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6 独立な確率変数の和とたたみ込み 問題演習解答
基本演習6.1 f(x) = 12e−|x|とするとき、たたみ込みf ∗f を求めて下さい。
(f∗f)(x) = Z 1
−1
1
2e−|x−y|1 2e−|y|dy
= Z 0
−1
1
2e−|x−y|1 2eydy+
Z 1
0
1
2e−|x−y|1 2e−ydy
=
1 4
Rx
−1ey−xeydy+14R0
xex−yeydy+14R1
0 ex−ye−ydy x≤0
1 4
R0
−1ey−xeydy+14Rx
0 ey−xe−ydy+14R1
x ex−ye−ydy 0≤x
=
1 4e−x£1
2e2y§x
−1−14xex+14ex£
−12e−2y§1
0 x≤0
1 4e−x£1
2e2y§0
−1+14xe−x+14ex£
−12e−2y§1
x 0≤x
=
1
8ex−14xex+18ex x≤0
1
8e−x+14xe−x+18e−x 0≤x
=
1
4(1−x)ex x≤0
1
4(1 +x)e−x 0≤x.
基本演習6.2 たたみ込みの対称性：f∗g=g∗f を証明して下さい。
【解答例】
(f∗g)(x) = Z 1
−1
f(x−y)g(y)dy
= Z −1
1
f(z)g(x−z)(−1)dz
= Z 1
−1
g(x−z)f(z)dz= (g∗f)(x).
基本演習6.3 正規分布N(0, t)の密度関数をNtで表します。Ns∗Nt=Ns+tとな る事を示して下さい。ただしGauß積分R1
−1e−x2dx=√πは既知とします。
【解答例】
(Ns∗Nt)(x) = Z 1
−1
√1
2πse−(x−2sy)2 1
√2πte−y
2 2tdy
= 1
2π√ st
Z 1
−1
e−t(x−y)2+sy
2
2st dy
= 1
2π√ st
Z 1
−1
e−(s+t)y
2−2txy+tx2
2st dy
指数の肩の上を平方完成すれば
= 1
2π√ st
Z 1
−1
e−
(s+t)(y−s+ttx )2
2st e−−
t2x2 s+t+tx2
2st dy
= 1
2π√ ste− x
2 2(s+t)
Z 1
−1
e−
Ω√s+t
st (y−s+ttx)æ2
2 dy
となり、更にq
s+t st
≥ y−s+ttx
¥
=z と云う風に変数変換すれば、
= 1
2π√ ste− x
2 2(s+t)
Z 1
−1
e−z
2 2
r st s+tdy
= 1
2πp
(s+t)e− x
2 2(s+t)
Z 1
−1
e−z
2 2 dy
= 1
p2π(s+t)e− x
2 2(s+t)
=Ns+t(x)
となります。
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基本演習6.4 区間[0,1],[2,4]それぞれの上の一様分布の密度関数をf, gとします。
このときたたみ込みf ∗gを求めて下さい。
【解答例】まず
f(x) =
1 0≤x≤1
0 otherwise , g(x) =
1
2 2≤x≤4 0 otherwise .
に注意します。たたみ込みは
(f∗g)(x) = Z 1
−1
f(x−y)g(y)dy
= Z 4
2
f(x−y)1 2dy
ですが、この被積分関数が０でない範囲は0≤x−y ≤1、すなわちx−1≤y ≤xで すから積分範囲内とこの範囲の重なり具合によって積分値が変わってきます。そこでx の値によって場合分けして考えましょう。
【x≤2の場合】 この場合２つの区間は重なりませんから積分値は０です。
【2≤x≤3の場合】 この場合、積分区間の中の区間[2, x]においてのみ被積分関 数がノンゼロですから、積分値は
(f∗g)(x) = Z x
2
1 2dy= 1
2(x−2) となります。
【3≤x≤4の場合】 この場合、積分区間内の区間[x−1, x]においてのみ被積分 関数がノンゼロですから、
(f∗g)(x) = Z x
x−1
1 2dy=1
2
です。
【4≤x≤5の場合】 この場合は積分区間内の区間[x−1,4]においてのみ被積分 関数がノンゼロですから
(f∗g)(x) = Z 4
x−1
1 2dy= 1
2(−x+ 5)
【5≤xの場合】 この場合も２つの区間は重なりませんから積分値は０です。
以上からたたみ込みの結果は以下の通り：
(f∗g)(x) =
0 x≤2
1
2x 2≤x≤3
1
2 3≤x≤4
1
2(−x+ 3) 4≤x≤5
0 5≤x
.
発展演習6.5 次の三角分布の密度関数：
w(x) =
x+ 1 −1≤x≤0
−x+ 1 0≤x≤1
0 otherwise
に対してたたみ込みw∗wを計算して下さい。
(w∗w)(x) =
0 x≤ −2
1
6x3+x2+ 2x+43 −2≤x≤ −1
−12x3−x2+23 −1≤x≤0
1
2x3−x2+23 0≤x≤1
−16x3+x2−2x+43 1≤x≤2
0 2≤x
.
