雑誌名 法政大学多摩研究報告

著者 古尾谷 泉

出版者 法政大学多摩研究報告編集委員会

雑誌名 法政大学多摩研究報告

巻 26

ページ 85‑97

発行年 2011‑05‑30

URL http://doi.org/10.15002/00008723

発散のないmodel の試作（XIII）

古尾谷 泉

An attempt toward a non-divergent model (XIII)

Izumi FURUOYA

1．はじめに

これまで、主に、扱ってきた我々のDirac equation は、我々のmodel space における変換にたいして、完全には共変 な形には書かれていない。この論文では、まず、このことについて議論しよう。このことが何故大事なのか？。それ は、この形式には、自然にgauge理論の形式が備わっているからである。gauge理論は、現代の場の理論の骨格の主 柱をなしている。我々の理論は重力理論の構造と同じであり、重力理論はgauge 理論なのである（山内竜雄）。

次に、以前、導出したわれわれのfermionのmass formulaは、model space のmetric tensor の尺度を変えることで、

簡単に、導出出来ることを示す。この変更は、何ら、物理的な内容を変えることにはならない。

素粒子の質量の生成の問題に関して、boson の場合は、標準模型で見るように、Higgs 粒子による理論はすばらし くうまくいっている。しかし、fermion の場合には、この問題は成功していない。我々の理論では、Higgs粒子の介入 は必要としない。

最後に、我々のmodelをつくる際に参照にする必要があるため、我々のmodel の特殊な場合である5 次元

Minkowski space におけるDirac equation、および、それに関連した諸々の公式を導出する。これらはAppendixとして

ある。

2．Dirac equation の共変形

我々のmodel space は、次のmetric tensor

( / ), exp

g00 g11 g22 g33 2 a g 1

- = = = = = - p pp= ，他の gmn=0, （1）

が付与されている 4 次元超曲面である。この超曲面上の1点を (x^m) , m=0, 1, 2, 3, p, であらわす。ここ で、 x⁰=t, x¹=x, x²=y, x³=z,とする。

次に、この超曲面上で p=0 点でのmetric tensor は、

1,

00 11 22 33

-h =h =h =h =hpp= 他の hab=0, （2）

となるが、この点(x^a)での近傍は、平坦な 5 次元Minkowski space で近似出来るであろうから、この近傍内では Dirac equation は

(c^apa+m){=0, a=0, 1, 2, 3, p, （3）

で与えられるとしよう。ただし、(c^a)は

2 ,

+ =

c c c

c^{a b b a} h^ab （4）

を満たすものとする。

次に、我々のmodel space における電流の 5 次元vector jの座礁系(x^a)における成分を (j^a) , a=0, 1, 2, 3, p, また、座標系(x^m)における成分を(j^m) , m=0, 1, 2, 3, p, とする。また、5 次元vector(j^a)から(j^m)への変換行 列を(h^m_a)、および、その逆行列を(h^a_m)とすれば、

j^m=h^m_aj^a および j^a=h^a_mj^m （5）

であり、また、

h^m_ah^a_n=d^m_n および h^m_ah^b_m=d^b_a, （6）

である。Eq.（5）の式と、我々のmodelにおける電荷の恒常的不変性に関する要請

gmnjmjn=h j j ,

ab a b

（7）

とから、次の関係がでてくる。

g^mn=h^m_ahⁿ_bh^ab および gmn=hmah h ,

nb

ab （8）

また、逆に

h h g

h^ab= ^a_m ^b_n ^mn および hab=hm h g ,

a n

b mn （9）

である。

これらの変換のもとでのspinor の変換行列をTとし、また、zを(x^m)系におけるspinor とすれば

T ,

{= z （10）

と置ける。Eq.（3）を(x^m)系にかき変えると、pmをoperatorとして、

(c^apa+m){

( h p m T)

=c^{a m}_a m+ z

( ( ) ) ,

T p m

= c^m m+Km + z （11）

となる。ここで、

T ¹ T h: , c^m= ^- c^{a m}_a

( ) , T ¹ p T

Km= ^- m （12）

である。Eq.（8）とEq.（9）およびEq.（4）より

g , 2

+ =

c c^{m n} c c^{n m mn} （13）

となることがわかる。これらの結果から相互作用の入ったDirac equation を

(c^m(pm+Km)+m)z=0, （14）

とおく。

電荷電流密度 (j^a) , a=0, 1, 2, 3, p,はEq.（7）の条件を満たさなければならない。この(j^a)は、我々のmodel

space におけるvector 場であるから、その変換性から考えれば、他の如何なるvectorもEq.（7）の条件を満たさなけれ

ばならない。

ここで、従来の理論でfour-momentum (p0, p)のscalar粒子が、four-momentum (k0, k)のscalar粒子を放出して、

four-momentum が(p0 , p )になったとする。energy momentum conservation から

p0=p0 +k0, （15）

p=p +k, （16）

となる。この場合、(k⁰, k)のscalar粒子は4次元Minkowski space におけるfour-vectorであるが、realな粒子ではなく、

energy conservationを満たさない。言い換えれば、on-shell上にはないのである。すなはち、

k₀²=Yk², （17）

で あ る 。 し か し 、(k0, k, kp)は 我 々 の model spaceに お け る five-vector で あ る か ら 、Eq.（ 7）の 条 件 は、(j^m) , m=0 1, , 2, 3, p を(k0, k, kp)で置き換えても、成り立たなければならない。この条件を、Eq.（1）の metric tensor を用いて、具体的に書けば

( / )( ) ,

exp

k²_p+ -2p a -k₀²+k² =n=const （18）

となり、これより

( / )( ) ,

exp a

k₀²-k²= 2p n+k_p² （19）

を得る。

Eq.（19）で、p=0 および kp=0 とするとk₀²=k²,となり、この粒子はon shell上にあって、real particle である。一 方、p=[0 では、k₀²Y=k²,であるから、この粒子はvirtualな粒子となる。このように、我々のmodelでは、virtual な粒 子であっても、電荷の恒常的不変性の要請によって、取りうる(k0, k)の値には制限がつく。このことが発散積分を 有界にしているのである。（論文（XII）参照）

3．Fermion のmass formula

我々の導出したfermion のmass formula ついて、少し、立ち入った議論をしよう。

導出の過程を簡単にするために、我々のmodel space におけるmetric tensor を

, exp( / ) , , , ,

g 1 g00 gii a2 2 a i 1 2 3

= = - = - - p =

pp 他の gmn=0, （20）

と置く。これはEq.（1）で exp(-2p/ )a を a²exp(-2p/ )aで置き換えたものである。このとき、我々のmodel space に 拡張されたDirac equation は

(E-aⁱqi-(1/a)exp( / )(pa a^pqp+bn {)) =0, （21）

となる。ここでは、簡単のために、negative energy state を無視しよう。この場合、Eq.（21）の解は

( ) ( ) ( ) , , , ,

exp exp

N iEt iq xi i i 1 2 3

= - =

{ z p （22）

と書ける。{は本来は 4 成分spinor であるが、この近似では、helicity!1の状態からなる 2 成分spinorである。この ことから、bは2#2単位行列となる。また、apはpositive energy state とnegative energy state とを混ぜる行列である から、この行列を含んだ項は無視しよう。

次 に 、fermion の 質 量 に つ い て 議 論 し よ う 。 上 述 の 近 似 の も と で 、 静 止 系 を と れ ば 、 す な わ ち 、qi=0,

, , ,

i=1 2 3 および、Eの最小値をmとすれば、Eq.（21）は

(m-(1/a))exp( / )p a z p( )=0. （23）

となる。z p( )を直交基底（see Appendix C）

( ) u exp( ih ) , r 1, 2,

( )r ( )

h

= r - =

z p p （24）

で展開しよう。ここで、r=1, 2,はhelicity!1の 2 つの状態を表す。いま、helicity operator h( )q =(Rq)/ q は、

この場合、Hamiltonian Hと可換あるから、この展開はr には依らないとしてよいであろう。従って、Eq.（24）の代わりに

( )= hah h( ) ,

{ p R z p （25）

とおき、これをEq.（23）に代入すれば、

( ) ( / )exp( / ) ( ) ,

mRhahz ph =nRah 1 a p a z p （26）

となる。Eq.（26）に左からz^＊_hl( )p をかけて、pについて、K0からKまで積分すれば

mRhah＜z zh^l h＞=mRhahdh h^l =mah^l

( / )a hah＜h exp( / )a h＞,

= n R l p （27）

となる。hとh とを交換すればEq.（27）は

( / ) exp( / )

mah= na Rh ah ＜h p a h ＞ （28）

すなわち

( / ) exp( / ) , / ,

m= na Rh bh ＜h pa h ＞ bh =ah ah bh=1 （29）

となる。

つぎに、Eq.（29）におけるmatrix element を計算しよう。

Eq.（25）を、このmatrix element に代入して、pについて、K0からKまで積分すれば

(( ( ) / ) )

exp

dp i h-h +1a p

( / ) /( )

exp

h a h 1 2

0

＜ p ＞= r

K

#

( /1 2 )(exp(( (i h h ) 1/ )a ) exp(( (i h h ) 0))/( (i h h ) 1/ ) ,a

= r - + K - - +K - + （30）

を得る。Eq.（30）で対角要素のみをとれば

( / ) ( / )( ( / ) ( / )) ,

exp exp exp

h a h a 2 a 0 a

＜ p ＞= r K - K （31）

となる。ここでEq.（31）で K0"-3 とし、Eq.（29）に代入すると ( / )exp( / ) ,

m= 1 2r K a （32）

となる。

ここで、model space における曲率半径がcomplex number であると、仮定しよう。しかし、現在、その物理的理由 は何ら明らかではないが。このとき、cとdとを適当なreal number として、曲率半径aは

/a c id,

1 = + （33）

と置くことが出来る。これをEq.（32）に代入すれば、

( / )exp( )exp( ) ,

m= n r2 cK idK （34）

となるが、mが質量であるためには、mはreal number でなければならない（mのimaginary part は粒子の崩壊巾をあ らわす）。従って、

( )

exp idK =1，すなわち dK=2rn, n=1, 2, 3,,,, （35）

となる。Eq.（35）から K=(2r/ ) ,d n n=1, 2, 3,,,, をうるが、これをEq.（34）に代入すれば

( / )exp( ( / ) ) , . . ,,,,

m= n r2 2r c d n n=1 2 3 （36）

を得る。これが我々のmodel におけるfermion のmass formula である。Eq.（36）の両辺の対数をとれば

( / ) ( / ) , , , ,,,

logm=log n r2 +2r c d n n=1 2 3 （37）

と書ける。

Appendix A

5 次元Minkowski space におけるKlein-Gorden equation, および、その energy と momentum

この章では、我々のmodel space における場の量等を展開する際に必要なKlein-Gordon equation とその解、および、

energy およびmomentum 等を求めておこう。

5 次元Minkowski spce 内に直交座標系を設置し、空間内の一点をその座標で測って、(x^a) , a=0, 1, 2, 3, 4, とする。ここで、x⁰は時間座標、また、 x=(xⁱ) , i=1, 2, 3, 4, は空間座標である。また、ここでは、pの代わ りにx⁴と書いてある。この空間のmetric tensorは

1, 1

00= 11= 22= 33= 44= -

h h h h h およびhab=hab, a, b=1, 2, 3, 4, （A-1）

とする。

次に、この空間内のfree particle のKlein-Gordon equation の方程式は

(□+m²)z( )x =0, □=2₀²-2²_i, i=1, 2, 3, 4, （A-2）

である。この方程式の解z( )x のmomentum space ( )p =(p p0 i) , i=1, 2, 3, 4,へのFourier 変換は

( )x (1 2/ )2 d p5 (4 Ep)1 2^/ a p( ) (p2 m2)exp( i px( )) ,

= - -

z r

#

である。ここで、積分は 5 次元積分である。また、pとxとの内積は

(px) p x p xi i p x p xi i, i 1, 2, 3, 4,

0 0 0 0

= - = + = （A-4）

である。Eq.（A-3）がEq.（A-2）の解であることは、Eq.（A-3）に(□+m²) を作用することで確かめられる。そのことは、

その結果が式中にyd( )y 形の項を含んでいることからわかる。因子 Ep (p2 m2)1 2^/ ,

= + 但し、 p²=p₁²+p₂²+p₃²+p₄² である, は後の便宜のためにいれてある。d関数の性質

(p2 m2) (( (E Ep) (E Ep))/2Ep,

= - + +

d - d d （A-5）

を用いて、これをEq.（A-3）に代入して、Eで積分すれば

( )x (1 2/ )2 d p4 (1 2/ Ep)1 2^/

z = r

#

( ( ,a p Ep)exp(-i E t( p -px))+a( ,p -Ep)exp( (i E tp +px)), （A-6）

但し、px p x1 1 p x p x p x ,

2 2 3 3

4 4

+

= + +

となる。変数pを-pでおきかえると、第 2 項は a(-Ep, -p)exp( (i Ep-px)) となる。

ここで、a(p)=a( ,p Ep) および a(-p)=a(-p, -Ep) と置けばEq.（A-6）は

( )x =(1 2/ )² d p a⁴ ( ( )p exp(-i px( ))+a(-p)exp( (i px)) ,

z r

#

となる。もし、z( )x がHermitian であれば、z⁺( )x =z( )x であり、Eq.（A-7）から a⁺( )p =a(-p) および a⁺(-p)=a( )p となる。これらのことからz( )x は

( )x (1 2/ )2 d p4 (1 2/ Ep)1 2^/ ( ( )a p exp( i px( )) a ( )p exp( (i px)))

= - +

z r

#

と書ける。

つぎに、量子化について考えよう。いま、一遍Lの 4 次元（ 3 次元ではない）の立方体V=L⁴ をつくり、z( )x に境界条件 z( / )L 2 =z(-L/ )2 を課せば、p=(p1, p2, p3, p4) は

( / ) , , , , , , , , , , ,

pi= 2rL ni ni=0 !1 !2 !3 i=1 2 3 4 （A-9）

を満たす値のみが許される。不連続なスペクトルの場合への移行は、以下の置き換えを行えばよい。

(1 2/ r)²

#

このようにして、discrete な場合には、Eq.（A-8）は

( )x p(1 2/ E Vp )1 2^/ ( ( )a p exp( i px( )) a ( )p exp( (i px))) ,

= - +

z R ⁺ （A-11）

となる。

この場合には、Hamiltonian 形式は成り立つから、energy operatorは

( , ) , , , , ,

P⁰=

#

( , ) ( / )(( ) ( ) ) , , , , ,

H 1 2 0 2 i 2 2 i 1 2 3 4

2nz z = 2 z + 2 z +z = （A-12）

である。Eq.（A-11）をEq.（A-12）に代入すれば

( / ) ( / )( )( ( ) ( ) ( ) ( ))

P0 1 2 p 1 2Ep Ep2 p2 m2 a p a p a p a p

= R + + ⁺ + ⁺

( / )

E N 1 2

p p p

=R + （A-13）

をうる。ここでN(p)=a⁺( ) ( )p a p はoccupation number operator である。

4 次元のmumentum operator pについても、同様にして、zero point energy を無視すれば

(N( ) / ) N( )

P=Rpp p +1 2 =Rpp p （A-14）

となる。

Appendix B

5 次元 Minkowski space における Dirac equation 5 次元Minkowski space おけるDirac equation を

( )/ ( ) ( ) ( )

i x t H x i i i m x

i 4

2{ 2 = { = - a 2 - a 24+b { ( ⁱpi 4p m) ( ) ,x i 1, 2, 3,

= a +a 4+b { = （B-1）

Eq.（B-1）は我々のmodel space におけるenergy-momentum relationを満たすものとしよう。

( p m)( p m)

H ⁱ i p i p

2 4 i

4 4

= a + +b a + 4+b {

{ a a

(( ^{i j j i}) ( ^{i 4 4 i}) ( ^{i i}) ( ^{4 4}) ²m²

= a a +a a + a a +a a + a b+ba + a b+ba +b { (p² p₄² m²) , i, j 1, 2, 3,

= + + { = （B-2）

このことから

, , , , 0, ,

2 1 1 0 0

i j ij 2 i i

4 2

4 4

= = = = = =

a a d ^l b a a b a b a a

# - $ . $ . " , （B-3）

が成立する。具体的には、(ai, a4, b)は4#4行列で表される。従って、{( )x は 4 成分spinor である。Eq.（B-1）の energy operator がreal eigenvalue をもつためには、(ai, a4, b)はHermitianでなければならない。また、これらの行

列はtraceless であることは、Eq.（B-3）の関係式を用いて証明することができる。

ここで、次の量を定義しよう。

, ^{i i}, i 1, 2, 3,

0= = =

c b c ba および c⁴=ba⁴ （B-4）

Eq.（B-13）を使って

, , , , , ,

2 0 1 2 3 4

= =

c c^{a b} h^ab a b

& 0 （B-5）

を満たすことがわかる。また、これらのcmatrixの二乗は

(c⁰)²=1, (cⁱ)²=-1, i=1, 2, 3, および (c⁴)²=-1, （B-6）

となる。ここで、aⁱ, i=1, 2, 3, a⁴ およびbはHermitian である。また、c⁰はHermitian であるが、cⁱ,

, , , ,

i=1 2 3 4 はanti-Hermitian である。これらはまとめて

(c^a)⁺=c c c^{0 a 0}, a=0, 1, 2, 3, 4, , （B-7）

とかける。Eq.（B-5）は c-matrix についての唯一の制約である。しかし、具体的な表現を用いることが有用なことも 多い。例えば2#2Pauli 行列

, , , ,

i

i I

0 1

1 0

0 0

1 0

0 1

1 0

0 1

1 2 3

= = -

= =

v v -

v （B-8）

を用いて、

, i , , , I , ,

I iI

0 iI

0 1 2 3

0

0 0

0

i i

i

= = = 4=

a - v

v b a （B-9）

と書くことが出来る。さらに、これらを用いて

, , i , , , ,

iI iI I

I 0

0 0

0 1 2 3 0

0

i i

i

0 4

= = = = =

-

c b c

v

v c （B-10）

と書ける。さらに、c⁵ matrixを以下のように定義する

i ,

I I 0

0

5 5 0 1 2 3

= = =

c c c c c c （B-11）

また、このmatrixはc⁴ matrixとは

i ,

4 5

c = c （B-12）

で関係づけられる。

我々のmodel space に拡張されたDirac equation はcmatrix で書けば

(cⁿpn+c⁴p4-m){=0, n=0, 1, 2, 3, （B-13）

と書ける。

Eq.（B-13）のHermitian conjugate をとり、右辺からc⁰をかけて、c⁺の性質、すなはち、Eq.（B-7）をもちいると

( p + ⁴p4+m)=0,

{ cⁿ n c （B-14）

をうる。ここで、{={ c^{+ 0}、である。また、pnは左側に作用するものとする。Eq.（B-13）に左 から{をかけ、また、

Eq.（14）に右から{をかけて、加え合わせれば

( (i ⁴ 4 m) ( (i 4 ) m)

2 + 2 - + 2 + 24 +

{ cⁿ n c { { cn c {

n

( ( ) ( )) ,

i 4 4 0

2 2

= n {c {n + {c { =

（B-15）

を得る。我々のmodel space に拡張されたDirac current を

, , , , , ,

J^a=e{c {^a a=0 1 2 3 4 （B-16）

で定義すれば、連続の方程式

J 0, 2a a=

（B-17）

を満たすことが分かる。

Appendix C

5 次元Minkowski space におけるDirac equation の解

Dirac equation についての多くの問題はcmatrix の具体的な解に頼ることなく解くことができる。Klein Gordon

equation の自由粒子の解に倣って、Dirac equation の解を探そう。Dirac equation 対しては

( )x =( / )1V^{1 2/} u(p p4)exp(-i px( ))

{ および {=( / )1 V^{1 2/} v(p p4)exp( (i px)) , （C-1）

と置く。ただし(px)=p x0 0-px-p x4 4,である。また、uとvとはfour component spinor である。spinor uはfive momentum p=((p²+p₄²+m²)^{1 2/} , p, p4)の状態に対応する。一方、vは -p= -( (p²+p₄²+m²)^{1 2/} , -p, -p4)、 すなわち、negative energy とnegative momentum の状態に対応する。negative energy solution は、quadratic nature；E²=p²+p₄²+m²、から生じる。また、Vは 4 次元体積である。Eq.（B-8）の2#2matrix を使って、uspinor のplane wave 上にoperatorを 作用すれば、Eq.（B-13）は

( p p m u) p m ,

p

p

p m

p

p

0 p

0 4

4

0 4 4

4 4

0

- - - =

-

- -

- -

c c -

v

v z

c |

v

v （C-2）

となる。これより、2 成分spinorzと|とについての 2 つのcoupled equation を得る

(p0 m) ( p 4p )

= + 4

- z v v | , (p0 m) ( p 4p ) ,

= - 4

+ | v v z （C-3）

これよりuはzのtermのみで表される。

( ) /( ) ,

u N

p p m

p- ⁴ 4 0+

= z

v z

v （C-4）

ここでNはnormalization factor である。

2 成分spinorzはoperator(Rp)/ p の固有値!1を持つ固有状態であるように選ぶことが出来る。この形では、u

はhelicity operator h( )p =(Rp)/ p の固有値!1の固有状態である。同様にして、vは p0 p2 p m

4

2 2

= + + として

( ) ( ) v N p ⁴p4 p0 m ,

= +v | +

|

v （C-5）

と書かれる。

静止系では

( /1 V u) exp( imt) N( /1 V) exp( imt)

= - = 0 -

{ z

( / V v) exp(imt) N( / V) 0 exp(imt) ,

1 1

= =

{ | （C-6）

であるが、静止系では、2 つのspinor zと|とはspin 1/2 のparticle の 2 つのindependent なspin state となるように選 ぶことができる。そして、spin oprator R³の固有値が1, -1, -1, 1,となるように取ることができる。このように して、4 つの独立な解は，それぞれ、positive energy spin up, positive energy spin down, negative energy spin down, negative energy spin up,を表す。

多くの問題において、その過程の振幅はspinor uとvとで書き表される。この解は常に、正の粒子に関するもので あり、antiparticle が直接に現れることない。antiparticleのsolutionは時間が逆に流れるnegative energy particle として取 り扱う。Dirac equation をuとvとで具体的に書いておくことは有用である。

( ) , ( ) ,

( ) , ( ) ,

p m u p m v

u p m v p m

p p

p p

0 0

0 0

4

4 4

4

4 4 4

4

+ - = + + =

+ - = + + =

c c

c c

c c

c c （C-7）

Normalization constant NはDirac equation に関するprobability density j⁰=t=z z⁺ を、全 4 次元空間について積分して

/ ( ( )/( ) ) /( ) ,

dV dVu u V u u N ² 1 p² p₄² p0 m 2 N 22E E m

= = = + + + = +

t

#

#

となるが、これを2Eのflux にnormalize すると N=(E+m)^{1 2/} をうる。これらから、normalization relation

u u⁺ =v v⁺ =2E および uu=2m, vv= -2m, （C-9）

を得る。

Matrix element の計算にはuuおよびvvが、しばしば、現れる。これらは定数ではなく、4#4行列である。Eq.（C-4）

を用いると

( ) /( ) , ( ) /( ) ,

( ) /( ) ,

(( ) ( )) /( )

( )( )(( ) ( ) ) /( ) ,

uu N

p N p I

I

N p

p

p p

E m E m

E m

E m E m

p p

p

p

p p

0 0

4 4

4 4

4 4

2

4 4

4 4

4 4 2

= - -

=

-

- +

- - -

+ + +

+

+ + z

v z z v z

z z

v z z

v z z

v v z z

v v

v

v

v v

+ + +

+

+

+ +

+ + +

（C-10）

を得る。ここで、 N ²=E+m,であり、また、(vp)⁺=vp、および、( 4p4) 4p

= - 4

v ⁺ v より、

( p ⁴p4)(( p) ( 4p ) ) - 4

-v v

v v ^{+ +} ( p)² ( ⁴p4)2

= v - v =p²+p₄²=E²-m² であることを考慮すればEq.（C-2）より

( )

( )( )

uu ,

p

p

E m

E m p

p

4 4

4 4

= -

- -

- +

v +

v v

v すなわち, uu=cp+c⁴p4+m, （C-11）

を得る。ここで、z z_{1 1}⁺+z z₂ ⁺₂=I （可能なspin state についての和）を用いた。

同様にして、Eq.（C-5）を用いると

(( ) )/( )

(( ) ( ) ) /( ) , ,

vv N p

p I

I E m

E m

p p

0

2 0

4

4 4

= 4

-

+ + +

v | +

| v | |

v v ^{+ + + +}

(( ) ) )/( )

( )/( )

, ,

( )( )/( )

(

( )

N p

p

p E m

E m

E m p

p

p 1

2

2 4

4 2 2

4 4

4

= - 4

-

- +

- +

+ v +

v

v | |

v v

v ₊

( )( )

p ,

p p m

E m

E m

p

p p

4 4

4 4 4

= 4

-

- +

= + -

-

- -

v

v c

v

v c （C-12）

となる。すなわち

vv=cp+c⁴p4-m, （C-13）

を得る。Eq.（C-11）とEq.（C-13）とからcompleteness relation

(u u^{( ) ( )} v^{( )}v^{( )}) 2mI ,

,

r r r r

r 1 2 - =

= ab

!

を得る。

positive およびnegative energy state をprojection するoperatorは

( p ⁴p4 m)/2m, ( p 4p m)/2m

= c +c + = - c +c 4-

K+ K- したがって K++K-=I, （C-15）

と置くと、これらは

u=u, u=0

K+ K- および K+v=0, K-v=v, （C-16）

お満たす。

Appendix D

5 次元 Minkowski space における Dirac equation のspin

前に述べたことだが、5 次元Minkowski space に拡張したDirac equation は 4 成分spinor である。これは正負の energy とhelicity!1の 4 成分を表している。この章では、拡張されたDirac equation がspin 1/2を持つことが正しいこ とを示そう。このことを示すために、5 次元Minkowski space におけるtotal angular momentum が存在することを示そ う。そのために、まず、5 次元Minkowski space におけるHamiltonian Hとangular momentum L=r#p とのcommutator

を計算しよう。

[ ,L H] [r p, ⁰( p) ^{0 4}p4 0m]

#

= c c +c c +c

[r#p, ⁰( p)]

= c c

[ , (r p)] p

0 #

=c c

( ) ,

i ⁰ #p

=c c （D-1）

となる。上の計算で7r, pA=i を用いた。このようにLはHとは可換ではない。

つぎに、つぎのoperator を定義しよう。

( / )[i 2 , ] , ( / )[i2 , ] , ( / )[i2 , ] ,

1 2 3 2 3 1 3 1 2

= c c = c c = c c

R R R

. . ( / )[ ] ,

i e R= i 2 c c# （D-2）

このRはPauli-Dirac の表示を用いると

0 ,

= v 0

R v （D-3）

と書けることがわかる。また、RとHとのcommutator は

( / )[ , ( ) ]

[ H] i 2 ⁰ p ^{0 4}p4 0m

#

= c c c c +c c +c

R

( / )i 2 ⁰[ # , ( p)] 2i ⁰ #p,

= c c c c = - c c （D-4）

となることは、c行列の具体的な表示を用いて示される。ここで、total angular momentumを

J=L+S=L+R/ ,2 （D-5）

と置くと、このJはEq.（D-1）とEq.（D-4）とから、Hと可換であることがわかる。更に、

(Rp), H =0,

7 A および (Rp)²=p², （D-6）

となることが示されるので、operator Rpはeigenvalue ! p をもつことがわかる。

このようにして、Rp のeigenfunction はpに平行であるか、ないしは、反平行であるかの系を表している。