・命題が正しいとき …（ ）
・正しくないとき …（ ）
命題
１
命題
例題
次の命題の真偽を述べなさい。
(1) x2 = 4
ならば，
x = 2である。
(2)
長方形は，平行四辺形である。
例
・正しいか正しくないかが定まる文や式 …（ ）
４は偶数である。 命題 ４は偶数なので， 真
４は奇数である。 命題 ４は偶数なので， 偽
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
解
(1) x2 = 4
ならば，
x = 2,− 2よって,
(2)
平行四辺形 → 向かい合う２つの辺が平行な四角形
よって, 長方形は平行四辺形であるので,
１ 命題
練習問題１
(2)
ならば,
である。
ただし， は実数とする。
a2− 6b2 = 5ab a = 2b a,b
練習問題２
(1) 2
は偶数である。
(3) ac = bc
ならば
, a = bである。
次の命題の真偽を述べなさい。
(1) (−2)2
は
1よりも大きい数である。
(2) 10000
は大きい数である。
(3) ab > 0
ならば，
a > 0 , b > 0である。
次の命題の真偽を述べなさい。
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
解 解
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
２
命題 p ⇒ q
例題
次 ２ 条件 , , 命題 真偽 集
合 用 調 。
p q p
⇒q
実数
x
関 ２ 条件p : x > 5, q : x > 3
・命題 p ⇒ q ・・・ p q 。
・ p （ ）, q （ ） 。
例
・ p ⇒ q 真 ⟺ （ ）
P Qp
：付 合 ⇒
q：両想
P Q付 合 人
両想
※ 両想
付 合 人
P
内側 入
，真
命題 p ⇒ q 集合を用いて
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）解
練習問題１ 練習問題２
自然数 関 ２ 条件
正 約数， 正 約数
m
p : m 12 q : m 24
次 ２ 条件 , , 命題 真偽 集
合 用 調 。
p q p
⇒q
実数
x
関 ２ 条件p :
−1 < x < 3, q : x >
−2
次 ２ 条件 , , 命題 真偽 集
合 用 調 。
p q p
⇒q
２ 命題 p ⇒ q 集合を用いて 日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
解
解
命題 p ⇒ q 偽の場合
３
命題 p ⇒ q
命題 が偽であることを示すには, （ ）, を１つあげるとよい。
p ⇒ q
次 命題 真偽 調 ，偽 ，反例
１示
。
ac = bc ⇒ a = b
例題
例
命題 間違 ，
間違 例 一 言 簡単 言 …
p
：両想 ⇒
q：付 合
両想 付 合 人
， 偽
（反例）
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
解
練習問題１ 練習問題２
命題 p ⇒ q 偽の場合
３
(1)
a = 0
⇒ab = 0
(2)x
2= 3
⇒x = 3
(3) m ３ 倍数 ，m ６ 倍数 。
(1)
− 1 < x < 1 ⇒ − 2 ≦ x ≦ 3
(2)
p
素数 ，
p奇数 。
次 命題 真偽 調 ，偽 ，反例
１示
。 次 命題 真偽 調 ，偽 ，反例
１示
。
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
解
(1)(2)
解
(1)(2)
(3)
例題
必要条件と十分条件
４
必要条件と十分条件
・命題 が真であるとき,
は であるための, （ ）条件
は であるための, （ ）条件という。
・命題 のとき, と は（ ）である といい, は （ は ）であるための
（ ）であるという。
p ⇒ q p q
q p
p ⇔ q p q
p q q p
実数 。次 「必要」,「十分」,
「必要十分」 ，適 語 入 。
a, b
(1)
a = 2 ， a
2= 4 条件 。
p q
p q
p q
（ ）条件
（ ）条件
（ ）条件
(2)
， 条件 。
ab = 0 a = 0 b = 0
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
解
(1)(2)
a = 2 a
2= 4
上の図より, 「 」条件である。
ab = 0 a = 0 かつ b = 0
上の図より, 「 」条件である。
４ 必要条件と十分条件
練習問題１ 練習問題２
実数 。次 「必要」,「十分」,
「必要十分」 ，適 語 入 。
a, b
(1)
a = − 2, 2 ， a
2= 4 条件 。
(2)
， 条
件 。
a = 3 a
2− 4a + 3 = 0
実数 。次 「必要」,「十分」,
「必要十分」 ，適 語 入 。
a, b
(1)
a
2= b
2， a = b 条件 。
(2)
a > 0 ， a ≧ 0 条件 。
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
(1)
(2) (1)
(2)
解 解
５
同値な条件
例題
実数 。次 条件 中 ， 同値 条件 番号 選 。
x, y, z x = y
① xz = yz ② (x − y)
2= 0
命題 p ⇔ q ， p q （ ） ， ， （ ） （ ）
。
p q q p
，
（ ）＝（ ）
例
両想 付 合
○
×
同値 結婚
夫婦
○
○
同値
同値な条件
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）解
同値 条件＝必要十分条件
５ 同値な条件
実数 。次 条件 中 ， 同値 条件 番号 選 。
a, b, c a > b
練習問題２ 練習問題１
① a + c > b + c ② a
2> b
2③ ac > bc
実数 。次 条件 中 同値 条 件 番号 選 。
x, y x = y
① x
2− y
2= 0 ② x
2− 2xy + y
2= 0 ③ | x | = | y |
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
解 解
６
条件の否定
例題
例
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
(1)
a 有理数 。
(2)b < 0
条件 対 p ，「 p 」 条件
（ ） 。
君 ， 好 。
否定
君 ， 好 。
条件の否定
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）解
(1)(2)
練習問題２ 練習問題１
条件の否定
６
実数 。次 条件 否定 述 。
a
(1)
a = 2
(2)−2 < a ≦ 1
(3)a 3 小
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
(1)
a ≠ 1
(2)a + b ≧ 2
(3)a 奇数 。
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
(1)
(2)
(3)
解 解
(1)
(2)
(3)
「かつ」,「または」の否定
７
「かつ」,「または」の否定
(1)
a = 1 b = 2
(2)
a, b 少 一方 偶数 。
例題
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
かつ または
p q p q
または かつ
p q p q
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
解
(1)
(2)
否定
否定
練習問題２ 練習問題１
７ 「かつ」,「または」の否定
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
(1)
a < − 1 b ≧ 0
(2)a > 2 b ≠ 0
(3)
a, b 少 一方 奇数 。
(1)
a < 0 b < 0
(2)1 < a ≦ 3
(3)
a, b 無理数 。
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
(1)
(2)
(3)
解 解
(1)
(2)
(3)
確認テスト
１
２
３
４
Tー１
(1) (2)
確認テスト
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）次の命題の真偽を述べなさい。
(1)
x
2= 4 ならば， x = 2 である。
(2)
長方形は，平行四辺形である。
次 ２ 条件 , , 命題 真偽 集
合 用 調 。
p q p
⇒q
実数
x
関 ２ 条件p : x > 5, q : x > 3
次 命題 真偽 調 ，偽 ，反例
１示 。
ac = bc ⇒ a = b
実数 。次 「必要」,「十分」,
「必要十分」 ，適 語 入 。
a, b
(1)
a = 2 ， a
2= 4 条件 。
(2)， 条件 。
ab = 0 a = 0 b = 0
(1) (2)
確認テスト
５
６
７
Tー１ 確認テスト 日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）
(1)
実数 。次 条件 中 ， 同値 条件 番号 選 。
x, y, z x = y
① xz = yz ② (x − y)
2= 0
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
(1)
有理数 a 。
(2)b < 0
(1)
a = 1 b = 2
(2)
a, b 少 一方 偶数 。
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
(1) (2)
確認テスト
１
２
３
４
(1) (2)
確認テスト
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）次の命題の真偽を述べなさい。 次 命題 真偽 調 ，偽 ，反例
１示 。
実数 。次 「必要」,「十分」,
「必要十分」 ，適 語 入 。
a, b
(1) (2)
Tー２
(1) (−2)2
は
1よりも大きい数である。
(2) 10000
は大きい数である。
自然数 関 ２ 条件
正 約数， 正 約数
m
p : m 12 q : m 24
次 ２ 条件 , , 命題 真偽 集
合 用 調 。
p q p
⇒q
−1 < x < 1 ⇒ − 2 ≦ x ≦ 3
(1)
a
2= b
2， a = b 条件 。
(2)
a > 0 ， a ≧ 0 条件 。
確認テスト
５
６
７
確認テスト
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）(1)
実数 。次 条件 中 ， 同値 条件 番号 選 。
x, y x = y
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
(1) (2)
Tー２
① x
2− y
2= 0 ② x
2− 2xy + y
2= 0
(1)
a ≠ 1
(2)
a + b ≧ 2
(1)
a < 0 b < 0
(2)
1 < a ≦ 3
確認テスト
１
２
３
４
(1) (2)
確認テスト
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）次の命題の真偽を述べなさい。
次 ２ 条件 , , 命題 真偽 集
合 用 調 。
p q p
⇒q
次 命題 真偽 調 ，偽 ，反例
１示 。
実数 。次 「必要」,「十分」,
「必要十分」 ，適 語 入 。
a, b
(1) (2)
Tー３
(2)
ならば,
である。
ただし， は実数とする。
a2− 6b2 = 5ab a = 2b a,b
(1) 2
は偶数である。
実数
x
関 ２ 条件p :
−1 < x < 3, q : x >
−2
x
2= 3
⇒x = 3
(1)
a = − 2, 2 ， a
2= 4 条件 。
(2)
， 条
件 。
a = 3 a
2− 4a + 3 = 0
確認テスト
５
６
７
確認テスト
日付( 月 日 曜日 ) 名前 ( ）(1)
実数 。次 条件 否定 述 。
a, b
(1) (2)
Tー３
実数 。次 条件 中 ， 同値 条件 番号 選 。
a, b, c a > b
① a + c > b + c ② a
2> b
2実数 。次 条件 否定 述 。
a
(1)
a = 2
(2)
− 2 < a ≦ 1
(1)
a < 0 b < 0
(2)
