赤阪正純 (http″缶
upri Web.fc2 com)
バウムクーヘ ン分割(3)
横 α″,縦
/(″ )の
微小長方形をυ軸周りに回転 してできるバウムクーヘンの薄皮 1枚 分の立体を 切って広げると,図
のような薄い板になる̲この立体の体積は
2π
″×/(″
)× α″した が って,求め る立体 の体 積 は,微小体 積
2π
″ズ ″)α
″ を ″=α
か ら ″=み
まで寄せ 集 めたものだか らI´ =i(ら
2π
″ノ(″ )α
″例 題 1(バゥムクーヘ ン分割
)
求める体積
7は
イ(χ
)
切つて
↓ たげ
｀3 励
ル
′的
彰
べ
︐ １ ん
最初 に紹介 した
2つ
の 例 題 をバ ウムクーヘ ン分割の考 え方 を用いて計算 してみよう 例 題 2(バウムクーヘ ン分割)求める体積7は
霧
:た
採.権ら作ケわけや。9.作繊
3」
:l:了 多 Ь メ メ χ
セ′ 『 リ ユすね
y=氏
π
2π ″ sin″ α ″… …②
=2π
=、
π
″(―cOs″)′ α″
=2π {[― ″
COS″]￨十 」 ∫ cos,α ″
}
=2π
2湧′子サtr￢浄…
健動 し乙よ
■
確かに,最初の C)と比べてみれば「バウムクーヘン分割」の方が圧倒的に速く簡単に計算できること がわかります しかし,こ こで必ず「入試で使っても構わないんですか?」 という買間がありますが
,一
番 最初に紹介した 例 題2の
Oの 式 ① をみてください.こ の式って「バ ウム クーヘ ン分害」」の公 式 その ものです 「バ ウムクーヘ ン分割」解答の式 ② と全 く同 じではないですか !!つまり,
「バ ウムクー‐ヘ ン分害」」 とは
,
従来の計鍔I:な
刃員をク クヽんや 置換積分 と部分積分を用 いて式変形 しただけに過 ぎない!! イ■b‐ こいヽいヽ
だか ら
,そ
んなに大騒 ぎす る必要ないのです 「バ ウムクーヘ ン分割 ってスゴいゃ ろ」 と自慢気 に言 う人が いますが,僕に言わせれば大 した話ではあ りません みんな騒 ぎすぎですですか ら,「いきな り公式を使 って よいのか」 とか 「どこまで証明を書 くべ きか」 とイロイロ悩 む ぐらい な ら,セオ リー通 りに従来の方法で計算 を始めて,式変形をして 「バ ウムクーヘ ン分割」の形 に持ち込めば 良いだけの話です そ うすれば全 く問題あ りません.
多 注 あっ,そうそ う,く れ ぐれ も「バウムクーヘ ン分割 よ り ・」と書いてはいけませんよ。 これは俗 称であって,公用語ではあ りませ んか ら
参考 まで に,従来の方法が 「バームクーヘ ン分害J」 と全 く同 じであることを一般的に証明 しておきます なお
,区
間 α<″ <ι
で単調増加の場合 を考 えます 単調減少の場合も全 く同 じですψ牛 初熱 ．
ス
″
凌 洵 ぶっ ｊ︒ め
が ２ブ
一
＋
＋
曲 げ ケ
ル ィ ２ π ︲ 一
挙
一一 二一
一 ｙ
赤阪正純(httpンク
inuprioweb.fc2 com) バ ウム クーヘ ン分割 (4)
一般的な証明 右下図の,斜線部分を υ軸の周 りに回転 してで きる立体の体積yは
,
υ
↑ ・掏
妬Ｐ
①
ヽノ π
¨
ノ
歓 一
∝
＞ け
∞ け
ぽ に は
π π π 一 一 一 一 ソ
ここで,① の下線部分は れに工8:l
π
Jγl:)″
2グ υ
=π ∫ ち″
21;争ご ″
=π ∬″
2υ′ α ″
=″
{[″
2υ
]￨̲」
lι2″ υ α ″
}
=π
(b2/(b)̲―α
2/(α))一 ∫ ら
2芳 ″υご″ ¨ (D したがって
,②を①の下線部分に代入して
,υ
/(b)
/(α
)
I =∫わ
2π
″/(″ )ご
″ ヤ,ソオ〜ィ、 修 卜
7量管
][::瞥結 『』 []羊 た ほ う が …も れ
軸 の まわ りに回転 させ てで きる立体 の体 積 7は
I‐
=2π
∫l″
/(″
)α″で与 え られ る こ とを示 し
,この値 を求め よ
ですカド[― ダイ̲ れenttか
,
̀負
ふて｀
tは
…どの程度 まで証明を書 けばよいのか迷 うところです この入試問題が出題 された当時は 「バ ウムクーヘ ン 分割Jは有名な解法ではなかった とい う時代背景 を考 えると(本間が受験 テクニ ックとしての 「バ ウムクー ヘ ン分割」を導入する先駆 けとなった
),先
ほどの 直感的な証明 でも構わないかもしれ ませ んしか し,「バ ウムクーヘ ン分割」そのものが有名 にな って しまった現在で は 直感的な証明 で は少 し
荒っぽい気がします
.必ずしも満点を得 られるとは限 りません
.減点されても文句はいえないでしょう
一般的な証明 で紹介 したように置換積分 と部分積分に持 ち込むのが良いか と思い ます でも,試験時間 と他の問題 とのバ ランスを考 えて,多少減点 され るのを覚悟の上で, 直感的な証明 で処理 して しまうとい う判 断 も また正 しいか も しれ ませ ん
まっ
,僕は 「そ こまで して『バ ー ム クーヘ ン分割 』 に拘 らな くて もエ エ ん とち や うの ?」 とも思 い ます け どね
ごarで遁ソ
:鰤
由に壼こ″J粕
勧ヒZス
:^τ
・2,・
引iう にうlT 2
澤
t■
ヽヽ]「・ブckt
y=バ ″
