波 ・流 れ共 存場 にお け る高 精 度差 分 を用 いた
多 方 向不 規則 波 浪変 形 予 測 モ デル の開発
Development
of Multidirectional
Random
Wave Transformation
Model
in Wave-Current
Coexisting
Field
沖
和 哉1・ 間 瀬
肇2
Kazuya OKI and Hajime MASE
When waves go upstream against gradually-increasing opposing current, wave breaking will occur and/or be blocked in
the case of strong current. Since wave action density is conserved in a current field, the wave action balance equation is
suitable for the numerical model of wave-current interaction. In this study, the numerical simulation model based on the
wave action balance equation is developed by using QUICK scheme in order to improve the accuracy of wave
transfor-mation due to the current. The usability of the present model is verified, through the computation of the wave height
change in the fields where the caustic exists or the area around the mouth of a river.
1. は じ め に 波 は 流 れ に よ っ て影 響 を 受 け る.例 え ば,港 湾 近 傍 に 河 川 が あ る場 合,荒 天 時 に は来 襲 波 浪 が 大 き い こ と に加 え て河 川 か ら の 出水 流 量 も増 加 す るた め,流 れ が 波 に与 え る影 響 が 顕 著 に見 られ る よ うに な る.一 般 に,数 値 波 浪 予 測 モ デ ル に お い て,流 れ の影 響 を 考 慮 す る の は難 し い.ま ず,波 に よ る流 速 変 動 成 分 を 取 扱 う場 合 に は,場 の流 れ の 成 分 と ど う区 別 す るか が 問 題 と な る.次 に,波 浪 が流 れ を 遡 っ て伝 播 す る場 合 に は流 れ に よ って 波 長 が 短 くな り,十 分 な解 像 度 で 波 形 を 再 現 す る に は 非 常 に細 か い計 算 格 子 が 必 要 とな る た め,数 値 安 定 性 や 計 算 効 率 が悪 化 す る.逆 流 場 を 波 が 伝 播 す る場 合 に は砕 波 が 生 じ る が,砕 波 減 衰 モ デ ル につ い て は 流 れ の影 響 を 考 慮 した モ デ ル が 確 か め られ て い る段 階 で あ る.ま た,逆 流 が 非 常 に 強 い 場 合 に は,波 が そ れ 以 上 遡 上 で き な いwave blockingも 発 生 す る. 波 作 用 量 は流 れ が あ る場 合 に も保 存 さ れ るた め,波 作 用 量 平 衡 方 程 式 モ デ ル は,流 れ が 顕 著 な領 域 の 解 析 に 向 い て い る.位 相 平 均 され た モ デ ル で あ る た め 時 間 波 形 を 計 算 す る こ と は で き な いが,上 述 の高 周 波 成 分 の 解 像 度 の 問 題 か らは解 放 され,数 値 安 定 性 もよ い.一 方 で,位 相 平 均 モ デ ル で は数 値 計 算 の 簡 便 さか ら1次 精 度 風 上 差 分 が 用 い られ る こ とが 多 い が,数 値 拡 散 が 大 き く見 か け 上 の 回 折 効 果 を 生 む 原 因 と な る.波 は流 れ に よ っ て屈 折 す る た め,よ り精 度 よ く屈 折 計 算 を行 うた め に も,数 値 拡 散 を抑 え る こ とが 必 要 で あ る. 本 研 究 で は,流 れ に よ る 波 の 屈 折 を含 め た 波 浪 変 形 予 測 精 度 の 向上 を 目的 と して,波 作 用 量 平 衡 式 に基 づ く波 浪 モ デ ル を高 精 度 差 分 で解 く数 値 モ デ ル を 開 発 す る. 2. 波 作 用 量 平 衡 式 本 研 究 で は,平 面 位 置 座 標(x,y)お よ び 波 向 き θを 独 立 変 数 とす る波 作 用 量 平 衡 式 に回 折 項 を 組 込 ん だ 間 瀬 ら(2004)の 式 を 用 い る.
(1)
こ こで,Nは 波 作 用 量,Cは 波 速,Cgは 群 速 度,σ は 角 周 波 数,κ は回 折 影 響 係 数,εbは 砕波 等 に よ る エ ネ ル ギ ー 減 衰 係 数 で あ り,特 性 速 度(Cx,Cyお よ びCθ)は そ れ ぞ れ次 の よ う に表 さ れ る.(2)
(3)
(4)
こ こ で,(U,V)は 場 の 流 速 ベ ク トル,kは 波 数,hは 水 深 で あ る.位 相 平 均 モ デ ル に分 類 され る波 作 用 量 平 衡 式 は,本 来 波 の回 折 を 考 慮 す る こ とが で き な い が,間 瀬 ら (2004)の 考 案 した 回 折 項 を導 入 す る こ と に よ り構 造 物 背 後 の 解 析 も可 能 とな る.し か し,回 折 項 を有 す る位 相 平 均 モ デ ル に1次 精 度 風 上 差 分 を適 用 した場 合,差 分 に よ っ 1正 会 員 博(工)京 都大学助教工学研究科都市環境工学専攻 2正 会 員 工博 京都大学教授防災研究所2 海 岸 工 学 論 文 集 第55巻(2008) て 生 じ る数 値 拡 散 項 と,2階 微 分 で 表 さ れ る回 折 項 に よ る そ れ ぞ れ の効 果 の 区 別 が つ か な くな る.そ こで,沖 ・ 間 瀬(2004)と 同様 に,式(1)に 対 してQUICKス キ ー ム を 適 用 して 数 値 拡 散 を抑 え,流 れ の影 響 を 考 慮 で き る数 値 波 浪 予 測 モ デ ル を 開 発 す る.沖 ・間 瀬(2004)の 提 案 し た エ ネ ル ギ ー平 衡 方 程 式 モ デ ル は波 作 用 量 平 衡 式 モ デ ル と同 じ位 相 平 均 モ デ ル に分 類 さ れ,基 礎 式 の形 も ほぼ 同 じで あ る が,流 れ を考 慮 して 定 式 化 す る と新 た に ラ デ ィ エ ー シ ョ ン応 力 に関 す る項 が 生 じて 複 雑 に な る.一 方, 波 作 用 量 は 流 れ が あ る場 合 に も保 存 され る た め基 礎 式 自 身 は変 わ らな い.ま た,波 の流 速 成 分 も式 中 に現 れ な い た め に場 の 流 速 と の 区別 は必 要 な く,流 れ 場 に お け る解 析 に向 い て い る. 3. 流 れ 場 に お け る 波 の 屈 折 波 は流 れ に よ っ て,波 高 お よ び 波 向 きが 変 化 す る.1 次 元 問 題 に お け る波 高 の 変 化 につ いて は,間 瀬 ら(2004) に よ って 式(1)に 基 づ くモ デ ル の結 果 が 理 論 値 に一 致 す る こ とが 確 か め られ て い る た め,本 研 究 で は平 面 二 次 元 に お け る波 向 きの 変 化 す な わ ち流 れ に よ る波 の屈 折 に つ い て 検 証 す る. 以 下 に そ の 特 徴 的 な 例 を 紹 介 す る.x方 向 に は一 様 なx 方 向 の み の 流 れ で,yが 大 き くな る に つ れ て 流 速 が 大 き くな る場 を考 え る.こ の 流 れ 場 を波 浪 が 横 切 る場 合,流 速 お よ び入 射 波 の 波 向 き の 条 件 に よ って は波 が 流 れ を乗 り越 え られ ず に,yの 負 の方 向 へ の 流 速 成 分 が な い の に も関 わ らず,大 き く屈 折 す る現 象 が あ る.そ の乗 り越 え られ な い境 界 を 焦 線 と呼 ぶ.河 口付 近 あ る い は沿 岸 域 で の反 射 波 と沿 岸 流 の 関 係 に よ って 起 こ り う る現 象 で あ る. 一 般 的 に,流 れ 場 に お け る波 の 分 散 関係 式 は次 式 で表 さ れ る. (5) た だ し,→k=(kx,ky)は 波 数 ベ ク ト ル,k=√k2x+k2y は 波 数,U=(U,V)は 場 の 流 速 ベ ク トル,ω は 角 周 波 数,hは 水 深,gは 重 力 加 速 度 で あ る.こ こ で,x方 向 に 一 様 で あ るU=(U(y) ,0)と い う 流 れ 場 を 考 え る と, 式(5)は 次 式 に 書 き 換 え ら れ る. (6) 焦 線 が 存 在 す る具 体 的 な 例 と して,yが 大 き くな る ほ どU(y)も 線 形 的 に大 き くな る場 合 を 図-1に 示 す.(a)は 波 向 線 の 変 化,(b)は 場 の 流 速 分 布 を 表 して い る.A地 点 を 通 過 した 波 がB地 点 へ 到 達 す る と,x方 向 の 波 数 成 分 kxは 変 化 し な い が,y方 向 の 波 数 成 分kyは 減 少 す る.そ れ に伴 っ て波 向 き も徐 々 に 変 化 す る.さ ら に伝 播 してC (a) 波 向線 の変化 (b) 流速分 布 図-1 焦 線付 近 にお ける波 向線 の変化 地 点 へ 到 達 す る と,ky=0す な わ ちk=kxと な る.こ の と き,C地 点 は 焦 線 上 に あ り,こ れ 以 上 波 はyの 正 の 方 向 へ は進 む こ と が で き ず,逆 に そ の 後 はyの 負 の方 向 へ と 屈 折 す る.入 射 波 の 波 数 に よ って 定 ま る焦 線 にお け る流 速 の 理 論 値Uは,次 式 を 満 た す もの と して求 め られ る. (7) 本 数 値 モ デ ル に よ る波 の屈 折 現 象 の再 現 性 を 検 討 す る た め に,上 で述 べ た 焦 線 が 存 在 す る よ うな 流 れ 場 に お け る 波 向 き線 の変 化 に つ い て,流 れ の 向 き と入 射 波 向 き を 変 え て 計 算 を行 う.さ ら に,従 来 の1次 精 度 風 上 差 分 を 用 い た モ デ ル に よ る結 果 と比 較 す る. (1) 順 流 場 ま ず,流 れ の 向 き と波 の伝 播 方 向 が 主 と して 同 じ向 き で あ る平 面 順 流 場 の計 算 を行 う.水 深20mの 一 様 水 深 場 (400m×400m)に 周 期5.0sの 規 則 波 を 入 射 さ せ る.格 子 間 隔 は2.0mで,周 波 数 分 割 数 は10,方 向 分 割 数 は36で あ る.境 界 は すべ て 透 過 境 界 とす る.図-2に 順 流 場 の条 件 に 用 い た流 速 分 布 と,QUICKス キ ー ム を 適 用 した 本 モ デ ル と1次 精 度 風 上 差 分 を用 い た従 来 の モ デ ル に よ る 波 向線 に 関 す る計 算 結 果,お よ び理 論 値 に よ る焦 線 の位 置 を示 す.実 線 が 本 モ デ ル に よ る結 果,破 線 が従 来 モ デ ル に よ る結 果,一 点 鎖 線 が 理 論 値 に よ る焦 線 の位 置 を 示 す.図 の 右 側 に 示 す よ う にx方 向 に の み 一 様 な 流 れ 場 で あ り,yが 大 き くな る に つ れ て 流 速 も大 き くな る.な お, 本 来 入 射 波 は波 峰 方 向 に 同 位 相 の波 の 広 が りを持 っ が, 波 向 き の 変 化 を調 べ易 くす る た め に左 側 境 界 の一 部 か ら の 入 射 とす る.入 射 位 置 に お け る 波 向 き はx軸 に対 して 図-2 順流 場 にお け る波 向線 の変 化
図-3 順流 場 にお け る波光 線 の変 化(焦線 な し) 300で あ り,入 射 波 条 件 に 対 応 す る焦 線 位 置 で の 流 速 は 0.47m/sで あ る.本 数 値 波 浪 モ デ ル で は,yの 位 置 に よ っ て変 化 す るx方 向 流 速 に よ りyの負 の方 向 へ 屈 折 す る様 子 が 精 度 良 く再 現 さ れ た.1次 精 度 風 上 差 分 モ デ ル に お い て も焦 線 付 近 に お け る 波 の 屈 折 は再 現 で き るが,yの 負 の 方 向 へ 屈 折 す る位 置 で の 場 の 流 速 は0.41m/sで あ り, 本 研 究 で 提 案 す る モ デ ル の 方 が よ り理 論 値 に 近 い 位 置 (0.45m/s)で 屈 折 して い る.従 来 の モ デ ル に よ る結 果 に お い て,yの 負 の方 向 へ 屈 折 した 後,そ の屈 折 の 度 合 い が大 き くな っ て い るの は,入 射 位 置 か ら遠 ざ か る に した が って 数 値 拡 散 の 影 響 が 顕 著 に な っ た た め で あ る と考 え られ る. 図-3に,焦 線 が 存 在 しな い 順 流 場 に お け る計 算 結 果 を 示 す.入 射 位 置 に お け る波 向 き は560で あ る.入 射 波 周 期 お よ び流 速 分 布 は上 記 の条 件 と同 じで あ るが,入 射 波 向 きの 違 い に よ り波 は流 れ を 横 切 って伝 播 す る.こ の 条 件 で は本 モ デ ル に よ る結 果 と従 来 の モ デ ル に よ る結 果 に 大 き な差 は見 られ な い. (2) 逆 流 場 次 に,流 れ の 向 き と波 の伝 播 方 向 が逆 向 きで あ る逆 流 場 の 計 算 を 行 う.図-4に 流 れ 場 の 流 速 分 布 お よ び2っ の モ デ ル に よ る計 算 結 果 と理 論 に よ る焦 線 の 位 置 を示 す. 入 射 位 置 に お け る波 向 き は30゜で あ り,入 射 波 条 件 に 対 応 す る 焦 線 位 置 で の 流 速 は-0.22m/sで あ る.順 流 場 の 結 果 と同 様 に,い ず れ の モ デ ル に お い て も焦 線 を乗 り越 え ず に大 き く屈 折 す る様 子 が 再 現 さ れ て い るが,従 来 の モ デ ル に お い て 屈 折 す る位 置 で の流 速(-0.25m/s)と 比 較 し て,本 モ デ ル に よ る結 果 は 理 論 値 に一 致 して い る. 波 が 流 れ を 乗 り越 え て 伝 播 す る場 合 の 波 向 き の 変 化 に つ い て は,順 流 の場 合 と同 様 に,逆 流 の 場 合 に お い て も 両 モ デ ル に よ る結 果 に 大 き な差 異 は な か っ た. 図-4 逆 流場 にお け る波 向線 の変 化 4. 砕 波 お よ びwave blocking 水 深 の変 化 だ けで は な く,流 れ に よ って も波 は砕 波 す る,砕 波 モ デ ル と して さま ざ ま な もの が 開 発 さ れ て い る が,流 れ も考 慮 した砕 波 モ デル は多 くな い.水 深 の 変 化 の み に よ って 生 じる砕 波 は 複 雑 な現 象 で あ るが,流 れ が 加 わ る こ と に よ っ て さ らに 難 解 な もの とな る.本 研 究 で は こ れ ま で に提 案 さ れ た い くつ か の砕 波 減 衰 モ デ ル を 検 討 し た沖(2008)の 結 果 に し た が い,以 下 に示 すBattjes and Janssen (1978)の モ デ ル を 採 用 す る.
(8)
こ こ で,β は 砕 波 パ ラ メ ー タ,ρ は 密 度 で あ る.ま た, Eは 波 の エ ネ ル ギ ー で あ り,波 作 用 量 と はN=E/σ の 関 係 が あ る. さ ら に 逆 流 の 強 い 場 で は,波 が そ れ 以 上 遡 る こ と の で き な いwave blockingが 生 じ る.1次 元 問 題 を 考 え る と, wave blockingの 生 じ る 条 件 は,次 の 分 散 関 係 式 か ら 求 め ら れ る.(9)
(10)
式(9)は 流 れ が な い 場 合 に お け る分 散 関 係 式 で あ り,式 (10)は 流 れ 場 に お け る波 数 と相 対 周 波 数 お よ び絶 対 周 波 数 の 関 係 を 表 す 式 で あ る.た だ し,σ は相 対 周 波 数,ω は 絶 対 周 波 数 で あ る.こ の2つ の式 で 表 さ れ る 曲 線 と 直 線 の 接 点 に お け る流 速 が 限 界 流 速 で あ り,そ れ 以 上 場 の 流 速Uが 大 き く な る と分 散 関 係 式 を満 た す 解 が 存 在 せ ず, 波 は 流 れ を遡 る こ とが で き な い.図-5にChawla and Kirby (1998)の 実 験 装 置 を示 す. この 実 験 で は,一 方 向 流 を発 生 可 能 な造 波 水 路 に波 の進 行 方 向 に向 か っ て 漸 縮 区 間(x=12.4m∼15.2m)を 設 け る こ と に よ って 流 速 を変 化 さ せ て い る.水 深 は50cm,入 射 波 周 期 お よ び 入 射 波 高 は そ れ ぞ れ1.2sお よ び1.223cm で あ る.図-6に 波 が 流 れ を 遡 る場 合 の波 高 変 化 を示 す. 実 線 は最 適 化 した 砕 波 減 衰 モ デ ル を組 込 ん だ 本 数 値 波 浪
4 海 岸 工 学 論 文 集 第55巻(2008)
図-5 実 験 装 置(Chawla and Kriby (1998))
図-6 流 れ を 遡 る 波 の波 高 変 化 (実 験 結 果 はChawla and Kriby (1998)よ り)
モ デ ル に よ る計 算 結 果,破 線 が 砕 波 減 衰 を考 慮 し な い場 合 の結 果,○ は実 験 結 果 で あ る.本 モ デ ル で はパ ラ メ ー タ を ρ=1.0,β=1.0と す る が,β につ い て はBattjes and Janssenの 推 奨 す る値 の半 分 で あ る.こ れ は,も との 砕 波 減 衰 モ デ ルが 前 提 と して 水 深 の 変 化 お よ び 流 れ の 両 方 の影 響 を 同 時 に受 け る条 件 で考 案 され た もの で あ り,こ こで 検 証 す る流 れ の み に よ る砕 波 と は条 件 が異 な る た め で あ る.図 中 の 波 高Hは 入 射 波 高 に よ って 基 準 化 し た も ので あ る.図 か ら明 らか な よ うに,本 モ デ ル に よ る結 果 と実 験 結 果 は よ く一 致 して い る.波 が 遡 る こ との で き な い限 界 す な わ ちwave blockingの 位 置 に つ い て は流 れ 場 に お け る 分 散 関 係 式 か ら得 られ る理 論 値 に一 致 して い る. な お,波 高 が 大 き くな る と非 線 形 性 が 強 くな り,実 験 結 果 に お け るwave blockingの 位 置 も不 明 瞭 と な って,線 形 理 論 に よ っ て 得 られ るwave blockingの 位 置 と は一 致 しな くな った.そ の た め,こ こで示 した 砕 波 モ デ ル は波 高 が 極 端 に 大 き くな い範 囲 で 有 効 で あ る. 5. 平 面 二 次 元 数 値 解 析 本 研 究 で提 案 す る モ デ ル を よ り具 体 的 な条 件 で検 証 す る た め,図-7に 示 す よ う な河 川 か らの 流 入 と導 流 堤 を 有 す る海 域 に 波 を入 射 さ せ,波 浪 数 値 予 測 計 算 を行 う. 対 象 とす る領 域 は9.0mの 一様 水 深 場 で,用 い る 入 射 波 は有 義 波 周 期5.0s,Smax=70の 多 方 向 不 規 則 波 で あ る.波 は左 側 境 界 か らx軸 に対 して10° の 傾 き を も って 入 射 さ せ る.河 川 か らの 流 入 が あ る右 側 境 界 は 河 口部 を除 い て 閉境 界 と し,そ の 他 の境 界 はす べ て 開 境 界 とす る.図-8 は河 川 流 入 を想 定 した対 象 領 域 内 の定 常 流 速 分 布 で あ り, 図-7 計 算地 形 図-8 場 の流速分 布 図-9 平 面波 高分布 河 川 か らの 流 入 位 置 に お け る 流 速 は0.57m/sと す る.導 流堤 に沿 って 強 い 流 れ が 存 在 し,導 流 堤 の 先 端 付 近 で は 循環 流 のパ ター ンが 発 生 して い る.定 常 流 速 分 布 の計 算 に は,長 田(1999)の プ ロ グ ラ ムを 用 い た. 図-9に 示 す波 高 分 布 は本 数 値 波 浪 モ デ ル に よ る計 算 結 果 で あ る.計 算 波 高 は入 射 波 高 で 基 準 化 して あ る.入 射 波 に対 して 逆 向 きの 流 速 が 最 大 と な る構 造 物 先 端 付 近 で の波 高 が 大 き くな る.河 口付 近 に お いて も逆 向 き の流 速
が 強 い が,構 造 物 の背 後 で あ る た め に 波 高 は大 き くな い. 一 方 ,入 射 波 に対 して 順 流 と な る領 域 で は波 高 が小 さ く な って い る.こ れ らの傾 向 は,1次 元 問 題 で 検 証 した 結 果 に一 致 す る. 図-10にy=200mの 断 面 に お け る波 高 分 布 を示 す.実 線 が 本 数 値 波 浪 モ デ ル に よ る結 果,破 線 は従 来 の モ デ ル に よ る結 果,一 点 鎖 線 は流 れ を考 慮 しな い モ デ ル に よ る 結 果 で あ る.本 モ デ ル に よ る計 算 波 高 は従 来 の モ デ ル の そ れ に 比 べ て 大 きい.ま た,こ の よ う な状 況 下 で 流 れ を 考 慮 し な い と,か な り異 な る計 算 結 果 と な る こ とが わ か る.波 高 の最 大 値 を 比 較 す る と,従 来 の モ デ ル の結 果 に 対 して 本 モ デ ル で は約1割 大 き く,流 れ を 考 慮 しな い 場 合 に対 して は,本 モ デ ル で は約1.5倍 の 値 に な って い る. 6. お わ り に 波 ・流 れ共 存 場 を対 象 と し,流 れ に よ る波 の屈 折 計 算 の 精 度 向上 を 目的 と した 多 方 向 不 規 則 波 浪 変 形 予 測 モ デ ル の開 発 を 行 っ た.構 築 し た モ デ ル に つ いて,ま ず,焦 線 が 存 在 す る流 れ場 で の 検 証 を行 った.次 に,砕 波 お よ びwave blockingモ デ ル の導 入 を行 っ て これ らの 現 象 に も対 応 可 能 な こ と を 示 した.以 上 の 検 証 に よ り,本 研 究 で提 案 す る モ デ ル は,位 相 平 均 モ デ ル の簡 便 さ も相 ま っ て,波 ・流 れ 共 存 場 にお い て有 効 で あ る こ とを 示 した. 最 後 に 具 体 的 な例 と して,導 流 堤 を 有 す る海 域 に波 が入 射 す る場 合 を想 定 し,1次 風 上 差 分 を 用 い る場 合 と本 モ デ ル の 結 果 お よ び 流 れ を考 慮 しな い場 合 の 結 果 と を比 較 して,そ れ ぞ れ の 差 異 に つ い て 示 した.こ れ に よ り,本 モ デル の優 位 性 が 示 さ れ た.な お,場 の 流 れ の計 算 プ ロ グ ラ ム の使 用 法 につ い て は 京 都 大 学 音 田 慎 一 郎 助 教 に助 図-10 波 高 分 布(y=200m断 面) 言 い た だ い た.こ こ に記 して 謝 意 を 表 す る. 今 後 は実 験 あ る い は現 地 観 測 デ ー タ と の比 較 を 通 じて よ り汎 用 性 の高 い モ デ ルへ と改 良 させ た い. 参 考 文 献 沖 和 哉(2008): 流 れ によ る波 の屈折 とその砕 波減 衰 モデ ル に関 す る研 究, 京 都大 学 防災 研究 所 年報, 第51号 (印刷 中). 沖 和哉 ・間 瀬 肇 (2004): 位相 平均 型波 浪予 測 モデ ルの高 精度化 に関す る研究, 海 岸工 学論 文集, 第51巻, pp.1-5. 長 田信 寿 (1999): 一 般 座標 系 を用 いた平 面2次 元 非定 常 流 れ の数 値解 析, 水 工学 にお け る計 算機 利用 の講 習 会講 義集, 土木 学会 水理 委員 会基礎 水理 部会, pp.61-76. 間瀬 肇 ・由比政 年 ・雨森 洋司 ・高 山知 司 (2004): 波 ・流 れ 共存 場 に お ける砕波 およ び回折 効 果 を考 慮 した位相 平 均 波浪 変形 予 測 モ デル の構築, 海 岸工 学論 文 集, 第51巻, pp.6-10.
