Microsoft Word - appendix_a

全文

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2019/04/12 藪 友 良

微 分 に つ い て

あ る 値 xに 対 し て 、あ る 値 f(x)を 対 応 さ せ る 仕 方 を 1変 数 の 関 数 と い い ま す 。 た と え ば 、f(x)=4+2x、f(x)=3x2 は 、 変 数 x を f(x)に 対 応 さ せ る 仕 方 を 示 し て お り 、1 変 数 の 関 数 の 例 と な り ま す 。

微 分 と は 、関 数 f(x)の 接 線 の 傾 き で あ り 、f’(x)や df(x)/dx と 表 記 さ れ ま す 。換 言 す る と 、微 分 は「xを 微 小 に 変 化 さ せ た と き 、f(x)が ど れ だ け 変 化 す る か 」を 表 し ま す 。

こ こ で y=f(x)と し ま し ょ う 。図 A-1(a)で は 、y=f(x)を 描 い て い ま す 。図 を み る と 、x が 増 え る と y も 増 加 し ま す が 、 そ の 増 加 幅 は 少 し ず つ 減 少 す る 関 数 で あ る こ と が 分 か り ま す 。 こ こ で 原 点 0 か ら 、xは Δxだ け 変 化 す る と 、y は Δy だ け 変 化 す る の が 分 か り ま す ( Δx は x の 変 化 量 、 Δy は y の 変 化 量 を 表 す 記 号 と 考 え て く だ さ い )。 そ し て 、 図 A-1(a)に お い て 、 Δx を 底 辺 、 Δy を 高 さ と し た 三 角 形 の 傾 き は 、Δy/Δx と な り ま す 。こ こ で 図 A-1(b)の よ う に 、底 辺 Δx を ど ん ど ん 小 さ く し て い く と 、 三 角 形 の 傾 き Δy/Δx は 、 原 点 0 で 評 価 し た 接 線 ( 関 数 f(x)の 傾 き )に 近 づ い て い く こ と が 分 か り ま す 。そ し て 、Δx が 0 に 近 い と き 、 Δy/Δx は 原 点 0 で 評 価 し た 関 数 の 接 線 の 傾 き に な り ま す 。 こ れ が 微 分 と な り ま す 。

A-1 原 点 0 で の 微 分 の イ メ ー ジ (a) (b)

y

Δy

0 Δy/Δx x 0 x Δx

(2)

2

も ち ろ ん 、関 数 の 接 線 の 傾 き は 、x を ど の 値 で 評 価 す る か で 異 な る で し ょ う 。 た と え ば 、xは 0 で は な い と し ま し ょ う 。 図 A-2(a)か ら 、 あ る 値 x(≠0)か ら x+

Δx に 変 化 し た と き 、y は y+Δy に 変 化 す る こ と が 分 か り ま す 。 こ こ で Δy/Δx は 、 Δx が 大 き い た め 、 関 数 の 傾 き に は な っ て い ま せ ん 。 し か し 、 図 A-2(b)の よ う に 、 Δx を 0に 近 づ け て い く と 、 Δy/Δx は 、x に お け る 接 線 の 傾 き に 近 づ い て い き ま す 。 こ れ が x で 評 価 し た 微 分 と な り ま す 。

A-2 一 般 的 な 微 分 の イ メ ー ジ (a) (b)

Δy y

Δx

x x

微 分 の イ メ ー ジ が 理 解 で き た で し ょ う か 。繰 り 返 し に な り ま す が 、微 分 と は 、 関 数 f(x)の 接 線 の 傾 き で あ り 、「x が 変 化 し た と き y=f(x)が ど れ ぐ ら い 変 化 す る か 」 を 表 し ま す 。 数 式 を 用 い る と 、 微 分 は

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑙𝑖𝑚∆ → ∆𝑦

∆𝑥

= 𝑙𝑖𝑚∆ → ( ∆ ) ( )

と 定 義 で き ま す 。 こ こ で 、limΔ x → 0と は x の 変 化 が 非 常 に 小 さ い ( Δxが 0 に 非 常 に 近 い ) 状 態 を 表 し ま す 。

微 分 の 簡 単 な 公 式

こ こ で y=x2と い う 関 数 を 考 え ま し ょ う 。 こ の と き 、 微 分 は 2x と な り ま す 。 y=x2 ⇒ = 2𝑥

[証 明] い ま x か ら x+Δx に 微 小 に 変 化 し た と し ま す 。 こ の と き 、∆𝑦/∆𝑥は 、 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥 =(𝑥 + 𝛥𝑥) − 𝑥

∆𝑥

Δy/Δx

(3)

3

=𝑥 + 2𝑥𝛥𝑥 + (𝛥𝑥) − 𝑥

∆𝑥 = 2𝑥 + 𝛥𝑥

と な り ま す 。 こ こ で Δxを 0 に 近 づ け る と 、2x と な る の が 分 か り ま す 。 [終] 一 般 的 に は 、y=xnと い う 関 係 を 考 え る と 、 微 分 は

y=xn ⇒ = 𝑛𝑥 と な り ま す 。

[証 明] こ こ で xか ら x+Δxに 変 化 し た 状 況 を 考 え ま す 。表 記 を 簡 単 に す る た め 、x*=x+Δxと 定 義 し ま し ょ う( つ ま り 、Δx=x*-x)。よ っ て 、微 分 の 定 義 か ら 、

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥 =𝑥 − 𝑥 𝑥− 𝑥

と な り ま す 。

こ こ で 右 辺 の 別 表 現 を 考 え ま し ょ う 。 ま ず 、n=2 な ら (𝑥 − 𝑥 )/(𝑥− 𝑥) = 𝑥+ 𝑥

と な り 、n=3 な ら

(𝑥 − 𝑥 )/(𝑥− 𝑥) = 𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑥

と な り 、n=4 な ら

(𝑥 − 𝑥 )/(𝑥− 𝑥) = 𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑥 𝑥+ 𝑥

と な り ま す ( 両 辺 を(𝑥− 𝑥)で 掛 け て 、 両 辺 が 等 式 と な る こ と を 確 認 し て く だ さ い )。 こ れ を 一 般 化 す る と 、 任 意 の nに 対 し て 、

(𝑥 − 𝑥 )/(𝑥− 𝑥) = 𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑥 𝑥 + ⋯ + 𝑥 𝑥+ 𝑥

と 表 現 で き ま す 。た だ し 、上 式 に お い て𝑥 の 乗 数𝑛 − 𝑗が 負 な ら 、そ の 項 は 全 て 無 視 し ま す 。

こ の 関 係 を 用 い る と 、 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥 =𝑥 − 𝑥

𝑥− 𝑥 = 𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑥 𝑥 + ⋯ + 𝑥 𝑥+ 𝑥

と な り ま す 。 こ こ で Δx を 0 に 近 づ け る と 、x*=x+Δx は 、x に 限 り な く 近 づ き ま す か ら 、 微 分 は 、 上 式 の x*を x で 置 き 換 え た 式 と な り ま す

𝑥 + 𝑥𝑥 + 𝑥 𝑥 + ⋯ + 𝑥

= 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 = 𝑛𝑥 [終]

(4)

4

こ こ で 、 さ ら に 上 の 公 式 を 一 般 化 し ま し ょ う 。 任 意 の 定 数 a と b を 考 え て 、 関 数 y=a+bxnを 定 義 し ま す 。 こ の 関 数 を 微 分 す る と

y=a+bxn ⇒ = 𝑏𝑛𝑥

と な り ま す 。 こ こ で 定 数 a は 、x に 依 存 し て い ま せ ん か ら 、 微 分 の 式 に は 表 れ て い ま せ ん 。

[証 明] x か ら x*=x+Δx に 変 化 し た 状 況 を 考 え ま す ( つ ま り 、 Δx=x*-x)。 こ の と き 、

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥 =(𝑎 + 𝑏𝑥) − (𝑎 + 𝑏𝑥 )

𝑥− 𝑥 = 𝑏 𝑥 − 𝑥 𝑥− 𝑥

こ こ で Δx=x*-x を 0 に 近 づ け る と 、(𝑥 − 𝑥 )/(𝑥− 𝑥)は nxn - 1に な り ま す か ら 、微

分 は bnxn - 1と な り ま す 。[終]

1:y=a と し ま し ょ う 。 こ の と き 、a は x に 依 存 し て い ま せ ん か ら 、 dy/dx = 0

と な り ま す 。 先 の 公 式 で b=0 と し た 場 合 に 該 当 し ま す 。 定 数 の 微 分 は 0 と な り ま す 。

2:y=bx と し ま し ょ う 。 こ の と き 、 公 式 よ り 、 dy/dx = bx0= b

と な り ま す 。 つ ま り 、xで 微 分 す る と 定 数 bと な り ま す 。

3:y=3+4x3と し ま し ょ う 。 こ の と き 、 公 式 よ り 、 dy/dx = 4×3x2= 12 x2 と な り ま す 。

関 数 の 最 大 化 、 最 小 化

微 分 を 用 い る こ と で 何 が 分 か る の で し ょ う か 。 微 分 は 関 数 の 傾 き 、 つ ま り x が 変 化 し た と き の y の 変 化 を 教 え て く れ る の で 、 そ れ 自 体 で 有 用 な 情 報 を 与 え て く れ ま す 。 そ れ 以 外 に も 、 微 分 を 用 い る こ と で 、 関 数 f(x)の 最 大 値 や 最 小 値 を 簡 単 に 見 つ け る こ と が で き ま す 。

(5)

5

図 A-3 で は 、2 つ の 関 数 f(x)を 描 い て い ま す 。 こ れ を み る と 、 関 数 の 最 大 値 と 最 小 値 に お い て 、 関 数 の 傾 き が 0 に な っ て い る の が み て と れ る で し ょ う 。 実 は 、 関 数 f(x)の 微 分 が 0 と な る ポ イ ン ト x と は 、 関 数 を 最 大 化 も し く は 最 小 化 す る xに な っ て い る の で す 。

A-3 微 分 が 0 と な る ポ イ ン ト (a) 最 大 値 (b) 最 小 値

1 こ こ で y=x2と し ま し ょ う 。こ の と き 、公 式 よ り dy/dx=2x と な り ま す 。図 A-4(a)に は 、y=x2 と い う 関 数 を 描 い て い ま す 。 ま た 、 図 A-4(b)に は 、 微 分 ( 接 線 の 傾 き )で あ る 2x を 描 き ま し た 。当 然 で す が 、y=x2と い う 関 数 は 、x が 負 の と き 、xが 増 え る と y の 値 が 小 さ く な り 、x が 正 の と き 、xが 増 え る と y の 値 が 大 き く な り ま す 。 こ れ は x<0 で 関 数 の 傾 き が 負 に な り 、x>0 で 傾 き が 正 と な る こ と を 意 味 し ま す 。 傾 き が 正 と い う こ と は 、x が 増 え れ ば y も 増 え る と い う こ と で す 。

A-4 関 数 y=x2

(a) (b)

-1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

-4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00

-2.0 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

(6)

6

x=0 で 、 傾 き は 0 と な り 、 こ の 関 数 は 最 小 値 と な り ま す ( 微 分 は 2x で す か ら 、 2x=0 を 満 た す x は 、x=0 と な り ま す )。

こ れ ま で の 議 論 か ら 、関 数 を 微 分 し て0と 置 い た 式 をxに つ い て 解 く こ と で 、 関 数 を 最 大 化 も し く は 最 小 化 す る ポ イ ン ト x*を 求 め ら れ る こ と が 理 解 で き ま し た 。で は 、こ う し て 求 め た 点 x*が 、最 大 化 点 か 最 小 化 点 か 、ど う し た ら 判 断 で き る で し ょ う か 。 も ち ろ ん 関 数 を 図 示 す れ ば 分 か り ま す が 、 図 に 描 く の も 面 倒 で す 。別 の 方 法 と し て 、微 分 し て 0と 置 い た 点 x*か ら 、微 小 に x を 変 化 さ せ て 、 関 数 の 値 が 減 少 ( 増 加 ) す れ ば 、x*は 最 大 ( 最 小 ) 化 点 と 判 断 で き ま す 。 ま た 、2 階 微 分1を み る こ と も 、 微 分 が 0 と な る x*が 、 最 大 化 す る ポ イ ン ト か 、 最 小 化 す る ポ イ ン ト か を 判 断 で き ま す 。2 階 微 分 の 話 は 少 し 難 し い の で 、 興 味 が あ る 人 は 数 学 の 本 を 読 ん で み て く だ さ い 。

合 成 関 数 の 微 分

こ こ で y=f(x)と し 、 ま た x は 別 の 変 数 z の 関 数 と し ま し ょ う ( こ れ を g(z)と 表 し ま し ょ う )。 こ の と き 、y は z の 関 数 と な っ て お り 、f(g(z))を f(x)と g(z)の 合 成 関 数 と 呼 び ま す 。 た と え ば 、y=(3+2z)2 と す る と 、 こ れ は y=x2( つ ま り 、 f(x)=x2)、x=3+2z( つ ま り 、g(z)=3+2z) と い う 合 成 関 数 と 考 え る こ と が で き ま す 。

合 成 関 数 の 微 分 は 、関 数 f(g(z))の 傾 き と な り ま す 。こ れ は 連 鎖 公 式(チ ェ ー ン・

ル ー ル)に よ っ て 導 く こ と が で き ま す 。 𝑑𝑦 𝑑𝑧=𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑧

つ ま り 、y=f(g(z))の 微 分 は 、y=f(x)の 微 分 を x=g(z)の 微 分 で か け た 値 と な り ま す 。 換 言 す れ ば 、 連 鎖 公 式 は

(z が 変 化 し た と き の yの 変 化 量) = (z が 変 化 し た と き の xの 変 化 量) × (x が 変 化 し た と き の yの 変 化 量) と な る と し て い ま す 。 こ れ は 直 観 的 な 式 で は な い で し ょ う か 。

1

微 分 を さ ら に 微 分 す る こ と ( 関 数 の 傾 き を 微 分 す る こ と )、 換 言 す れ ば 、「xが 増 加 し た と き 、 関 数 の 傾 き が ど れ ぐ ら い 変 化 す る か 」 を 表 し ま す 。

(7)

7

1 関 数 と し て 、y=(3+2z)2と す る と 、 こ れ は y=x2、x=3+2zと い う 合 成 関 数 と 考 え る こ と が で き ま す 。 し た が っ て 、 連 鎖 公 式 か ら

𝑑𝑦 𝑑𝑧=𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑧= (2𝑥)(2) = 4(3 + 2𝑧) と な り ま す 。

2 こ こ で y=(a+bzn)m と し ま す 。 こ れ は y=xm、x=a+bzn と 定 義 す れ ば 、 連 鎖 公 式 か ら 、

𝑑𝑦 𝑑𝑧=𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑧= (𝑚𝑥 )(𝑏𝑛𝑧 )

= (𝑚(𝑎 + 𝑏𝑧 ) )(𝑏𝑛𝑧 ) と な り ま す 。

偏 微 分

こ れ ま で 、 あ る 変 数 x が 、 あ る 値 f(x)に 対 応 す る 1 変 数 の 関 数 を 考 え て い ま し た 。 し か し 、 も し 2 変 数 x1、x2が 、 あ る 値 f(x1、x2)に 対 応 す る な ら 、 こ れ は 2変 数 の 関 数 と い い ま す 。2つ 以 上 の 変 数 の 関 数 も 同 様 に 定 義 で き ま す 。

こ こ で x1に 関 す る 偏 微 分 と は 、x2を 固 定 し た 値 と 考 え て 、x1に 関 し て 微 分 を と っ た も の と な り ま す 。 こ れ は

𝜕𝑦

𝜕𝑥 = 𝑙𝑖𝑚∆ → ∆𝑦

∆𝑥

= 𝑙𝑖𝑚∆ → ( ∆ , ) ( , )

と な り ま す 。 こ こ で 、x2 を 固 定 し て 、x1 だ け が x1+Δx1 だ け 変 化 し て い る こ と に 注 意 し て く だ さ い 。

偏 微 分 で は 、 微 分 と 明 確 に 区 別 す る た め 、 記 号 と し て d で は な く𝜕( ラ ウ ン ド ・ デ ル タ と 呼 ぶ ) を 用 い て い ま す 。 偏 微 分 記 号 を 用 い る と き は 、 変 数 が 複 数 あ り 、 そ の う ち の 1 つ を 微 小 に 変 化 さ せ る 状 況 を 考 え て い る の で す 。

偏 微 分 と 聞 く と 難 し そ う で す が 、 他 の 変 数 を 固 定 し た 値 と み な し て 、 微 分 を と る だ け な の で 、 と て も 簡 単 な こ と が 分 か っ て も ら え る と 思 い ま す 。

(8)

8

例 1 こ こ で y=x12x2 を 、x1 で 偏 微 分 し て み ま し ょ う 。 こ こ で x2 は 固 定 し た 値 と み な し ま す 。 よ っ て 、 偏 微 分 は 以 下 と な り ま す 。

𝜕𝑦

𝜕𝑥 = 2𝑥 𝑥

2(残 差 2 乗 和) 10 章 で は 、 最 小 2 乗 推 定 量 を 求 め る 際 、 残 差 2 乗 和 を 最 小 化 す る α と β を 求 め ま し た 。残 差 は u=(y-α-βx)で あ り 、残 差 2 乗 u2=(y-α-βx)2と な り ま す 。 こ こ で 残 差 2 乗 和 を α と β で 偏 微 分 す る と ど う な る か を み て み ま し ょ う 。 そ の 際 、y と x は 固 定 し た 値 で あ り 、 α と β だ け が 変 数 と 考 え ま し ょ う

( つ ま り 、関 数 u2は α と β だ け に 依 存 し て い ま す )。ま ず 、関 数 u2=(y-α-βx)2を α で 偏 微 分 す る と 、

𝜕𝑢

𝜕𝛼 =𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝛼= (2u)(−1) = −2(y − 𝛼 − 𝛽𝑥)

と な り ま す 。 こ こ で 連 鎖 公 式 を 使 い ま し た 。 ま た 、βで 偏 微 分 す る と 、

𝜕𝑢

𝜕𝛽 =𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝛽= (2u)(−𝑥) = −2(y − 𝛼 − 𝛽𝑥)𝑥 と な り ま す 。 次 に 、 残 差 2乗 和

𝑢 = (𝑦 − 𝑎 − 𝑏𝑥 )

を 偏 微 分 し て み ま し ょ う 。 こ れ は 単 に 、 α と β で 各 項 を 偏 微 分 す る わ け で す か ら 、 簡 単 に 計 算 で き ま す 。 つ ま り 、

𝜕 ∑ 𝑢

𝜕𝛼 = 𝜕𝑢

𝜕𝛼 = 𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝛼 = (2𝑢 )(−1) = −2 (𝑦 − 𝛼 − 𝛽𝑥 )

𝜕 ∑ 𝑢

𝜕𝛽 = 𝜕𝑢

𝜕𝛽 = 𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝛽 = (2𝑢 )(−𝑥 ) = −2 (𝑦 − 𝛼 − 𝛽𝑥 )𝑥

と な り ま す 。10 章 で 説 明 し た 通 り 、こ れ ら の 式 を 0 と 置 い て 、両 式 を 満 た す α と β が 最 小 2 乗 推 定 量 と な り ま す 。

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参照

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