7 Feb, 2012
Characterizations of projective spaces and hyperquadrics for varieties with Picard number one
楫研究室 鈴木 拓
Introduction
Question. Varietyがprojective spacePn やhyperquadricQn (単純なvarieties)になるための条件は？
Theorem 1 ([Mor79]). X を代数閉体上のn-dim smooth projective varietyとするとき, tangent bundleTXが ampleならばX ∼=Pn.
Theorem 2([AW01]). X をn-dim smooth complex projective varietyとするとき,TXがample vector bundle E を含むならばX ∼=Pn.
Conjecture 3 (Kov´acs). X をn-dim smooth complex projective varietyとする. あるample vector bundleE of rankronXが存在し,ある自然数p≤rに対して∧pE が∧pTX に含まれるならば,X ∼=Pn またはX∼=Qp. Theorem 4 ([ADK08]). X をn-dim smooth complex projective variety とする. あるample line bundle L onX が存在し, ある自然数pに対してH0(X,∧pTX⊗L−p)6= 0ならば, X ∼=Pn またはX ∼=Qp. すなわち, E =L⊕r (L: line bundle)の場合, Kov´acs予想は肯定的である.
Main Theorem. X をPicard number 1 のn-dim smooth complex projective variety とする. あるample vector bundleE of rankronXが存在し,ある自然数p≤rに対して∧pE が∧pTX に含まれるならば,X ∼=Pn またはX ∼=Qp. すなわち,X のPicard numberが1 の場合, Kov´acs予想は肯定的である.
Remark. 2010年にRoss が同じ主張の論文を出している([Ros10]). しかし[Ros10]の証明には仮定されていな い条件 (射E →TX の存在) が仮定されているように思える. そこで本論文ではsheaf stabilityの理論を用いた 別の証明を与えている. これは[ADK08]で与えられた手法を応用したものである.
Sheaf stability
Definition 5. Xを n-dim projective variety,H を fixed ample line bundleとする. Torsion-free sheafF の slopeとは,
µ(F) = c1(F)·c1(H)n−1 rk(F) .
Torsion-free sheafF が semistable であるとは,任意のE ⊆F に対してµ(E)≤µ(F)となることをいう.
Fact 6 ([HN75]). Torsion-free sheafF に対して, filtration
F =F0)F1)· · ·)Fk+1= 0,
でQi = Fi/Fi+1が semistable かつ µ(Q0) < · · · < µ(Qk)を満たすものが存在する. これをF のHarder- Narasimhan filtrationという.
Outline of Proof
∧pE ,→ ∧pTX よりX 上のrational curves のminimal dominating familyH が存在する([Miy87]).
Definition 7. Irreducible componentH ⊂RatCurvesn(X)が次を満たすとき, minimal dominating family で あるという:
• H-curvesはXを支配し,
• 一般的な点x∈Xを通るH-curvesから成るsubvarietyはproper.
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Case 1. degf∗E =r([f]∈H)の場合
[Ros10]で証明されている. rに関する帰納法により[ADK08]に帰着される.
Case 2. degf∗E =r+ 1 ([f]∈H)の場合
[Ros10]の証明に欠陥がある部分. Projective spaceになることを示す.
Key Lemma ([Ara06], [Kol96] 及び簡単なslopeの計算). X のPicard number が1,Hが Case 2のminimal dominating familyとする. あるD⊆TXでµ(E)≤µ(D)なるものが存在するならば,X ∼=Pn.
TX のHarder-Narasimhan filtration
TX =F0)F1)· · ·)Fk )Fk+1 = 0 をとり,D=Fk=Qk が条件を満たすことを示す.
q= rk∧pE とすれば ∧q∧pE ,→ ∧q∧pTX. うまくcurveC⊂X をとってCに制限して考えると,
∧q∧pE|C,→ O
α0+···+αk=q
∧aα0...αk(∧α0Q0⊗ · · · ⊗ ∧αkQk)|C
さらに右辺はsemistableとなるようにできる.
Fact 8. µ(F⊗G) =µ(F) +µ(G). µ(∧aF) =aµ(F).
そこでslopeの大小を比較すれば,µ(E)≤µ(Qk). したがってX ∼=Pn.
References
[AW01] Andreatta, M., Wi´sniewski, J.A.: On manifolds whose tangent bundle contains an ample subbundle.
Invent. Math.146(1), 209-217 (2001)
[Ara06] Araujo, C: Rational curves of minimal degree and characterizations of projective spaces. Math. Ann.
335(4), 937-951 (2006)
[ADK08] Araujo, C., Druel, S., Kov´acs, S.J.: Cohomological characterizations of projective spaces and hyper- quadrics, Invent. Math. 174, 233-253 (2008)
[HN75] Harder, G., Narasimhan, M.S.: On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves. Math. Ann. 212, 215-248 (1975)
[Kol96] Koll´ar, J.: Rational Curves on Algebraic Varieties. Ergeb. Math. Grenzgeb., vol. 32. Springer, Berlin (1996)
[Miy87] Miyaoka, Y.: Deformations of a morphism along a foliation and applications. Algebraic geometry, Bowdoin (1985), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 46, 245-268. Amer. Math. Soci., Providence (1987) [Mor79] Mori, S.: Projective manifolds with ample tangent bundles. Ann. Math. (2)110(3), 593-606 (1979) [Ros10] K. Ross: Characterizations of projective spaces and hyperquadrics via positivity properties of the
tangent bundle, Preprint arXiv:1012.2043v1 (2010)
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