幾何基礎 No.4 2009.11.17
法線ベクトル・点と直線の距離 担当：市原
問題8 式3x+ 2y= 5で表される直線の法線ベクトルをひとつ求めなさい.
考えている直線を`とすると,`={(x, y)|3x+ 2y= 5}={(x, y)|y=−32x+52} と表される.
従って, `上の点P(a, b)について,~p=
a b
=
a
−32a+52
が成り立つ. ここで,
a
−32a+52
=
a
−32a
+
0
5 2
=a
1
−32
+
0
5 2
であるから,`=
X ~x=
0
5 2
+t
1
−32
, t∈R
と表される. 従って,`の方向ベクトルのひとつは~v=
1
−32
.
`の法線ベクトルを~n =
c d
とすると,~v·~n=
1
−32
·
c d
=c−32d= 0 が成り立てば良い. 従って例えば,~n=
c d
=
3 2
が,式3x+ 2y= 5で表される直線`の法線ベクトルになる.
問題9 点と直線の距離の公式を証明しなさい. つまり,点X = (x0, y0)から直線`:ax+by+c= 0ま での距離d(X, `)が,
d(X, `) =|ax√0+by0+c| a2+b2 となることを証明しなさい.
直線`の法線ベクトルを~nとし, 点X から`におろした垂線の足をF とすると, −−→
XF //~nより,
−−→XF =k ~n (k∈R). よって,−−→
XF =f~−~x=k ~nとなり,f~=~x+k ~nとなる. 次に, `上に点Pをとると, −−→
P F⊥~nより, −−→
P F ·~n= 0. ここで,−−→
P F =f~−~p=~x+k ~n−p~なので, (~x+k ~n−~p)·~n= 0 が成り立つ. 展開すると, (~x−p)~ ·~n+kk~nk2= 0となり,従って,k=−(~xk−~n~p)k2·~n
となる.
以上より,d(X, `) =k−−→
XFk=kk ~nk=|k| k~nk=(~xk−~np)~k2·~n k~nk=|(~xk−~n~p)k2·~n| k~nk=|(~x−k~n~p)k·~n| となる.
ここで,上の問題8と同様に考えると,直線`の法線ベクトルとして~n=
a b
がとれる. このとき, k~nk=√
a2+b2となる.
またさらに, `上の点P として, (b, a− cb)がとれる. このとき, (~x−~p)·~n = ~x·~n−~p·~n =
x0 y0
·
a b
−
b a−cb
·
a b
=ax0+by0−(ab+ab−c) =ax0+by0+cとなる.
以上より,d(X, `) = |ax√0+by0+c|
a2+b2 が成り立つ.
