「双曲空間に関連（６）」
しばらく放棄します。レビの逆問題がやりたくなったため（２０１６．１ １．１９） [修正中：2016.11.11,12,16,17,18] [2016.11.3,4,5,6,7,8,9,10] ３０数年前に意気軒昂として脱サラして、内分岐域におけるモンテルの問 題を与えられて解けず（実際は２０１３に解けたとき、偶然過去の資料で解 いていたことを知った。スタイン空間におけるモンテルの問題。２０１４に ジュリアの問題も解いている、と思う。ただ本当のジュリアの問題は分岐リー マン域で（正確に言うと K 完備空間で。K 完備空間は分岐リーマン域とみな せるが、射影の取り方には依存しないので）解くべきものと思うが。また K 完備空間でレビの逆問題が解けると自然にジュリアの問題は解ける）、実力不 足と考え小林双曲幾何を習作として研究した。（解析）空間は封印して、多様 体でずっとやってきた。 その時解けたと思っていたら、今日の自分（取るに足らないが）は無かっ たと思う。最近ようやく、脱サラ時の分岐リーマン域におけるレビの逆問題 に手が届きそうになってきた。そこで空間に慣れるべく、小林双曲空間につ いて彼の教科書に書いてあることをまとめていく。その後、幾つかの問題を 研究する予定。予定は未定であるが。ただし、私の場合は双曲空間より広い、 概双曲空間（その上の超曲面を除けば双曲的）でやるつもりである。１次元 の場合は小林擬距離は常に退化するか常に距離となるので、概双曲空間を考 える必要は無い。２次元以上は双曲空間の例を作ること自体難しい。２次元 であれば、曲線を除いていくと概双曲的になる。その際どうすれば本当に双 曲的になるかは、P2であれば５本の一般な位置にあるものを除けば双曲的に なる、というよく知られた結果がある程度と言って良い。色々難しいの（野 口氏と Winkelmann など）はあるにはある。また P2から種数２以上の曲線 を除いた領域を D とすると、D は双曲的か？というきれいな予想もある（グ ラウエルトの論文は不完全）が、私は今の処やるつもりはない。別の問題か もしれないが、D は C2 に埋め込まれるか？ 空間 X は連結なハウスドルフ空間で、X の任意の点ｐに近傍 Upが解析被覆 Vp に同相写像 ϕpで対応していて、Up∩ Uq ̸= ∅ なら ϕq◦ ϕ−1p : ϕp(Up∩ Uq)→ ϕq(Up∩ Uq) は解析的である（同調している）ときを言う。こう定義すると、 小林の教科書で言うと、X は既約な空間を意味する。細部を逆順に説明して いく。研究用資料（２）の４参照。 解析被覆R は局所コンパクトなハウスドルフ空間とする。Φ : R→ G,G はポリディ スク、A は G の解析的超曲面で、 １） Φ は固有かつ散逆的（点の逆像は孤立点集合）、 ２） Φ を R− Φ−1(A) に制限すると、G− A と局所同相、 ３） Φ−1(A) は R のどこにおいても稠密でなく、R− Φ−1(A) は連結か つ Φ−1(A) のどの点でも局所連結であるとき、 (R, Φ, G) を解析被覆という。以後、略して R とする。 イメージ的には、G 上の相対境界の無い、ｍ葉の分岐被覆リーマン域。 解析被覆 R で関数が正則とは、R の連続関数で、R の分岐集合（R の分岐 点とは、どんな近傍を取っても、G 上１−１に対応していない点）を σ とす ると、R− σ で正則の時を言う。 (R1, Φ1, G1) の領域 D1から (R2, Φ2, G2) の領域 D2への連続写像 φ が正 則とは、D2の任意領域で正則な f に対し、その引き戻し f◦ φ が正則のとき を言う。 事実１ Φ は正則写像となり、σ = Φ−1(A) は R の解析集合となる。 チャートの同調について チャートの共通部分では連続写像で、そこではポリディスクの領域 δ1, δ2 間の、要するに関数の組であるから、そこでは双正則になる。 基本的な定理（G-R, 喜多など） 必要なときは少し小さくすれば、解析被覆 R を定義する代数型関数（ワイ エルシュトラスの擬多項式のゼロをみたす。それを解析面 S とする）が存在 する。 R と S は R の解析面を除き１−１に対応する。それを Ψ とする。（S を G 上のグラフと考えると、それが交叉しているところを除くということ。）S を R のモデルという R の分岐集合 σ は S の解析集合に対応する。 R− Φ(A) には R − Φ(A) → G − A が局所双正則になるような唯一の複素 構造が入る。 R の特異点 そのどんな近傍を取っても、多様体とみなせない（一意化不可能）点。 特異点は分岐点である。 事実２ A の通常点（非特異点）上では R は非特異。（グラウエルトの論文集 I の ２８，９頁。要するにｗ inding point になるので）。結局 R の特異点は A の
特異点集合（解析集合）の逆像（解析集合になる）に含まれる。その余次元 は２以上となる。 CN の開集合 G の既約解析集合 Σ Σ⊂ CN の非特異点（その近傍で多様体と見なせる点）集合を M (Σ) とし、 特異点を Sing(Σ) とする。 Σ 上の弱正則関数 M (Σ) で正則、Σ 上で、局所有界の時を言う。Σ− M(Σ) で値は定義され ていなくてもよい。 Σ 上の正則関数 Σ 上の任意の点で、弱正則関数が正則、すなわち、局所的に CN の正則関 数の制限になっているときを言う。 丁寧に言うと、弱正則関数 f が正則関数 f′と M (Σ) で一致するとき。 Σ 上の点が正規とは、その点の近傍の任意の弱正則関数が正則となること。 Σ が正規とは、そのどの点でも正規であるときをいう。 注意 Σ(M ) の点は正規点、つまり Σ の正規点の集合は M (Σ) に含まれる。 同じ事であるが、Σ の非正規点は Sing(Σ) に含まれる。 岡の定理１ Σ が正規であれば、Sing(Σ) はその上の余次元２以上の解析集合である。 岡の補題 Σ が解析面の場合は、その上の余次元２以上の解析集合を除き正規であれ ば Σ は正規である。 例 Σ ={z2− xy = 0} は正規。 ∵ σ の特異点は (0, 0) のみであり、上の注 意と上の補題より、言える。 岡の定理２ R は正規モデル Σ を持つ。 すなわち、∃Ψ : R → Σ s.t. Σ は正規解析集合 in ポリディスク ∆N, Ψ は １−１で正則 on R. したがって、R の正則関数（Rde 連続で R− σ で正則）は Σ の弱正則関数 にうつり、Σ の正規性より Σ の正則関数になる。西野、定理８．２（２４６ 頁）より ∆N の正則関数の Σ への制限となる。 R の余次元２以上の特異点集合（解析集合）は 空間 X の非正規点全体は X 内の解析集合。？？？
写像の空間 X,Y は位相空間でC(X, Y ) を X から Y への連続写像の全体とすると、コ ンパクト開位相で位相空間になる。 Y が距離空間なら、コンパクト開位相は、コンパクト集合上の一様収束の 位相と一致する。 一般に Z が距離空間ならその部分集合 F が閉集合とは、F の点列が Z の点 ｐに収束するとき p∈ F となるときをいう。 Hol(X, Y ) を（複素）空間 X から（複素）空間 Y への正則写像全体とする。 Y を双曲空間とすると、Y は距離 dY に関して距離空間であるからC(X, Y ) のコンパクト開位相はコンパクト集合上の一様収束の位相に一致する。 したがってF ⊂ Hol(X, Y ) が閉集合とは、F の写像列がある C(X, Y ) の 写像 f に広義一様収束するとき、f∈ F のとき、となる。閉集合が定義され れば、位相空間となる。 F ⊂ C(X, Y ) が相対コンパクトとは、F の写像列が、C で収束する部分列 を持つときを言う。 同じ事だが ¯F はコンパクト。 X,Y は空間、dX,dY に関して短縮性を持つ写像全体をD(X, Y ) ⊂ C(X, Y ) とすると、C(X, Y ) の閉集合となる。また、Hol(X, Y ) ⊂ D(X, Y ) である。 Y が ∆ を法として双曲的の場合はそのうち。 ５章の３，４，５のまとめ X,Y は空間、F ⊂ Hol(X, Y ) に複素構造があったとした上で、それが普遍 構造であるとは、 １） 付値写像 Φ : X× F → Y は正則, ２） T は空間、φ : X× T → Y は正則で φ(·, t) ∈ F なら ˜φ : T → F such as ˜φ := φ(·, t) は正則、であること。 Douady の定理 X がコンパクト空間なら、任意の空間 Y に対し、Hol(X, Y ) は普遍解析構 造を持つ。 次の補題のF は Hol(X, Y ) を念頭においているが、そうでなくても成立 する。 補題（５．３．１） X,Y,F は連結な空間で、X はコンパクトとする。Φ : X × F → Y は正則 で、ある f0∈ F で Φ(·, f0) : X→ Y が定値写像とすると、全ての f ∈ F は 定値写像である。 固有写像に関するスタイン分解
任意の固有正則写像 f : X→ Y は一意的に次のように分解される。 f : X→ Xf′ → Y ここに、pf : X→ Xf′ は固有正則 onto, かつ p∗(O(X)) = O(X′ f). 特に pf のファイバーは全て連結。また f′: Xf′ → Y は有限写像。 Xf′ は f−1(y), y∈ Y の（集合的）連結成分を一点とみなすことにより得ら れる空間。 系（５．３．２） X,Y は連結な空間、F ⊂ Hol(X, Y ) は連結な普遍構造を持つ部分族 s.t. ∀f ∈ F は固有写像となるとせよ。しからば F は同時的分解 f : X → X′→ Y, f ∈ F を持つ。ここに p : X → X′は固有 onto 正則写像で、連結なファイ バーをもち、f′: X′→ Y は有限写像。 系（５．３．３） X を連結コンパクト空間、π : ˜X → X は特異点解消とする。Y は連結
な空間、f0 ∈ Hol(X, Y ), ˜f = f0 ◦ π ∈ Hol( ˜X, Y ) とする。F(resp. ˜F) は
f0(resp. ˜f0) を含む Hol(X, Y )(resp.Hol( ˜X, Y )) の連結成分とする。そうする
と、f7→ f ◦ π は F を ˜F へ双正則にうつす。 系（５，３．４） X,Y は空間とする。Hol(X, Y ) は普遍構造を持つ部分族F を持つと仮定す る。すると∀x0 ∈ X,f 7→ f(x0) で与えられる写像F → Y は有限写像であ る。言い換えると、∀x0∈ X, ∀y0∈ Y に対し、F0={f ∈ F; f(x0) = y0} は 有限集合。特に dimF ≤ dmY . 写像のランク
空間 X,Y 間の正則写像を f としたとき、rankf = maxx∈X{dimxX −
dimxf−1(f (x))},
注意
ｆが同次元的非退化写像であれば、f−1(f (x)) は０次元であるからｆのラ ンクは X の次元に一致する。
k = 0, 1,· · · , dimX としたとき、Hol(X, Y, k) = {f ∈ Hol(X, Y ), rankf = k} とする。
Sur(X, Y ) は Hol(X, Y ) の surjective 写像全体。F in(X, Y ) は有限写像の
全体とする。
X がコンパクトで既約のとき、Sur(X, Y ) = Hol(X, Y, m), m = dimY . 系（５．３．５）
X,Y は連結空間で、X はコンパクトとすると、
F in(X, Y ), Sur(X, Y ), Hol(X, Y, k), 0≤ k ≤ m = dmX は Hol(X, Y ) に
おいて開かつ閉である。
注意
位相空間において開かつ閉とは、全体集合か空集合である。 定理（５．３．９）
X,Y は空間。Y は完備双曲的（taut でもよい）なら K⊂ X,L ⊂ Y はそれぞ れ任意のコンパクト部分集合 とすると、FK,L={f ∈ Hol(X, Y ); f(K)∩L ̸= ∅} はコンパクトである。特に Y がコンパクト双曲的なら Hol(X, Y ) 自身が コンパクトである。 理由は Hol(X, Y ) は正規族になり（後出の定理５．１．５）、FK,L は （Hol(X, Y ) の閉集合である）正規族となるから。 定理（５．３．１０） X はコンパクト空間、Y は完備双曲空間 (taut 空間でよい）とする。x0∈ X を任意に固定すると、Hol(X, Y )→ Y : f 7→ f(x0) は有限写像である。 定理（５．３．１２） 省略。 H.Cartan の有界領域の古典的結果の拡張。 定理（５．４．２） X はｎ次元双曲空間とすると、 １） Aut(X) はコンパクト開位相で実リー群になる。その次元は n(n + 2) 以下。 ２） ∀x ∈ X, ∀K コンパクト集合 inX に対し、{f ∈ Aut(X) : f(x) ⊂ K} はコンパクト。 特に∀x ∈ X に対し、Aut(X) の isotropy(等方）部分群はコンパクト。 群 G が集合 X に作用し、x ∈ X のとき、g(x) = x をみたすもの全体 Gx をｘの等方部分群という。
３） Aut(X) の Lie 代数 aut(X) は完全積分可能な正則ベクトル場を含む。 定理（５，４，３）
X はコンパクト空間とすると、Aut(X) は複素リー群で、そのリー代数
aut(X) は全ての正則場よりなる。
コンパクト空間上、全てのベクトル場は完全であるから、全ての正則場は
Aut(X) のリー代数。
X が多様体で、コンパクトでも双曲的でもないとき、Aut(X) は too large to be a Lie group as in the case of X = Cn n≥ 2.
リー群
G は群多様体で、可算開基をもち、G∋ x, y とすると、(x, y) → xy, x → x−1 は正則のときを言う。
注意 有限次元連結位相多様体 X が、可算開基をもつ、パラコンパクト、第二可 算公理をみたす、というのは同じ事になる。 第二可算公理をみたすとは、X のコンパクト集合列 Ki, Ki⋐ Ki+1があっ て、X =∪Kiであること。 ラドーの定理。リーマン面は第二可算をみたす（楠：８３頁）。 高次元多様体ではそうならない例がある（西野：２３８頁）。 リー代数 定理（５．４．４） X がコンパクト双曲空間なら Aut(X) は有限群。 フルビッツの定理 X がコンパクトリーマン面で種数 g≥ 2 なら X の自己同形の数は ≤ 84(g−1). 注意 g≤ 1 なら ∞ となる。 定理（５．５．１） X は双曲空間、o は X の非特異点、f : X → X, f(o) = o は正則写像で、 dfo: ToX→ ToX は o における f の微分とすると、 １） dfoの｜固有値｜≤ 1, 2) dfoが ToX の恒等変換なら f は X の恒等変換。 3)|det(dfo)| = 1 なら f は双正則。 正則レトラクション
X を空間、ρ∈ Hol(X, X) が hol. retraction とは、ρ2 = ρ なるものであ り、ρ(X) は X の hol. retracton と呼ぶ。明らかに、ρ(X) は ρ の固定点集合 である。 命題（５．５．３） ρ を X の hol. retraction とすると、ρ(X) は X の閉連結部分空間で、x∈ ρ(X) が X の非特異点であれば x は ρ(X) の非特異点である。 定理（５．５．４）
X は taut な空間。{f ∈ Hol(X, X),fk := f◦ f ◦ · · · ◦ f}、は compactly
div. しないとすると
１） X の hol. ret. ρ が存在して、任意の{fk} の極限写像 h ∈ Hol(X, X)
に対し、h = γ◦ ρ、ここに γ は Aut(ρ(X)).
２） 更に{fk} のある部分列が ρ に収束する。
３） f|ρ(X)は Aut(ρ(X)).
X は taut 空間で正次元コンパクト部分空間を含まない、更に f ∈ Hol(X, X) とし、f (X) は X のコンパクト閉包を持つとすると、f は唯一の x0∈ X が あり、{fk} は定値写像 x 0に収束する。 定理（５．５．７） X はコンパクト双曲空間、f ∈ Hol(X, X) とすると、∃k s.t. fkは hol. retraction, 特に、{fk} はある hol. retraction に収束することと、f 自身が
hol.retraction であることは同じである。 古典的 Denjoy-Wolff の定理
f ∈ Hol(D, D),（D は単位円）が固定点も持たない if and only if {fk}
は境界点に収束する。 定理（５．５．９）
X は位相的に可縮な有界擬凸領域 in Cn with C3 boundary なら
f ∈ Hol(X, X) が X 内に固定点を持たない if and only if {fk} は境界点
に広義一様収束する。 古典的ピカールの小定理、ボレルの定理 Pn,H 1,· · · , Hn+pは一般な位置にあるとする。∀f ∈ Hol(C, Pn− ∪Hi) に 対し、その像は線形部分空間（次元≤ [n p]）. p = n + 1 のときは、f は定値写像となる。Pn− ∪2n+1 i=1 Hiは完備双曲的か つ双曲的に Pnに埋め込まれている。 西野によるピーカールの小定理（英訳：１６３頁） T : Cn→ Pmとし、その像が少なくとも m + 2 個の既約代数超曲面を除 外するなら、T は代数的に退化する。つまりその像は Pmの代数的超曲面に 含まれる。ここに n, m≥ 1. 系（６．２．４） Y:完備双曲空間、X：ｍ次元多様体、A は部分空間で codim≥ 2 なら ∀f : Hol(X − A, Y ) は Hol(X, Y ) に延長される。 系（６．３．５） Y はコンパクト双曲空間とすると、f ∈ H(∆∗, Y ) は Hol(∆, Y ) に延長さ れる。 定理（６．３．９） X はｍ次元多様体、A は X の部分空間で高々正規交叉特異点を持つ超曲 面からなり、Y、Z は空間、Y は双曲的に Z に埋め込まれているなら、h∈ Hol(X− A, Y ) は Hol(X, Z) に延長出来る。 Y がコンパクト双曲的の場合、A の特異性に関する制限はない。つまり 定理（６．３．１０）
X は多様体、A は閉部分空間（容量０集合では？）、Y はコンパクト双曲空 間なら h∈ Hol(X − A, Y ) は Hol(X, Y ) に延長出来る。 系（６．３．１２） X は多様体で dX ≡ 0、A は X の閉部分空間で X − A は双曲的なら、 X− A はコンパクト多様体を被覆空間として持ち得ない。 定理（６．３．１５） 空間 Y は空間 Z に双曲的に埋め込まれている、X は多様体、A は超曲面よ りなる閉部分空間で高々正規交叉特異点を持つとすると、
Hol(X−A, Y ) は Hol(X, Z) で相対コンパクト、つまり、{fn} ⊂ Hol(X −
A, Y ) は Hol(X, Z) に収束する部分列を持つ。 定理（６．３．１９） X は多様体、Y は双曲空間とすると、∀f ∈ Mer(X, Y ) は正則写像である。 普遍複素構造 X はコンパクト空間、Y は任意の空間とする。Hol(X, Y ) は期待される自然 な性質を持つとき、普遍複素構造という。自然な、という正確な定義は前出。 定理（６．４．１）
X,Y はコンパクト空間、Y は双曲的、F は Hol(X, Y ) の連結成分とすると、 １） Hol(X, Y ) はコンパクト。 ２） F はコンパクト双曲空間。 ３） Φ : X× F → X × Y (x, f) → (x, f(x)) （evaluation map という） は有限写像である。特に dimF ≤ dimY . この定理は次のように一般化できる。 定理（６，４．２） 略。 定理（６．４．８） Z はコンパクト空間、B は Cartier 因子（閉部分空間で局所的に１つの正則 関数の０で定義される）で Y = Z− B は Z に双曲的に埋め込まれている。X はコンパクト多様体、A は高々正規交叉特異点をもつ因子、Hol(X− A, Y, n) n は写像のランクとすると、Hol(X− A, Y, n) はコンパクトで、その任意の 連結成分F はコンパクト双曲空間である。 ファイバー空間（２９５∼３０２ページ） そのうち。 双曲空間への onto map f が空間 X から空間 Y への有理型写像が dominant とは、そのグラフ
Gf ⊂ X × Y は Y への onto map under the natural projection X × Y → Y
f が正則写像のときは、onto map であるこに同じである。
X,Y がコンパクトかつ既約とするなら、f が dominant ということは、∃x ∈
X− Sin(X) s.t. f がｘで regular で、df:TxX → Tf (x)Y は onto であること
と同じ。 定理（６．６．１）今吉による古典的ドフランシスの定理の一般化 X,Y はコンパクトリーマン面、g(Y )≥ 2 とすると、 {f : X → Y } は有限集合, ただし f は正則かつ onto。 高次元化（７．６．１）、小林ー落合 X,Y はコンパクト空間で Y は一般型とすると、Dom(X, Y ) は有限集合, こ こに Dom(X, Y ) は X から Y への onto 有理型写像全体。 Lang 予想？、野口の定理？ 定理（６．６．２）
X,Y はコンパクトな既約な空間、Y は双曲的なら Dom(X, Y ) は有限集合。 Y が双曲的なら、A を X のコンパクト部分空間、B を Y のコンパクト部 分空間としたとき、{f : f ∈ Hol(X, Y ), f(A) = B} は有限集合という事実を 使う。
定理（６．６．９）、鈴木誠
X はコンパクト空間 with a Cartier divisor A,Z はコンパクト空間 with a Cartier divisor B, s.t. Y = Z− B は Z に双曲的に埋め込まれるなら、
Dom(X− A, Y ) は有限集合.
系（６．６．１０）
X はコンパクト空間 with a Cartier divisor A s.t. X− A は X に双曲的に 埋め込まれているなら、Bim(X− A)（双有理同型）は有限集合。 系（６．６．１１） A⊂ X,B ⊂ Z は（６．６．９）と同じとする。 Hol(X− A, Z − B) の任意の既約成分は、全ての定値写像からなる成分を 除き、その次元≤ dimZ − 1. 定理（６．６．２０） X をコンパクト双曲空間とすると、∀f : X → X 正則 onto は X の自己同 形である。 ３２９，３３０頁にファイバー空間の section に対する有限性定理について 書かれている。 定理（７．５．１） X は空間、A は X の部分空間、
Y は一般型コンパクト空間（Y の次元は X の次元を超えない）、（Y が射影 多様体のときは KY が ample ということだが）このとき、f : X− A → Y
を有理型写像で maximal rank とすると、X→ Y に有理型に拡張できる。
系（７．５．９）
X は多様体、A は X の部分空間、Y は smooth variety with a very ample
KY s.t. dimY ≤ dimX とすると、f : X − A → Y 正則かつ maximal rank
は X→ Y に正則に拡張できる。 ２０１６．１０．２４のノートよりテキトー X を空間、∆ を X の閉部分集合とする。 X が mod∆ で双曲的とは（小林６８ページ） X− ∆ ∋ ∀p, ∀q, p ̸= q に対し、dX(p, q)̸= 0 のときを言う。 ∆X ={p ∈ X; ∃q ∈ X, s.t.p ̸= qwithdX(p, q) = 0} とすると、∆X⊂ ∆. 定理１．１２（２００７） X は多様体とすると、∆X は X のオーダー１の擬凹集合（当然閉集合で ある） 注意 空間におけるオーダー１の擬凹集合の定義？ 注意（２００７，Remark １．１７） X で C2のスタイン領域かつ ∆X̸= X かつ ∆Xは開集合を含むもの有り。 X は空間、∆ を X の閉部分集合とする。X が taut mod ∆ とは（小林。２ ４０ページ） D を任意次元多重円板、∀F ⊂ Hol(D, X) が正規族 mod∆、すなわち
∀F = {fj} ⊂ F が Hol(D, X) で D で広義一様収束するか conpact diverge
to ∆.
定理（５．１．１９）
taut space mod ∆ なら双曲的 mod∆. 命題１ 多重円板 D の解析集合 Σ は双曲的。 ∵ D は有界領域であるので双曲的、Σ から D への inclusion があり、短縮 原理より。 命題２ 多重円板 D は taut. ∵ Cnの有界凸領域は taut. 系（５．２．１２） 定理（５．２．５） Cnの有界擬凸領域で C1境界をもつとき、taut.
超球は taut. 注意 C1境界でなければ反例がある。（Example 5.2.9) 注意 ２０１３の結果はおかしい？ 補題（５．２．８） Cnの有界領域が局所 taut なら taut. 問題？
X はスタイン空間、∆ ={g = 0, g ∈ O(X)} としたとき、hyp. mod ∆ な ら taut mod ∆? 逆は正しい。 定理（５．２．１） Cnの taut な領域は擬凸。 定理（５．１．５） X が taut 空間なら、∀D 空間に対し、Hol(D, X) は正規族。 Aut(X-E) は Aut(X)? 野口 (６章） ファイバーの種数＞２で、底 R は代数曲線、有理切断が無限個存在する なら、 R のザリスキ開集合 R’ があって、X|R′ ∼= R′× Xt(t∈ R′) で有限個を除 いて、有理切断は定数となる。 注意 マニンにより（不完全であるが）微分方程式を使って証明された（１９６３）。 一変数関数論における正規族 命題１ F ={fj(z), fj∈ O(D)} が正規族で、D の一点で収束（この条件は弱めら れる）するなら、極限関数 f ∈ O に広義一様収束する。 ビタリの定理 F は局所一様収束なら、正規族であるから、一点で収束すれば、上の命題 の結論が言える。 命題２ fj ∈ O∗(D) は局所有界なら、fjは定数０に広義一様収束する。 過去の結果？に絡む問題 ２００７ M を多様体としたとき、∆Mはオーダー１の擬凹集合。
ピカールの小定理（２００９） X は次元が１以上の多様体、A は X の超曲面、Y は Cnの領域で、∆ Y ⊂ S, ここに S は Cnの代数的超曲面とすると、 f ∈ Hol(X −A, Y ) が A の全ての成分に有理型に拡張できないなら、f(X − A)⊂ S. 注意 このことを、空間で言うこと。ピカールの大定理は？ 定理４．１（２０１３） X をコンパクト多様体、s.t. ˜X は Cnの領域か、スタイン多様体、∆X ⊂ S
where S は X の超曲面、つまり X は mod S で双曲的なら taut mod S. 注意 この結果は正しいか？ また空間で考えること。 定理４．４（２０１３） X はスタイン多様体、∆X⊂ S = {g = 0, whereg ∈ O なら X は taut mod S. 注意 この結果は正しいか？ また空間で考えること。 ピカールの大、小定理（２０１２） M =Cm,A は Cmの解析的超平面、S は Cmの超曲面、M は mod S で双 曲的なら、f ∈ Hol(∆∗, M ) とすると、次のどれかになる。 １） f (0 : M )̸= ∅, ２） f (∆∗)⊂ S, ３） f (0 : M )⊂ S かつ、∃ρ ≤ 1, s.t. f(∆∗)∩ S = ∅. 注意 証明は不完全である。結果自体正しいかどうか不明。 正規空間における容量０集合の定義（２０１４） 定理３．７（２０１４） M を正規空間、E を閉容量０集合、f ∈ Hol(M − E, X)、X は空間でコン パクトでも開でもよい。また、f は E の各点ｐに対し、近傍 U (p) と X0が あって、f (U− E) は X0の完全内部にあるなら 、 f は Hol(M, X) に拡張できる。 定理４．５（２０１４） M は多様体、E は閉容量０集合とする。X は開でもコンパクトでも双曲的 空間で、X の任意の相対コンパクト部分領域 K の近傍で正則的に分離する関 数が存在するとする。
f ∈ Hol(M − E, X) s.t. f(M − E) は X で相対コンパクト（X がコンパク トならそうなると思うが）f は Hol(M, X) に拡張出来る。 注意 M を（正規）空間にすること。 定理４．６（２０１４） M,E は定理４．５に同じ。X はコンパクト双曲空間で ˜X はスタイン空間 なら、 f ∈ Hol(M − E, X) は Hol(M, X) に拡張される。 注意 M を（正規）空間にすること。 系４．８（２０１６） M,E は定理４．５に同じ。f : M− E → X は正則単射、X はコンパクト 双曲空間なら、 f は Hol(M, X) に拡張出来る。 定理４．９（２０１４） X はコンパクト双曲多様体、E は容量０の閉集合（超曲面ならそう）？？？
