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生保数理(問題)

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Academic year: 2021

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(1)

生保数理・・・・・・1

生保数理(問題)

問題1.次の(1)~(8)の各問について、最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から選び、解答 用紙の所定の欄にマークしなさい。 各5点(計40点)

(1) 債務の返済方法として次の2つを考える。

・ 返済額が毎回同額となるように返済する方法(元利均等返済)

・ 元金は均等に返済することとし、これに加えて毎返済時には未返済元金に対する利息を支払 う方法(元金均等返済)

元金が同額であり、返済期間35年、年1回期末返済、金利2.00%の場合、(元金均等返済による 総返済額)÷(元利均等返済による総返済額)の値に最も近いものは次のうちどれか。必要であ れば、 24.9986

35

a を用いなさい。

(A) 0.95 (B) 0.96 (C) 0.97 (D) 0.98 (E) 0.99

(F) 1.00 (G) 1.01 (H) 1.02 (I) 1.03 (J) 1.04

(2) ある集団が原因A、Bによって減少していく2重脱退表を考える。x歳(0≦x<100)における原 Aによる脱退力が

x

A

x

100

1 、原因Bによる脱退力がxB 0.05であるとするとき、40歳以上 A脱退する者の脱退時の平均年齢として最も近いものは次のうちどれか。必要であれば、

1353 .

2 0

e e50.0067を用いなさい。

(A) 45 (B) 48 (C) 51 (D) 54 (E) 57

(F) 60 (G) 63 (H) 66 (I) 69 (J) 72

(3) 次の(A)~(E)の関係式のうち、常に正しい関係式の記号を全て選びなさい。ただし、

該当するものが1つもないときは(F)を選びなさい。

(A)年k回支払の期始払確定年金の年金現価

 k k n k

n v v

a

1 1

1

(B)期末払の有期生命年金現価

x n x x n

x D

N a N 1

:

(C)計算基数

1

x x x

x v l l

C

(D)保険料一時払、保険金即時支払のf年据置定期保険の純保険料

x n x f x n f x

D M A M

1

:

(E)期始払累減年金の現価

  x x x n

x n

x n N S S

a D

D 1

 :

(2)

(4) Ax:n およびax:n は、発生確率{qx,1|qx,,n1|qx,npx}で生じる支払金の現価および支払総 額の現価をそれぞれ確率変数とした際の平均値として表すことができる。Ax:n およびax:n のそ

れぞれに対応する確率変数の分散を    : 2 2

: :

2

n x n x n

x A A

A

および    : 2

2 : :

2

n x n x n

x a a

a

と表

した場合、以下の算式の①~③に当てはまる組み合わせ① ,,として適切なものは次のうち どれか。ここで、A〔2x:n a〔2x:n はそれぞれAx:n ax:n に対応する確率変数の二乗を確率変数とし た際の平均値を表すものとする。

③ 

① 

② 

① 

2 2

: 1 2

n

Ax

(A)

: , , : 2

n x n

x d a

a

(B)

: , , : 2

n x n

x v a

a

(C)d ax n ax n

: 2

: ,

, (D) v ax n ax n

: 2

: ,

,

(E)

 : 2

2

: ,

,ax n ax n

d (F) v ,ax2:n , ax:n 2

(G), : , 〔2:

n x n

x a

a

d (H) , : , 〔2:

n x n

x a

a v

(I), : , 〔2:

n n x

x a

A

d (J)1 , : , 〔2:

n n x

x a

A

(5) x歳加入、保険料一時払、保険金額1、保険期間n年の生存保険で、期間途中t(0<t<n)の死亡 に対しては責任準備金tV()1/2を即時に支払うものとするとき、一時払純保険料に最も近いも のは次のうちどれか。ただし、vn 0.88277npx 0.90250とする。

(A) 0.831 (B) 0.832 (C) 0.833 (D) 0.834 (E) 0.835

(F) 0.836 (G) 0.837 (H) 0.838 (I) 0.839 (J) 0.840

(6) 40歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険金額1、保険期間20年の養老保険 において、15年経過後に払済保険へ変更する場合の払済保険金額は0.7567になる。同じ時点で延 長保険へ変更する場合の生存保険金額に最も近いものは次のうちどれか。

ただし、払済保険金額、生存保険金額を計算する場合に用いる解約返戻金は変更時点の平準純 保険料式責任準備金と同額とし、払済保険の予定事業費は毎年度始に払済保険金額1に対し

0.002、延長保険の予定事業費は毎年度始に死亡保険金額1に対し0.001、生存保険金額1に対し

0.001とする。また、v = 0.99、5p550.9670a40:20 17.7601とする。

(A) 0.712 (B) 0.717 (C) 0.722 (D) 0.727 (E) 0.732

(F) 0.737 (G) 0.742 (H) 0.747 (I) 0.752 (J) 0.757

(7) qx2y 0.42qx2z 0.50qx1yz 0.28qxy2zqxy3zのとき、q1xyzの値に最も近いも のは次のうちどれか。

(A) 0.31 (B) 0.32 (C) 0.33 (D) 0.34 (E) 0.35

(F) 0.36 (G) 0.37 (H) 0.38 (I) 0.39 (J) 0.40

(3)

生保数理・・・・・・3

余白ページ

(4)

(8) x歳加入、保険料年払全期払込、給付日額、保険期間n年の次の給付を行う疾病入院保険の 年払純保険料を表す式は次のうちどれか。

【給付内容】

・疾病により5日以上270日未満入院した場合、入院日数から4日を差し引いた日数と120日と の短い方の日数を給付日額に乗じて得られる金額を支払う。また、270日以上入院した場合、

給付日額に270を乗じて得られる金額を支払う。なお、入院の発生および疾病入院給付金の支 払は入院日数によらず年央に発生するものとし、1年間に2回以上の入院は発生しないものと する。また、保険期間中に入院を開始した場合、入院期間が保険期間を超えて継続する場合も 給付の対象とする。

【記号の定義】

・退院までの入院日数がi日の予定疾病入院発生率は、x+t歳の被保険者について1年間あたり

shi t

qx (i=1,2,…)

5 i

shi t x sh

t

x q

q

(5)

生保数理・・・・・・5

(A)

n x n

t i

shi t x i

shi t x sh

t x x t t

a

q i

q q

p v

: 1

0 1 270

2 /

1 min 4,120 270

(B)

n x n

t i

shi t x i

shi t x sh

t x x t t

a

q i

q q

p v

: 1

0 5 270

2 /

1 min 4,120 270

(C)

n x n

t i

shi t x i

shi t x sh

t x x t t

a

q i

q q

p v

: 1

0 1 270

2 /

1 min ,120 4 270

(D)

n x n

t i

shi t x i

shi t x sh

t x x t t

a

q i

q q

p v

: 1

0 1 270

2 /

1 min 4,120 150

(E)

n x n

t i

shi t x i

shi t x sh

t x x t t

a

q i

q q

p v

: 1

0 5 270

2 /

1 min 4,120 150

(F)

n x n

t i

shi t x i

shi t x x

t t

a

q i

q p

v

: 1

0 1 270

2 /

1 min 4,120 270

(G)

n x n

t i

shi t x i

shi t x x

t t

a

q i

q p

v

: 1

0 5 270

2 /

1 min 4,120 270

(H)

n x n

t i

shi t x i

shi t x x

t t

a

q i

q p

v

: 1

0 1 270

2 /

1 min ,120 4 270

(I)

n x n

t i

shi t x i

shi t x x

t t

a

q i

q p

v

: 1

0 1 270

2 /

1 min 4,120 150

(J)

n x n

t i

shi t x i

shi t x x

t t

a

q i

q p

v

: 1

0 5 270

2 /

1 min 4,120 150

(6)

問題2.次の(1)~(6)の各問について、最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から選び、解答 用紙の所定の欄にマークしなさい。

各7点(計42点)

(1) x歳加入、保険料年払全期払込、保険期間n年(n≧3)の次の給付を行う保険を考える。

・ 満期まで生存すれば、満期時に保険金額1を支払う。

・ あるt (1<t<n)に対し、第t保険年度までに死亡した場合は、死亡した保険年度末に、死亡し た保険年度末の平準純保険料式責任準備金を支払う。

・ 第t+1保険年度以降に死亡した場合は、死亡した保険年度末に保険金額1を支払う。

この保険の年払純保険料Pが、xt歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険金額

1、保険期間nt年の養老保険の年払純保険料の50%であるとき、vtを表す式は次のうちどれか。

(A)

t n t x

t

a s

:

(B)

t n t x

t

a s

:

(C)

t n t x

t

a a

:

(D)

t n t x

t

a a

:

(E)

t n t x

t n

a a

:

(F)

t n t x

t n

a a

:

(G)

n x

t

a s

:

(H)

n x

t

a s

:

(I)

n x

t

a a

:

(J)

n x

t

a a

:

(2) あるx(x≦xxn1)の予定死亡率を引き下げたとき、必ず値が小さくなるものの記号 を全て選びなさい。ただし、該当するものが1つもないときは(H)を選びなさい。ここで、予 定利率は一定かつ0ではないものとし、n≧2とする。

(A) axn

:

(B) Axn

: (C) Ax  :n1 (D) A1x:n (E) Px n

:

(F) Px  :n1 (G) Px1:n

(3) x歳加入、保険料年払全期払込、保険期間n年の生存保険において、被保険者が満期まで生 存すれば保険金額1を支払い、死亡すればその保険年度末に既払込営業保険料に年i %の利息を 付けて支払う場合の営業保険料の値に最も近いものは次のうちどれか。

予定利率はi %とし、予定新契約費は新契約時にのみ保険金額1に対し0.025、予定集金費は保険 料払込のつど営業保険料1に対し0.03、予定維持費は毎保険年度始に保険金額1に対し0.003 する。

また、 1

:n

Ax = 0.334、

n

ax: = 15.900、

an = 16.247、n px= 0.890とする。

(A) 0.0290 (B) 0.0291 (C) 0.0292 (D) 0.0293 (E) 0.0294

(F) 0.0295 (G) 0.0296 (H) 0.0297 (I) 0.0298 (J) 0.0299

(7)

生保数理・・・・・・7

(4) x歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険金額1、保険期間n年の養老保険の t保険年度末全期チルメル式責任準備金tVxzn

: を考える。

047712 .

: 0

n

Px qx 0.005、i=1.00%、 0.096965

:

k

Px 1: 0.004950

k

Px

(2≦k<n、kは定数)とする。

この保険の第1保険年度末全期チルメル式責任準備金 0

1 z:

n

Vx となるとき、チルメル割合

となり、第k保険年度末全期チルメル式責任準備金 z

n kVx

: となる。

①および②の空欄に当てはまる値に最も近いものをそれぞれ選びなさい。

【①の選択肢】

(A) 0.025 (B) 0.030 (C) 0.035 (D) 0.040 (E) 0.045

(F) 0.050 (G) 0.055 (H) 0.060 (I) 0.065 (J) 0.070

【②の選択肢】

(A) 0.40 (B) 0.42 (C) 0.44 (D) 0.46 (E) 0.48

(F) 0.50 (G) 0.52 (H) 0.54 (I) 0.56 (J) 0.58

(5) 40 歳の被保険者が 60 歳の被保険者より先に死亡する確率は 0.1284、40歳の被保険者が 10 年以内に死亡する確率は0.0212、50歳の被保険者が10年以内に死亡する確率は0.0416である。

このとき、40歳の被保険者と50歳の被保険者が相互に10年以内の期間を隔てて死亡する確率(あ る一方が死亡した後、もう一方が10年以内に死亡する確率)として最も近いものは次のうちどれ か。ここで、全ての被保険者は同一の生命表に従うとする。

(A) 0.15 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.30 (E) 0.35

(F) 0.40 (G) 0.45 (H) 0.50 (I) 0.55 (J) 0.60

(6) 契約時30歳の就業者が就業不能となった年度末から生存中、ただし契約時から20年後の年 度末まで支払われる年金の現価aai

20 :

30 に最も近いものは次のうちどれか。

ここで、就業不能者でない者は就業者であるものとし、就業不能者が回復して就業者に復帰す ることはないものとする。また、基数は下表のとおりとする。

x Dxaa Nxaa Dxii Nxii Dix Nix

30 73,519 2,102,735 121 30,955 68,728 1,658,697 31 72,710 2,029,216 139 30,834 67,279 1,589,969 50 57,223 784,251 699 24,069 43,060 528,196 51 56,291 727,028 757 23,370 41,756 485,136

(A) 0.0629 (B) 0.0666 (C) 0.0712 (D) 0.0751 (E) 0.0812

(F) 0.0865 (G) 0.0928 (H) 0.0967 (I) 0.1003 (J) 0.1045

(8)

問題3.次の(1)(2)の各問について、最も適切なものをそれぞれの選択肢の中から1つ選び、解 答用紙の所定の欄にマークしなさい。 各9点(計18点)

(1) x歳加入、保険料年払全期払込、保険金年度末支払、保険金額1、保険期間n(n≧2)の標準 体および特別条件体の定期保険について考える。

次の①~⑨の空欄に当てはまる最も適切なものを選択肢の中から1つ選びなさい。なお、同じ選 択肢を複数回用いてもよい。

ここで、記号の定義は以下のとおりとする。

qxk:標準体の死亡率 (k = 0, 1, , n‐1)

qxk:特別条件体の死亡率 (k = 0, 1, , n‐1)

P:標準体の死亡率に基づく年払純保険料

P:特別条件体の死亡率に基づく年払純保険料

kV:標準体の死亡率に基づく第k保険年度末平準純保険料式責任準備金

kV:特別条件体の死亡率に基づく第k保険年度末平準純保険料式責任準備金

DxkNxkCxkMxkは特別条件体の死亡率に基づく計算基数

pxk 1qxkpxk 1qxk

kVkVkVPPPqxk qxk qxkpxk pxk pxk なお、予定利率は標準体と特別条件体で同じものとする。

A) 標準体と特別条件体の各保険契約に対する責任準備金の再帰式について、pxk を用いて整理すると、

 

v V

v P

V k

k 1

(k = 0, 1, , n‐1)

と表すことができる。

よって、特別条件体の保険契約の標準体の保険契約に対する上乗せ年払純保険料Pは、

1 0

1 n

k

k

Dx

v P

となる。

B) 標準体の保険契約と特別条件体の保険契約とで年払純保険料の額に差が生じないように、特 別条件体の契約に対する保険金額を1から だけ削減することとした場合、標準体の死亡率と 特別条件体の死亡率にqxk (1)qxkという関係があるとすると、

P P

1

k x k x

q q より、

1 0

1 1

n k

と表すことができる。ただし、>0、0<<1とする。

(9)

生保数理・・・・・・9

【選択肢】

(ア) (イ) (ウ) (1) (エ) (1) (オ) 1pxk

(カ) 1pxk (キ) qxk (ク) qxk (ケ) pxk (コ) pxk

(サ) qxk (シ) qxk (ス) Dxk (セ) Cxk (ソ) Nxk

(タ) Mxk (チ) Dx (ツ) Cx (テ) Nx (ト) Mx

(ナ) DxDxn (ニ) NxNxn (ヌ) MxMxn (ネ) P (ノ) (1kV) 

(ハ) (1kV ) (ヒ) (1kV ) (フ) (1k1V)  (ヘ) (1k1V ) (ホ) (1k1V )

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