1
確 率 的短 期 利 子率 派生 証 券 の リス ク中立 的 評 価
Risk‑NeutralValuationofStochasticShort‑Term InterestRateDerivatives
板 垣 有 記 輔
YukioITAGAKI
は じめ に
周 知 の よ う に,利 子 率r(t)の 将 来 の 時 間 的 経 路{r(u)}tE[t,T]が 確 定 し て 予 め 分 か っ て い る 場 合 に は,無 裁 定 条 件 の も と で,満 期S(0≦t〈S<T)に1円 の 償 還 を 約 束 す る ゼ ロ ・ク ー ポ ン 債 の 時 点t現 在 の 価 格P(t,s)は,1円 の 時 点t現 在 の 割 引 現 在 価 値 に 等 し い の で,
P(ちS)‑exp{一 ∬7(副
が 成 立 し な け れ ば な ら な い.仮 に 等 式 が 成 立 し な け れ ば,裁 定 利 益 の機 会 が 存 在 す る か ら で あ る.
そ れ で は,利 子 率r(t)の 将 来 の 時 問 的 経 路{r(u)}t∈[ちS]が 伊 藤 確 率 微 分 方 程 式 に 従 っ て 推 移 し て い く場 合,満 期sに1円 の 償 還 を約 束 す る ゼ ロ ・クー ポ ン 債 の 時 点t現 在 の 価 格P(t,S) は,現 実 世 界 の 確 率 測 度Pの も と で,1円 の 時 点t現 在 の 割 引 現 在 価 値 の 期 待 値 に 等 し く
P(t,S)=EP[exp{‑!Sr(u)du}]
が 成 立 す る の で あ ろ うか.本 論 で 明 らか に す る よ う に,こ の 等 式 は 成 立 し な い.
こ の 場 合 に は,現 実 世 界 の 確 率 測 度Pと 同 値 で,そ の 確 率 測 度 の も と安 全 資 産 価 格 を ニ ュ メ レー ル とす る全 て の 危 険 資 産 の 相 対 価 格 が マ ル チ ン ゲ ー ル と な る よ う な リス ク 中 立 的 確 率 測 度 Qを の も と で,1円 の 時 点t現 在 の 割 引 現 在 価 値 の 期 待 値 を 算 定 す れ ば,そ れ が,満 期Sに1 円 の 償 還 を約 束 す るゼ ロ ・クー ポ ン債 の 時 点t現 在 の 価 格 、P(t,S)に 等 し く
P(ちS)‑E・[exp{‑!r(u)du}]
が 成 立 す る.
本 稿 の 目的 は,マ ル チ ン ゲ ー ル 法 に 基 づ く確 率 的 短 期 利 子 率 の 種 々 の 派 生 資 産 の 評 価 の 決 定 に つ い て 論 じ る こ と で あ る.
経 済 の 唯 一 の ラ ン ダ ム ネ ス の 源 は,確 率 空 間(9,タ,P)上 で 定 義 さ れ た 単 一 の 標 準 プ ラ ン 運 動(ウ イ ナ ー 過 程)WP(t)で あ る と想 定 す る.
時 点t∈[0,T]の 瞬 間 短 期 利 子 率r(t)は,現 実 世 界 の 確 率 測 度objectiveprobabilitymea‑
surePの 下 で,つ ぎの 確 率 微 分 方 程 式
2季 刊 創 価 経 済 論 集Vol .XXXIV,No.1・2 dr(の=a(ち ω)dt+b(ち ω)dWP(')(1)
r(0)=ro>0 に 従 う と 想 定 す る.
瞬 間 短 期 利 子 率r(t)の 運 用 で 得 ら れ る マ ネ ー マ ー ケ ッ ト ア カ ン トmoneymarketaccount A(t)‑exp{J
otr(u)du}〉 ・)は,つ ぎ の 微 分 方 程 式 dA{t)=r{t)A(t)dt
(2)A{
0)=1 に 従 う.
満 期maturitydateTに 額 面facevalue1円 が 償 還 さ れ る ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債zerocoupon bond,Tbondの 時 点tの 価 格P(',T)(>0),(t〈T)は,現 実 世 界 の 確 率 測 度Pの 下 で,つ ぎ の 確 率 微 分 方 程 式
dP(t,T)=P(t,T)[rn(t,T)dt十S(t,T)dWP(t)],(
3) P(T,T}=1
に 従 う も の と す る.
マ ネ ー マ ー ケ ッ トア カ ン トA(t)の 収 益dA(t}=r(t)A(t)dtは,瞬 間 利 子 率r(t}が 確 率 変 数 で あ っ て も,t一 可 測 で あ る の で,情 報(時 点'現 在 ま で の 歴 史)t=σ(W(u);0<u≦
t)(⊂ タ)1が 与 え ら れ れ ば,時 点tに は 定 ま る.こ の 意 味 で 局 所 的 な 安 全 資 産 あ る い は 局 所 的 な 無 リ ス ク 資 産locallyriskfreeassetで あ る.他 方,ゼ 『ロ ・ ク ー ポ ン 債 の 時 点tの 収 益 dP(t,T)は,
dP(ちT)‑P(ちT)祝(ちT)dt+P(ちT)S(ちT){VYP(t+dt)‑YVP(の}
で あ り,、Pα,T)m(t,T)dtは 定 ま る が,P(t,T)s(t,T){ワ7P(t+dt)‑WP(')}は,%一 可 測 で は な い2の で 情 報tが 与 え ら れ て も,時 点tで 予 測 不 可 能 で あ る.こ の 意 味 で,ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 は リ ス ク 資 産 で あ る
.
短 期 瞬 間 利 子 率7ω が 外 生 的 に 与 え ら れ,ゼ ロ ・ク ー ポ ン 債 は,そ れ 自 体 は 資 産 と し て 取 引 さ れ る こ と の な い 短 期 瞬 間 利 子r(t)を い わ ば 原 証 券(対 象 証 券)と す る 派 生 証 券 と 見 倣 す こ と が で き る.し た が っ て,ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 の 価 格P(t,T)は,オ プ シ ョ ン 無 裁 定 価 格 付 け 理 論
を 適 用 し て,解 明 さ れ る.し か し,注 意 す べ き は,瞬 間 短 期 利 子 率r(t)は,時 間 と 共 に 変 動 す る 確 率 変 数 で あ り,取 引 可 能 な 金 融 資 産 の 価 格 で は な い と 言 う こ と で あ る.こ の 点 金 利 派 生 資 産 の 価 格 付 け 理 論 に は,一 定 の 利 子 率 と0定 の ボ ラ テ ィ リ テ イ を 想 定 し,市 場 で 取 引 可 能 な 資 産 で あ る 株 式 を 原 資 産 と す る ブ ラ ッ ク ー シ ョー ル ズ=マ ー ト ン の 株 式 の オ プ シ ョ ン の 価 格 付 け の 理 論
1右 辺 は 標 準 ブ ラ ウ ン 運 動 族W(u};0<u≦ 渉で 生 成 さ れ る(標 準 ブ ラ ウ ン 運 動 族W(u);0<u≦tを 含 む 最 小 の 唯 一 つ の)6一 加 法 族 を 意 味 す る.
2将 来 の 増 分WP('+dt)‑WP(t)は,時 点t現 在 に お い て 利 用 可 能 な 最 新 情 報%か ら 独 立 し て い る(in・
dependenceoffutureincrements)か ら で あ る.
December2004板 垣 有 記 輔:確 率 的 短 期 利 子 率 派 生 証 券 の リ ス ク 中 立 的 評 価 と は,別 の 論 理 が 要 請 さ れ る.
3
命 題1満 期Tに1円 償 還 さ れ る ゼ ロ ・ク ー一ボ ン 債 の 期 間[0,t](t<T)の 累 積 収 益 率(1円 投 資 し た と き の 累 積 収 益(キ ャ ピ タ ル ・ゲ イ ン))の 期 待 値 と分 散 は,
EP[('tdP(z‑,T
oP(z,T))]‑tfm(z,TO)dz,V[∫ 畷 讐 ろ)]=EP[∬(s(Z,))2dz]
で あ る.
証 明(3)の 両 辺 を積 分 す る と
∬dP(r,TP(r,T))一 ∬m(z,T)dr+∬ ∫(z,T)dWP(・)
両 辺 に 現 実 世 界 の(市 場 で 観 測 さ れ る)確 率 測 度3、Pの 下 で の 期 待 値EPを と る と
♂[」tdP(z,T
aP(z,T))]‑P[t」m(z,TO)d・]+EP[∬s(z,T)4晒 τ)]
右 辺 第2項 は 伊 藤 確 率 積 分 の 基 本 性 質 よ りゼ ロ で あ るか ら,
t O
ま た
v[1
望P(Z,T)P{z,T)
]=EP[(tdP(z,ToP(z,T))‑EP[1
=EPr
¥」tS(z,T)dWP(z))2]0
tdpiz ,T) P(z,T)
] 2 )]
伊 藤 確 率 積 分 の 等 長 性(lto'sisometry)に よ っ て 一EP「 ∬(s(r ,T))Zdr].
証 了
命 題2満 期Tに1円 償 還 さ れ る ゼR・ クー ポ ン 債 の 時 点tの 価 格P(t,T),(t<T)の 現 実 世 界 の 確 率 測 度Pの も と で の 期 待 値 と分 散 は,
E・[P(ちT)]‑P(け)exp{t」m(z,t)dz, O
VP[P(ちT)]一(P(a,T))・(exp{∬{(s(z,t))a}dz}一 ・)・exp(2∬{鷹')}d・) で あ る.
証 明
(3)に 伊 藤 の 公 式 を 適 用 す る と
dP(t,T) ̲1dP(t,T)2dlogP(t ,T)=P(t ,T}2(P(t,T))
3確 率 空 間(9,タ,P)を 構 成 す る3つ の 要 素 の う ちの1つ の要 素Pの こ と で,対 象 と な る事 象 とそ の 事 象 が 生 起 す る確 率 の 対 応 を定 め た もの で あ る.
4季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXXIV,No.1・2
‑m(ち 丁 励+s(ちT)dW・(t)一 去 圃 ちT)dt+s(ちT)dWp(t)}・
一{,(t ,T)12(S(t,T))・}dt+s(ちT)dWP(t)
両辺を積分すると
1・9タ 矧 一!
0T{m(z,T)‑1(s(z,T))・}d・+∬S(z,T)dWP(・)・(4)
両辺 に,現 実世 界の確率測度Pの 下 での平均値EPを とると
EP[1・P(tgP(0:T)」‑EP[T」m(z,T
O)‑12(s(z,T))Z}dz]+EP[∬s(z,T)dWP(z)]
T
O{鷹T)‑1(s(ちT))・}dz,
分散Vは,
VCIogP(tT)」 ‐EPCClogP(t,T)‐EPCP(t,T}」/2」P(0 ,T)P(a,T)P(0,T}
=EPI
¥JoTS(r,T)dWPCz)}Z]
イ(S(z,T))・dz
である.す なわち,
1・9餐1:T)T)‑N(!
0t{m(z,t)‑1(s(z,t))・}dzO{(s(z,t))Z}dz) よ っ て,
P(t,T)
P(0,T)は 対 数 正 規 分 布1・gn・rmaldistributi・nに 従 う4 し た が っ て,P(t,T)P(0
,T)の 期 髄 ま
E・[P(t,T)P(0
,T}]‑exp(Jot{m(r,t)‑12(s(r,t))2}dz‑+壱 ∬{(S(d飼 一exp{/tm(z ,t)dz
O
であ り,分 散は
VP[P(t,T)P(0
,T)]‑exp{∬{(s(r,t))・}dr‑1}
・exp(2ル(z ,t)‑12(s(z,t))・}dr+∬{(s(r,t))・}d・)
一(exp{∬{(S(z ,t>)・}d・}‑1)・exp(2!
0{m(z,t)}dr) で あ る.
6z
410gX〜N(μ,62)の と き,対 数 正 規 分 布 に 従 うXの 期 待 値 はE[X]=eu+zで あ り,分 散 はV[X]一(6ze
‑1)θ2μ+d2で あ る.
December2004板 垣 有 記 輔:確 率 的 短 期 利 子 率 派 生 証 券 の リス ク 中 立 的 評 価 5
証 了
補 題1
と置 きs伊 藤 の公式 を適用す ると
=2(S(t ,T))2Z(t)dt+S(t,T)Z(t)dWP(t),
Z(0)=1.
よ っ て,
z(t)‑1+1∬(s(z,T))27(・)d・+ズs(z,T)z(・)ゴ 晒 ・).
両辺に期待値EPを とれば,
r[z昨1+2EP[J
ot(s(r,T))ZZ(τ 岡+Ep「 ズs(r,T)z(τ)dWp(r)1
右 辺 第1項 に 積 分 と期 待 値 の 交 換 可 能 性 に つ い て の 確 率 フ ビ ニ の 定 理StochasticFubini' theorem5を 適 用 し て,右 辺 第2項 は 伊 藤 確 率 積 分 の 基 本 性 質 よ りゼ ロ で あ る か ら,
一 ・+11t2!E・[(s(z ,T))・Z(・)]d・
‑1+1∬(s(z ,T))・EP[Z(・)]d・
こ こ で,
g(t)=EP[Z(t)]
と 置 く と,
9(の 一 ・+1∬(s(z,T))・9(・)d・.
両辺 を時間tで 微分す る と
g(≠)一 壱(S(ちT))2g.(t),
g(o)=1.
で あ る か ら,こ れ を 変 数 分 離 法 で 解 く と
5M.W.Baxter,"GeneralInterest‑RateModelsandtheUniversalityofHJM"MatheynaticsofDerivative
Securities(M.A.H.DempsterandS.R.PliskaEdes),325‑326頁.あ る い はL.T.Nielsen,Pricingand HedgingofDerivativeSecurities"OxfordU.P.定 理B.12,357‑358頁.
EP[exp{∬S(z,T)dW(τ)}]=exp{11Zft(s(z,T)岡.
証明
Z(t)‑exp{∬s(r,T)刑 τ)}
dZ(t)‑exp{∬S(r,T)dWP(r)}{S(ちT)dWP(t)+(S(ちT))2dt}
6季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXXTV,No。1・2
g(t)‑exp{izot(S(z,T))呵 ・
よ っ て,
EP[exp{∬s(z,T)dWp(τ)}]‑exp{12
0t(S(z,T))・d・}
が 成 り立 っ.
証 了 命 題2のEP[P(t,T)]は 次 の よ う に し て 求 め て も求 め る こ とが で き る.(4)よ り
P(t,T)
P(0,T)‑exp{ル(r,T)‑12(S(r,T))2}d・+∬S(z,T)dWP(・)}
であ る.
現実世 界の確率測度Pの もとでの期待値EPを 両辺 に とれば
弔 紹]=Ep[exp{ル(z,T)12(s(r,T)2}dr+∬S(r,T)dWP(r)}]
‑exp{ル(z ,T)‑12(S(z,T))鋼r[texp」S
O(z,T)dWP・)}]
補題1よ り
一exp{∬{m(z ,T)‑12(S(z,T))・}d・}[exp{11t2J
o(S(z,T))2dr}]
t
が 成 立 す る.
リ ス ク の 市 場 価 格marketpriceofriskv(t)を
S(t,T) と 定 義 し6,新 し い 過 程WQ(t).を
WQ(t)一 脚)+∫ 舌γ(u)du と定 義 す る.
命 題3dQdP(t)‑exp(一 ∬ γ(u)dWP(u)一 壱 ∬ γ(漁)は 確 率 測 度Pの 下 で マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る7.
証 明
ddQdP(t)‑exp(一 ∬ γ(u)dWP(u)一 壱 ∬ γ(漁)(一 γ(t)dWP(u)‑2y{t)2dt)
6γ(t)の 右 辺 は,時 点 ≠の ゼ ロ ・ク ー ポ ン 債 の 瞬 間 標 準 偏 差(リ ス ク)1単 位 当 た りの 瞬 間 利 子 率(無 リ ス ク 資 産 の 瞬 間 収 益 率)か ら の 瞬 間 超 過 収 益 率(リ ス ク プ レ ミア ムriskpremium)を 示 す.つ ま り リ ス ク を1単 位 引 き受 け る 見 返 り に 要 求 す る 超 過 収 益 率 で あ り,リ ス ク の 対 価 で あ る.
December2004板 垣 有 記 輔 確 率 的 短 期 利 子 率 派 生 証 券 の リ ス ク 中 立 的 評 価 +2exp(一 ∬ γ(u)dW・(u)1t̲wry(漁)(一 γ(の)・dt
一 一exp(/
0Y(u)dW・(u)1t2Joy(u)・4の γ瞬 ・(u) 一 一 γ(t)dQdP(t)4晦)
7
よ っ て,
Qfit)=dP(0)‑ftyCu)Q(u)dWP(u)
=1‐
Joty(u)dQ(u)dWP(u) よ っ て,
EP[Q(t),=dP(0)‑J Oty(u)dQ(u)dWP(u)
=1‐EP[
Joty(u)Q(u)dWP(u)]
=1 .
証 了
命題4 ノ ヴ イ コ フ の 条 件N・vik・vc・nditi・nEP[exp(1TZIY(漁)]<・ ・
が 満 た さ れ て い る と 仮 定 す る.こ の と き,ラ ド ン ーニ コ デ ュ ム 導 関 数Radon‑Nikodymderiva‑
tivesを,
dQ
dP‑exp(一 ∫Tγ(u)dWP(u)T2Joy(漁)
と定 義 す れ ば8,現 実 世 界 の 確 率 測 度.Pと 同 値 な9確 率 測 度Qloが 存 在 し,こ の 確 率 測 度Qの も とで,We(t)は 標 準 ブ ラ ウ ン 運 動 で あ る.
7ノ ヴ ィ コ フ の 条 件 ガ[・xp(1T2J
oY(u)・du)]〈 ・・備 た さ れ る と き,dQdP(t)一 ・xp(一 ∬ γ(u)dWP(u)2
ズ γ(u)Zdu)は 羅 率 測 脚 の 下 で マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る(1.カ ラ ザ ス ・S.Eシ ユ レ ー ブ ・ブ ラ ウ ン 翻 と
確 率 積 分 』 シ ュ プ リ ン ガ ー ・ フ ェ ア ラ ー ク 東 京,2001年,系5.13(Novikov,1972),205頁)
8直 前 の 命 題 に よ っ て ・dQ‑dP・xp(一 ∫7γ(u)dWP(u)‑2fTy{u)Zdu)は,P一 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る . 9二 っ 確 率 測 度PとQが タ 上 で 同 値 で あ る と は,
∀A∈ タ,P(A)=1⇔Q(A)=1 が 成 り立 つ こ と で あ る.
10新 し い 確 率 測 度Qは
∀A∈ タ,Q(A)‑Q({ω ∈A})‑0・Q({ω 《差 且})+1・Q({ω ∈A})
‑Ee[IA]‑r・AdQ=
JAdQ=JAdPdP(ω)一 か 艶(ω)=EP[IA]
と 定 義 す る.
8季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XXXIV,No.1・2
証 明 カ メ ロ ン ー マ ー テ ン ー デ ィ ン キ ン ー 丸 山 一 ギ ル サ ノ ブ の 定 理Cameron‑Martin‑Girsanov‑
Dynkin‑Maruyama‑Girsanov'sTheoremよ り 明 ら か で あ る11
証 了
命 題5満 期Tに1円 償 還 さ れ る ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 の 時 点'の 価 格P(t,T)(>0),('<T)は, 確 率 測 度Qの も と で,つ ぎ の 確 率 微 分 方 程 式(Q一 動 学)(幾 何 ブ ラ ウ ン 運 動)
dP(t,T)=P(t,T)[r(t)dt‑1‑S(t,T)dWe(t}],
(4) P{T,T)=1
に 従 う.
証 明 確 率 測 度Qの も と で の 新 過 程
脚 一職)+∬ γ勲
よ り,
011弔7P(t)=一 γ(t)dt十dWQ(t)
で あ る か ら,こ れ を 満 期Tに1円 償 還 さ れ る ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 の 時 点tの 価 格Pα,T)(>0), (t<T)の 確 率 微 分 方 程 式 の 右 辺 のdWP(t)に 代 入 す れ ば,
dam(t
P(t,・TT))‑rn(t,T)dt+S(ちT)dWP(t)
=m(t ,7「)dt十s(t,T)(一 γ(t)dt十 〇1レ7ρ(t))
=rn(t ,T)dt+S{t,T)‐m(t,T)r(t)dt+dWe(t)/(S(t ,T)/
=r(t)dt十S(t ,T)dWQ(t)
と な り,確 率 微 分 方 程 式(Q一 動 学)(幾 何 ブ ラ ウ ン 運 動)を え る.
証 了
い う ま で も な く,命 題1,2と ま っ た く 同 様 に,確 率 測 度Qの 下 で,
1
E・[tdP(r,T
oP(r,T))]‑!0Y(・)dz‑, あ る い は,
V[tdP(z,T
oP(r,T))]=EQ[∬(S(z,T))Zdzl
E・[P(t,T)]‑P(0,T)exp{!
0Y(τ)dr},
Ve[P(t,T)]一(P(0,T))・(exp{∬{(s(z,t))・}d・}一 ・)・exp(2!
0{Y(・)}d・)
が 成 立 す る.す な わ ち,確 率 測 度Qの 下 で は,リ ス ク 資 産 で あ る ゼ ロ ・ク ー ポ ン 債 が,平 均 的 に,無 リ ス ク 資 産 で あ る マ ネ ー マ ー ケ ッ トア カ ン ト と 同 じ収 益 率 を も た ら す.こ の 意 味 で,新 し い 確 率 測 度Qを リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度rzskneutralstochasticmeasureと い う.
lII,カ ラ ザ ス ・S.E.シ ュ レ ー ブ 『ブ ラ ウ ン 運 動 と 確 率 積 分 』 シ ュ プ リ ン ガ ー ・ フ ェ ア ラ ー ク 東 京,2001年,定
理5.1,197頁.
December2004板 垣 有 記 輔:確 率 的 短 期 利 子 率 派 生 証 券 の リス ク 中 立 的 評 価9
命 題6マ ネ ー マ ー ケ ッ トア カ ン トA(t)を ニ ュ メ レ ー ルnumeraireと す る 満 期7「 の ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 の 相 対 価 格(割 引 か れ た 価 格)
Z(t,7')‑P芽(Tt))
は,リ ス ク 中 立 確 率 測 度Qの も と で マ ル チ ン ゲ ー ル(Q一 マ ル チ ン ゲ ー ル)で あ る.
証 明 伊 藤 の 確 率 部 分 積 分 の 公 式Itostochasticproductruleを 適 用 し て dZ(t,T)‑d(P解))‑d(A(t))P(t,T)+A(t)dP(t,T)+d(1A(t))dP(t,T)
右辺第3項 はゼロであるから
一4(1A(
t))P(ちT)+1A{t)dP(t,T)+d(1A(t))dP(t,T)
伊藤の公式より
一 一 穿 評P(t ,T)+A(t)P(t,T)(Y(t)dt+S(t,T)4晒'))
‑1A(
t)P(t,T)s(t,T)4脚)
=Z(t ,7〔)s(t,7「)01レ 「rQ(t)(5)
確 率 積 分 は
Z(ちT)‑z(S,T)+!
SZ(u,T)s(u,T)4四 π)
リスク中立確率測度Qの もとで条件付期待 値Eeを とれば,
Eg[z(t,T)夙]=Z(s,T)+E・[∬z(u,T)s(u,T)dWQ(u)1刻
=Z(s ,T) で あ る.
証 了 上 の 命 題 に お い て 特 に,
EQ[Z(t,T)0]=Z(0,T)+E・[∫Oz(u,T)s(u・ 丁 脚 ・(u)1易]
B(0)1 で あ る.
満 期 時 点s(0<s<T)にs一 可 測 な 確 率 変 数X』(ペ イ オ フ)を す 金 利 派 生 証 券 あ る い は 条 件 付 請 求 権contingentclaimと 定 義 す る.
命 題7t<s<Tに 対 し て,
D(t)‑E・[XSB(S)囚(6)
・o季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXXIV,No.1・2
と 定 義 す れ ば,D(t)は,リ ス ク 中 立 確 率 測 度Qの も と で,タ ー マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.
証 明0<t<t<s<Tと す れ ば,フ ィ ル ト レ ー シ ョ ン{タ 議 ∈【0,T]は情 報 増 大 系 で あ る か ら,t
⊂t'で あ る.よ っ て,
E・[D(〆)1%]‑E・[E・[XSB(S)1刻1刻
重 複 的 条 件 付 期 待 特 性,条 件 付 平 均 の 塔 の 性 質12TowerPropertyforcondationalexpecta‑
tionsウ こ よ り
=EQ[XS
B{S)1刻 一D(t)・
証 了
命 題8あ る可 予 測 過 程(φ(≠))が 存 在 して,
D(t)‑D(o)+ズ φ(%)dZ(u,T)
{7)
が 成 立 す る.
証 明Z(t,T)は マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る か ら,マ ル チ ン ゲ ー ル の 表 現 定 理13MartingaleRepre・
sentationTheoremよ り,マ ル チ ン ゲ ー ルD(t)に 対 し て,あ る 可 予 測 過 程 φ(t)が 存 在 し て, Dfit)‑D(o)+∬ φ(u)dZ(u,T)
が 成 立 す る.
証 了
満 期Tに1円 償 還 さ れ る ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 φ(t>枚,マ ネ ー マ ー ケ ッ トア カ ン ト ψ(t)口 か ら な る 時 点'の ポ ー トフ ォ リ オ(φ(t),ψ(t))の 資 産 価 値 をV(t)は,
V(t)=φ(t>」P(t,T)十 ψ(t)A(t) で あ る.た だ し,
ψ(')=1)(t)一 φ(渉)Z(t,2[)(8) と す る.こ の と き,い う ま で も な く,
V(t)=φ(t)P(',T)十 ψ(t)A(t)
=φ ωP(ちT)十{D(t)一 φ(t)Z(∫,T)}A(t) 一 φ ωP(t ,T)+{D(t>一 φ(t)P(t,A(Tt))}A(t)
=A(t)D(t)
(9)で あ る.
12D.ウ ィ リ ア ム ズ 『マ ル チ ン ゲ ー ル に よ る確 率 論 』 培 風 館,2004年,91頁
131.カ ラ ザ ス ・S.E、 シ ュ レ ー ブ 『ブ ラ ウ ン 運 動 と確 率 積 分 』 シ ュ プ リ ン ガ ー ・フ ェ ア ラ ー ク 東 京,2001年,第 3章 第4節 連 続 マ ル チ ン ゲ ー ル の ブ ラ ウ ン 運 動 の よ る 表 現,174‑196頁 参 照.
December2004板 垣 有 記 輔:確 率 的 短 期 利 子 率 派 生 証 券 の リ ス ク 中 立 的 評 価1工
命 題9ポ ー トフ ォ リ オ(φ(t),ψ(t))は 資 金 自 己 調 達 的self‑financingで あ る.
す な わ ち,
V(t)=V(o)+∬ φ(u)dP(u,T)+∬ ψ(u)dA(u)
あ る い は
φ(t)P(t,T)十 ψ(')A(t) 時点 丁 の ポー トフ ォ リオの価 値観
一 φ(q)P(o,T)+ψ(o)A(o)+∫ 診φ(u)dP(u,T)+∬ ψ(u)dA(u) 初期時点ノポー トフォリオの価値 期間[0
,T]に おけるキャピタル ・ゲインの総額 が 成 立 す る.
証 明(9)か ら
dV(t}=d(A(t)D(t))
=dA(t)D(t)十A(t)dD(t)十dA(t)dD(t) 第3項 は ゼ ロ で あ る か ら,(2),(7)よ り
=D(t)r(t)A(t)dt十Aω φ(t)dz(t ,T) (5),(8)よ り
={ψ(t)十 φ(t)Z(t ,T)}Y(t)A(t)dt十Aω φ(t)s(t,T)Z(t,η4曜9(t)
Z(ちT)‑P(t,TA(t))で あ っ た か ら,
一 φ(t)P(ちT){r(t}dt十s(t ,T)dWQ(t)}十 ψ(t>r(t)A(t)dt (2),(4)よ り
=φ(t)dP(t ,T)十 ψ(t)dA(t)(10)
証 了
命 題mポ ー ト オ リ オ の 価 値 額Vてt>は,確 率 測 度Qの も と で,つ ぎ の 確 率 微 分 方 程 式(Q一 動 学)
dv(t)‑V(t)「 γ働+φ(t)P(t,T)SV(t)(t,T)dWe(t)]
V(0)コ φ(0)P(0,T)十 ψ(0)A(0) に 従 う.
証 明
(10)よ り
dV(t)=φ(の 罐P(t,T)十 ψω 議4ω (3),(4)よ り
T2
季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XXXIV,No.1・2 一 φ(t)P(t ,T)[r(t)dt十S(',z「)dWQ(t)]十 ψ(t)A(t)r(t)dt=[φ(t)P(t ,T)‑i一 ψ(t)A(t)]Y(t)dt+φ(t)、P(t,T)S(t,T)or1ルzρ(t)
一 レ(の レ 鰍+φ(t)P(ちT)SV(
t)(ちT)4脚)]
とな り,確 率 微 分 方 程 式(Q一 動 学)を え る.
証了 し た が っ て,リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度Qの 下 で,
EQ[∬dV(zV(
z))]一 ∬r(τ 肱 あ る い は,
E・[嘲 一V(・)exp{∬ γ(τ叫
が 成 立 す る.す な わ ち,確 率 測 度Qの 下 で は,危 険 資 産 で あ る ポ ー ト フ ォ リ オ の 価 値 額 が,平 均 的 に,無 リ ス ク 資 産 で あ る マ ネ ー マ ー ケ ッ トア カ ン トの 利 子 率 と 同 率 で 成 長 す る.
本 来,資 産 価 値V(t)の 増 分 は dV(t)=V(t十1)一 γ(t)
=φ(t十1)P(t十1 ,T)十 ψ(t十1)A(t十1)一{φ(のP(t,T)十 ψ(t)A(')}
で あ る が,特 に
dV(t)=φ(t)認 ⊃(t,T)+ψ(t)dA(t)
一 φ(t){」P(t十1 ,T)一 、P(t,7「)}十 ψ(t}{A(t十1)‑A(t)}
が 成 り 立 つ と き か っ そ の と き の み,資 金 自 己 調 達 的 で あ る と い う の で あ る か ら,資 金 自 己 調 達 的 で あ る 必 要 十 分 条 件 は,離 散 的 に 表 せ ば,
φ(t)P(ガ+1,z「)+ψ(')ノ4(t+1)=φ(t+1)、P(t+1,T)+ψ(t+1)ノ1(t+1) あ る い は
φ(t‑1)P(t,T)+ψ(t‑1)A(t>=φ(t)P(t,z「)+ψ(t)A(t) で あ る.
す な わ ち,'‑1期 の ポ ー ト フ ォ リ オ(φ('‑1),ψ(卜1))をt期 の 資 産 価 格 体 系(P(',T), A(t))で 再 評 価 し て た 価 値 額 φ α 一1)P(t,T)十 ψ ⑰ 一1)A(t)に,t期 の ポ ー ト フ ォ リ オ の 価 値 額 φ(t)P(t,T)+ψ(t)A(t)が 丁 度 等 し く な る よ う に,'期 の ポ ー ト フ ォ リ オ(φ(t),ψ(t))
を 組 み 替 え る こ と 意 味 し て い る.こ の よ う な 組 み 換 え 方 式 に 服 し な が ら各 期 の ポ ー ト フ ォ リ オ を 組 み 替 え て い く こ と を,資 金 自 己 調 達 的 で あ る と い う の で あ る.
命 題1114ポ ー ト フ ォ リ オ(φ('),ψ(t))が 価 格 過 程(P(',T),A(t))に つ い て 資 金 自 己 調 達 的 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,そ の ポ ー ト フ ォ リ オ が デ フ レ ー タ ーA(t)>0に よ っ て デ フ レ ー
14ニ ュ メ レ ー ル に 関 す る 不 変 定 理NumeraireInvarianceTheorem
December2004板 垣 有 記 輔:確 率 的短 期 利 子率 派 生 証 券 の リス ク中 立 的 評 価 工3 トさ れ た 価 格 過 程
(Z(t,T),1)‑P(t,T)A(t)一(A(t)A(t))
に つ い て 資 金 自 己 調 達 的 で あ る こ と で あ る.
証 明 ポ ー トフ ォ リ オ(φ(t),ψ(t))が 価 格 過 程(P(t,T),A{t))に つ い て 資 金 自 己 調 達 的 で あ り,
dV(t)=φ(t)dP(ちT)十 ψ(')dA(t)
が 成 り立 つ と す る.こ の と き,ポ ー ト フ ォ リ オ(φ(t),ψ(t))が 価 格 過 程(Z(t,T),1)に つ い て 資 金 自 己 調 達 的 で あ り,
dV(t)=φ(t)dZ(t,T)
が 成 り立 つ こ と を 示 す.こ こ にV(')はA(t)に よ っ て デ フ レ ー ト さ れ た ポ ー ト フ ォ リ オ の 価 値 額 で
V(t)‑V(t)A(t)一 φ ωP象(Tt))+ψ(t)A(t>A(t)一 φ(t)Z(t,T)+ψ(t) で あ る.
dV(t)一 婿 鴇)
=d(A(
t)/V(t)+A(t)dV(t)+d(A(t)/dV(t)
￠(t)dP(t)十ψ(t)dA(t)
4
‑(1
A(t)・dA(t)+12A(t)2A(t}4(dA(t))ZfV(t)+A(t)(φ(t)dP(t,T)+ψ(t)dA(t))
0
‑‑dA(t)
A(t)Z(φ(t)P(t,T)+ψ ωA(t))+IA(t)(φ(t)dP(t,T)+ψ(t)dA{t))
→ ω(1A(t)CdA(t)/dP(t,T)+‐A(t)2P(t,T))
・儲)
一 φ ω ゴ(1
A(t)P(ちT))一 φ(t)d(Z(t,T))
次 に(φ ω,ψ ω)が デ フ レ ー タ ーA(t)>0に よ っ て デ フ レ ー ト さ れ た 価 格 過 程 (Z(t,T)・1)一(P(t,TB(t})A(t)'A(t))に つ い て 資 金 自 己 調 達 的 で あ り,
dV(t)=φ(t)dZ(t,T)
で あ る と す る.こ の と き,(φ(t),ψ(t))が(P(t,T),A(t))に つ い て 資 金 自 己 調 達 的 で あ る こ と を 示 す.
dV(t)=dB(t)・V(t)IA(t)/
14 季 刊 創 価 経 済 論 集
=d(A(かV(t))
=da(t)V{t)十A(t)dV(t)十dA(t)dV(t)
φω4Z〔t,T)0 1
r孟4 .A(t)
Vol.XXXIV,No.].・2
(φ(t)P(ちT)+ψ(t)A(t))+A(t)φ(t)d(P葺(Tt})) 一 φ(t)P(t ,T)dA(tA(t))+ψ(t)dA(t)
+A(蜘(1A(t)dP(ちT)‑P(ちT)A(t)・dA(t))
=φ(')認 〕(t,T)十 ψ(t)dA(t)
証了
命 題12満 期 時 点s(0〈S<T)にs一 可 測 な 確 率 変XSの ペ イ オ フ を 約 束 す る 金 利 派 生 証 券 あ る い は 条 件 付 請 求 権contingentclaimは,複 製 可 能 で あ る.
証 明 ポ ー ト フ ォ リ オ(φ(t),ψ(t))は 自 己 資 金 調 達 的 で あ り,し か も 満 期 時 点s(0<S<T) に お い て,
τ/(s)=φ(S)P(s,T)+ψ(s)A(S)
=.g(s)D(s)
一B(S)EQ[XsA(S)1刻
=E9[x』1 ,%]
XSは タ 』一 可 測 で あ る か ら
=Xs
が 成 り 立 ち,こ の ポ ー ト フ ォ リ オ(φ(S),ψ(s))に よ っ て,金 利 派 生 証 券 あ る い は 条 件 付 請 求 権contingentclaimの 約 束 す る 支 払 額X』 を 再 現 で き る か ら で あ る.
証 了
か く し て,元 手 資 金 ゼ ロ で 満 期 非 負 の 収 益 を 得,正 の 収 益 を 得 る 確 率 が 正 で あ る よ う な 資 金 自 己 調 達 的 ポ ー ト フ ォ リ オ は 存 在 し な い と い う 無 裁 定 条 件 の も と で は,時 点s(0<s<T)に 満 期 にs一 可 測 な 確 率 変XSの ペ イ オ フ 約 束 す る 金 利 派 生 証 券 あ る い は 条 件 付 請 求 権contingent claimの 時 点'現 在 の 無 裁 定 価 格 は,複 製 ポ ー ト フ ォ リ オ(φ(t),ψ(t))の 価 値 額
V(t>=φ(t)P(t,T)十 ψ(t)A(t}
=A(t)D(t)
一胴E・[XsA(S)1刻
一EQ[鋼&1刻
=EQ[exp{‐fsr(u)du}XsWit]
December2004板 垣 有 記 輔:確 率 的 短 期 利 子 率 派 生 証 券 の リ ス ク 中 立 的 評 価 に 等 し く な け れ ば な ら な い.
よ っ て,次 の 定 理 を得 る.
i5
定 理1(金 利 派 生 証 券 の リス ク 中 立 的 評 価)満 期 時 点s(0<s<T)にs一 可 測 な確 率 変CXs の ペ イ オ フ を約 束 す る金 利 派 生 証 券 あ る い は 条 件 付 請 求 権contingentclaimの 時 点'現 在 の 公 正 な 価 格fairpriceあ る い は 無 裁 定 価 格arbitrage‑freepriceV(t)は,リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度 Qの 下 で 当 該 金 利 派 生 証 券 の 約 束 す る満 期 時 点sの ペ イ オ フXSの 時 点'現 在 ま で 割 引 い た 期 待 値 に 等 し い.す な わ ち,
V(t)=Ee[exp{イ7(剃 基 囚
(11)で あ る.
こ こ に,瞬 問 利 子 率Y(u)は,Q一 動 学(リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度Qの も と で の 確 率 微 分 方 程 式) dr(t)={a(t,ω)一 γ(t)b(t,ω)}dt一 トろ(オ,ω)4H7ρ(t>(12)
に 従 う15.
定 理1でXS‑1の 場 合 の 金 利 派 生 証 券 あ る い は 条 件 付 請 求 権contingentclaimの 時 点'現 在 の 公 正 な 価 格fairpriceが 満 期 時 点sに 額 面1円 を 償 還 す る ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 の 時 点tの 価 格 P(t,S)に 他 な ら な い.よ っ て,
定 理2(ゼ ロ ・ク ー ポ ン 債 の リ ス ク 中 立 的 評 価)満 期 時 点S(0<s〈T)の ゼR・ ク ー ポ ン 債 の 時 点'現 在 の 価 格P(t,S)は,リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度Qの 下 で 当 該 金 利 派 生 証 券 の 約 束 す る 満 期 時 点sの ペ イ オ フ1円 の 時 点'現 在 ま で 割 引 い た 期 待 値 に 等 し い.す な わ ち,
P(',s)‑E・[exp{一 ∬ γ(u)du}1刻 で あ る.
こ こ に,瞬 間 利 子 率r(u)は,Q一 動 学(リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度Qの も と で の 確 率 微 分 方 程 式) dr(t)={a(t,ω)一 γ(t)b(ち ω)}dt十b(ち ω)dWQ(t)
に 従 う.
フ ァ イ マ ン ー カ ッ ツ の 定 理Feynman‑KacTheoreml6に よ れ ば,も し も 瞬 間 利 子 率Y(≠)の 確 率 微 分 方 程 式(12)を 満 た す 瞬 間 利 子 率 を 対 象 と す る 金 利 派 生 証 券 の 価 格V{t,T,r(t))が 条 件
15dr(t)=a(',ω)dt十b(t,ω)dWP(t)
=a(t,ω)dt十b(t,ω){dWQ(t)一 γ(t)dt}
一{a(ち ω)一 γ(t)b(ち ω)}dt+b(ち ω)ゴ 罪9(t)
で あ る か ら で あ る.こ こ に,We(t)は リ ス ク 中 立 確 率 測 度Qの 下 で の 標 準 ブ ラ ウ ン 運 動 で あ る.
16A.Friedman(1975).StochasticEquationsandApplications,Vol.1.AcademicPressの 第6章 第5節
Stochasticrepresentationofsolutionsofpartialdifferentialequations144‑154頁 を 参 照.あ る い は1.カ ラ
ザ ス ・S.E.シ ュ レ ー ブ 『ブ ラ ウ ン 運 動 と 確 率 積 分 』 シ ュ プ リ ン ガ ー ・フ ェ ア ラ ー ク 東 京,2001年,第5章 第7
節BCauchy問 題 とFeynrnan‑Kac表 現375‑377頁 参 照.
16季 刊 創 価 経 済 論 集VoLXXXIV ,No.1・2 付 期 待 値(11)に 等 し い な ら ば,V(t,T,r(t))は,終 端 条 件terminalcondition
V(T,T,r(T))=XS(13) を も つ 偏 微 分 方 程 式PDE
∂t∂r
+2∂ Y・(14)
を 満 た す.
つ ぎ の 定 理 で 示 す よ う に,逆 に 上 述 の 終 端 条 件(13)を も つ 偏 微 分 方 程 式(14)の 解 は,(11) と 表 現 で き る.
∂V(ちT・Y(t))+{a(ち ω) 一 γ(t)ろ(ち ω)}∂V(ちT・Y(t))
1∂ ・∂2V(t・T・r(')L
7(t)V(t,T,Y(t))‑0
定 理3終 端 条 件 V(T,T,r(T))=XS を もつ 偏 微 分 方 程 式PDE
z"ar2
で 表 現 さ れ る 利 子 率 の 期 間 構 造 方 程 式Termstructureequationの 解V(t,T,(r(t)))は,リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度 の 下 で,次 の 確 率 表 現 公 式stochasticrepresentationformula(Feynman‑
Kacrepresentation)
V(t,T,r(t))‑E・[exp{一 ∫5耀 掴 刻
に よ っ て 与 え ら れ る17.こ こ に,r(u)は,リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度Q一 動 学 dr(t)={a(ち ω)一 γ(t)ろ(t,ω)}dt十b(t,ω)dWQ(t)
を 満 た す.
証 明 伊 藤 の 確 率 部 分 積 分 公 式 を 適 用 し て d[exp{一 ∫ τγ(u)du}V(・)]
‑d[exp{一 ∬ γ(u)du}]・V(・)+exp{一 ∫ τγ(u)du}・dV(τ)
+d「exp{‑」zr(u)du
t}]・dV(τ)
‑d[exp{一 ∫ τ7(u)du}]・V(τ)+exp{/'T
tr(測 ・dV(τ)
‑exp{一 ズ γ(凋(‑r(・)d・)V(τ)+aVda
r・+ardY+za2V2aY2(dr)・
∂V(ちT,r
at(の)+{a(ち ω)一 γ(棚 ち ω)}∂V(ちT,rar(の)
+⊥ ろ・∂ZV(ちT・r(t))̲r(,)V(t,T,Y(t))̲0
17V(t)≠E・[・xp{一 ∬ 咽4π 凶 刻 で あ る こ と に留 意 しなけ れ ば な ら な い.
December
{一 ∫ τ7(u)du}{
=exp{fr(副
・{←r(・)dr)V(・)+
‑exp{‑fz
tr(u)du}・{(
{一 ズ γ(副 ・
2004板 垣 有 記 輔:確 率 的 短 期 利 子 率 派 生 証 券 の リス ク 中 立 的 評 価 1a2vavav=exp(
‑r(τ)dr)V(τ)十dz‑十dr十 azar2
=exp
tか らSま で 積 分 す る と
arLCdr)Z
aVaVav(a ‑yb)dz十dz‑十 azaYaY
av
az+(a一 γ∂)avar+搾 ろ・‑rV)dz+
av ろdWQ ar
bdWQ+2arb2dz}
各yろ姻
17
exp{‑!r(u)du}V(s)
‑V(t)+∬exp{‑/r(u)du}号 髪 観 ・(・)
を得 る.両 辺 に,リ ス ク 中 立 的 確 率 測 度Qの も とで 条 件 つ き期 待 値 を とれ ば, E・[Sexp‐ 」r
t(u)du}V(s)t]
‑E・ レ(の+∬exp{一 ∫ τ7(π)du}aV
arろ4晒 ・)1刻 一 幽+E・[∬exp{一 ∫ τγ(u)du}arbdWQ(r)囚
=V(t)
す な わ ち,
E・[exp{‑1
tY(凋 焔]=V(t)
で あ る.
証 了
定 理4(ゼ ロ ・ク ー ポ ン 債 の 先 渡 し価 格 の 決 定forwardpricing)予 め 定 め ら れ た 受 け 渡 し 時 点s(t<S〈T)に,予 め 定 め ら れ た 受 け 渡 し価 格deliverypriceK円 の 支 払 い と 引 き 換 え に, 予 め 定 め ら れ た 現 物 で あ る 満 期 時 点Tに1円 償 還 す る ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 を1枚 を 引 き 渡 す と い う 先 渡 し 契 約forwardcontractに お い て,売 り手 買 い 手 双 方 が 合 意 し,し か も 先 渡 し 取 引 の 契 約 時 点tの 先 渡 し 契 約 の 経 済 的 価 値 を ゼ ロ に す る よ う な 引 き 渡 し 価 格,す な わ ち 先 渡 し 価 格for‑
wardpriceKは
P(t,T)K
=P(
t,s) で あ る.
証 明 満 期Tに1円 償 還 す る ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 の 時 点S現 在 の 価 格P(S,T)は,リ ス ク 中 立
18
確 率 測 度Qの 下 で,
季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XXXIV,No.1.2
P(S,T)=EQ[exp(‑T
sY(u)du)・1刻
で あ る.同 様 に,満 期Sに1円 償 還 す る ゼ ロ ・クー ポ ン債 の 時 点'現 在 の 価 格P(t,S)は,リ ス ク 中 立 確 率 測 度Qの 下 で,
P(s,T)‑E・[exp(‑T
sY(u)du)・1刻 で あ る.
契 約 時 点t現 在 の 当 該 先 渡 し 契 約 の 価 値 γ(の は,時 点Sにs一 可 測 な 確 率 変 数P(s,T)
‑Kの ペ イ オ フ を約 束 す る金 利 派 生 証 券 あ る い は 条 件 付 請 求 権contingentclaimの 時 点t現 在 の 公 正 な 価 格fairpriceに 等 し い か ら,
V(t)‑EQ[exp(‑S」r(u)du
t)(P(S,T)‑K)1刻
一EQ[exp(一 ∬ γ(u)du)P(s ,T)刻 一KEQ[exp(‑fSr(u}dut)刻
一EQ[exp←S
」r(u)dut)(E・[exp(一 ∬7(u)du}・1刻)1%]
‑K・E・[exp(一 ∬ γ(岡 ・1刻
t⊂sで あ る か ら 条 件 付 期 待 値 の 基 本 性 質TowerPropertyよ り 一E・[exp(‑S」r(u)de
t)exp(一 ∬r(u)du)11刻 一K・E・[exp(‑fs
tY(姻(P(s,T))刻 一E・[exp(‑T
tr(u)du)11昂]一 κ ・E・[exp(一 ∬r(u)du)・1刻
=P(t,T)‑K・P(t ,S).
で あ る.よ っ て,契 約 時 点tの 先 渡 し 契 約 の 経 済 的 価 値V(t)を ゼ ロ に す る よ う な 先 渡 し 価 格 Kは
P(t,T)K=
P(t,S)
で あ る.証 了
別 証
仮 に 轍 定 で あ る の に ・P(t,T>K$P(t
,S)で あ り ・ 無 齪 で あ り か つK>P(t,T)P(t,S)か あ る レ・は 無 裁 定 で あ りか つK<P(t,T)P(t
,S)が 成 立 し た とす る.K>鉄 留 暢 合 もK<P(t,T)P(t,S)の 場 合 も裁 定 取 引 機 会 が 存 在 し,無 裁 定 で あ る こ と と矛 盾 す る こ と を 示 す.
December2004板 垣 有 記 輔:確 率 的 短 期 利 子 率 派 生 証 券 の リス ク 中 立 的 評 価 ig P(t,T)
P(t,S)〉 肋 場 合
ポ ー トフ ォ リオ
時 点tの キ ャ ッ シ ュ フ ロ ー 一
時 点Sの キ ャ ッ シ ュ フ ロ ー 時 点Tの キ ャ ッ シ ュ フ ロ ー 満 期Sの ゼ ロ ・ ク ーポ ン債 をK枚 枚 購 入
一P(t ,S)・K
K先 渡 し 契 約1枚 購 入 (先 渡 でe‑F(t,S,T)(T‑S) 円 融 資)
̲K
←e‑F(t,S,T)(T‑5))
1 (1)
満 期 丁 の ゼ ロ ・ ク ー
ポ ン 債 を1枚 空 売 り P(t,T) 1
ネ ッ ト キ ャ シ ュ フ ロ ー
P(ちT)m(ちS)・K>0 0 0こ の よ う に,満 期Sの ゼ ロ ・クー ポ ン債 をK枚 枚 購 入 し,先 渡 し契 約1枚 購 入 し,満 期Tの ゼ ロ ク ー ポ ン債 を1枚 空 売 りす る ポ ー トフ ォ リオ を構 成 す れ ば,時 点t現 在 に プ ラ ス の 収 益P
(t,T)‑P(t,s)・K>P(t,T)‑P(t,s)P(t,T)P(t
,S)一 ・ を も た ら し ・ し か も そ れ 以 降 損 撫 し と
い う,裁 定 利 益 を も た ら し,無 裁 定 で あ る こ と に 矛 盾 す る.
P(t,T)
P{t,s)<Kの 場 合
ポ ー ト フ ォ リ オ 時 点tの キ ャ ッ シ ュ フ ロ ー 時 点Sの キ ャ ッ シ ュ フ ロ ー 時 点Tの キ ャ ッ シ ュ フ ロ ー
満 期Sの ゼ ロ
L・ ク ー 一
ボ ン債 をK枚 空 売 り
.P(',S)・ κ
一K
先 渡 し 契 約1枚 売 り (先 渡 でe‑F(t,S,Ty(T‑S) 円 借 り 入 れ)
K
(e‑F(t,S,T){T‑S))
1 (‑1)
満 期Tの ゼ ロ ・ ク ー ポ ン 債 を1枚 購 入
一P(t ,T)
1ネ ッ ト キ ャ シ ュ フ ロ ー
P(t,s)・K‑P(t,T)>0
0 0こ の よ う に,満 期Sの ゼ ロ ・ク ー ポ ン債 をK枚 枚 空 売 り し,先 渡 し契 約1枚 販 売 し,満 期T の ゼ ロ クー ポ ン債 を1枚 購 入 す る ポ ー トフ ォ リ オ を 構 成 す れ ば,時 点t現 在 に プ ラ ス の 収 益P (ちS)・K‑P(t,T)>P(t,s)P(t,T)̲PP(t
,S)(ちT)一 ・ を も た ら し,し か も そ れ 以 降 損 撫 し と い う,裁 定 利 益 を も た ら し,無 裁 定 で あ る こ と に 矛 盾 す る.
よ っ て,無 裁 定 の 条 件 の も と で は, P{t,T)
κ =
P(t,s)
が 成 立 しな け れ ば な ら な い.
定 理4は,以 下 の 先 渡 レー トの 定 義 の 基 礎 を与 え る もの で あ る.次 の 命 題 は,先 渡 し利 子 率 の 定 義 と し て 導 入 さ れ る こ とが 普 通 で あ る が,わ れ わ れ は,ゼ ロ ・クー ポ ン債 の 先 渡 し価 格 を 厳 密
な理 論 に 基 づ い て 導 出 し これ を 用 い て 次 の 命 題 と し て 導 く.
20季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1 .XXXIV,No.1・2 時 点tで 約 定 さ れ,将 来 時 点sか ら 時 点Tま で の 将 来 期 間[s,T]に 適 用 さ れ る 先 渡 利 子 率 (先 渡 イ ー ル ド)を 、F(t,s,T)と 表 す と 次 の 定 理5が 成 立 す る.
定 理5F(t,S,T)‑T≧S1・9甜 舞
証 明 受 け 渡 し時 点s(t〈s<T)に,嫉 し価 格K(‑P(t,T)P{t
,S))円 の 支 払 い と引 き換 え に ・ 満 期 時 点Tに1円 償 還 す るゼR・ クー ポ ン債 を1枚 を 受 け 取 る と い う先 渡 し契 約forwardcon‑
tractの 買 い ポ ジ シ ョ ン を 時 点'現 在 に と る こ と と,将 来 時 点Sか ら 時 点Tま で の 将 来 期 間 [S,T]にexp{‑F(t,S,T)(T‑S)}円 を 一 定 の 先 渡 利 子 率F(t,S,T)で 融 資 し,将 来 時 点Tに 元 利 合 計1円 を受 領 す る こ と を 時 点'現 在 に 契 約 す る こ と と は,無 裁 定 条 件 の 下 で は, 全 く同 じ経 済 効 果 を持 つ の で な け れ ば な ら な い の で,
exp{‑F(t,S,T)(T‑S)}‑P(t,T)‑P(t ,S)
こ れ よ り,
F(t,S,T)‑T ‑S1・P(t,s)gP(t ,T) が 成 立 す る.
証 了
時 点tに 約 定 す る 将 来 時 点Sの 瞬 間 先 渡 し 利 子 率 を12mF(t,S,T)=∫(t,s)と 定 義 す る.
TES
こ の と き,次 の 定 理6が 成 立 す る.
∂P(t,s) 定 理6・8ノ(t,s)一 一P(ast
,s>
証 明
f(t,S)=limF(t,S,T)T→S
lP{t,S)
ロ ピ タ ル の 定 理 を 適 用 し
̲‑1∂P(t,S)
‑
P(t,s)∂S
証了
系 ・9P(ちs)‑exp{‑fsf
t(ちu)du},(・ ≦t≦s≦T)
18ゼ ロ ・ク ー ポ ン債 の 価 格P(t,S)か ら時 点t約 定 す る 時 点sの 瞬 間 先 渡 利 子 率f(t,S)を 決 定 で き る こ と を 示 し て い る.ま た 時 点'の 瞬 間 短 期 利 子 率r(t)をr(t)‑limf(t,s)‑f(t,t)と 定 義 す る.
S‑t
19時 点t期 に 約 定 す る 各 将 来 時 点u[t,S]の 瞬 間 先 渡 利 子 率 か ら,満 期sの 時 点tの ゼ ロ ・ク ー ポ ン 債 の 価 格 P(',S)を 決 定 で き る こ と を 示 し て い る.
