非線型予測によるテクニカル分析は利益をもたらすか : TOPIXでの実験(<特集>新しいMBA教育の展望)
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(2) 102 （376）. 横浜経営研究 第24巻 第4号（2004）. 数への写像である．. 保証される．つまり幾何学的には同等になる. 株価のテクニカル分析は直近の変動パターン. （Hegger and Kantz［1999］）．. と類似した過去の変動パターンを見出し，同様. 次に直近の観測値から作成されるベクトル. な傾向が続く筈として次期の予測を行なうと考. ∠レ（7）”3＝（∠レ）（1コールz＋1），∠加（7一〃2＋2），. えられる．したがって株価変動の幾何学的類似. に着目するわけであるから，1日の株価の変化 率（翌日の株価との勾配）. …，ゆ（7−1），ゆの）. に最も類似するん個の近傍ベクトル. 4ワ（∫）＝1フ（’）一1フ（≠一1）のある期間での時系列. の類似が幾何学的類似となる．ある期間の時系. 4フω”1，ゆ（わ），…，4ρω吻. 列が幾何学的にまったく同形であっても株価水 準ρ（のの時系列が同一とは限らない．すなわち. を，∠加（の隅，’＝溺，鷹＋1，…，：τ7−1の中から選. 株価水準ρ（のは幾何学的性質に依拠するテクニ. び出す．類似にはいくつかの規準が考えられる. カル分析には不都合である．同様に利益. が，階差株価から作られるベクトルが近似して. 率ψ（Z） 一．ρ（♂一 1））／。ρ￠一1）も不都合である．. いるようにするにはユークリッド距離を用いる. また，チャーチストにとっての翌日の関心とな. のが適切であろう． 、. るのは翌日株価が上昇するか下降するかという. 3．データと予測値. ことであるから予測株価の階差ゆ（のの符号が 重要であり，その予測絶対値i4ワ（釧は二義的 なものであろう．したがってまったく予測が出. 1999年1月4日から2001年12月28日までの2713 個の日次TOPIXから2712個の階差ゆ（’）のデー. 来ない，超過利益が得られないと考えられる状. タが得られる．このうち始めの2000個のデータ. 況は階差ゼロ，すなわち株価がランダムウォー. をもっぱら予測をするための過去の情報として. クと想定しているといえる．. 用いる．残り．の712日分が予測との比較に用い. 本論文では直接観測できない変数κ⑦のシス. られる．. 価ゆ（’）から推測するために1980年頃から. 例えば，埋め込み次元を〃F3とすると，2001 番目の実績値4ρ（2001）の予測は次のように行. F．Takensなどの複雑系の研究者たちによって. われる．. 開発されたNN（nearest neighbor）予測法を. まずゆ（2001）の前日までに作られるベクト. テムκ（の＝！（κσ一1））を観測可能な階差株. 用いる．この非線型予測はチャーチストの幾何. ル. 学的方法の一般化といわれている（Clyde and. ∠加（2000）3＝（∠レ（1998），∠加（1999），∠レ（2000））. Osler ［1997］）．. に最も近似するん個の近傍ベクトル. 観測可能な時系列ゆ（の，∫＝1，2，…，7より. ∠加（ゐ）3＝（∠レ）（ゐ一2），∠加（右一1），∠加（ゐ）），∫. 等しい次元鷹の7L刑＋1個のベクトル時系列 ＝1，2，… ，ん. ∠レ）（の班＝（ゆ（∫一配＋1），∠加（孟一アη＋2），. …，ゆ（オー1），4フ（の），’＝〃2，〃2＋1，…，7. を作成する．ここで吻は埋め込み次元. を選び出し，それら近傍ベクトルと翌日の 値ゆ￠＋1）との関係を利用してゆ（2001）の. 予測値ゆ（2001）を作成するのである．次. （embedding dimension）と呼ばれている．. にゆ（2002）の予測値は. Takensの埋め込み定理によって脚が十分大き. ∠レ（2001）3＝（∠レ（1999），ゆ（2000），∠レ（2001））. いときにはゆ（の溺の作る軌跡は観測不可能. に最も近いん個の近傍ベクトルを選び出し，そ. なん⑦の軌跡と1対ユの対応をしていることが. れらの近傍ベクトルと翌日の値ゆ（”＋1）との.
(3) 非線型予測によるテクニカル分析は利益をもたらすか（東田 啓）. 関係を利用しゅ（2002）の予測値ゆ（2002）を. （377） 103. 4．局所線型予測. 作成する．以後同様な手続きを経て最後の 値ゆ（2712）の予測値は. ん個の近傍ベクトル. ∠加（2711）3＝（∠レ（2709），∠功（2710），∠功（2711））. 4フ（ゐ）刑＝（4フ（ゐ一〃z＋1），∠勿（右一〃2＋2），. に最も近いん個の近傍ベクトルを選び出し，そ. … ，∠垂フ（ゐ一1），∠レフ（ゐ）），∫＝1，2，・。・，ん. れらの近傍ベクトルと翌日の値∠功俵＋1）との. 関係を利用しゅ（2712）の予測値φ（2712）を. を刑個の説明変数の観測値として，これの. 作成する．. 4嘘汁1）に対する線型回帰式を求め，その回. チャーチストは直近オ＝7までの変動パター. 帰係数を. ンゆ⑦，∫＝1，2，…，7を観測して翌日上がる. α〃2，α〃7−1，’●●. Cα1，α0. か下がるかが第一義的な関心である．直近まで. とする．ここでαoは定数項である．したがっ. の情報から翌日’＝7＋1の変動φ（7＋1）. て，7＋1期での予測値は. をφ（7＋1）＞0と予想したとすれば，実際翌. ∠ゆ（71＋1）ニ∂η1∠加（7一〃2＋1）＋∂用一1∠レ（7一〃2＋2）. 日になってゆ（7＋1）＞0となればチャーチス トの予測は成功したことなる．逆に. ＋…＋∂・4フ（7L1）＋∂14ρ（7）＋∂・. 4う（7＋1）＜0と予測し，実際にゅ（7＋1）＜0. となる．そして，すべての予測値の中で実績値. であれば予測は成功したということになる．つ. と符号が一致する比率がこの局所線型予測によ. まり株価変動の符号が予測と実績と一致すれば. る予測精度である．. 成功であり，異符号ならば失敗である∫そして. 各埋め込み次元濯に対する最適な近傍数んは. 予測期間712日の間に成功した比率が予測の精. 試行錯誤で探すしかない．表1では，エn＝3，5，7，9. 度である．. のそれぞれについて，近傍数卜10，20，30，40，50，. 選び出された近傍ベクトルゆ（の鷹と翌日の. 100，200での成功率を示している．なお，近傍. 値ゆ（ゐ＋1）との関係についての情報抽出およ. 数の右端（全ベクトル）には予測日以前に観測. び予測値幼（7＋1）の作成については，この論. されたすべてのベクトルにもとづいた成功率を. 文では3通りの方法を試みる．初めの2つは4節. 示している．. の局所線形予測（locally linear prediction）と5. Casdagli［1991］は予測精度が最も高いとき. 節の単純非線型予測（simple nonlinear. の近傍数んが比較的大きいときには線型モデル. prediction）と呼ばれているものである．6節で. が適切で，近傍数んがかなり小さいときには非. 取り上げる3番目の予測法は，本論文独自のも. 線型モデルが適切と示唆している．ところが，. のである．順次方法を説明し，最後の6節の方. 表1を見るとんが大きい場合，とりわけすべての. 法が最も予測制度が高いことを示す．. ベクトルを使ったような場合が最も精度が高く. 表1. k＝10. m＝3 m＝5 m＝7 m＝9. 局所線型予測. k＝20. k＝30. k＝40. k＝50. k＝100. k＝200. 全データ. 0．5408b. 0．5141. 0．538b. 0．5183. 0．5071. 0．5493a. 0．5465a. 0．5549a. O．5212. 0．524c. O．5339b. 0．5367b. 0．5367b. O．541b. O．5593a. O．5494a. 0．5368b. O．5156. O．5042. O．5418b. O．5368b. O．5312b. O．5312b. O．5453a. O．5185. 0．5327b. 0．5114. O．5071. O．517. O．5241c. O．5398b. O．5483a. a：1％有意. b 5％有意. c10％有意.
(4) 横浜経営研究 第24巻 第4号（2004）. 104 （378）. なっているので，Casdagli［ユ991］に従えば非. Boκ一P∫θπoθ 、Z2 g（6）＝7．41. 線型性が存在する可能性が低いということにな. C（12）＝11．52 g（18）＝22．18. る．しかしこの観察は正しくない．. この推定式の係数0．1，0．07のそれぞれの’値. 線型回帰によるこの方法では直近のベクトル. 5．26，3．85は十分有意である．. に最も近似するベクトルを説明変数として用い. またBox−1）∫ε7cεZ2統計量の値から有意水準. る．したがって回帰係数を推定するときに計量. 10％でも残差のホワイトノイズ性を保証してい. 経済学で良く知られた多重共線性. る．. （multicollinearity）が生じ，予測式は非常に不. 線型性を利用する最も単純な予測法はゆ（の. 安定になる．表1でんが小さいときより大きいと. とゆσ一1）の自己相関性によってゆ（7＋1）の. きの方が精度が高く，近似した近傍ベクトルを. 予測値をゆ（乃とすることである．言い換えれ. 選び出した効果がまったく現れないのはこの多. ばこれは1階の自己回帰モデルによって予測す. 重甲線性の結果であろう．一方，んが大きくな. ることに他ならない．実際2712個の全データに. ると直近のベクトルと大きく異なったベクトル. よる1階の自己相関係数：7（1）は0．094であり，標. が説明変数のデータに加わることになり，多重. 準正規分布に従う！而7（1）は，. 共線性が薄れて回帰式の安定性が増加する結果. ！而7（1）＝4．88で＋分有意である．したが. 予測精度が高まったことを表1は示している． 近傍ベクトルを説明変数として回帰式を用いる. って，ゆ（1「＋1）とゆ（乃が同符号ならば予測. は的中とみなして，予測精度を計算すると. この局所線型予測は多重共線性の影響を除くこ. 0．5548となる．これと表1の全データによる回. とは困難であろう．したがって非線型予測とし. 帰の精度〃F3（0．5549），刑＝5（0．5494）卿＝7（0．5453），. ての局所線型予測の有効性はかなり限定的にな. 醜＝9（0．5483）と比較するとほとんど差が見られ. らざるを得ない．. ない．どちらかといえば，比較的／」・さいタイム. 後の6節では本論文で提案する非線型予測法. ラグ（醒一3以下程度）の自己相関を利用した線. 馳の有効性によって非線型性の存在を示唆するが，. 型予測がより有効といえよう．. 表1の〃2＝3，5という比較的短いラグでの精度が高. ここで，この4節と同じ局所線型予測を用い. いことからある程度の線型予測の有効性が見ら. たFernandez−Rodrguez et al．［1999］の結果と. れるであろう．実際，階差ゆ⑦には線型性が 存在し，全データによる以下のような2階の自. 比較してみよう．彼らは1985年1月1日から1997. 己回帰モデルでよく記述されることもこのこと. 表1に対応する表2を求めている．. の傍証となるであろう．. 通常TOPIXと日経225はほとんど同じ変動を. ∠レフ（の＝0．1ゆ（≠一1）一〇．074フ（∫一2）一〇．25. 年6月5日までの日経225平均を用いて本論文の. し，また彼らのモデル作成期間（1956個）と予. 測期間（978個）の分割も本論文とほぼ同じな. （5．26） （3．83）. 表2 Fernandez−Rodrguez［1999］Table4より抜粋 注：有意水準はここで付け加えた. m＝3 m＝5 m＝7. a1％有意. k＝100. k＝120. 0．514. 0．512. 0．52. 0．532b. 0．529c. 0．525c. O．519. O．522. O．515. b 5％有意. k＝140. 。：10％有意.
(5) 非線型予測によるテクニカル分析は利益をもたらすか（東田 啓）. ので予測精度の比較が出来よう．彼らはんが100. （379） 105. 5．単純非線型予測. ∼150のかなり大きいところしか計算をしてい. ない．表1のHOO，200のそれらと比較すると表. 直近のベクトル4ρ（1γに最も近似するん個の. 1の方が精度が高いことがわかる．この原因は. 各近傍ベクトル. データの違いではなく，次に説明するように，. ∠躯フ（ゐ）灘＝（∠加（ゐ一アη＋1），∠加（あ一η諺＋2），. 類似する近傍の選択方法が異なるからであろう．. 本論文では，直近のベクトルゆ（1γとユー クリッド距離が最小になるものから近傍ベクト ルを選ぶものであった．すなわち変動の幾何学. … ，ゆ（ゐ一1），∠レ（ゐ）），∫＝1，2，。・・，ん. の翌日の値ゆ（’汁1）の平均値 ゐ. 的性質が類似のものから選んだ．一方表2では. Σ4ρ（針1）／髄4ρ（7＋1）の予測値. 階差ベクトルゆ（7γではなく，株価水準その. ∫＝1. ものから作られるベクトル. 4ヵ（7＋1）とする方法を単純非線形予測という．. より最近の近傍ベクトルを重視して加重平均と. 1フ（：Z’）溺＝（ρ（：Z胃一〃z＋1），、ρ（7一〃z＋2），. するものもあるが（Hegger and Kantz［1999］）， …，ρ（1「一1），Pの）. 本論文では単純平均とする．この予測 呼捨（7＋1）の符号と実績値ゆ（7＋1）の符号. と最も相関係数の大きいものから. が一致すればテクニカル分析による予測が的中. 1フ（ゐ）配＝（ρ（ゐ一〃z＋1），、ρ（ゐ一〃z＋2），. したと考える．予測期間でのその的中率を計算 … ，、ρ（ゐ一1），、ρ（の），∫＝1，2，… ，ん. したものが表3である．. を選んでいる．これは幾何学的に類似のベクト. 一週間程度（〃2＝3，5，7）までの近傍探索では. ルを選ぶという本論文でのテクニカル分析の立. 場とはなりえない．というのは，例えば3日間. ←20∼100あたりで良好な精度を保っている点 が，多重共線性によってその有効性が損なわれ. の株価が（100，200，300）というベクトルと. た局所線型予測には見られないところである．. （250，500，750）というベクトルは完全相関（し. すべての過去のデータによる線型予測（表1の. かも収益率も同一）であるにもかかわらず，後. 全データの列配＝3（0．5549），〃2ニ5（0。5494），. 者のベクトルの方が2．5倍の勾配になり，幾何. 炉7（0．5453）卿＝9（0．5483））より最適なレベルで. 学的には相当異質であろう．したがって，表2 では直近のベクトルと幾何学的にかなり異なっ. の近傍数による単純非線型予測（〃F3（0．5648），. た近傍ベクトルを選ぶという，テクニカル分析. 醜一5（0．5494），〃2＝7（0．5510），〃2＝9（0．5497））が劣っ. ていることはない．. とは相容れない方法を取ったため予測精度を落. 6．過半数の符号による予測. としたものと考えられよう．. この方法は，直近のベクトルゆ（：τ）吻に最も. 表3 単純非線型予測 k＝50. k＝100. k＝200. k＝500. 0。5282c. 0．5183. 0．5648a. 0．5408b. 0．5437a. O．5381b. O．5381b. 0．5325b. O．5494a. O．548a. O．5395b. O．551a. O．5439a. O．551a. O．5354b. O．5439a. O．5397b. O．5425b. O．5355b. O．5128. O5369b. O．5256c. O．544a. O．5313b. O．5497a. k＝10. k＝20. 0．5282c. 0．5282c. O．5325b. k＝5. m＝3 m＝5 m＝7 m＝9. a1％有意. b 5％有意. c10％有意.
(6) 横浜経営研究 第24巻 第4号（2004）. 106 （380）. 表4 近傍の過半数と向符号による予測 k＝＝50 k＝100 k＝200. k＝500. 0．5493a O．5479a O．5408b. 0．5394b O．5563a O．5662a. 0．5549a. O．5254c O．5184 0．5311b. O．5466a O．5593a O．548a. O．548a. O．5453a O．5722a O．5652a. O．5567a O．5552a O．5567a. O．534b. O．5511a O．5355b O．5597a. O．5511a O．527c O．544a. O．5341b. k＝5 k＝10 k＝20. m＝3 m＝5 m＝7 m＝9. a l％有意. b 5％有意. clO％有意. 近似するん個の各近傍ベクトル. すべての埋め込み次元について，適切な大き. ∠レ（ゐ）配＝（∠レ）（ゐ一〃2＋1），∠レフ（ゐ一〃z＋2），. さの近傍を用いた方が良い結果をもたらすとい えよう．埋め込み次元が一週間程度ならばかな. … ，∠加（ゐ一1），∠加（ゐ）），’＝1，2，… ，ん. り少数の近傍ベクトルが最良となるので，この. の翌日の値加（≠汁1）の符号を調べ，それらの. 方法ではCasdagli［1999］のいうようにカオス. 過半数の符号がφ（7＋1）の符号と考える．し. を始めとする非線型システムの存在が考えられ. たがって，過半数の符号と実績値ゆ（7＋1）の. よう．. 符号が一致している場合には予測が的中したこ. 7．カオスの可能性. とになる．そして予測期間で的中した比率が表 4である．. 6節の結果から少なくとも非線型性の存在を. 局所線型予測（表1）や単純非線型予測（表3）. 窺い知ることが出来た．ここではその中でもさ. に比較して精度が向上しているであろう．〃1−3，. らにカオス性の存在を調べてみる，. 碑＝5，〃F7卿＝9での最も精度が高いときはそれぞ. 真のシステムκ⑦＝！（κ（’一1））が明示されて. れ0．5662（ん＝200），0。5593（1←100），0．5722（←10），. いるならば，4次元システムでも数値的にはカ. 0．5597（1←20）である．一週間程度の過去の幾何. オスの存在を知ることができる．しかし観測可. 学的変動を情報として予測するのが最も良好で. 能なスカラー時系列から真のシステムのカオス. あろう．また，埋め込み次元が短い（〃F3卿＝5）. 性を証明することは困難である．株価データで. ほど比較的多くの近傍を使った方が精度が向上. もScheinkman and LeBaron［1989］以来多数. する．. の検証にもかかわらず，株価変動のシステムが. この予測方法で近似する近傍のみを選んだ方. カオスであるという確たる証拠は得られていな. が良いことを確認するために，直近以前のすべ. い．. てのデータを使って同じ過半数の符号の一致に. この節では，経済分析の分野ではあまり用い. よって的中率を調べ，各埋め込み次元での最良. られてこなかった埋め込み次元の選択方法. 精度との比較を表5に示した．. （Caoの方法）やフラクタル次元のTakensの推. 表5 最良近傍数と全データでの過半数符号による予測精度比較 m＝3 m＝5 m＝7 m＝9. 最良近傍数での精度. 全データでの精度. 比率の差の正規統計量. 0．5662. 0．5155. 1．54. 10％有意. 0．5593. 0．5155. 1．65. 0．5722. 0．5142. 2．19. 0．5597. 0．5156. 1．66. 5％有意 5％有意 5％有意.
(7) 非線型予測によるテクニカル分析は利益をもたらすか（東田 啓）. 図2 Caoの方法による埋め込み次元の推定. 定値を求めるためにMerkwirth et al．［2002］のプ. ログラムを使ってカオス性の傍証としたい．. スカラー時系列ゆ⑦からカオス性を調べる ためには，まず線型性を取り除いておく必要が ある（Adrang and Chatrath［2003］）．そのた. （381） 107. Minimum embedding dimension using Cao’s method 0．9 0．8 0．7. めには4節で推定された2階の自己回帰モデル. 0．6. ∠加（’）＝0．1∠加（∫一1）一〇．07∠功（’一2）一〇．25. と0．5. による残差を線型性が取り除かれた後のデータ. 0．4. とする．βoκ一P’87cεZ2統計量からこの残差. α3. の線型段階でのホワイトノイズ性は保証される．. 0．2. 図1は残差のプロットである．200∼400個間 隔（1∼2年間隔）で極端に大きな変動が現れて. 0．1. ㊨ ］. 2468で01214 Dimension（d）. いるのが見られるであろう．完全なホワイトノ イズならば全体として変動は安定している筈で. 図3は埋め込み次元を刑＝7として，経済分析. ある．カオスには全体の様子とは異質な変動が. でよく使われるフラクタル次元の推定値である. 現れることが良く知られている．図1でのこの. 相関次元を求めるためのグラフである．. 不均一性はカオスの特徴と類似しているように. 相関積分伽−7，7」2712）. 思われる．. C漉（7）＝Cα磁ηα1砂. 図1 線型性除去後の階差株価の変動. ｛（’，3），0〈ち8く71114フα）’％一4ρ（3）州くr｝／ア. 100. の対数をlogアに対してプロットしたのがこのグ. 80. ラフである．ここでCα肋ηα1め・は集合｛…｝に含. 60. まれるの要素の個数を表す．. 40 20. 図3 相関次元の推定 Correlation sum. 一20. 一18. −40. −18．2. −60. −18．4. −80. −18．6. −100. 0. 500 1000 1500 2000 2500. 含一1a8. 図2はCaoの方法と呼ばれるグラフ表示であ. ≦ ＿19. る．目立ったキンクがあるところに対応する次. −19．2. 元が選ばれるべき埋め込み次元である．この場. −19．4. 合には〃2＝7が有力な候補であろう．. −19，6 −19．8 2．5 2．55 2．6 2．65 2．7 2．75 2．8 2．85. 1nr. 相関次元はこのグラフをほぼ直線とみなした ときのその勾配である．3∼4程度が見て取れる．. また，いまひとつのフラクタル次元の推定値で あるTakensの推定値は4．9であった．.
(8) 横浜経営研究 第24巻 第4号（2004）. 108 （382）. 図4は初期値の差異による軌跡の感度を示す. 参考文献. 最大リヤプノブ指数を求めるためのグラフであ. Adrangi， B． and A．Chatrath［2003］， “Nonlinear. る．. Dynamics in Futures Prices：Evidence from Coffee， Sugar and Cocoa Exchange”， Aρplled 刃Y1：∼aηcfa1、 Ecoη01γ∼∫cs，13，245−256．. 図4 最大リヤプノフ指数の推定. Bajo−Rubio， O． et aL［20021， “Nonlinear Forecasting. Methods：Some Application to the Analysis of. Prediction error 1．8. Financlal Series”，凧）r左fηg Pape乙FEDEA， Brock， W．， J．Lakonishok and B．LeBaron［1992］，. 1．6. t4. “Simple Technical Trading Rules and the. t2. of戸Yllaηce，47，1731−1764．. Sochastic Properties of Stock Returns”，ノ∂ロrηal. Casdagli， M．［1991】，“Chaos and Deterministic. 1 Ω．. versus Stochastic Nonlinear Modeling”，∫oαm∂1. 0．8. 0f亡he Roya15亡aだs亡1cal Socゴe亡y B，54，303−328． 0．6. Clyde， W．C． and C。LOsler［1997］，“Charting；Chaos. Theory in Disguise？”，ノ。αm∂10f Fα加res. 0．4. ル1ar］keζ17，489−514．. 0．2. Fernandez−Rodrguez， F． et aL［1999］，“Dancing with 0. 20. 40. 60. 80. 100. Bulls and Bears：Nearest−nieghbour Forecasts for the Nikkei Index”，ノヨ、ρaηaηd亡he I〃orld Ecoη01ηy”，11，395−413，. このグラフが平坦な高さに達したときのpの 値が最大リヤプノブ指数の推定値である．この. Implementation of Nonlinear Time Series. 値がプラスのときにはカオス性の必要条件を満. 435．. Hegger， R． and H．Kantz［1999］， “Practical Methods：The TISEAN Package”，α1aos，9，413−. たしている．いまの露払ρ＝1．8であるからカ. Merkwirth， C．et al．［2002］， http：／／www．physik3．gwdg. オス性を否定は出来ないであろう．. ／tstool／indexde．html．. 推定されたフラクタル次元が比較的小さいこ とや最大リヤプノブ指数の推定値がプラスであ. Sheinkman， J． and B．LeBaron［1989］，“Nonlinear Dynamics and Stock Returns”， J’oロrηal of −Z3αs1ηess，62，331−337．. ることからゆ（のを発生した真のシステ ムκ（∫） ＝．プ（κ（≠一 1））がカオスである可能性が考. えられよう．. 〔ひがしだ あきら 横浜国立大学経営学部教授〕.
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