複素関数論 第 1 2 回 演習
第 1 2 回 演習 : テキス トp 6 6 問 題 1 ( 2 ) ( 3 ) , p . 6 6 問題 3 . ( 2 ) , p 8 5 [ A 1 4 ( 2 ) ( 4 ) です。
( ヒン ト) 1 ) . 6 4 例題 1 , p . 6 6 例題 3 と 下 の例題 1 , 2 を参考 にせ よ.
(基本事項)留 数の定義 点 aは 複素関数 メ(z)の特異点とする。この時,メ(z)は点 aの 付近において
メ( 均= . 』 ] と
硫 修一
の1 = 遷 ! てメ 或 ァ 十 量
硫 律一 r f l " 1 0 < レー引 < つ
と展開される。但し,bれ(句=0,±1,±2 , …・) は複素定数,γ】>0は 収束半径と言われる定数,こ の展開 をメ(z)の特異点aを中心とするローラン展開と言う。この時,z aの係数blを メ(z)の特典点a におけ る留数(rcsiduc)と言い,R,estメ( Z ))d または単にResi例で表す :
Ro stメ(Z ) ,al = Res tal=b ̲1.
極の定義 点 aは メ(z)の特典点とする。点 aの 付近で正則な関数。(z)と自然数 んが存在して
胸 = 為 コ の ≠0
と表される時, 特 異点 a を メ(2)のん位の極 (pole)または単に極 と言う。これは上のローラン展開で b ん ≠0,bれ=0(γ あ>ん)となる事と同値です。
留数 の求 め方 点 aが メ(z)の 1位 の極で あれ ば,Reslrfl=サ彗ぁ(Z― a)メ(Z)・点 aが ん位 の極であれ ば,
酪 判 =児
(ん ̲1)!』 Z持 1よ Z一 の 歓 羽 .
例題 1 . 次 の関数 の各特異点 にお ける留数 を求 めよ.
ω 鶏 0
( 解) ( 1 ) メ( Z ) = 鍔海 とおく・分母 z 2 + 4 = z 2 ̲ ( 2 ぢ) 2 = ( z ̲ 2 を) ( z + 2 壱) = 0 よ り特典点は z = ± 2 , .
よつ = = 甲 = 甲
と表 されるので, 点 z = 2 , と 点 z = ‑ 2 , は 共に 1 位の極である。
酷 例 =児 修 幼よつ=児 井 象=場 埜=著 (空琴 空 )=著 (毛 ギ )=著 ∞鋭1乳 瑚 判 = z 二球 Z 十幼よつ= z 二牝 ザ呈発多= 型 甲 = 普 = を∞並
( 2 ) メ( 2 ) = 品 とおく・分母 (z十ぢ) 2 ( 3 z ―づ) = 0 よ り特異点は z = ― あぅz = ;
胸 = = 僻 = 鋼 ・
と表 され るので , 点 ″= ― i l よ2 位 の極 , 点 ″= ; は 1 位 の極 で あ る.
次ベー ジヘ続 く
メ(″)=存 所率房万,点 z=― づは 2位 の極 ,点 z=:は 1位 の極 な ので
R 軒判 = z 些韓 仰 絢 = z 些
乳( 品 メ= を
里 ぅ
( C T Z ) ′ ( 3 ″ 一 ぢ) 一 C 打を( 3 z ぢ― ゼ) ′ (32‑ぢ )2
TCを打。(‑4,)一 cを π・3 4T,+3 ‑3‑4行 づ
( ‑ 4 づ ) 2 = ̲ 1 6 = 1 6
= l i I 1 1
打c t t Z ( 3 を 一 づ) 一 C t t Z ・ 3 ( 3 2 ‑ づ ) 2
‑ 告) メ( 2 ) = 」喚
)(CW=‑1に 注意 )
‑3(1+α v行)
□ 32
(基本事項)留 数定理 曲 線 σ は複素平面上の単一 閉曲線 (自身と交わ らない閉じた曲線)で 向きは反時 計回りとする。また,σ の内部にある メ(z)の特異点を al)a2)…・,a?.とする。この時,
R哨=義修
赫 = 赫 = 平 喘 =
た 胸 彦 = 弧 帥 い 帥 】 … 十 酪 お 刺 ト
例 題 2 . 次 の 複 素 積 分 の値 を求 め よ . 積 分 路 σ と特 異 点 の位 置 関 係 を 図 示 せ よ .
た百 受寵牟
伊 答助 ょ つ = と お ← よつ 鉢 蜘 ま郷 律̲ ぱ 十 り 積 分路 σ: ￨ ″￨ = 2 は 原点 中心 半径 2 の 円周 で あ るか ら
1予湖Z σ:z=2(反 時 計 回 り)
Cの 内部 にあ る特 典点 は z=土 づ.(特 異点 z=3は σ の外 部)
―‑2
3 ‑ , ‑3+づ
特典点 z = ぢ と ″= ― づは共 に 1 位 の極 であるか ら留数は
渉Z 両= ナ 鞠 仔=
Rcsttl=li叫(Z一ぢ)メ(2)=li靴
(z̲3)(z
Z ‑ 3 ‑ , Z →を
‑ 3 ‑ ぢ 0 2 0 ' ‑ 3 ‑ あ 2 ( 9 + 1 )
(,‑3)2あ 2(‑3+を )(‑3‑づ )
告″ c ― サ 号 R e s 卜】 = h l n 律 十 のメ修) = z 些牲, ( z ̲ 3 ) レ ー の ( 句 ―
り ( 一幼
(C↓号=― 'に 注意 )Ｚ配
り つ
よ 爪
赳 た
数 留
(一づ ‑3)(‑2,) 2 ( 3 + を) ( 3 ‑ づ) 2 0
弧 Ⅷ 十 陥 判 卜 加
{ 宇
十 〒 } = 獅 < : 詰
わ = 宰
□= 0 よ り を= 3 ) 土 ぢ.
