123 ∼ 135 ……… 336
■INDEX
……… 378自然科学をマスターする
10
の秘訣
1 自然は生きた教材。何でも関心持とう！［共通］ 2 物事にはすべて意味がある。「なぜ？」「どうしてなの？」と いう気持ちを持とう！［共通］ 3 本試験問題は生きた教材。繰り返し解こう！［共通］ 4 誤った肢を正しく直せて本物の実力だ！［共通］ 5 自然は１つ。共通項目はまとめて覚えよう！［共通］ 6 計算は必ず自分の手でやってみよう。「わかった」＝「解ける」 ではない。［数学］ 7 公式の丸暗記は意味がない。必ず，問題を解こう！［数学］ 8 図に示すこそ命。必ず図示しよう！［物理］ 9 元素記号は世界共通語。仲の良い友達になろう！［化学］ 10 身の回りの物体を化学の目で見よう！［化学］数学
SECTION ①式と計算
SECTION ②方程式・関数
SECTION ③図形と式
SECTION ④数列・指数・対数・三角比
SECTION ⑤微分・積分
SECTION ⑥図形の計量
公務員試験 過去問
新クイックマスター自然科学Ⅰ
第
1
章
2 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 試験名 年 度 式と計算 方程式・ 関数 図形と式 数列・指数・ 対数・三角比 微分・積分 出題数 セクション 地 上 （旧国Ⅱ）国家一般職 東京都 特別区 裁判所職員 国税・財務・労基 （旧国Ⅰ）国家総合職 図形の計量 その他 （注）１つの問題において複数の分野が出題されることがあるため，星の数の合計と出題数とが一致しな いことがあります。 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 04︱ 06 07︱ 09 10︱ 12 3 3 3 6 5 3 0 0 0 0 2 6 3 3 2 6 6 4 7 9 4 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★× 5 ★ 第 1 章
数学
出題傾向の分析と対策
自 然 科 学Ⅰ （注）１つの問題において複数の分野が出題されることがあるため，星の数の合計と出題数とが一致しな いことがあります。 数学は，「二次関数」をはじめとしてxy平面に関する出題がよく見られる。二 次関数は，「方程式」や「図形と式」などとの関連性が強いので，一緒に学習する とよいだろう。その他の分野は，特に偏ることなく出題されている。なお，「ベク トル」はあまり出題されていない。 地方上級 例年１問出題される。「関数」に関する出題が多い。標準的なレベルよりはやや 難しいので，単なる解法パターンの詰め込みでは対応できない。 国家一般職（旧国家Ⅱ種） 2012年は出題されなかった。2011年までは１∼２問の出題があり，さまざまな 分野から特に偏ることなく出題されていた。標準的なレベルがほとんどで，解法 パターンの暗記で対応が可能であった。3 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 東京都 例年出題されていない。 特別区 例年２題出題される。2009年から出題されるようになった。標準的なレベルよ りはやや難しいので，単なる解法パターンの詰め込みでは対応できない。2010年 には，他の試験種ではあまり出題されない「統計」が出題されるなど，出題分野 にもやや特色がある。 裁判所職員 2012年は出題されなかった。2011年までは１問出題されており，出題分野，難 易度とも幅があった。 国税専門官・財務専門官・労働基準監督官 2012年は出題されなかった。2011年までは２問出題されており，国家一般職（旧 国家Ⅱ種）と近い，標準的な問題が多かった。 国家総合職（旧国家Ⅰ種） 2012年は出題されなかった。2011年までは２問出題されていた。かつては難問 が出題されていたが，最近は王道的な出題が目立つようになってきていた。 数学は，2012年には国家公務員系では出題がなく，地方公務員系のみで出 題された。この傾向が今後も続くかどうかはまだわからないが，数学で必要 とされる論理的思考力や計算力は，数的処理や経済原論でも必要とされるの で，これらの科目とリンクさせて学習すればむだがないだろう。 地方公務員系の数学は，標準的なレベルよりはやや難しいので，単純な解 法パターンの暗記では対応できない。したがって，選択する場合には基本的 なレベルからのある程度の準備が必要となるため，学習の効率はよくない。
学習と対策
4 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版
・・・・・・・・・
過去問・必修問題
・・・・・・・・・
式と計算
式変形について学習します。暗記するのではなく，自 分で作って覚えるようにしよう。 問 素数Ａに対し，下のような関係式がある。自然数m，nに対して， Ａをmで記述することができるが，そのときＡはどのように表さ れるか。 （地上2005） Ａ＝m3−n3 ＝（m−n）（m2 ＋mn＋n2 ） 1 ：Ａ＝m2−m＋1 2 ：Ａ＝m2 ＋m＋1 3 ：Ａ＝m2 −3m＋1 4 ：Ａ＝ 3 m2＋3m＋1 5 ：Ａ＝ 3 m2−3m＋1❶
5 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 過去問・必修問題 の
解 説
チェック欄 1回目 2回目 3回目 頻出度 地上★★★ 国家一般職★ 東京都 特別区★★ 裁判所職員★ 国税・財務・労基★ 国家総合職★ 〈式と計算〉 Ａは 素数なので， 1 かＡでないと割りきることができない。つまり，Ａは， Ａ＝ 1 ×Ａ と表すことができる。したがって条件， Ａ× 1 ＝（ m−n）（m2 ＋mn＋n2 ） の右辺より，次の①，②が考えられる。 m−n m2＋mn＋n2 ① Ａ 1 ② 1 Ａ ①のとき m2 ＋ mn ＋ n2 ＝ 1 となるが，m ，n は自然数（ 1 以上の整数）なので，m2 ，mn ， n2 の各項は 1 以上の整数になる。したがって，m2 ＋ mn＋ n2 は少なくとも 3 以上の 値をとるはずなので，不適である。 ②のとき m−n＝ 1 より，n＝m− 1 となる。これをＡ＝m2 ＋mn＋n2 に代入する。 Ａ＝m2 ＋mn＋n2 ＝m2＋m（ m− 1 ）＋（ m− 1 ）2 ＝m2＋m2−m＋m2− 2 m＋ 1 ＝ 3 m2 − 3 m＋ 1 よって，正解は肢 5 である。5
6 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 数学 第
1
章式と計算
1 数の計算 ···
⑴ 有理数
整数 m ，n で，m（n m≠０）と表される数。整数と分数のこと。分数を小数にな おすと，割り切れるものと，割り切れずに同じ数が繰り返されるものとに分かれる。 割りきれるものは有限小数といい，同じ数が規則的に繰り返されるものは循環小数 という。⑵ 無理数
整数 m ，n で，mと表すことができない数。循環しない無限小数のこと。n 例えば，√￣2 やπを小数に直すと， √￣2 ＝1.41421356… π＝3.141592653… となり，無限に続くが規則性はない。これらは循環しない無限小数であり，無理 数である。 負の整数 整数 0 有理数 正の整数（自然数） 有限小数 …0.5，0.25など 実数 分数 循環小数 …0.3 4 ，0.16 4 など 無理数 ＝循環しない無限小数 …√￣2 ，πなど2 平方根と有理化 ···
⑴ 平方根
2 乗して a（ a ＞ 0 ）となる数を a の 平方根という。 aの平方根には√￣a ，−√￣a があり，√￣（a）2＝｜a｜| である。⑵ 有理化
分母に根号が含まれている場合， 有理化して分母に根号を含まない形にする。 ① 1 √￣a ＝ 1×√￣a √￣a×√￣a ＝ √￣a a② √￣a＋√￣1 b ＝（√￣a＋√￣√￣a−√￣b）（√￣ba−√￣b）＝ √￣a−√￣a−bb
︱︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱ ︱
1
7 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学
3 整式の乗法と因数分解 ···
⑴ 整式
数，文字またはそれらの積で表された式を単項式，いくつかの単項式の和で表さ れた式を多項式といいます。単項式と多項式をまとめて整式といいます。 1 つの整 式の中で各項の次数のうち最高のものを，その整式の次数といいます。⑵ 整式の乗法と 因数分解
下の式で，左辺から右辺の計算を展開，右辺から左辺の計算を因数分解といい ます。以下の10個の公式は覚えておくといいでしょう。 ① m（ a＋b）＝ma＋mb ② （ a＋b）2 ＝a2 ＋2ab＋b2 ③ （ a−b）2 ＝a2 −2ab＋b2④ （ a＋b）（ a−b）＝a2−b2
⑤ （ x＋a）（ x＋b）＝ x2＋（ a＋b）x＋ab ⑥ （ ax＋b）（ cx＋d）＝acx2 ＋（ ad ＋bc）x＋bd ⑦ （ a＋b）3 ＝a3 ＋3a2b ＋3ab2 ＋b3
⑧ （ a−b）3＝a3−3a2b＋3ab2−b3 ⑨ （ a＋b）（ a2 −ab＋b2 ）＝a3 ＋b3 ⑩ （ a−b）（ a2 ＋ab＋b2 ）＝a3 −b3
4 整式の除法 ···
⑴ 整式の除法
整式Ａ（ x）を整式Ｂ（ x）で割ったときの商をＱ（ x），余りをＲ（ x）とすると， Ａ（x）＝Ｂ（x）Ｑ（x）＋Ｒ（x） （ただし，Ｒの次数はＢの次数より低い） となります。特に，Ｒ＝ 0 のとき，Ａ（ x）はＢ（ x）で割り切れるといいます。⑵ 剰余の定理
xの整式をf（x），g（x）などの記号で表し，x＝αのときのf（x）の値をf（α）で表します。 このとき，x の整式 f（ x）を x−αで割ったときの余りは f（α）に等しくなります。 たとえば， f（x）＝x2＋2x＋3 のとき， f（1）＝6 となり， f（x）＝（x−1）（x＋3）＋6 と なります。⑶ 因数定理
xの整式 f（ x）において，f（α）＝ 0 ならば，f（ x）は x −αで割り切れ，その逆 も成り立ちます。このとき，x−αを f（ x）の因数といます。 たとえば， f（x）＝x2 −2x−3 のとき， f（3）＝ 0 となるので f（x）＝（x−3）（x＋1）と なります。すなわち x2 −2x− 3 を因数分解したことになります。8 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版
問題 基本レベル
式と計算
頻出度 地上★★★ 国家一般職★ 東京都 特別区★ 裁判所職員★ 国税・財務・労基★ 国家総合職★ 問 ax ＋ by ＝ c ，by ＋ cz ＝ a ，cz ＋ ax ＝ b ，abc（ a ＋ b ＋ c）≠ 0 の と き， 1 x＋ 1 ＋ 1 y＋ 1 ＋ 1 z＋ 1 の値はどれか。 （裁事・家裁2009） 1 ： 2 2 ： 1 3 ：12 4 ：− 1 5 ：− 21
❶
9 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 チェック欄 1回目 2回目 3回目 問題
1
〈式と計算〉 ax＋by＝c ……① by＋cz＝a ……② cz＋ax＝b ……③ ①＋②＋③より， 2（ ax＋by＋cz）＝a＋b＋c これに①を代入すると， 2（ c＋cz）＝a＋b＋c 2 c（ z＋ 1 ）＝a＋b＋c a＋b＋c≠ 0 より， z＋ 11 ＝ a＋b＋c2 c 同様に， 1 x＋ 1＝ 2 a a＋b＋c ， 1 y＋ 1＝ 2 c a＋b＋c よって， 1 x＋ 1＋ 1 y＋ 1＋ 1 z＋ 1＝ 2 a a＋b＋c ＋ 2 b a＋b＋c ＋ 2 c a＋b＋c ＝ 2 よって，正解は肢 1 である。1
Kマスター 自然科学Ⅰ 数学・第1章・第1節 参照10 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版
問題 基本レベル
式と計算
頻出度 地上★★★ 国家一般職★ 東京都 特別区★★ 裁判所職員★ 国税・財務・労基★ 国家総合職★ 問 x ＋ y ＝ 1 ，x3 ＋ y3＝ 2 のとき x6y ＋ xy6 の値はいくらか。 （国Ⅰ2006） 1 ：−31 27 2 ：−29 27 3 ：−5 27 4 ：275 5 ：29 272
❶
11 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 チェック欄 1回目 2回目 3回目 問題
2
〈式と計算〉 x＋ y＝ 1 ……① x3＋ y3＝ 2 ……② x＋ y＝ 1 の両辺を 3 乗すると， （ x＋ y）3 ＝ 1 x3 ＋3x2 y＋3xy2 ＋ y3 ＝ 1 x3＋ y3＋3xy（ x＋ y）＝ 1 ①，②を代入して， xy＝−13 ……③ を得る。つぎに，x＋ y＝ 1 の両辺を 2 乗して， （ x＋ y）2＝ 1 x2 ＋2xy＋ y2 ＝ 1 ③を代入して， x2＋ y2＝53 ……④ を得る。つぎに， （ x2＋ y2（ x） 3＋ y3）＝53 × 2 ＝103 x5＋ y5＋ x2y（ x＋ y）2 ＝103 x5＋ y5＋（
−13）
2× 1 ＝103 x5＋ y5＝299 ここで， x6y＋ xy6＝ xy（ x5＋ y5） ＝（
−13）
×299 ＝−2927 よって，正解は肢 2 である。2
Kマスター 自然科学Ⅰ 数学・第1章・第1節 参照12 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版
問題
式と計算
頻出度 地上★★★ 国家一般職★ 東京都 特別区★ 裁判所職員★ 国税・財務・労基★ 国家総合職★ 応用レベル 問 ある 4 次式は，x4の係数が 2 であり，x2− 1 で割ると x − 4 余り，x2− 4 で 割ると，x − 1 余るという。この 4 次式として妥当なのは次のうちどれか。 （国税・労基1993） 1 ：2x4−5x2＋ x− 3 2 ：2x4 −7x2 ＋ x＋ 5 3 ：2x4 −7x2 ＋ x＋11 4 ：2x4−7x2＋ x− 3 5 ：2x4−9x2＋ x＋ 33
❶
13 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 チェック欄 1回目 2回目 3回目 問題
5
〈整式の割り算〉 求める 4 次式を，f（ x）＝2x4＋ax3＋bx2＋cx＋d とおく。 ……① x2− 1 ＝（ x− 1 ）（ x＋ 1 ），x2− 4 ＝（ x− 2 ）（ x＋ 2 ）と 因数分解できるので，f（ x） を x2 − 1 ，x2 − 4 で割ったときの商をそれぞれ P（ x），Q（ x）とすると， f（ x）＝（ x− 1 ）（ x＋ 1 ）P（ x）＋ x− 4 ……② f（ x）＝（ x− 2 ）（ x＋ 2 ）Q（ x）＋ x− 1 ……③ と表せる。 剰余の定理より， ①，②に x＝± 1 を代入すると， f（ 1 ） ＝ 2 ＋a＋b＋c＋d ＝− 3 f（− 1 ）＝ 2 −a＋b−c＋d ＝− 5 ①，③に x＝± 2 を代入すると， f（ 2 ） ＝32＋8a＋4b＋2c＋d ＝ 1 f（− 2 ）＝32−8a＋4b−2c＋d ＝− 3 したがって，次の連立方程式を解けばよい。 a＋b＋c＋d ＝− 5 −a＋b−c＋d ＝− 7 8a＋4b＋2c＋d ＝−31 −8a＋4b−2c＋d ＝−35 これより，a＝ 0 ，b＝− 9 ，c＝ 1 ，d ＝ 3 と求まる。 ∴ f（ x）＝2x4 −9x2 ＋ x＋ 3 よって，正解は肢 5 である。︱︱
3
Kマスター 自然科学Ⅰ 数学・第1章・第1節 参照14 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版
問題
式と計算
頻出度 地上★★ 国家一般職★ 東京都 特別区★ 裁判所職員★ 国税・財務・労基★ 国家総合職★ 応用レベル 問 一般に（ a ＋ b）nの展開式は次のようになる。 （ a ＋ b）n ＝ n Σ k ＝0nＣka kbn − k ＝ an ＋nＣ1a n −1b1 ＋nＣ2a n −2b2 ＋……＋ bn これを利用して850を 7 で割ったときの余りとして正しいのは次のうちどれか。 （地上2003） 1 ： 1 2 ： 2 3 ： 3 4 ： 4 5 ： 54
❶
15 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 チェック欄 1回目 2回目 3回目 問題
1
〈整数問題〉 与式に a＝ 7 ，b＝ 1 ，n＝50を代入して， （ 7 ＋ 1 ）50＝ 50 Σ k＝0 50Ｃk・7 k ・150−k ＝750 ＋50Ｃ1・7 49 ・11 ＋50Ｃ2・7 48 ・12 ＋……＋50Ｃ49・7 1 ・149 ＋150 ∴ 850＝750＋50Ｃ1・7 49 ・11＋50Ｃ2・7 48 ・12＋……＋50Ｃ49・7 1 ・149＋150 ここで，右辺の各項を見ると，第 1 項は 7 の倍数で，第 2 項以降も 7 の倍数であ +り，最後の項（150 ＝ 1 ）だけ 7 の倍数でないことがわかる。 したがって， 850＝ 7 ×（ある数）＋ 1 となり，850を 7 で割ったときの余りは 1 となる。 よって，正解は肢 1 である。4
Kマスター 自然科学Ⅰ 数学・第1章・第1節 参照16 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版
問題 基本レベル
式と計算
頻出度 地上★★★ 国家一般職★ 東京都 特別区★★ 裁判所職員★ 国税・財務・労基★ 国家総合職★ 問 a と b は，互いに異なる 1 桁の正の整数である。a 進法で34（ a）の数と 8 進法で 45（8）の数の和が b 進法で表された65（ b）だとすると，10進法では 2 a ＋ b はい くつか。 （国Ⅱ2006） 1 ：20 2 ：21 3 ：22 4 ：23 5 ：245
❶
17 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 チェック欄 1回目 2回目 3回目 問題
2
〈整数問題〉 a進法の34（ a）を10進法で表すと，34（ a）＝ 3 ×a＋ 4 × 1 ＝ 3 a＋ 4
である。同様に， 8 進法の45（8）を10進法で表すと， 45（8）＝ 4 × 8 ＋ 5 × 1 ＝37 である。同様に，b 進法の65（ b）を10進法で表すと， 65（ b）＝ 6 ×b＋ 5 × 1 ＝ 6 b＋ 5 となる。ここで，a 進法の34（ a）と 8 進法の45（8）の和が b 進法の65（b）になるので， 3a＋ 4 ＋37＝ 6 b＋ 5 ∴ a− 2 b＋12＝ 0 ∴ （ a ，b）＝（ 2 ， 7 ），（ 4 ， 8 ），（ 6 ， 9 ） となる。
しかし，a 進法で34（a）と表されていることより，a ≧ 5 とならなければならない。
したがって，（ a ，b）＝（ 6 ， 9 ）となり， 2 a＋b の値は21となる。
よって，正解は肢 2 である。
5
Kマスター 自然科学Ⅰ
18 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版
問題 基本レベル
式と計算
頻出度 地上★★★ 国家一般職★ 東京都 特別区★ 裁判所職員★ 国税・財務・労基★ 国家総合職★ 問 有理数 p ，q ，r は，p（ 1 ＋√￣2 ）＋ q（ 2 ＋√￣3 ）＋ r √￣3 ＝2√￣2 ＋√￣3 を満たし ている。r を求めよ。 （地上2002） 1 ：− 2 2 ：− 1 3 ： 0 4 ： 1 5 ： 26
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19 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 チェック欄 1回目 2回目 3回目 問題
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〈恒等式〉 与式より， p＋ p √￣2 ＋2q＋q √￣3 ＋r √￣3 ＝2√￣2 ＋√￣3 ∴ （ p＋2q）＋ p √￣2 ＋（ q＋r）√￣3 ＝2√￣2 ＋√￣3 となる。ここで，p ，q ，r は 有理数であり，√￣2 ，√￣3 が 無理数であるから，整数部分， √￣2 の係数，√￣3 の係数を左辺と右辺で比較すると， p＋2q＝ 0 p＝ 2 q＋r ＝ 1 となる。以上 3 式から， p＝ 2 ，q＝− 1 ，r ＝ 2 となる。 よって，正解は肢 5 である。 【ポイント】 数の分類は以下のとおり。 正の整数（自然数） 整数 0 有理数 負の整数 実数 分数 数 無理数 虚数 ︱︱6
Kマスター 自然科学Ⅰ 数学・第1章・第1節 参照20 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版
問題 基本レベル
式と計算
頻出度 地上★★★ 国家一般職★ 東京都 特別区★ 裁判所職員★ 国税・財務・労基★ 国家総合職★ 問 √￣3 は√￣3 ＝ 1＋ 1 1＋ 1 2＋ 1 1＋ 1 2＋ 1 1＋1 … というように分母が無限に続く分数 で表すことができる。√￣5 を同じように表すときに以下の手順で行ったとき， 空所オに入る数値として正しいのはどれか。 （地上2008） √￣5 ＝2.236……より，√￣5 を超えない最大の整数は 2 なので，√￣5 ＝ 2 ＋x1 1 と表す ことができる。これより，x1＝ 1 √￣5−2 として有理化をすると，x1＝ ア となる。 これより， x1＝ イ ＋x1 2 x2＝ ウ ＋ 1 x3 x3＝ エ ＋x1 4 x4＝ オ ＋ 1 x5 と表すことができ，これより，√￣5 ＝ 2＋ 1 イ ＋ 1 ウ ＋ 1 エ ＋ 1 オ ＋…1 となる。 1 ： 1 2 ： 2 3 ： 3 4 ： 4 5 ： 57
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21 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 チェック欄 1回目 2回目 3回目 問題
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〈有理化〉 まず，x1＝ 1 √￣5−2 を有理化すると， x1＝ 1×（√￣5＋ 2 ） （√￣5− 2 ）×（√￣5＋ 2 ） ＝√￣5 ＋ 2 ……（ア） となる。 ここで，√￣5 ＋ 2 ＝4.236……より，x1を超えない最大の整数は 4 なので， x1＝ 4 ＋ 1 x2 ……（イ） と表すことができる。 このとき，x1＝√￣5 ＋ 2 なので，√￣5 ＋ 2 ＝ 4 ＋ 1 x2となり，これを解くと， x2＝ 1 √￣5−2 ＝√￣5 ＋ 2 となる。同様に，√￣5 ＋ 2 ＝4.236……なので，x2を超えない最大の整数も 4 であるから， x2＝ 4 ＋ 1 x3 ……（ウ） と表すことができる。 これを解くと，x3＝ 1 √￣5−2 ＝√￣5 ＋ 2 となるので，x3，x4も同様に解くことがで き，それぞれ， x3＝ 4 ＋ 1 x4 ……（エ） x4＝ 4 ＋ 1 x5 ……（オ） と表すことができ，これより， √￣5 ＝ 2＋ 1 4＋ 1 4＋ 1 4＋ 1 4＋ 1 … となる。 よって，正解は肢 4 である。7
Kマスター 自然科学Ⅰ 数学・第1章・第1節 参照114 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数 学 Q1 （ x＋ 4 ）2 ＝ x2 ＋ 4 x＋16である。 Q2 （ 2 x＋ 3 ）（ 4 x− 5 ）＝ 8 x2＋ 2 x−15である。 Q3 6 x2 −11x＋ 4 を因数分解すると，（ 2 x＋ 1 ）（ 3 x− 4 ）となる。 Q4 8 x3−18x を因数分解すると， 2 x（ 2 x＋ 3 ）（ 2 x− 3 ）となる。 Q5 x3 ＋ 2 x2 − 3 x＋ 4 を x− 1 で割った余りは，10である。 Q6 x3− 8 x − 8 は x ＝− 2 を代入すると 0 となるので，x3− 8 x ＋ 8 は x ＋ 2 という因数をもつ。 Q7 2 次方程式 ax2 ＋bx＋c＝ 0 の解は，x＝ −b±√￣b 2 −4ac 2a である。 Q8 2 次方程式 ax2＋bx＋c＝ 0 の判別式をＤとしたとき，Ｄ＞ 0 のとき，重 解をもつ。 Q9 2 次方程式 x2 ＋18x ＋81＝ 0 の解は x ＝− 9 となるので，判別式Ｄを求 めるとＤ＝ 0 となる。 Q10 2 次方程式 ax2 ＋bx ＋c ＝ 0 の 2 解をα，βとすると，α＋β＝b a，αβ ＝c aが成り立つ。 Q11 2 次方程式 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 の 1 つの解を 2 ＋ 3 i とすると，他の解は 2 − 3 i となる。 Q12 関数とは 2 変数 x ，y において，x の値が 1 つ決まれば y の値が 2 つ決ま る関係である。
Q13 関数 y＝ f（ x）を x 軸方向に p ，y 軸方向に q だけ平行移動すると，y＝ f（ x
＋ p）＋qとなる。 Q14 関数 y＝ f（ x）を x 軸に対して対称移動させると，y＝ f（− x）となる。 Q15 関数 y＝ f（ x）を原点に対して対称移動させると，y＝− f（− x）となる。 Q16 1 次関数 y＝ax＋b において，a を切片，b を傾きという。 Q17 1 次関数 y＝ 2 x＋ 4 と 1 次関数 y＝− x＋ 4 は y 軸で交わる。 Q18 2 次関数 y＝ax2のグラフは，原点を通る双曲線になる。
115 公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版 第 1 章 数学 A 1 × （ x＋ 4 ）2 ＝ x2 ＋ 8 x＋16となる。 A 2 〇 （ ax＋b）（ cx＋d）＝acx2 ＋（ ad ＋bc）x＋bd の公式を利用する。 A 3 × 6 x2 −11x＋ 4 を因数分解すると（ 2 x− 1 ）（ 3 x− 4 ）となる。 A 4 〇 まず共通因数 2 x をくくりだしてから，公式を利用する。 A 5 × f（ 1 ）＝13＋ 2 ×12− 3 × 1 ＋ 4 ＝ 4 となり，余りは 4 である。 A 6 〇 f（− 2 ）＝（− 2 ）3 − 8 ×（− 2 ）− 8 ＝ 0 となるので，x＋ 2 という因数 をもつ。 A 7 〇 解の公式は，すべての 2 次方程式に利用できる。 A 8 × 判別式Ｄ＝b2 − 4 ac ＞ 0 のときは，異なる 2 実数解をもつ。 A 9 〇 判別式Ｄ＝ 0 となるとき，2 次方程式は重解をもち，解は 1 つとなる。 A 10 × α＋β＝−b a，αβ＝ c aが成り立つ。この関係を解と係数の関係と いう。 A 11 〇 2 ＋ 3 i と 2 − 3 i の関係を共役な複素数といい，一方が解ならば他方 も解となる。 A 12 × 関数とは 2 変数 x ，y において，x の値が 1 つ決まれば y の値が 1 つ決 まる関係である。 A 13 × 関数 y＝ f（ x）を x 軸方向に p ，y軸方向に q だけ平行移動すると，y＝ f（ x − p）＋qとなる。 A 14 × 関数 y＝ f（ x）を x 軸に対して対称移動させると，y＝− f（ x）となる。 A 15 〇 関数 y＝ f（ x）を原点に対して対称移動させると，y＝− f（− x）となる。 A 16 × 1 次関数 y＝ax＋b において，a を傾き，b を切片という。 A 17 〇 1 次関数 y ＝ ax ＋ b において，b を切片といい，y 軸との交点となる。 2 式とも切片は 4 なので，y 軸上で交わる。 A 18 × 2 次関数 y＝ax2のグラフは，原点を通る放物線になる。
378 新クイックマスター自然科学Ⅰ 数字 2点間の距離 54 アルファベット ＨＦＣ 367 ＰＦＣ 367 v−tグラフ 145,147 Ｘ線 183,187 あ 亜鉛 279,289,291,304 亜酸化窒素 367 アセチレン 338,347 アセトン 351 アボガドロ定数 249 アミラーゼ 355 アモルファス金属 263 アルカリ 277 アルカリ金属 304,309 アルカリ土類金属 303,304,309 アルカン 338,347 アルキメデス 235 アルキン 338,347 アルケン 338,347 アルコール 339 アルコール発酵 365 アルデヒド 339 アルデヒド基 337,339 α線 225 アルミニウム 304,335 アレニウスの酸，塩基 277 い 硫黄 306,335 イオン化傾向 279 イオン結合 248,253 イオン結晶 248,251 位置エネルギー 163 一次電池 295 因数定理 7 因数分解 7,13 う うなり 179 運動エネルギー 163 運動方程式 125,127,153 運動量保存則 161,162,165 え エーテル 340 エステル 357,359 エタン 338,347 エチレン 338,347 塩化カルシウム 331 炎色反応 267,304,313 遠心力 231 塩析 275 塩素 307,335 鉛直投げ上げ 149 円の方程式 55 お 王水 289 黄銅 323,329 黄リン 313,335 オームの法則 201 オキシドール 315 オゾン層 183 オゾンホール 321 か カーボンナノチューブ 313,319 回折 179
公務員試験 過去問 新クイックマスター 自然科学Ⅰ 第２版
2011年10月25日 第 1 版 第 1 刷発行 2012年10月25日 第 2 版 第 1 刷発行 編著者●株式会社 東京リーガルマインド LEC総合研究所 公務員試験部 発行所● 株式会社 東京リーガルマインド 〒164−0001 東京都中野区中野4−11−10 アーバンネット中野ビル ☎03（5913）5011（代 表） ☎03（5913）6336（出版部） ☎048（999）7581（書店様用受注センター） 振 替 00160−8−86652 www.lec-jp.com/ 本文フォーマット＆イラスト●デザインスタジオ ケイム 印刷・製本●秀英堂紙工印刷株式会社©2012 TOKYO LEGAL MIND K.K., Printed in Japan ISBN978−4−8449−0497−7 複製・頒布を禁じます。 本書の全部または一部を無断で複製・転載等することは，法律で認められた場合を除き， 著作者及び出版者の権利侵害になりますので，その場合はあらかじめ弊社あてに許諾を お求めください。 なお，本書は個人の方々の学習目的で使用していただくために販売するものです。弊社 と競合する営利目的での使用等は固くお断りいたしております。 落丁・乱丁本は，送料弊社負担にてお取替えいたします。出版部までご連絡ください。
