離散回路変換による電気回路の過渡応答特性
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(2) . ５巻 第２号 北海道教育大学紀要 （第２部Ａ） 第４. 平成７年３月. ｌ ｉ ＩＡ） Ｖｏ Ｓｅｃ ｔ ｉｏｎ（ ｔ ｉ ｉけ ｏｆ 汝ｉｕｃａ ｉ ｄｏ Ｕｎ ｏｎ ｌ ｌｏｆＨｏｋｋａ ｖｅ ｒｓ Ｊｏｕ ‐２ コ ｈ ｎａ ‐４５ ，Ｎｏ. Ｍａｒｃｈ ， １９９５. 離散回路変換による電気回路の過渡応答特性 ▼ －. 北. 進. 守. 北海道教育大学函館校技術教室. ＩＣｉ ｉｃ Ｃｉｒｃｕｉ ｉ ｔ Ｔｒａｎｓｆｏｎｎ ｉｃｓ ｏｆ Ｅ１ｅｃｔｒ ｔ Ｕｓ ｔａ ｉｓｔ ｒｃｕｉ Ｔｒａｎｓ ｉｅｎｔ Ｃｈａｒａｃｔｅｒ ｎｇ Ｄｉｇｉ. Ｓｕｓｕｍｎｕ ＫＩＴＡＭＯＲ Ｉ Ｔｅｃｈ ＝鴫ｃａＩＬａｂｏｒａｔｏ ｉ ゴ ロｐｕｓ ｌｙ， Ｈａｋｏｄａｔｅ Ｃａ ｉｏｎ ｉ ｔｙ ｏｆＥｄｕｃａｔ Ｈｏｋｋａ ｉ ｄｏ Ｕｎｉｖｅｒｓ Ｈａｋｏｄａｔｅ ０４０. Ａｂｓｔｒａｃｔ. ｉ ｉ ｉ １ｅＣｔ ｔ ［ ｌ ｔ ｔｕｄｙｅ ｓｐａｐｅｒ １ ｌｔｈｉ ｒ ＣＣ ｒｃｕ Ｔｈｅｋｎｏｗ１ｅｄｇｅｏｆｔｒａｎｓｉｅｎｔｐｈｅｎｏｍｅｎａｉ ｏｓｅｗｈｏｓ ｓＶｅ ｒｙ臼ｍｐｏ【ａｎｔｆｏｒｄ ．・ ， ｔ ｉ ） ｉ ｉ ｉ ｔａｒｅｄｉ ｉ ｉ ｔ頭 ｃ ｌ ｔｉ ｅｄａｓｃｏｍｐａｒｅｄ ｗｉ ｓｃｕ祭ｓ ｒｃｕ ｎｔｏａ伍 ｒ ｃｃ ｒｃｕｉ ｅｃｔ ｇｉ ｓｏｍｅａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｔｈｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆａｎｅ ｌ ｌ ｆ ｆ ｉａ ｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｈｉ ｒｏ ｃｈ ｃｏｎｔ ｓｔｈｅ ｌｅｒ ｏｒ Ｒｕｎｇｅ ｔａ ｍｅｔｈｏｄ ｅｒｅｎｔ ‐Ｋｕｔ ｏｔｈｅｒ ｐｒｏｃｅｄｕ・ｅｓ ｓｕｃｈ ａｓ Ｅｕ ． Ａ ｓｅｔ ｏｆｄｉ 〕 ｈｅ ｕｓｅ ｏｆ Ｌｏｔｕｓ．－２ー３ ａｎｄｔｈｅ ｒｅｓｕ１ｔｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｂｙ １ｖｅｄｂｙｔ ｆ ａｎ ｅ １ ｉ ｉ ｔｉ ｉｅｎｔ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｏ ｔｒａｎｓ ｃｃ ｒｃｕｉ ｓｓｏ ｅｃｔｒ ｇｒａｐｈｓ ‐. １． ま え 力ぐ き. 入学前に技術教育に対する漠然とした期待はあっても， 実際に回路素子を手にとったり， 回路を作ったり した経験が極めて少ない教員養成大学の技術専攻の学生にたいする電気回路教育においては， 回路素子に対 する知識， 回路の動作に関する知識， 測定に関する知識などが複雑に絡み合っていることなどを考慮して， その実施方法や動機づけなどに大きな工夫が必要である． 最近のパソコンの普及， 進歩にともない， パソコ ンを利用した教材作成は盛んであり， とりわけ電気工学の基礎教科である電気回路においては， いくつかの ２ ｝ しか しな がら 高 級言 語を用 い た数 値 計算 の場 合は， ＢＡＳＩＣ や ＦＯＲＴＩＵＩＮ と い っ ｝ ’ 試 み がなさ れて いる１ ， ．. た言語文法を学ぶ必要があり， 手軽に扱えるというわ けにはいかない． 一方， 最近比較的安価で広く汎用化 さ れて いる Ｌｏｔｕｓ ｌ－２－３など市販の表計算ソフトの優れたグラフ機能を使っ てパソコン上で簡易シミ ｝ 電気回路における過渡現象は， 微分方程式で記述され， それをいろ ュ レーショ ンする試みがなされている３ ． いろな条件のもとで解くことにより現象を解析することができる． しかし， 多くの学生にとって微分方程式 の解析的解法を理解することはできても， その物理的意味を理解するのは決して容易なことではないと思わ れる． ま た， 過 渡現 象はオ シロ ス コー プ で観測 する 以外は 目に は 見え ないの で， 単 に数 学 的展 開 だ けでなく，. ｔｕ 波形を意識させる教材が必要である．Ｌｏ ｓｌ－２－３は表計算処理とあわせて，多彩なグラフ機能を備えて おり， この機能は表計算処理をした結果を瞬時かつ視覚的に表現する場合に優れた効果を発揮する． そこで （４５）.
(3) . １０２. 北 守. 進. 今 回，Ｌｏｔｕｓ ｌ－ ２１ ３を用 い て 電気 回路の過 渡 現象 を シミ ュ レー ショ ンし また解 析解 との誤 差を も見 える ，. よう に した の で， こ こ に発表 する こ とと した 特に 基礎 的手 法 と してオイ ラー 法と ルン ゲ・ク ッ タ 法 によ ． ，. るものの他に， 電気回路を時間サンプリングにより離散回路に変換して その過渡応答を求め 表示した場 ， ， 合について比較検討を行う．. ２． Ｒ Ｌ直列回路の過渡応答とその誤差. 図１に示す ＲＬ直列 回路に 時間『＝ ０ に お い て， 直流電圧 Ｅ（Ｖ）を加えた場合の電流をｆ（Ａ） とすれば， 回路方程式は，. － －ｏ 上 ｓ. …… …… …… …… ……（ １ ） と なる． 式（ １ ）をオイ ラー 法 を用 いて 解く． 式（ １ ）を. 変形して，. 図Ｉ ＲＬ 直列回路 …… ……… ……………（ ２ ）. を得る． ｚ＝ｚ［れ十１］ における関数値ｉ＝〆［“十１］ は. ず 』＋．ヒメ 』］. 一. ］ 平 ” △ ト． ． ．……………． ．……………－－…. によっ て与えられる． 数値解ｉと解析解 ねとの誤差 をＲ Ｒを次式により求める． ｚ ＥＲＲ ＝. ｌｉ一も. ト …－… ……－… … …－…… ………‐……… ……‐…“… …… ……． ‐…“”・…”… ………（ ） ４. ’Ｅ（Ｖ） Ｂ４： ’Ｒ（Ｑ） Ｂ５： ’Ｌ（ｍＨ） Ｂ６： ’△ｔ（ｍｓ） Ｂ８： ’開始 時間 Ｄ５：０ ’ｔ（ｍｓ） Ｄ６：＋Ｄ５十＄Ｂ＄８ ’ｉの初期値 Ｅ５：０ ’ｉ Ｅ６：＋Ｅ５十（＄Ｂ純一＄Ｂ＄５＊Ｅ５）／＄Ｂ＄６＊＄Ｂ＄８ ’ｉ Ｆ５：＋＄Ｂ糾／＄Ｂ＄５＊（１‐＠ＥＸＰ（‐＄Ｂ＄５／＄Ｂ＄６＊Ｄ５）） Ａ ’ｉ Ｇ５：鱗ＢＳ（Ｅ５－Ｆ５） ＥＲＲ 図２. オイ ラー法による ＲＬ 直列回路の ワー ク シー ト の セノレ情報. ａ ９ ． ＠ ８ ． . ａ ．６ ８ ．５ ２ ．４ ２ ３ ． Ｂ. “ … ◆ ” ” ・ “ ． ’ ． ◆ ◆ ・ － ・ ・ ． ▼ ノ 、 ． ～”～ ～ ． ， ． ＾ ・ ・ －－ ～. Ｂ ｌ ．. ａ ２ ‐. ８ ３ ．. ２ ４ ．. ８ ５ ．. 時間｛鵬）. ・誤差 電流 …. 図３ ＲＬ 直列回路の過渡応答とオイラー法の誤差 （誤差曲線の倍率１ ００ ）. ６） （４.
(4) . １０３. 離散回路変換による電気回路の過渡応答特性. ’Ｅ（Ｖ） Ｂ４： ’ Ｂ５： Ｒ（Ｑ）. ’Ｌ（ｍＨ） Ｂ６： ’ Ｂ８： △ｔ（ｍｓ） ’開 始 時 間 Ｄ５：０ ’ｔ（ｍｓ） Ｄ６：＋Ｄ５十＄Ｂ＄８ ’ Ｅ５：０ ｉの 初 期 値. 雲 雲. ９ ◎ ． ８ ８ ． ＠ ７ ． ａ ６ ． ＠ ‐５. Ｅ６：＋Ｅ５十（Ｈ６＋２＊１６十２＊Ｊ６十Ｋ６） ／６ ’ｉ Ｆ５：＋＄Ｂ＄４／＄Ｂ＄５＊（１－＠ Ｅ渥（－＄ Ｂ＄５／＄Ｂ＄６＊Ｄ５）） Ａ ’ｉ Ｇ ５：＠ＡＢＳ（Ｅ５－Ｆ５） ＥＲＲ ，ｋ 日６：（＄Ｂ＄４一＄ Ｂ＄５＊Ｅ５）／ ＄Ｂ＄６＊＄Ｂ＄８ ｌ １６：（＄Ｂ＄４‐＄Ｂ＄ ５＊（Ｅ５＋Ｈ ２））／＄Ｂ＄６＊＄Ｂ＄８’ｋ２ Ｊ６：（＄Ｂ鮎‐＄Ｂ＄５＊（Ｅ５十１６／２））／＄Ｂ＄６＊＄ Ｂ＄ｇｋ３. 亀. 差. ａ４. ＠ ３ ． ２２ ａｌ ｇ. ル ン ゲ ・ ク ッ タ 法 に よ る ＲＬ 直列回路の. ａｌ. ａ２. の３. ２ ｄ ・. Ｂ ５ ‐. 時固〔 ） 帖. ’ｋ Ｋ６：（＄Ｂ＄４－＄Ｂ＄５＊（Ｅ５＋Ｊ６））／＄Ｂ＄６＊＄Ｂ＄８ ４ 図４. ” Ｌ” ””. ′ヂ. 一 電流 … ・誤差. 図５ ＲＬ 直列回路の過渡応答とルンゲ・クッタ法の誤差 ８ （誤 差 曲 線 の 倍 率１０ ）. ワー ク シー ト の セ ル 情報. 式（ ３ ） ４ ）をワー ク シー トにのせ， ワー ク シー トか ら グラ フ を表示 する．Ｌｏｔｕｓ ｌ－ ２－ ３の グラフ機能 を使う ，（ 場 合 は， ＸＹ グラフ が中心 と なる． ＸＹ グラフ では 横軸 にＸ軸， 縦軸 にＹ軸 をとろ から， ワー ク シー ト上 で. もＸ軸に対応する値の列と，そのＸ軸の値から計算されたＹ軸の値を表す列をそれぞれ指定する必要がある． 図２ は， オイ ラー 法による ＲＬ直列 回路の過 渡 応答を求める ワーク シー トのセ ル情報である． ここ で， Ｄ列 ） は 時 間Ｚ（ｍｓ ， Ｆ列 は 解析解 も， Ｇ列 は誤 差 をＲＲを表す． 電圧 Ｅ＝１０（Ｖ） ， Ｅ列 は 数値解 す ， 抵抗 尺＝１０（Ｑ） ， 自 己イ ン ダクタ ンス Ｌ＝ １ （ｍＨ）， 時間刻 み幅 △ Ｚ＝０‐００２５（ｍｓ ） ， 分割 数２００と して グラフ 表示 した結 果 を 図 ３に示 す． 横軸 は 時間 云 （ｍｓ ） ， 縦軸 は 電流ｉ （Ａ） およ び誤 差 をＲＲである． ルン ゲ・ク ッ タ 法の場合 は，. “ “＋・ 一. ２ 鳥十ね 汁２ 同 一 キ ‐ ‐ ‐ ‐ ． ‐－ － － － ‐ ‐ ‐ ‐ ． ‐ ‐ ‐－ －‐－－－‐ ‐ ‐ ‐. で与 え られる． た だし，. 』 た ，. －￥” ］ △ｚ. と 凪ぎ；＋÷ 』 “. 』 －Ｒ 寧 ＋÷） 。. － 凪 脳］＋ゑ） 主 △≠ ＆』 ５ ）をワー ク シー トにのせ， ワー ク シー トか ら グラフ を表示 する 図４ は ルンゲ・ク ッ タ法 によ である． 式（ ， ． る ＲＬ 直列 回路の過 渡応答 を求める ワー ク シー トの セ ル情報 である ここ で Ｄ列 は 時間 ｆ（ｍｓ ） ， ． ， Ｅ列 は 数 値解 す Ｅ Ｒ Ｒ ， Ｆ列 は解 析解 も， Ｇ列 は誤 差Ｚ ， Ｈ列 は ね， １列 は 為， Ｊ 列 は 烏， Ｋ列 は 急を 表す．電圧 Ｅ＝１０（Ｖ） ， 抵抗 尺＝１０（の， 自 己イ ン ダクタン ス 乙＝ １ （ｍＨ）， 時 間刻 み幅△ ｚ＝０‐００２５（ｍｓ ） 分割 数 ２ ０ ０と グラ して ，. フ表示した結果を図５に示す． 横軸は時間ｆ（ｍｓ ） ， 縦軸は電流〆（Ａ） および誤差 をＲ Ｒである．. （４７）.
(5) . １０４. 北 守. 進. １ ）より， サンプリング時間 Ｔ でサ ン プリ ン グした と 次に， 図１の ＲＬ直列回路を離散回路に変換する． 式（ する と， ｆ＝７ ２丁 では，. ”ト モ ■１］ 十Ｒｄ ］一Ｅ … ………（６） 〆 ［ ｎ. ａｏ. ｝ これを整理すると の差分方程式が成立する４ ， ． Ｚ ［”一 １］十のＥ Ｚ 影］；ろ ．. ｉ〔ｎ］. ７ … ………… …………（ ）. 図６ ＲＬ直列回路の離散回路表現. カ坤辱ら れる． こ こ で， . . Ｒ＋ ÷ １. ろ １＝. １＋ 乎. １は遅 延 を与える素 子 である 式（ ）を である． こ れよ り， 離散回 路の 構成 は， 図６のよう に なる． ここ で， Ｚ‐ ． ７ ワー ク シー トにのせ， ワー ク シー トから グラフ を表示 する． 図 ７は， 離 散回 路に変 換 した ＲＬ 直列 回路の過 渡 ） 応答 を求 める ワ ー ク シー トのセ ル情報である． ここ で， Ｄ列 は 時間Ｚ（ｍｓ ， Ｆ列 は解析解 ， Ｅ列 は数値解 す も， Ｇ列 は誤差 なＲ ， 抵抗 Ｒ＝１０（Ｑ） ， 自 己イ ン ダク タンス 乙＝ ， Ｈ列 は ず［“－ １］を表す． 電圧 Ｅ＝１０（Ｖ） ） １ （ｍＨ） ， 分割 数２００と して グラフ表示 した結果 を図８に示 す． 横軸 は 時間 ， 時間刻 み幅 △ ≠＝０．００２５（ｍｓ ）， 縦軸 は 電 流す（Ａ） およ び誤 差 をＲＲである． 誤差絶 対値は， ルン ゲ・ク ッ タ 法が圧倒 的に小さく， オ 『（ｍｓ. イラー法と離散回路変換法との間には大きな差異はない．. ’Ｅ（Ｖ） Ｂ４： ’ Ｂ５： Ｒ（Ｑ） ’Ｌ（ｍＨ） Ｂ６： ’△ｔ（ｍｓ） Ｂ８： ’ ＢＩＯ： ａｏ ’ ＢＩＩ： ｂ，. Ｄ ５ ：げ開始時間. ’ｔ（ｍｓ） Ｄ６：＋Ｄ５十＄Ｂ＄８ ’ｉ Ｅ５：＋＄Ｂ＄４＊＄Ｂ＄１０十＄Ｂ＄１１＊Ｈ５ ’ｉ Ｆ５：＋＄Ｂ＄４／＄Ｂ＄５＊ （１－＠Ｅ肥（－＄Ｂ＄５／＄Ｂ＄６＊Ｄ５）） Ａ ’ｉ Ｇ５：＠ ＡＢＳ（Ｅ５－Ｆ５） ＥＲＲ ’ｉ［ Ｈ５：０ ｎ‐１］の初期値 ’ｉ［ｎ－ Ｈ６：＋Ｅ５ １］ 図７. 離散回路変換法による ＲＬ 直列回路の. ８ ９ ． ６ ８ ． ８ ７ ． ＠ ６ ． ５ の ． ４ ａ ． ａ ３ ． ， ． ＠ ２◆ ． ａ １ ． ９. ◆ ‐ ▼＼ ．” ． －－ ▲ ▲ 、 “、 Ｂ １ ．. ２ ３ ・. ９ ２ ・. ２ ４ ・. の ５ ・. 時間（鵬）. ー 電流 － 誤差. 図８ ＲＬ 直列回路の過渡応答と離散回 路変換法の誤差 ０ （誤差曲線の倍率１ ）. ワークシー トのセ ル情報. ８） （４.
(6) . . １０５. 離散回路変換による電気回路の過渡応答特性. ３． Ｒ ＬＣ直列回路の過渡応答とその誤差. 図９に示す ＲＬＣ直列回路に時間云＝０において， 直流電圧 お（Ｖ）を加えた場合の電流をＺ（Ａ）とすれば， 回路方程式は，. Ｌ 帯 朝ｉ＋ ÷. ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・◎ 序 す－Ｅ ・. ーｏ ｓ ゴ. となる． 電荷 ｑ （Ｃ） を用 いて 書き換 えると，. ・ － － ‐ ‐ ‐◎ Ｌ 薯子十Ｒ 誓ト さ メ ー となる． まず， ｛尺／（２ Ｌ ）｝２＞ ｛１／（ＬＣ）｝ ）をオイラー法を用いて ９ の場合を考察する． 式（. ）コ －ｙ. 図９ ＲＬＣ 直列回路. ９ 解く． 式（ ）を変 形 して，. ……… …… ………… …………… …… …… …………… ………… …… …（ の １. ． ケ シ. を得る． ｉ＝云 ［〃十 １］ にお ける 関数 値 ｑ＝ｑ ［”十 １］ ， メ＝Ｚ［れ十 １］ は， 、. ｑ ［“＋ １］；ｑ ［“］＋〆［れ］ △士. ，. …… …… …… … ………… ……… … ………（ １ １ ） ノ. によ っ て 与えら れる． 式ｍ）をワー ク シー トにのせ， ワー ク シー トから グラフ を表示する． 図１０は， オイ ラー ’Ｅ（Ｖ） Ｂ３： ’ Ｂ４： Ｒ（Ｑ） ’Ｌ（血Ｈ） Ｂ５： ’ Ｂ６： Ｃしし （Ｆ） ’△ｔ（ｍｓ） Ｂ７ ：. Ｃ ５翁 開始時間. ’ｔ（ｓ） Ｃ６：＋Ｃ５十＄Ｂ＄７ ／１０００ ’ Ｄ５：０ ｑの初期値 ’ Ｄ６：＋Ｄ５＋Ｅ５＊＄Ｂ＄７ ｑ. ’ｉの初期値 Ｅ５：０ Ｅ６：＋Ｅ５十（＄Ｂ＄３‐＄ Ｂ＄４＊Ｅ５‐Ｄ５／＄ Ｂ＄６＊１０＾６）／＄Ｂ＄５＊ ’ ＄Ｂ＄７ｉ Ｆ５：＋＄Ｂ＄３／＄ Ｂ＄５＊１０００／２／＄Ｂ＄１０＊＠Ｅ ＸＰ（‐＄Ｂ＄８＊Ｃ５） ’ｉ ＸＰ（＄Ｂ＄１０＊Ｃ５）‐＠ＥＸＰ（‐＄Ｂ＄１０＊Ｃ５）） ＊（＠Ｅ Ａ Ｇ５：＠畑Ｓ（Ｅ５－Ｆ５） ＥＲＲ 図１０ オイ ラー法による ＲＬＣ 直列回路の ワー ク シ ー ト の セノレ情報. ー雷 喝 エ ー 脱（ ・ Ｈ ｝・ 鯉 叢 生 ー什 ー. ’α Ｂ８： ’ ＢＩＯ： γ. 時間（肺）. 一 電流 一 誤差. 図１Ｉ ＲＬＣ 直列回路の過渡応答とオイラー法の誤差 ２＞｛１ （ ｛尺尺２Ｌ）｝ ／（ＬＣ）｝ｊ誤差曲線の倍率１ ０ ）. ９） （４.
(7) . １０６. 北 守. 進. ） 法 によ る ＲＬＣ 直列 回 路の過 渡 応答を求 める ワ ー ク シー トの セ ル情報である． ここ で， Ｃ列 は 時間 穴ｓ ， Ｄ. ００（の， ０（Ｖ） 列は数値解 ｑ Ｒを表す． 電圧 Ｅ＝１ ， 抵抗 Ｒ＝１ ， Ｆ列は解析解 も ， Ｇ列は誤差 をＲ ， Ｅ列は数値解す ） 自 己イ ン ダクタ ンス Ｌ＝１６（ｍＨ）， キ ャ パ シタ ンス Ｃ＝１０（ 〆Ｆ） ， 分割 数２００ ， 時間刻 み幅 △ 云＝０‐０１（ｍｓ. としてグラフ表示した結果を図１１に示す． 横軸は時間Ｚ（ｍｓ ） Ｒである． ， 縦軸は電流す（Ａ） および誤差 をＲ ルン ゲ・ ク ッ タ 法の場 合 は， ｑ ［”十 １］＝ｑ ［％］＋△ｑ ｌ ｚ［”十 １］＝ｆ ［”］＋△Ｚ. ’Ｅ（Ｖ） Ｂ３： ’Ｒ（Ｑ） Ｂ４： ’Ｌ（ｍＨ） Ｂ５： ’Ｃ（仏Ｆ） Ｂ６： ’ Ｂ７ ： △ｔ（ｍｓ）. Ｊ. で与 えら れる． こ こ に △ｑ と △Ｚは， の ニＺ. ’α Ｂ８： ’ ＢＩＯ： γ. 脳］ △云. Ｃ ５０ 開始時間. 々 ［％］. . Ｅ一 蹴 ［ ］－ ÷÷ ” ÷ 「ｒ . . 袋＝. . ” 同 ＋ ÷）△≠ ‐. ］＋ ト メー 瑚％ キ. ｄ ”］＋ ÷. Ｃ. ～. 偽 ョＺ 肋］＋ ÷）△云 ・. . ’ｉ ，. ｑ 回＋ ÷. . . Ｚ［”］＋も） △Ｚ ＆＝ （. . . ’ｔ（ｓ） Ｃ６：＋Ｃ５十＄Ｂ＄７月０００ ’ Ｄ５：０ ｑの初期値 ’ｑ Ｄ６：十Ｄ５十（Ｈ ６＋２＊１６十２＊Ｊ６十Ｋ６）／６ ’ Ｅ５：０ ｉの初期値 ’ｉ Ｅ６：＋Ｅ５十（Ｌ６＋２＊Ｍ６＋２＊Ｎ６＋０６）／６ Ｆ ５：＋＄Ｂ＄３／＄Ｂ＄５＊１０００／２／＄Ｂ＄１０＊＠Ｅ Ｘ Ｐ（‐＄Ｂ＄８＊Ｃ５） ’ｉ ＊（＠Ｅ Ｘ Ｐ（＄Ｂ＄１０＊Ｃ ５）‐＠Ｅ ＸＰ（‐＄Ｂ＄１０＊Ｃ５）） Ａ ’ Ｇ ５：＠ ＡＢＳ（Ｅ５‐Ｆ５） ｉＥＲＲ ’ Ｈ６：＋お５＊＄Ｂ＄７ ／１０００ ｑｌ ’ １６：（Ｅ５＋ Ｌ６／２）＊＄Ｂ＄７月０００ ｑ ２ ’ Ｊ ６：（Ｅ５十Ｍ６／２）＊＄Ｂ＄７ ／１０００ ｑ ３ ’ Ｋ６：（Ｅ５＋Ｎ ６／２）＊＄Ｂ＄７ ／１０００ ｑ ４ Ｌ６：（＄Ｂ＄３‐＄ Ｂ＄４＊Ｅ５‐Ｄ５／＄Ｂ＄６＊１０＾６）／＄Ｂ＄５＊＄Ｂ＄７ Ｍ６：（＄Ｂ＄３‐＄Ｂ＄４＊（Ｅ５＋Ｌ ２）‐（Ｄ５＋Ｈ ２ Ｂ ）／ ６ ＄ ＄ ’ｉ ＊１０＾６）／＄Ｂ＄５＊＄Ｂ＄７ ２ Ｎ６：（＄Ｂ＄３‐＄Ｂ純＊（Ｅ５十Ｍ６／２）‐（Ｄ５十１６／２）／＄Ｂ＄６ ＊１０＾６）／＄Ｂ＄５＊＄Ｂ＄７ ３ ０６：（＄Ｂ＄３‐＄Ｂ＄４＊（Ｅ５＋Ｎ６）‐（Ｄ５＋Ｊ６）／＄Ｂ＄６＊１０＾６） ’ｉ ／＄Ｂ＄５＊＄Ｂ＄７ ４ ル ン ゲ ・ ク ッ タ 法 に よ る ＲＬＣ 直列回路の. 図１２. . ワ ー ク シ ー トの セノレ情報. を用 いて，. ２ 十 十２ 時 名 仏 △ｑ 』 Ｚ十２も ２ も十も 吉 △に ・ のよ う に与 えら れる． 式◎ をワー ク シー トにの せ， ワー ク シー トから グラフ を表示 する． 図１２ は， ルン ゲ・ク ッ タ法による ＲＬＣ直列回路の過. り Ｂ Ｂ ・ ７ ａ ２ ‐ ″ １ も. . . 美 ＠麗 ａ １ ２ ． . ′ ． ． ・ ．. . ） る． ここ で， Ｃ列 は 時間 Ｚ（ ｓ ， Ｄ列は 数値解 ｑ ，. り ４ ‐. の ８ ・ . １ ２ ・. １ ‐６. ２. 時間〔 ） ｍ ｓ. 一 電流 一 誤差. Ｅ列は数値解す ， Ｇ列は誤差 ， Ｆ列は解析解 も 袋， Ｌ列 は ゑ， Ｍ列 は も， Ｎ列 は も ， ０列 は もを. ａ ａ ５ . . 渡 応 答 を 求 め る ワ ー ク シー トの セノレ情報 で あ. をＲ Ｒ ， ， Ｈ列 は ｑ ， １列 は 袋， Ｊ 列 は 偽， Ｋ列 は. の ＠ ６ ．. 図１３ ＲＬＣ 直列回路の過渡応答とルンゲ・クッタ法の誤差 ７ ２＞｛１尺ＬＣ）｝ 誤差曲線の倍率１ ０ ） （ ｛尺八２Ｌ）｝ ， ０） （５.
(8) . . １０７. 離散回路変換による電気回路の過渡応答特性. 表す． 電圧 Ｅ＝１０（Ｖ） 〆Ｆ） ， ， キ ャ パ シタ ンス Ｃ＝１０（ ， 自 己イ ン ダクタンス Ｌ＝１６（ｍＨ） ， 抵抗 Ｒ＝１００（Ｑ） 時間 ） ま（粥ｓ ）， 分割 数２００と して グラフ 表示 した 結果 を図１３に示す． 横軸 は 時間刻 み幅 △Ｚ＝０‐０１（ｍｓ ， 縦軸. Ｅ は電流ズ（Ａ） および誤差２ Ｒ Ｒである． ）よ り， サ ン プ リ ン グ時間 Ｔ で サ ン プリ ン グした ９ 次に， 図 ９の ＲＬＣ 直列 回路を 離散 回路 に変 換する． 式（ とする と Ｚ＝”Ｔ では. Ｌ. ｄ ”＋．］‐２ ｑ 回 十ｑ ［“■．］ 十Ｒ ２. 如 ＋１］－ “ “■１］ ２. Ｔ. Ｔ. ‐～ ‐ ‐仙 ＋ 号 子 」 Ｅ‐. の差分方程式が成立する． これを整理すると， １多 … …‐… … … …”…｛ ｑ ［”十 １］十 のｑ ［れ］＋” 。β‐…“…”… … … … … … … … … … … … ．ｑ ［”－ １］＝ム. 力坤辱ら れる． こ こ で， Ｔ２ の＝. ＬＣ. １十 冊 １－. α．；. . １２. ＆Ｚ÷ Ｌ. ２. １十 誓 . Ｌ（１＋ず を） である． 電 流す ［”］ は，. ［ ＋・］ーｑ［“－１］ ２［“］＝ ｑ ％ ２ Ｔ. ◎ ……… … … －…… … － … … － － … … ……－ … …Ｑ. ． . か ら求 めら れる． ここ で，. 命＝ Ｒ＋ ￥ ４ ） １ とお けば， 離散 回 路の構成 は， 図１４のよう になる． 式（ ， 鰯 をワー ク シー トにのせ， ワー ク シー トか ら グラ. ５は， 離散回路に変換した ＲＬＣ直列回路の過渡応答を求めるワークシートのセル情報であ フを表示する．図１ る． 電圧 Ｅ＝１０（Ｖ） 〆Ｆ） ， ， キ ャ パ シタンス Ｃ＝１０（ ， 抵抗 Ｒ＝１００（の， 自 己イ ン ダクタ ンス Ｌ＝１６（ｍＨ）. Ｅ. ＋ ーａ ｏ. ーａ ， ‐ｌ ｚ. ‐Ｉ ｚ. ｉ［ｎ］. 図１４ ＲＬＣ 直列回路の離散回路表現 １） （５.
(9) . . １０８. 北 守. 進. 時間刻み幅 △ｆ＝０．０１（ｍｓ ） ６に示す． ） 、横軸は時間Ｚ（ｍｓ ， 分割数２００として グラフ表示した結果を図１ ， 縦軸は電流Ｚ （Ａ） および誤差 をＲ Ｒである． 誤差の絶対値はブ ルンゲ・クッタ法が圧倒的に小さく， オイ ラー法， 離散回路変換法 の間には大きな差異はない． しかしながら， オイラー法の場合は， 式艇 ）よりわかるように， 抵抗 Ｒ やキャ パ シタンス Ｃ の素子定数値， およ び 時間刻み幅 △Ｚの値によっては， 不安定な解が発生する可能性が生ずる． 一例として， 電圧 Ｅ＝１０（Ｖ） 抵抗 Ｒ＝ ， ０（の， 自己インダクタンス Ｌ＝５０（ｍＨ） ４８０ ０ ２（ｍｓ ） 〆Ｆ） ， キャ パシタンス Ｃ＝１ （ ， 時間刻み幅 △≠＝０‐ ， 分割数 ２００として得られた結果を図１７ （ ａ ）に示す． 同図より， 電流すの数値解 のグラフに振動が発生していることがわかる． 同 一条件で， ルンゲ・クッタ法および離散回路変換法で試みた結果をそれぞれ同図（ ｂ ） ｃ ）に示すが， このような振動の ，（ 発生はみられず， また， 誤差 もＲ Ｒの値に大きな差異はない． 次に， ｛尺／（２ Ｌ ＬＣ）｝ の場合を検討する． 電圧 Ｅ＝１０（Ｖ） ）｝２＜ ｛１／（ ０（Ｑ） ， 抵抗 Ｒ＝１ ， 自己イ ンダクタン ス Ｌ＝ ５ （ｍＨ）， キ ャ パ シ タ ン ス Ｃ＝ １. Ｆ） ０１ （ｍｓ ） と して， オイ ラ ー 法， ル ン ゲ・ク ッ タ ． ， 時 間 刻 み 幅 △Ｚ＝０‐. 法， 離散回路変換法により， それぞれ過渡応答を求めた結果を図１ ８ （ ａ ） ｂ ） ｃ ）に示す． 横軸は電流〆（ 卿および誤差 もＲ Ｒ ，（ ，（ である． 誤差の絶対値はルンゲ・クッタ法が圧倒的に小さく， 次いで離散回路変換法， オイラー法の順である． また， ルンゲ・クッタ法と離散回路変換法では時間の経過につれて誤差が収束していく傾向があるのにたいして， オイラー 法の場合は誤差が発散していく傾向があることがわかる．. ’Ｅ（Ｖ） Ｂ３： ’ Ｂ４： Ｒ（Ｑ） ’Ｌ（ｍＨ） Ｂ５： ’ Ｂ６： Ｃ（仏Ｆ） ’△ｔ（ｍｓ） Ｂ７ ：. ’α Ｂ８： ’ ＢＩＯ： γ ’ ＢＩＩ： ａｏ ’ａ Ｂ１２： ， ’ Ｂ１３： ｃｏ. Ｃ ５０ 開始時間. 図１ ５ 離散回路変換法による ＲＬＣ 直列回路の ワークシートのセ ル情報. 雫 霧 （Ａ｝ － 誤差. ’ｔ（ｓ） Ｃ６：＋Ｃ５十＄Ｂ＄７月０００ ’［ Ｄ５：０ ］の初期値 ｎ ｑ ’ ［ｎ］ Ｄ６：十１５ ｑ ’ｉ Ｅ５：（１５‐Ｈ５）＊＄Ｂ＄１３ Ｆ５：＋＄Ｂ＄３／＄Ｂ＄５＊ １０００／２／＄Ｂ＄１０＊＠醜Ｐ（‐＄Ｂ＄８＊Ｃ５） ’ｉ ＊（＠ＥＸ Ｐ（＄Ｂ＄１０＊Ｃ５）‐＠ＥＸ Ｐ（‐＄Ｂ＄１０＊Ｃ５）） Ａ ’ｉ Ｇ５：＠郷Ｓ（Ｅ５－Ｆ５） ＥＲＲ ’ ［ｎ‐１ Ｈ５：０ ］の初期値 ｑ ’ ［ｎ‐１］ Ｈ６：＋ Ｄ５ ｑ ’ ［ｎ＋１］ １５：＋＄Ｂ＄３‐＄Ｂ＄１２＊Ｈ５－＄Ｂ＄１１＊Ｄ５ ｑ. 鼠４. ２ ８ ．. １ ２ ．. Ｌ６. 時間（鵬）. ‐誤裟 電流 …. 図１６ ＲＬＣ直列回路の過 渡応答と離散回路変換法の誤差 ２＞｛１月ＬＣ）｝ 誤差曲線の倍率１ （ ｛尺八２Ｌ）｝ ０ ） ，. ２） （５.
(10) . １０９. 離散回路変換による電気回路の過渡応答特性. ９ ８ ．. ４ ２ ‐. ６ １ ‐. ３ ２ ．. 時回（胴）. 一 電流 － ‐誤差. ） オイラー法 （誤差曲線の倍率１） （ ａ. 詔差 竪 偶（ Ａ）‐ の ８ ‐. ２ ４ ‐. ６ １ ‐. ３ ２ ‐. ） 時間｛ ｍ ｓ 電流 ‐一 誤差. ０ ） ｂ （ ） ルンゲ・クッタ法 （誤差曲線の倍率１. 霊 催（Ａ｝‐ 誤差. 疎 も Ａ . Ｂ Ｚ １ ８ ｇ ａ ｌ ａ ． ａ ＠ １ ６ ＠ ａ ． の ＠ ａ １４ ・ ａ Ｚ １ ２ ａ ａ ． ａ ｇ ａ ｌ ‐ ａ ａ Ｚ ８ ‐ ａ の ａ ６ ． Ｂ ８ ２ｉ ．Ｂ ９. の ８ ‐. ６ １ ‐. ４ ２ ・. ３ ２ ‐. ４. 時間（鵬）. 一 電流 … 誤差. （ ） 離散回路変換法 （誤差曲線の倍率１） ｃ 図１ ７ ＲＬＣ 直列回路の過渡応答と誤差 ） （Ｅ＝１ＯＶ，Ｒ＝４８０００，Ｌ＝５０ｍＨ，Ｃ＝ １ ”Ｆ，△ｔ＝０‐０２ｍｓ. （５３）.
(11) . . １１０. 北 守. 進. 電流 （Ｒ） ・. ／ Ｆ ＼／ １！編纂 ノ＼. ‐ ８ Ｉ ．. 一 う １ ５ ． “. ）〉〉 ａ ４ ．. ‘ １ ２ ．. ９ ８ ．. 「 １ ６ ‐. 時回（膿） 一 電流 －・誤差. （ ａ ） オイラー法 （誤差曲線の倍率１）. ａｌ輸. ハ . . ハ . ヘ . ヘ 〉 〉 〉 Ｖ 〉 〉 . ー . ５ － ＠ １ ‐ ８. り ｄ ．. Ｂ ８ ‐. １ ２ ‐. １ ６ ‐. 時間〔鵬）. 一 電流 … 誤差. ４ ｂ （ ） ルンゲ・クッタ法 （誤差曲線の倍率１ ０ ）. ａ ５ １ ．. . . － へ 松 ， . . ａ Ｉ ‐ ‐ … 匂 ５ １ ．. 倉. な. 釈 〉 〉 〉 Ｖ 勿 ４ ．. ２ ８ ・. １ ２ ‐. １ ６ ‐. ２. 時間（鵬）. ． 電流 … 誤差. （ ｃ ） 離散回路変換法 （誤差曲線の倍率１ ） ０ ２＜｛１穴ＬＣ）｝ 図１ ８ ＲＬＣ 直列回路の過渡応答と誤差 （ ｛尺八２乙）｝ ）. ４） （５.
(12) . 離散回路変換による電気回路の過渡応答特性. ４． む. １１１. び. す. ｔｕ 電気回路の過渡現象を， 表計算ソフト Ｌｏ ｓ ｌ ー ２ － ３ を 用 い て シ ミ ュ レ ー シ ョ ン し， グラ フ 表 示 し た． 基 礎 的 手 法として， オイラー法とルンゲ・クッタ法によるものの他に， 電気回路を時間サンプリングにより離散回路に変換し て， その過渡応答を求め， 表示した場合について， 比較検討を行っ た． 解が振動しない場合には， ルンゲ・クッ タ法 の誤差の絶対値は， オイラー法および離散回路変換法に比べて圧倒的に小さい． オイラー法と離散回路変換法との誤 差の絶対値に大差はないが，オイラー法の場合には，素子定数値および時間刻み幅の値によっ ては不安定な解となり， 振動が発生する， 解が振 動する場合にも， ルンゲ・クッタ法の誤差の絶対値は， オイラー法および離散回路変換法に 比べて圧倒的に小さい． 素子定数値によっ ては， オイラー法の場合には， 時間の経過につれて誤差の絶対値が発散す る傾向を示す． 以上のことから， 高精度を要する場合にはルンゲ・クッタ法を使用すべきであるが， 離散回路変換法 は， ワークシートの規模が小さくて済み， 簡易表示という点で優れている． Ｌｏｔｕｓ ｌー２－３は ，. 多彩なグラフ機能を備えており， 表計算処理をした結果を瞬時かつ視覚的に表示できること. は， 電気回路を学習する上で大いに有用である． 今後は， さま ざまな電気回路教材の開発を図るために， Ｌｏ ｔ ｕｓｌー ２ ー ３ を活用する予定である．. 文. 献. １ （ ） 三谷政昭：パソコ ンで学 ぶ基礎 電気回路， 森北出版 （ １９９１ ）‐ （ ２ ） 須田・北原：ＢＡＳＩＣ による電気・電子， 共立出版 （ ） １９９０ ． ３ （ ） 白田・井上・伊藤：Ｌｏ １９９３ ｔｕｓｌ－２－３による理工系 シミュ レー ショ ン入門， ＣＱ 出版社 （ ） ．. （ ４ ９ ２ ） ） 本郷広平：電気数学入門， 森北出版 （ １ ９ ‐. ５） （５.
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