Kyushu University Institutional Repository
パターン認識における有意差検定と音声認識システ ムの評価法
中川, 聖一
豊橋技術科学大学情報工学系
高木, 英行
松下電器産業中央研究所
http://hdl.handle.net/2324/4488440
出版情報：日本音響学会誌. 50 (10), pp.849-854, 1994. 日本音響学会 バージョン：
権利関係：
日本音 響学会誌50巻 10号 （1994＞， pp．849−854 849
解 説 パ ター ン 認 臓 に おけ る 有意差検定 と
音声 認 臓 シ ス テ厶の評 価法
＊中 川 聖
一 （豊 橋 技 術 科 学 大 学 情 報工 学 系 ）＊＊ ・高 木
英行
（松下電 器 産 業 中 央研究 所）’＊’1
．は じ め に今ま で， パ ターン認識の研究が数 多 く発表さ れ
て きた が， アル ゴ リ ズム や実験の有効 性の検定は あま り はなさ れ て こ なか っ た。 多 くの場合， 発 表
の ア イデア の お も し ろ さ は読み取れ て も， 本当に
有効な手法な の か どうか の確 認を する こ とが なか
な か で き な か っ た。 研究 活動は池に石を落 とす が ごと く他の研 究者や社会に波 紋を広 げて 学術の 発 展に寄 与し て い く もの と思 うが ， 発 表の有 効 性が 確 認で きない ようで は， 波紋を 広 げる こ とが で き
ない 。 発表者にして も， す ば ら しい ア イ デ アが，
検定
で その有
効性
を示さ なか っ た が た め に疑い の目で評価さ れ るの も惜 しい 話で あ る。
筆 者 ら は統計 学を専 門 と し てい る わ け で は な く， ユ ーザ と し て統 計検定を利 用し て い る。 こ の
立場か ら， 教科 書的な厳 密性は多少 犠牲に し て で も， パ ターン認 識を行っ て い る 工学 者が す ぐ使 え
る こ と を意 図し て解 説を行う。 更に実務の立 場 か ら， 具体 的な音 声認 識の検定の現状につ いて も触
れ，
議
論す る。 なお ， 本解説
記事
は，筆者
ら が既に研究会で発表 し た 資料5）を も とに して い る。 入 手 困難な研 究会資料で も あ り， 何か のお役 に立て
ば とい う 思い で， 再 掲 ・加 筆 し た もの で あ る。
2
．有 意
差検 定
方 法1 （2
項 分布
の平
均の 差の検
定）
認識 対 象の データベ ース を共 有し た上で認 識性
寧
Statistical
methods for comparing pattern recogni − tion algorithms and comments on evaluating speech recognition performance ．牌 Seiichi Nakagawa （Department of InfQrmatlon and Computer Sciences， Toyohash 量University of Tech − nology ， Toyohash量，441）
串 宰 零 Hideyuki Takagi （Central Research Laboratories，
Matsushita Electric Industrial Co ．， Ltd，， Kyoto ，
619−02）
能を比 較 する場 合の検 定方法で ある。 最近 は共通 音声 データベ ース の整備な ど に よ り， 複数の研究 機 関で 開発 された認識アル ゴ リズム を比較 する こ
とが可能に なっ て き た。 本 節の検 定方 法 はこの よ うな場 合や同一研究 機 関で も異なる アル ゴ リズ ム
の比 較に利用で き る。
この 検 定 方法
1
は2
項 分布を 正規 分布に近似
する こ と に基づ い てい る。以 後の議 論 は， 実用 上の 近似 条 件 と言わ れて い る表一1が 満 た さ れて い る 場 合につ い て有効で ある。
2
．1
問 題の 定 式 化問題
nA 個の データ を 用 い て認識 方法
A
の性 能を 調べ た と こ ろ， 誤認識 数がT
．で あっ た。一方
nB 個の データ を用い て認 識 方法
B
の性 能を 調べ た ところ， 誤認 識数がT
，で あっ た。 認識 方法A
とB
の間に性能 差は ある か個々 のパ ターン に対す る認識は， 1 （誤認 識 ）と
0
（認識）の 2 値を そ れ ぞ れ 確率P
と （1 −P
）とで 取る確 率変数X
でモ デル化で きる。 この確率
変 数X
は2
項 分布B （ 1
，P
）， つ ま り （O
，1
）分布に従 う。実
際に は各
パ ターン ごとの認識
の し易さ が異なっ てい るの で， 正確に は
2
項分布 と は言え ない が， 近 似 的に2
項 分布で あ るとす る。 また ， 評価 用 データが異 な る 母 集 団か らの抽 出サ ン プル で あ れ ば， 両 アル ゴ リスム は直接 比 較 で き ない の で ，同じ母集団か ら抽 出さ れ た サ ンプル と す る。
以 下， 新 しい 確 率 変 数
Y
・＝ nX ＝Σ獨 濫 を導 入し て議 論を展開する。2 ．2 検定の ための モ デル化 確 率変 数
X
は2
項 分布B
（1
，P
）に従 う。 確 率 変 数
Y
は 付 録 の定 理1
よ り2
項 分 布850
表一1 本 手 法が適 用できる条 件 誤 確 認 率
p
の範囲 n の条件0 ．1〜0 ．3
e
．3
−−O
．4
0 ．4〜0 ．6 0 ．6〜0 ．7
0
，7〜0
．9200以 上
100
以 上50以上
100以 上
200以 上 n はデータ数
B
（n，P
）に従 う。表
1
の条 件 が満 た さ れ る と き， 付 録の2
項 分布の正 規 分 布 近 似か ら， 確率変 数
y
は 正規 分 布N
（nP ． nP（
1−P
））
に従 うと近似で き る。付 録の定 理
2
よ り確率変 数X
は 正規分布N （ P
．2
（1 ；，））
に従 う。 確 率変 数
X
の誤 認識 率は確 率変 数X
の 誤 認識率
と同ff
p
で ある。Z3 誤認 職 串の薤の分布と有意差検定
さて ， 二 つ の認 識 方 式の誤 認識 率の差 ρA一
加 を 考え よ う。 確 率 変
tWXA
−XB
は 付 録の補助 定 理 1に よ り正規分布
N （ PA
−PB
，PA （ 1
nA−PA ）
・2
・（ 宏
命） ）
（1
）に従う。
今， 仮 説
H
。 ：PA
≡PB
＝p
。 （既知）が成 り立つ もの とし よ う。 す ると （1）式 と付録の系よ り，
T
．T
，nA nB
（
2
）z
「＝P
。（ 1
−th ） 1
＋
1
nA nB
は規 準正規 分布
N
（0
，1
）に従う。な お， 実 際の パ ターン認 識で は
Pe
が既知でな いの で， 全サ ンプル か ら最尤推定
値
＾ 鉱 ＋
T
．
P
＝nA 十nB
を求め，
A
の推 定値 と して 用い る。正規 分布表よ り，
1
）（ ｛ IZI
⊇≧1
．96
｝）＝0
，05
で ある。 す なわ ち， 確率
5
％で｛ Zl
≧ 1 ．96｝
（
3
）が起 き れ ば， 仮説
H
。を否 定し， 起 こら な け れ ば危日本 音 響 学 会 誌 50巻 10号 （1994） 表一2 有意な 認識率の差
誤 認 識 率 サ ンプル 数
Po
nA ＝ nB有 意 水準 （危険率） 5％ 10％ 20％
5
％
200
5001
，0002
，0005
，
000
4 ．27％ 3 ．59％ 2 ．78 ％ 2．70 2．27 1．76 1，91 1．61 1 ，25 1．
35
1
．14
0
．88 0
．85
0
．72 0 ．56200
500 10％ 1，000
2
，000
5 ，000
5
．88
4
，95
3．72 3 ．13 2 ．63 2．21
1
．86
1．57 1．18 0．993
．842
．431
．721
，210
．
77
200
500 15％ 1 ，
000
2
，000 5，000
7
．00
5．89
4 ．43 3．73
3
．16
2 ．66 2 ．21 1．861
．40
1
．18
4 ．572
．
892
．061
．
450
．
91
200
500 20％
1
，000
2 ，000
5
，000
7 ．84 6．60 4 ．96 4．
17
3 ．51 2．95 2 ．48
2
．09 1
，57
1
．32
5．123
．242
．291
．
621
．
02
200
500 30％ 1，
000
2，000
5
，000
8 ．98 7 ．56
5
．68
4
．78
4．02 3 ．38 2．84 2 ．39
1
．80
1
．515 ．873
．
712
．621
．851
，21
険率
5
％で仮説を認め る こ とにす る （厳密に は仮 説H
。を否定で き ない だ けで あるが）。従っ て，パ ターン認 識 の場合，
2
．2
節の近似 条 件が成 り立つ 場 合の検定は， 事 象際
一号
⊇≧
1
．96
（4
）Pt
（・−P
・）（ 去
・羨
が成 り立つ か ど うか を判定し， 成 り立て ば認識 結 果に有意差あり， 成 り立た なけれ ば認識性 能に有 意差な し と す る。 た だ し
p
。は （3
）式で代 用 す る。
5
％以外の危 険率で有意差 検定を する場合は，正 規 分布表か ら，1
．96
に代わ る値を 用い る。 例え ば，危険率 1％，
10
％，20
％の場合は正規分 布表よ り，2 ．58， 1 ．
65
， 1 ．28 をそ れぞれ 用い れ ばよい 。 表一2は主な n，
P
の組
み合
わせ と危険率
5％と 10％，20％に対す る有 意差の認 識率の差を 示し てい る。
パ ターン認識にお け る有意 差検定 と音声 認識シ ス テム の 評価 法 851 なお，
2
．2
節の条件を満た さない 場 合 と連 続 型分 布で ない た めの補正 と して， （
2
）式の分子に・
參 講
（・）を加え る と よい 。 符 号は分 子の大き さが小 さ く な る よ うに決め る2 ｝。
2A
検 定 方 法1
の ま とめ初め に表一
1
の適 用 条件を満た すか どうか を調べ る。 次に， （
1
）式が成 り立つか ど うか で危 険率 5％の有 意 差 判 定を行 う。 （4
）式 中のp
。は （3
）式で 代 用 し，他の記 号 は
2
．1
節の問題 を参照の こ と。危険率
1
％ や 10％で検定 する場合は，右辺1
．96
の代わ りに
2
．58
や1
，65
を 用い る。 簡 易 的に は表一2
を参 考にす る。
表一3 符 号 検 定 表。3 ．1節の 物 と raの小 さい 方の 数 値が
表中の値以下で あれ ば， 有 意 差 あり。 （N ＝ n2＋ns） 危険 率 （％ ） 危 険 率 （％ ）
1V 1 5 10 N 1 5 10
3
．有 意 差 検 定 方法2 （
符 号 検定
，sign
test ）
2
章で述べ た検 定 方法1
を 現実の音声 認 識 に適 用 し よ う と する と， 有意差を 示すた め に必要なデ ータ数が 不足す る こ と が多い と思わ れ る。 現実の 音 声 データベ ース の規模か ら す る と， 数 千の テス トデータ を 用意す る こと は相 当困難で あり， 認 識 率が100
％ に近 くか つ 認識率
の 差 が 少 ない 場合 は，有 意 差検定 が ほと ん ど不可能になっ て し まう。この よ う な 場合， 符号検 定がで きれ ばテ ス トデ ータ 数 を 大 き く 削 減 するこ と がで きる。 そ の代わ
り認 識データベ ース を 共
有
する だ けで な く，一つ 一つ の テス ト データに対 す る認 識 結 果 を 比較す る
こ と が求め られる。 他研究機 関の手 法 と比 較 す る 場 合に は， 何 番目の データで誤認識を起 こ し たか
とい う データ をお互い が持つ 必 要が ある。
3 ．1 検定 方法
問題
認 識 方 法
A
とB
を同じパ ターンサ ンプル 集 合に適 用 して認識実 験 を行っ た結 果， 次の ような結 果が得ら れ た 。
方法
A
，B
ともに正解 …・… ……… …・・nl 個方 法
A
で 正解， 方法B
で 誤 認識 ……n2 個方 法
A
で誤 認識， 方法B
で正解 …… m 個 方 法 A ，B と もに誤認 識 … ……… ……n4 個 認識方法A
とB
の間に性 能差はある か123456789012345678901234567890123456789012345
111111111122222222223333333333444444
00001112223334445566677788999001112233
111111111
0001112223344455566777889990011222334455
1111111111
工
11
00011
工
22333445556677788990001122333445566
1111111111111111
464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990111111111111111222222222222222222222222333333344555667778899000112223344555667788899001112111111111122222222222222222222222333333333333566778889900111223344555667788899001122233445111111122222222222222222222222333333333333333
677889900011223344455667788899001122333445566
こ こ で， 認 識結 果が異なっ た n2 と n3 に つ い て
考え る。
N
＝ n・＋n3 と し，2V
が決まっ た とい う条 件の 下で の 物 とn3 の 起 こ る確 率をPi
とA
とす852
る。 も し方 法
A
と 方 法B
の問に性能 差が なけ れ ば m と n3 は大体 同じ数になる はずで ある。仮
説H
。 ：A
≡ ρ2（＝1
／2
）と し よ う。 こ の とき，実際 の観 測 値 n2 （n3 で も よい ）は
2
項 分布B
（N
，1
／2
）に従 う。そこで前 節と同様に して n2−1
＞／2
z
＝＝師
と お くと
Z
は規 準正規分布 N （0
， 1）に従うか ら，前節 と同様の手 順で検 定で き る。実 際に は， （
5
） 式 と同様に して ，n2 − 」へ厂／
2
±112
z
＝（
6
）駟
と お く。 以下で は， もっ と簡 便に利用で きる手順 を紹 介する。
n2と n3 が 大体 同じ か どうか は表一
3
に 基づ い て 検 定す る。 合計 数N
＝ （n、＋n、）個 と検定 危険 率で表
をひ き， n2 と n3の小さい 方の数値が表の値よ り 等 しい か小 さい 場 合 は， n2 とn3 は大体 同じ とは言えず有 意な差が ある， と判 断 する。
1V
が 90 を 越 える場合は，
（
N
−1
）／2
一脚価
厂再 ア
よ り小で最も近 い 整数を採用し， 比較す る。 た だ し， 々 は危 険 率が 1，
5
，10
％の と き， そ れぞ れ1
．2879
，0
．9800
，0
．8224
で ある2）’3） g
3
．2
例 題例えば， 二 つ の認識 方法の結果が異な っ た数を 調べ る と， n2 ＝ 12 個， n3 ＝
28
個で あっ た場 合を考 えて み よ う。 合計40
個で ある か ら表2
のN
＝40
を 見て み る と， n2 とn3 の小 さい方の数 が
11
個以 下で あ れ ば 危 険率 1％で有意 差 あ り，13
個以下で あ れば危 険率5
％で有意 差 あ り と言 える。 この例 題の場合小さい 方は n2 ・ ・12
個なの で， 危険率
1％で は有意な差が ある と は言えな い が， 危 険率
5
％で は認 識 方法
B
の 方が有 意に 性 能が高い と言 え る。 もち ろ ん， （6
）式を用い て も，IZI
＝2
．37
な ので 同じ結論 が言える。
4
．有 意
差 検定方
法3 （ 整
合 対 検定
，Matched
−Pair
test ）
3）・4）テス トサ ンプル 集 合をセ グメ ン トに分割 し， そ れ それ の セ グメ ン トで， 誤 り数の差 が 測定で きる 場合には， 次の検定 法を利用で き る。
日本 音 響 学 会 誌 50巻 IO号 （1994）
問題
テ ス ト サ ン プル
集合
が n 個の部 分 集 合 に分 割され， 部 分サ ン プル集 合i
での認識方 法A
と
B
に よ る誤認 識 数をTAi
，T
，，t
す る σ＝1
，2
， …， n）。 認識手 法
A
とB
の間に性 能差はある か 。
T
，＝TA
，−T
． ， （i
”1
，2
， … ， n）T
＝歯 1
i＝1 咒
v
・−t
− 、自 （ T
，−T ） 1
と お く。 仮 説
H
。’T
＝O
が 成 り立つ と き，T
の分散の推定 値は
σT・＝ ⊥
y2
n
とな り， n が十分 大 きい とき （例え ば n ＞
50
），z
＝2
σT
は， 規 準正規 分 布
N
（0
，1
）に従 う。従っ て， 仮 説H
。 ：T
…O
の検 定は第2
節 と同 様の手 順 で検 定で きる。厳 密に は，Z
は自由 度 n−1
のt
分布に従 うか ら， n が小 さい と き は ’検定を用い る必 要が あ る3）。
セ グメ ン トへ の分割の 方法や
T
，の定義は，誤 り が セ グメ ン ト間で独立で あ る 限 り任意で ある。 例えば音韻 認識で ，
1
文 ごとに置換誤 り， 脱落
誤 り， 挿入誤 りの総数の差 をT
，と定 義し て よい し，不特 定話 者の 認識 実験で は， 話者ごとの 二 つ のアル ゴリズム に よ る誤 り数の差を
T
，と し て も よい 。5
．評 価 法の適用 と音
声 認 識 研 究の 現 状 分 析以 上述べ た統計 的検 定法 を 音 声 認識シス テ ム に 適用 する際に 注 意 すべ き点を列挙する。
1
．2
章で述べ た検定方法1
は， nA 個の テス トサ ンプル と nB 個の テ ス ト サ ン プル は， 同一の
母集団か らの抽出サ ン プル で あ ると仮 定 し
てい る。 音 声認
識
の評 価の場 合， 両者のテストサ ン プル が 同一の場 合が普通で ある。 こ の
場 合は，
3
章で述べ た符 号検定 法の方 が適切である。 2章の検 定 方 法 1 よ りも有意差の条 件が少 し ゆ る く な る と思 わ れる。
パ ターン認識に お け る有 意 差 検 定 と音 声 認 識シ ス テム の評 価法
2
．1
人の話 者の1
，000
個の データ と10
人 の話者の各
100
個の データ を 用いた と き，そ れ ぞ
れ同じ認識 率の差が生 じて も統計 的に は同
じ で も後 者の方が一般に信 頼で きる結 果 と 言える。 な ぜな ら， 話者が代わ ればパ ターン
の分布 も変わ り，認 識アル ゴ リズ ム が
特
異 な 分布だ け に整 合する こ と が除 外で き る か ら で ある。 すな わ ち，2
章 （3
章 ）の検 定方 法 で はサ ンプル が同一の 母集 団 （同一サ ンプル 集合〉か ら得 られ て い る とい う仮 定が あっ た。 しか し， ある特 定話者の み， 非 常に有効 で あ り，他の話 者に はあま り有効で な くて も全
体
と して有効で ある とい う結論にな るこ とも あ る。 こ の場合は，4
章で述べ た方法が 適切で あ る。3
．上 記2
と本 質 的 に同 じこと だ が，同じ発話 環境の データだ け よ り も種々 の 環境の データ
を含ん で い る方が信頼 性が高い 。例 え ば， 母
音をフレ ーム単位で認 識す る 場 合，
1
か所 の母 音か ら，数 多くの フ レ ーム を サン プル と し て用い る の はあま り意 味が ない 。
手軽に入 手で きる資料として，過 去
2
年間
（1989 年〜1990
年）の 日本音 響 学会誌と電子情報通信 学 会論 文誌の音声 認識に関す る論 文37
件に対 し て2
章の検 定 方法 1 を適用 し， 調査 し た5 ）。 こめ結果， 発表 論文で有効 と結論づ け ら れ た 方 法の うち，4
割以 上が 有意 水 準
5
％で，3
割 以 上 が有意 水準10
％で有 意で ない と言え た。
3
章の符 号検 定を 用 い れ ば更に救 済された論文 も 増 え たか も知 れ ない が，一般 に論文で は符 号検 定に必要なデータは開
示 さ れ ない の で各 著者に お任せす る しか ない。 6．
音
声 認 識 シ ス テ厶 の 評価法 と研 究 指 針最近， 音 声 データベ ース が充実 して きて ， 評価 用 データ も多量 にな り， 信頼 で きる結 果の報告が 増えて き た。 更に研究 成果 が 蓄積される た め に，
必 要 な項 目を列挙して お く。
1
．共 通 データベ ース の構
築 と利
用（他機 関と比 較のため）2
．実験 条件の明記 （学習サ ンプル の話者 数とサンプル数，評価サ ンプル の話 者数と サ ン プル
数 （特 定／多数話 者 ／不 特定 ）， 語 彙 数， パー
プレ キシティ， 録音 条件など）
853
3
。標 準 と なる方 式 との 同じ データベ ース を用 い た 比較 （同一機 関 内での 評 価のた め）●標準 認 識 方 式 と して は
DP
マ ッ チン グ，
HMM
， バ ッ フ ァ 式多 層パ ーセプ トロ ン，
ベ イズ の二次識別関数， マ ルチテ ン プレ ー ト法 な どが考え られ る。
●
特
徴パ ラ メ ータと して は，LPC
メル ケ プス ト ラ ム，回帰係数の併 用 な ど が考え ら れ る。
4
．2
章で述べ た検 定方 法1
に よっ て基準 と なる方式 と比べ て提
案
する方式 の認 識 率が 向上 し， 有意な差を 示せ れば， その方 式 は有 効
で あるに は違い ない 。しか し， そ れ が 必 ず し
も意 味の あ る結果で あ る と は 限 ら ない 。例え
ば， ある方式あ るい は 目 的 と す る 認識 率が
90
％の と き， 従 来比 較 対 象の 方 式が 70％
で あり， こ れ に比べ て提 案す る方 式が 75％に向上 し そ の差が有 意であっ て も，
90
％ と比べれ ば あま りに も差が大き過 ぎる。話者 適応 や
雑音下で の音 声 認識の研 究 に は こ の 種の研 究 例が多 くみ られ る。抜本 的な新 しい 方式を
追及 すべ きで あろう。
5
．本 解説で 述べ た検定法 は第1
位 候 補の 認 識結果に よ る もの で あっ た。 当然， 第
1
位 候 補の認識 率が 同じ で あっ て も第 2 位 候 補 以 内
に正解が含ま れ る率に差 が ある と 全体の 性
能が異なる。 この差が 有意で ある か ど うか に
も 同 じ手 法 が使える。単語認 識結 果を
複
数 個 出 力 （単 語ラ テ ィス）し， これ を 用い て文 を 認識す る場 合に第1
候 補の認 識が 同 じで も 差が 出て くる。どの程 度の差が 出る かは 別の評 価 法で
検
討で きる6｝。6
．棄却 率も性 能の評 価 尺度 と して重要で ある。我々の検討 で は， 妥 当 な棄 却 法を採 用すれ
ば，認識 率と棄
却率
は強い相 関が ある こ とを 見 出 してい る7）。7
．ま と め本 文で はパ ターン ごと に認 識 方式
A
とB
の認 識結 果の対 応を考
え ない 場 合 と考える場 合の検定 方 法を紹 介し， 音声 認識へ の適 用に際し て私 見を 述べた。統計に基づ く検 定 は，あ る仮 定の下に行 わ れる。
854
例え ば，データ数はある一定以 上 必要で あ ると か ，
認 識データ の認識難 易度はほ ぼ同 じで
2
項 分布が 仮 定で きるな どで ある。 検 定結
果の信頼性
には この よ う な条件の吟味が必要で ある が， 従来の 多 く の発 表に見 られ た ような検 定を する こ とな く感 覚 的に提 案手 法は性 能が良さ そ う だ， と結 論 付 け る よ りは よ ほ ど読者の た めにな り， ひ い て は学術 の 寄与に役 立つ と信 じる。 さ りと て， 筆者らの発 表 で もい つ も検 定結果を 述べ てい るわけ で はない。
自戒を 込 め た解説と し たい 。
謝 辞
検定 方法につ い て， 大 阪 工業大学 経営工 学科の 奥田徹示 教 授 と久留米 大学商 学部の 河野和正 教授
の ご指導 を賜っ た。 厚 く御礼 申し上げます。
文 献
D
裏西 久男， 加 納省吾， 河 野 和正， 瀬口常 民， 統 計 解 析 入 門， 修 正 13版 （廣川書 店，東 京，1974＞．2）奥津 恭，工場にお け る推計学の 問 題と その解き方 （共 立 出 版， 東 京， 1951）．
3）森口繁一編
， 統 計的 方 法， 新 編 改 訂 版 （日本 規 格 協 会， 東京， 1989）．
4）L ，Gilick and S．
J
． Cox ，“Some statistical issues in the comparison of speech recognition algorithms ，” IEEE Int． Conf． Acoustic Speech Signal Process．（ICASSP ’89），532−535 （1988）． 5）中川 聖一
，高 木 英 行，
“パ
ターン認 識に お ける有 意 差と 音 声 認 識シ ス テ ム の評 価，
” 信 学 会 第 2種 研 資 SPREC − 91−7 （1991．7）．
6）中川 聖一
，
“音 声認識・理解システム の評 価 とデータベ ース
，
”信 学会誌73， 1304−1310 （1ggO）． 7） 甲斐 充彦，中川 聖一
，
“未 知 語 検 出 率の シ ミュ レ ーシ ョ
ン と孤 立単 語及 び 文音 声認識に よ る評 価，” 信 学 技 報
SP 94−25 （1994）．
【定理
1
】日本 音 響学会 誌 50巻 10号 （1994）
付 録
1）標本 確率 変
tw
X
，（1
≦i
≦ n ）が 確 率p
で1
の値を， 確率
1
−p
で0
の値をとるとす る と， n
Y
・ ＝ nX ＝ Σx ， i≡1は
2
項分布B
（N
，p
）に従 う。 従っ て平均と分散は，
E
［y
］＝nP ，1
厂［ Y ］
； nP （1
−1
））
o 【定理2
】確 率変数
X
が 正規分 布N （
μ，σ2）に従うと き，任意の実数 σ，
b
（a≠0
）に対して， 確率 変数Y
＝aX ＋
b
は正規分 布N
（a”＋b
，σ2σ2）に従 う。【補 助定理
1
】互い に独 立な二 つ の確 率変 数 瓦 ｝厂 が そ れ ぞ れ 正規分布
N （
k ，（r。2） と
N （
陶，ay2）に従う な ら ば，0
で ない実 数 α，b
に対 し， 確 率 変ta
aX ＋by
は正規 分 布
N （
ak ＋b
μy， α2σノ＋がσの に従う。
【
系】
確率 変数
x
が正 規 分布N （
μ， σ2） に従 うとき，
z
＝2 ⊆
二Eσ
は
規
準正規
分布 N （ 0
， 1）
に従
う。【
2項 分 布の 正 規 分 布 近 似】
n が大 き く， か つ ，
p
が0
又 は 1 に近 く ない とき，
