I09G040西井嵩浩卒業論文

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卒業論文

Excel を用いた

恒星内部構造の計算

I09G040 西井嵩浩

岡山理科大学総合情報学部生物地球システム学科

田邉研究室

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要約

岡山理科大学田邉研究室は従来, 3 つの望遠鏡による観測を主体とし, 特に激変星などの突発天体を主に観測(測光, 分光)されている. しかし, 本卒業研究においては, あえて観測は行わず, 理論のみの研究を行った. ここで, ポリトロープ･モデルによる星の内部構造をExcel により解くことが本研究の目的である. 歴史上の様々な天体物理学者たちがおこなってきた理論計算を追体験することも本研究の醍醐味のひとつであり, 如何にして星の内部構造を計算したのかを本論文にまとめることにする.

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第 1 章序論

1.1 星の内部構造と天体物理学

天体物理学(Astro physics)とは物理学を駆使して天体現象を研究しようとする学問である. 扱う対象が天体現象であるため, 我々の住む地上では取り扱えない極端な状態を理解するための物理学を必要とする場合がある. このことから, 天体物理学は天体現象を通じて自然を支配している物理を知ろうとする物理学者と, 物理法則と観測と宇宙そのものの姿を知ろうとする天文学者との共通の学問領域となっている. 天文学は人類の文明発祥の時代にまでさかのぼる古くから存在する学問であるが, 天体物理学の歴史はそれに比べるとずっと新しいものである.なぜなら, 量子力学^※¹ (Quantum mechanics)や原子核物理学^※² (Nuclear physics)等の新しい物理学が必要としたからである. これらの物理学の登場により発展した分野は輻射輸送論^※³ (Theory of radiative transfer), 星のスペクトル理論^※⁴ (Spectrum theory of the star), そして恒星内部構造論^※⁵ (Theory of stellar structure)と恒星進化論^※⁶ (Stellar evolution)である. これらは天体物理学の基礎分野として現在でも重視されている. 本論文ではポリトロープ･モデル^※⁷

(Polytropic models)により恒星の内部構造を計算するというものである. ポリトロープ･

モデルについては後ほど詳しく議論する. なお, 天体物理学には実に様々なものがあり, 先程挙げたもの以外にも多く存在し, 例えば宇宙論^※⁸ (Cosmology),理論天体物理学^※⁹ (Theory astro physics)等も挙げられる.

さて恒星の内部は直接に観測できないが, 一定の物理法則に支えられて恒星物質が一定の形状を保っている(一定の物理法則とは, 恒星の内部の至る所で万有引力と圧力とがつり合う必要がある=力学的平衡状態である). その内部を支配している物理法則は, 我々地上の実験室で行われるものと同等でならなければならないはずなので, これを用いて推論できるわけである. このことから, 物理法則の知識が豊富になるほど推論も精彩を加え現実的なものに近くなるといえる. 推論は一つの観測量から出発して他

※1原子や電子といったミクロな世界での現象を解く際に使用される力学.

※2原子核の核構造や核反応等を扱う学問.

※3輻射とは電磁波である.天体現象において物理的に次の2つの形で関与する.

1.エネルギー輸送の3要素伝導,対流,輻射(放射)のうちの輻射にあたる.

2.運動量輸送,すなわち力である.

これは天文学的現象における主要なエネルギー輸送であるといえる.詳しくは｢2.2恒星の表面温度｣を参照

※4太陽や恒星のスペクトルの研究の基礎はドイツの物理学者グスタフ･ローベルト･キルヒホフ(Gustav Robert Kirchhoff)により与えられた

※5本論文の目的である.詳しくは1.3恒星内部構造論の歴史とポリトロープ･モデル,4章恒星内部構造論参照.

※6恒星の誕生から恒星の最期までにおこる恒星内部構造の変化を扱う理論.

※7圧力と密度がある関係式(後に記術)を満たし,力学平衡にある球対称な流体の天体をポリトロープガス球等と呼ぶ.

ポリトロープの内部構造はレイン=エムデン方程式(Lane-Emden equation)を用いて記述される。

※8宇宙全体を一個の実体として理解しようとする学問である.

※9観測結果より新たな現象を予測するモデルを構築する.恒星の内部構造を近似するポリトロープもその一つである.

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の観測量に行き着くものでなければ, その検証はできない. 恒星内部構造論の場合では, HR図^※¹⁰ (Hertzsprung-Russell diagram)(1913)や, 質量光度関係(Mass-luminosity relation)^※

11 (1924), それに周期光度関係(Period-luminosity relation)^※¹²(1908)等が検証資料となる.

しかし, 恒星内部構造論がジョナサン･ホーマー･レイン (Jonathan Homer Lane) (米)によって初めて採り上げられたのは, これら観測事実がまだわかっていなかった 1870 年である. これは, 理想気体の状態方程式: ボイル･シャルルの法則(Ideal gas law: Boyle

Charles law)^※¹³のもとに平衡を保っている二つの恒星モデルについて, 内部の密度, 温

度, 圧力を比較し合った研究である. これを発展させたロバート･エムデン(Robert

Emden)(独)(図1.1.1)は1907年に｢ガス球論｣を発刊した. ここで彼はガス法則としてポリ

トロープ･モデルなる関係を採用した. したがってポリトロープ･モデルは理論天体物理学の一分野でもあるといえる. 1915 年以来アーサー･スタンレー･エディントン卿(Sir Arthur Stanley Eddington)(英)(図1.1.2)は, この理論に打ち込み, 質量光度関係等の成果を得て, 1926年に｢恒星内部構造論｣を著した. 恒星内部では輻射平衡が成り立つという見地に立ち, 輻射エネルギーの生産関係を適当に仮定することによって, ポリトロープ･

モデルを適用した. その後原子核物理学が発展し, 恒星内部のエネルギー発生機構が熱核融合反応であることが明らかとなり, 恒星内部構造論は充実し, 恒星の進化過程(恒星進化論)まで論じられるようになった.

ポリトロープ･モデルは時間発展を解くシミュレーションが主流になった今日でもその重要性は変わっていない(なお, 時間発展を追うソフトは市販されている). 特に白色矮星(White dwarf star)の内部構造を扱ううえでこのポリトロープ･モデルが有効である.

白色矮星は｢激変星^※¹⁴ (Cataclysmic variable star)｣の主星:田邉研究室の観測ターゲットであるために関連性が深い. 白色矮星以外の星についてもエネルギー輸送を無視できる場合は有効であるといえる.

※10縦軸に絶対等級,横軸にスペクトル型をとった恒星の分布図.

※11恒星の質量が大きければ大きいほど絶対等級が小さくなる(明るくなる)関係.

※12脈動変光星に対する変光周期と平均光度との関係.明るい脈動変光星ほど周期が長いという関係になっている.

※13ボイル･シャルルの法則といいPV=nRTで表される.

1.ボイルの法則は圧力(P)が強ければ体積(V)は小さくなる.

2.シャルルの法則は温度(T)が高くなれば体積(V)が大きくなる.

詳しくは3章星の内部構造に関わる熱力学参照.

※14普段は暗い星であるが, ある日突然爆発的に明るく輝き出す変光星.

参考 : 加藤正二,1989,天体物理学基礎理論-序,ごとう書房

: 荒木俊馬,他,1958,天文学の歴史新天文学講座Ⅶ-第 5 章,恒星社

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1.2 私と天体物理学

例年田邉研究室では観測を重点的に行うゼミ生が多い中, 私が天体物理学の方向へ進もうとした経緯について述べることにする. 地球の外側には何があるのかと質問するとたいていの人は太陽系が存在すると答える. では太陽系のさらに外側には何が存在するのかと質問を続けていくと最終的には必ず答えられなくなる. 答えられない, すなわちわからない場所やモノに疑問を抱きはしないだろうか. それを知りたくなったからこそ天文学に興味を持ちだした. 天文学好きの人の多くは実際に星を観て天文学に興味を持つ人が多い. そのような場合ならばここでの表題を｢私と天文学｣としたであろう. しかし宇宙や星の物理的な構造が知りたかったので｢私と天体物理学｣という表題にし区別した. ｢天文学｣と｢天体物理学｣とを区別した理由は, ｢1.1 星の内部構造と天体物理学｣で述べたように似て非なるものであるからである.

ではいつ頃天体物理学に興味を持ちはじめたのかを述べる. 先に述べた疑問を抱いたのは幼稚園の頃だと記憶している. 突然頭の中に湧いて出てきたかのようにこの疑問が飛び出してきた. そこで様々な絵本を読んだが理解できるはずもなく疑問として残ってしまう. しかし絵本を読んだことにより太陽系すら知らなかった当時の私に現在(1995年頃)の知られている宇宙の簡単な構造(太陽系や銀河系等)を知ることができ天

図1.1.1: エムデン図1.1.2: エディントン

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文学の基盤となる知識を得ることができた. この経験がなければ, 現在天文学を選んでいなかったかもしれない.

成長とともに天文学への知識と興味も少しずつ増えていき, 高校3 年生の頃には, 大学で本格的な天文学を学びたいと決心し, 結果現在に至る.

本論文では天体物理学の1分野である恒星内部構造論を主に扱う. 恒星の内部構造に興味を持つこととなったきっかけは高校生の頃に読んだ｢学校では教えない教科書面白いほどよくわかる宇宙の不思議｣という本を読んだとき, 恒星進化論について強い関心と興味を持つこととなる. 物理的な証明はされてはいなかったが非常にわかりやすい解説がなされていた. 数学があまり得意ではなかった当時においてはこれが大変良かったといえた.

岡山理科大学へ入学し3年間基礎固めをした後に田邉研究室へ入ることが許され, 田邉健茲教授により本格的な天体物理学をご教授頂いたことを誇りに感じている. 恥ずかしながら高校生の頃, 天体物理学を理解するための物理学と数学がこれほど必要となるとは想像もつかなかった. 大学生活を通じて, 特にこの1 年間を通して本物の天体物理学が学べたと改めて感じているところである.

1.3 本研究の目的

コンピュータの無かった当時では手計算にも時間がかかったと容易に考えられる.

そこで本研究の目的は今日, 最も広く使用されている計算ソフト｢エクセル｣を使い, 効率的かつ容易に星の内部構造を解こうとするものである. また, 天文学の基礎についても軽く触れておく(2章).

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第 2 章星の内部構造に関する天文学的基礎

2.1 概要

恒星内部構造論の本題に入る前に2012年度の 1年間に行った定例ゼミの中でも天文学(特に恒星内部構造論と深く関わるもの)を勉強するうえにおいて特に押さえておきたいと考えられるものを本章にてまとめておく. 定例的なゼミは基本的に以下の文献 (Tayler,R.,J.,1994,The Stars : their structure and evolution Second edition Chapter2 , Cambridge University)

により進められたのでここに記しておく.

2.2 ニュートン力学 ~ 重力の基礎 ~

重力(Gravity)は質量に働く力全般をさす.

1. 地球上において物体が地面に近寄ろうとする力. 重さを作り出す原因である. Gravityより地球の重力加速度を小文字で g と略すことができる.

2. 物体と物体が互いに引き合う力. 天体物理学において万有引力 (Universal gravitation) と同一として扱う. なお万有引力定数^※¹ (Gravitational constant)を大文字のGで表す.

万有引力(万有引力の法則(Law of universal gravitation))とは, すべての 2 物体はその質量の積に比例する引力で引き合っているとアイザック・ニュートン卿(Sir Isaac Newton)(図2.2.1)は考えた. 万有引力の大きさは 2物体の距離の 2 乗に反比例することを見いだした. 以下にその式を記すと,

𝐹 = 𝐺𝑀𝑚

𝑟² (2.2.1)

である. ここでFは万有引力の大きさ, M,mは物体の質量, rは物体間の距離, そしてG は万有引力定数である. ニュートン力学^※² においてこの式がすべての物体の間で成立するといえる. ここで例として地球の質量を求める. 地球の表面付近にある質量mの物

※1 = . 2 1 𝑚 ･ ²

※2古典力学とも呼ぶ.量子力学がミクロな世界ならばニュートン力学はマクロな世界にて適用される.

図2.2.1: ニュートン

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体に作用する地球の重力加速度mgは, 半径REで質量がMEの地球の作用する万有引力によるものなので,

𝑚𝑔 = 𝐺𝑚𝑀_𝐸

𝑅_𝐸² (2.2.2) となる. さらに(2.2.2)式を次のように変形させると,

𝑀_𝐸=𝑔𝑅_𝐸²

𝐺 (2.2.3)

となり, 重力加速度 g=9.8m/s², 半径 RE=6.37×10⁶m を(2.2.3)式に代入すると地球質量 ME=6.0×10²⁴kgとなる.

では, 密度ρが一定である球対称な星を仮定し, 中心からの距離r≦Rおよびr＞Rの点における重力加速度の変化を考えてみる(図2.2.2).

星の中心から距離rにある点mにおける重力加速度は星の中心に向かい, その大きさは点mより中心にある質量のみが関係してくる(万有引力の法則より). 星の中心から半径 rまでの球体の質量をM(r)とすると, 点mにおける重力加速度の大きさは,

𝑔 = 𝐺𝑀(𝑟)

𝑟² (2.2.4) となる. ここで球の体積4/3πr³, 密度ρより質量M (r)は,

𝑀(𝑟) =4

3𝜋𝑟 𝜌 (2.2. )

で表せる. ここで点mが星の半径Rより中心にある場合(r≦R)は, 𝑔 = 𝐺

43 𝜋𝑟 𝜌

𝑟² (2.2. ) となり, 整理すると,

𝑔 =4

3𝐺𝜋𝑟𝜌 (2.2. )

図2.2.2: 密度一定球対称の星

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となり, 星の内部においては半径に比例して重力加速度が大きくなる. したがって星の表面で重力加速度が最大となり, 星の中心部では重力加速度は0となる. 点mが星の半径Rよりも外側にある場合(r＞R)では, rが大きくなっても質量M(R) は変化しないので,

𝑔 = 𝐺

43 𝜋𝑅 𝜌

𝑟² (2.2.8) となり, 整理すると

𝑔 =4

3𝐺𝜋𝑅 𝑟²𝜌 (2.2. )

となり, 星の外側では半径の逆2 乗で無限遠に重力加速度が小さくなるといえる. 以下に密度一定球対称な星における半径における重力加速度分布曲線を示す(図2.2.3).

2.3 星の明るさ ~ 絶対等級と見かけの等級 ~

星から放たれた光の観測された明るさは通常, 等級(Magnitude)で示される. 等級は明るさを対数で表し値が小さなほど明るい. 等級は見かけの等級(Apparent magnitude)と絶対等級(Absolute magnitude)とに分けられる. 実視等級は星そのものの明るさではなく見かけの明るさでありmで表す. 絶対等級は星を10パーセク(Parsec: pc)^※³の距離に置いたときの明るさである. すなわち星そのものの明るさでありMで表す. 絶対等級と見かけの等級との間の関係については本節の最後にて詳しく議論する. 定量的測光^※⁴ 方法が導入された19 世紀にはギリシャ時代の古い定性的な測定とできるだけ一致するように次のように定めた.

図2.2.3: 密度一定球対称な星における半径における重力加速度分布曲線

※3 1pc=3.08568×10¹⁶m=3.26156×10⁰光年

※4 望遠鏡に光電管(現在は冷却CCDが主流)と測光用フィルターを付けて天体を撮像し,明るさを精密に測定する.

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𝑚 = 𝑐 − 2. 𝑙𝑜𝑔𝐿 (2.3.1)

ここでmは見かけの等級, Lは調べられた波長領域における星の明るさ, cは定数である.

明るさ(Luminosity) L^※⁵ は地上に置かれた測定器に入る光量を測定している. ここで

(2.3.1)式を変形し光度Lを求める式を示す.

𝐿 = 1 ^𝐶+𝑚^2.5 (2.3.2)

星の内部構造を議論する場合には星が毎秒あたり放出している絶対的なエネルギー量が必要あり, 実視等級から絶対等級への変換を行う必要がある. この変換にはその星までの距離dを知り, 地球上の単位面積あたりに入ってくるエネルギー量に4πd² を乗じなければならない(図2.3.1).

ただし距離がわかる星はそう多くないうえに星から出た光が星間空間に存在する気体や地球大気により光が散乱されたり吸収されたりするためこの方法だけでは不十分だといえる. 地球大気の影響に関しては宇宙空間へ出ていけば関係なくなるが, 星間気体が存在するという困難は, より正確な効果の補正が可能になった現在でも本質的には取り除くことは不可能である.

さて本節の本題である星の放っている光の量(絶対光度)と観測される見かけの光度の関係を示していく. 星の放っている全エネルギー(絶対光度)L_sは,

𝐿_𝑠 = ∫ 𝐿_𝜆

∞ 0

𝑑𝜆 (2.3.3)

図2.3.1: 全エネルギー(光度)

※5 L=flux(1m²に1秒間の光の入る量)

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で表せる. ここで, L_λdλは星の放っているエネルギー波長がλとλ+dλとの間のものである. ここで, 地球大気や星間空間が光に対して完全に透明と仮定するならば, 地球表面上の単位面積あたり単位時間あたりに到着するエネルギーはLs/4πd²である. 波長λの光が地球表面に届く確率をtλ, 観測装置の感度をsλとすると, 波長λとλ+dλとの間の光の

flux(地球表面上の単位面積あたり, 単位時間あたりに観測されるエネルギー:l_λdλ)は,

𝑙_𝜆𝑑𝜆 =𝐿_𝜆𝑑𝜆𝑡_𝜆𝑠_𝜆

4𝜋𝑑² (2.3.4) である. これを全エネルギーで表すと,

𝑙_𝑠 = ∫ 𝐿_𝜆𝑑𝜆𝑡_𝜆𝑠_𝜆 4𝜋𝑑² 𝑑𝜆

∞ 0

(2.3. ) となる.

なお, 測光(Photometry )(L)は全波長域における光を観測しているのに対し, 分光

(Spectroscopy) (Lλ)は限られた波長域のみを観測している(図2.3.2).

ここで, 絶対等級(M)と見かけの等級(m)との間の関係を与える式を証明しておく. ノーマン･ロバート･ポグソン(Norman Robert Pogson)(図2.3.3)により導かれたポグソンの式,

𝑚 − 𝑚₂= 2. lo (𝑙₂

𝑙 ) (2.3. )

は, m1とm2の2つの物体(星)を扱っているが, M,mとする1 つの物体(星)として考える. ここで, Mは10Pc の場所でのflux(地球表面上の単位面積あたり, 単位時間あたりに観測されるエネルギー)であり, mは地球での flux となる. 絶対的な明るさを L, 見かけの明るさをlとするとき次の図のようになる(図2.3.4).

図2.3.2: 測光と分光

図2.3.3: ポグソン

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ポグソンの式を1つの物体(星)として考えたときは次のようになる, 𝑚 − 𝑀 = 2. lo (𝐿

𝑙) (2.3. ) ここで電磁波(光)は逆2乗則で減衰するため,

𝐿 𝑙 = 𝑟²

1 ² (2.3.8) となり, 整理すると,

𝑀 = 𝑚 − 𝑙𝑜𝑔 (𝑟

1 ) (2.3. ) となり, 絶対等級Mが求まる.

2.4 星の表面温度 ~ 輻射 ~

星から放出された光の性質は波長あるいは振動数に対する強度分布により特徴づけることができる. 光の性質の完全な記述はすべての波長に対する光度lλを観測することにより得られる. 輻射量(Quantity of radiation)はすべての波長域に対して一様に幾何学的係数 4πd² だけ減少するので光の波長依存性は星までの距離に直接影響されることはない. しかし調べようとする星が遠ざかったり近づいたり, また地球と星が相対的な運動をしている場合, ドップラー効果^※⁶ (Doppler effect)によって光の性質は変化する. ドップラー効果によりスペクトルがわずかに赤方あるいは青方に偏移することを利用して, 星の相対運動の速度を調べることができる. 星の速度が光速度に近い時には光の性質に重大な変化をもたらす. (2.3.4)式から, 光が途中で散乱されたり吸収されたりするとき, この効果がすべての波長に対して一様でないため光の性質は変化してしまう. しかし, 逆にこれを利用してどの程度吸収が起こっているかを推定することができる.

さて, 星の色は表面温度と密接に結びついているわけだが表面温度は必ずしも一意

図2.3.4: 1つの物体として考えるポグソンの式のイメージ

※6 ドップラー効果はV=(Δλ/λ)c.ここで,Δλはずれた波長,cは光速度である.

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的に決めることはできない. 温度は系が熱力学的平衡状態^※⁷ (Thermodynamic

equilibrium)にあるときのみ定義できるものである. この場合では光のエネルギー分布

は温度によって一意的に決定できる. これが黒体輻射(Black body radiation)あるいはプランク分布(Planck distribution )と呼ばれるものである. プランクの法則(Planck's law):

(マックス･カール･エルンスト･ルートヴィヒ･プランク(図2.4.1)(Max Karl Ernst Ludwig

Planck))より系が熱力学的平衡状態にあるときには波長がvとv+dvとの間で, 単位時間

あたり, 単位面積を通じて面に垂直な方向への単位立体角あたりの輻射量は, 𝐵_𝜈(𝑇) =2ℎ𝜈

𝑐² 1 𝑒^ℎ𝜈^𝑘𝑇− 1

(2.4.1)

で与えられる. Bν(T)は温度Tでのプランク分布関数(Planck distribution function)と呼ばれ, v は光の振動数, c は光速度(3.00×10⁸ms^-1), h はプランク定数(Planck's constant)(6.63×

10^-34Js), kはボルツマン定数(Boltzmann constant )(1.38×10^-23jK^-1)である. ここで, Bv(T)は 入射する電磁波を完全に吸収する物体からの放射についてのみ成り立つといえる: 黒体輻射の法則(Black body radiation law).

プランクの公式以前にはヴィーンの放射法則(Wien's radiation law): (ヴィルヘルム･カール･ヴェルナー･オットー･フリッツ･フランツ･ヴィーン(図2.4.2)(Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien))とレイリー･ジーンズの法則(Rayleigh Jeans law): (第3代レイリー男爵･ジョン･ウィリアム･ストラット(図2.4.3)(John William Strutt 3rd Baron Rayleigh), ジェームズ･ホップウッド･ジーンズ(図2.4.4) (Sir James Hopwood Jeans))が考案されていた

※7 ある物理系を孤立系とし, そのまま長い時間放置しておくとその系は熱平衡の状態の物理状態に達する. 熱平衡の状態という物理状態に達する. 熱平衡に達すると系の性質は場所に依存しなくなるため系のどの部分でも同じ温度になる. 式で表すと, ΔU-ΔW-TΔS=0となる. ここでΔUは系の内部エネルギー, ΔWは系になされた仕事, TΔSは熱力学温度である.

図2.4.1: プランク図2.4.2: ヴィーン

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が, ヴィーンの放射法則は短波長領域においては実験データと一致するが長波長領域では一致しなかったのに対し, レイリー･ジーンズの法則は長波長領域においては実験データと一致するが短波長領域では一致しないという矛盾があると知られていた. そこでプランクは短波長領域, 長波長領域いずれの波長においても実験データと一致する法則を発見した. これがプランクの法則(2.4.1)式である.

ところで, 我々は温度という言葉を系が熱力学的平衡状態にないときにも用いている. この場合は粒子の平均的運動エネルギーの大きさとして温度を定義している. 星に対して粒子がどのような運動エネルギーをもっているかは観測によって知ることができず, 観測可能な光から表面温度を導かなければならない.

ここで, (2.4.1)式より実際に太陽(6,000K)を仮定したとき, 輻射強度が最大値をとるときの振動数(v_max)を求める. さらに輻射強度(λmax)も求める. まずは輻射強度が最大値をとるときの振動数(v_max)を求める. (2.4.1)式より,

ℎ𝜈

𝑘𝑇= 𝑥 (2.4.2) とおくと,

𝐵_𝜈(𝑇) =2ℎ𝑣 𝑐²

1

𝑒^𝑥− 1 (2.4.3) となる. ここで(2.4.2)式を変形すると,

𝜈 = (𝑘𝑇

ℎ ) 𝑥 (2.4.4) となり, これを(2.4.3)式に代入し, 整理すると,

図2.4.4: ジーンズ図2.4.3: レイリー

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- 16 - 𝐵_𝜈(𝑇) = 2

𝑐²ℎ (𝑘𝑇 ℎ) 𝑥

𝑒^𝑥− 1 (2.4. ) となる. ここで右辺を,

2 𝑐²ℎ (𝑘𝑇

ℎ ) = 𝑎 (2.4. ) とおき(a=定数), 右辺ののこりを微分すると,

𝑓^′(𝑥) = 3𝑥²

𝑒^𝑥− 1+ 𝑥 ( 1

𝑒^𝑥− 1) (2.4. ) となる. ここで,

𝑔(𝑥) = ( 1

𝑒^𝑥− 1) (2.4.8) とおき, 微分すると,

𝑔(𝑥)^′ = − 𝑒^𝑥−

(𝑒^𝑥− 1)² (2.4. ) となり, 整理すると,

𝑔(𝑥)^′= −(𝑒^𝑥− 1)²𝑒^𝑥 (2.4.1 ) となる. ここで(2.4.7)式に(2.4.10)式を代入すると,

𝑓^′(𝑥) = 3𝑥²

𝑒^𝑥− 1+ 𝑥 (−(𝑒^𝑥− 1)²𝑒^𝑥) (2.4.11) となり, すべての微分が完了する. (2.4.11)式を整理すると,

𝑓^′(𝑥) = 𝑥²(𝑒^𝑥− 1){3 − (𝑒^𝑥− 1)𝑥𝑒^𝑥} (2.4.12)

となる.ここで, f ’(x)=0 となるとき, 輻射強度の最大値となる.(2.4.12)式に(e^x-1)をかけ, 右辺第1項を消去し, e^xでまとめると,

𝑒^𝑥= 3

3 − 𝑥 (2.4.13)

となり, 右辺と左辺のx にそれぞれ値を入れていけば次の(表 2.4.1)のようになる. ここでeは自然対数の底: ネイピア数(Napier's constant)=2.718･･･である.

表2.4.1: xにおける関数値

x 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3

3 − 𝑥 3.00 3.33 3.75 4.29 5.00 6.00 7.50 10.00 15.00 30.00 ∞ e^x 7.38 8.16 9.03 9.97 11.02 12.18 13.46 14.88 16.44 18.17 20.09 ここで, x におけるそれぞれの関数値の接点がある場所を決める必要があるが, 先に(表

2.4.1)をグラフ化したものを(図2.4.5)に示す.

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- 17 -

(表2.4.1)と(図2.4.5)からxはおおよそ2.80で交わることが読み取れる. 輻射強度が最大

値をとるときの振動数(νmax)を求める方程式, 𝑥 =ℎ𝑣_𝑚𝑎𝑥

𝑘𝑇 (2.4.14)

において, x=2.80, T=6000(K), k=1.38×10^-23(jK^-1), h=6.63×10(^-34Js)として計算すると, 𝑣_𝑚𝑎𝑥≒ 3. 1 ⁴𝑠 (2.4.1 )

となり, 輻射強度が最大値をとるときの振動数(vmax)が求まる.

では, 輻射強度(λmax)を求めていく. ここで, 気をつけなければならないのが, ここでは(2.4.1)式が使用できないという点にある. 絶対温度 T の物体の表面 1m²から波長がλ とλ+Δλの間の電磁波によって 1 秒間に放射されるエネルギーの量を表す式, いいかえると, 単位立体角あたりの分光放射輝度は, 波長λの関数として次の式で与えられる.

𝐼(𝜆, 𝑇)𝛥𝜆 =2𝜋ℎ𝑐² 𝜆⁵

1 𝑒^{𝜆𝑘𝐵𝑇}^ℎ𝑐 − 1

𝛥𝜆 (2.4.1 ) ここで, (2.4.16)式より輻射強度(λmax)を求める.まず,

ℎ𝑐

𝜆𝑘𝑇= 𝑥 (2.4.1 ) とおき, 変形すると,

𝜆 = ℎ𝑐

𝑥𝑘𝑇 (2.4.18) となる. これを(2.4.16)式へ代入すると,

図2.4.5: xにおける関数値

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- 18 - 𝐼(𝜆, 𝑇) = 2𝜋(𝑘𝑇)⁵

ℎ⁴𝑐 𝑥⁵

𝑒^𝑥− 1 (2.4.1 ) となる. ここで次の部分のみを微分すると,

( 𝑥⁵ 𝑒^𝑥− 1)

′

= 𝑥⁴

𝑒^𝑥− 1− 𝑥⁵𝑒^𝑥

(𝑒^𝑥− 1)² (2.4.2 ) となる. ここで,

( 𝑥⁵ 𝑒^𝑥− 1)

′

= (2.4.21) とすると, (2.4.20)式より,

𝑥⁴

𝑒^𝑥− 1{ −𝑥𝑒^𝑥

𝑒^𝑥 } = (2.4.22) となり, 整理すると,

𝑒^𝑥=

− 𝑥 (2.4.23)

となり, 右辺と左辺のxにそれぞれ値を入れていけば次の(表2.4.2)のようになる.

表2.4.2: xにおける関数値

x 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60

− 𝑥 5.00 5.56 6.25 7.14 8.33 10.00 12.50

e^x 54.60 60.30 66.70 73.70 81.50 90.00 99.50

x 4.70 4.80 4.90 4.91 4.92 4.93 4.94

− 𝑥 16.70 25.00 50.00 55.60 62.50 71.40 83.30

e^x 109.90 121.50 134.30 135.60 137.00 138.40 139.80

x 4.95 4.96 4.97 4.98 4.99 5.00

− 𝑥 100.00 125.00 166.70 250.00 500.00 ∞

e^x 141.20 142.60 144.00 145.50 146.90 148.40

ここで, 再びx におけるそれぞれの関数値の接点がある場所を決める必要がある. なお

(表2.4.2)では, x=4.00～4.90までにおいて, 接点が無いため, x=4.90～5.00までの区間は

0.01刻みで示す. (表2.4.2)をグラフ化したものを(図2.4.5)に示す.

(20)

- 19 -

(表 2.4.2)と(図 2.4.6)から x はおおよそ 4.96で交わることが読み取れる. 輻射強度(λmax)

を求める方程式,

𝑥 = ℎ𝑐

𝜆_𝑚𝑎𝑥𝑘𝑇 (2.4.24)

において, x=4.96, T=6000(K), k=1.38×10^-23(jK^-1), h=6.63×10(^-34Js), c=3.00×10⁸(km/s)として計算すると,

𝜆_𝑚𝑎𝑥≒ 4.84 1 ⁷𝑚 (2.4.2 )

となり, 輻射強度(λmax)が求まる. なお, 484(nm)はスペクトルでいえば黄緑付近に相当する(6,000Kを含めたプランク分布図は本節最後に示す).

多くの星では光のエネルギー分布がプランク分布からそれほどずれていないので, 星の表面温度は容易に定義できる. もし光エネルギー分布がプランク分布からずれているときには温度を決定することは困難である. そのときは色指数により光の性質を規定する. なお, 色指数とは星の光の2つの波長域における等級の差である. ここで, U, B, Vの3色で測光することにより3つの色指数U-B, B-V, U-Vを得ることができる. ここで, U, B, Vはおのおのの波長における星の等級を示している. 3つの波長領域に対して用いられるフィルターはだいたい1,000Å ^※⁸の幅をもち, 中心波長はおおよそ,

図2.4.5: xにおける関数値

※8 1Å=10^-10m=0.1nm, 1,000Å=10^-7m=0.1μm

(21)

- 20 -

𝜆_𝑈≈ 3, Å, 𝜆_𝐵 ≈ 4,4 Å, 𝜆_𝑉 ≈ 4 Å, (2.4.2 ) である.

最後に3,000K, 6,000K, 12,000Kにおいてのプランク分布を示しておく.

ここで, 横軸は振動数(v/v⁰)であり, 縦軸は輻射強度(Bvc²/2hv³0)である. 波の振動数(v⁰) は10^-14m/sである.

2.5 有効温度~ボロメトリック補正~

星の内部構造論から予測される星の性質と観測結果の比較という問題に向き合うことになる. 理論的な計算によって全波長にわたるエネルギー分布を出すことは, 難しいが, 星の放っている全エネルギーを知ることは易しい. この場合, 有効温度 Teと呼ばれる量がしばしば用いられる. 有効温度は, 考えている星と同じ半径で, 温度 Teの黒体輻射から放出される全エネルギーがちょうど星の全エネルギーに等しいような温度 Teであると定義される.

𝐿_𝑠= 𝜋𝑎𝑐𝑟_𝑠²𝑇_𝑒⁴≡ 4𝜋𝑟_𝑠²𝜎𝑇_𝑒⁴ (2. .1)

ここに, rs は星の半径であり, a は輻射密度定数(Radiation density constant) (7.55×10^-16Jm^-3K^-4), σ はステファン･ボルツマン定数(Stefan Boltzmann constant)

(5.67×10^-8Wm^-2K^-4)であり, aとσ=ac/4の関係にある. ここで, 理論と観測とを比較するさ

いの重要な問題の1 つは, 有効温度を色指数と, 輻射の光度をある特定の波長領域での

図2.4.6: 3つの温度におけるプランク分布

(22)

- 21 -

等級と結びつけることである. とくに(L_s, Te)から(M_V-B-V)への変換である. このような変換は熱電対^※⁹ (Thermocouple)で星の全エネルギーを測定するか, 数多くの狭波長冷却 CCD 測光による等級測定によってのみ可能である. 事実上このような観測は限られた数の星に対してのみ行われ, その結果から有効温度と色指数, あるいは輻射等級と実視等級との間の経験的な関係を求める. この経験則を他の星に対しても適応させる. 主系列星^※¹⁰ (Main sequence star)に対する変換を(表2.5.1)に示し, それを(図2.5.1)に示す.

表2.5.1: 主系列星の色指数(B-V), 絶対実視等級(M_V), 有効温度(logT_e), 絶対輻射等級

(Mbol)の間の関係

B-V MV logTe Mbol B-V MV logTe Mbol

-0.3 -4.4 4.48 -7.6 0.5 3.8 3.8 3.8

-0.2 -1.6 4.27 -3.5 0.6 4.4 3.77 4.3

-0.1 0.1 4.14 -0.8 0.7 5.2 3.74 5.1

0 0.8 4.03 0.4 0.8 5.8 3.72 5.6

0.1 1.5 3.97 1.3 0.9 6.2 3.69 5.9

0.2 2 3.91 1.9 1 6.6 3.65 6.2

0.3 2.3 3.87 2.2 1.1 6.9 3.62 6.4

0.4 2.8 3.84 2.8 1.2 7.3 3.59 6.6

M

図2.5.1: 主系列星の色指数(B-V), 絶対実視等級(MV), 有効温度

(logTe), 絶対輻射等級(Mbol)の間の関係

※9 温度差を測定するセンサ

※10HR図上で, 左上から右下に延びる線である主系列に位置する恒星. 右上ほど, より高温で絶対等級で明るく, 左下になるにつれてより低温で絶対等級で暗くなる.

(23)

- 22 -

2.6 星の諸量 1~ 星の距離 ~

星の距離を測るのには様々な方法があるが, ここでは三角法を利用した直接的な観測による測定方法を述べていく. 太陽のまわりを公転する地球上である星を観測することを考える.

地球が太陽のまわりの軌道上を運動することによって, 非常に遠方の星に対するその星の見える方向は変化する. 変化する角度がわかれば三角形 EE’S は確定し, 太陽までの距離が求まる. ここで(図2.6.1)より, 𝐸𝑆′̅̅̅̅=d, 𝑆𝑆′̅̅̅̅=d’, 𝐸𝑆̅̅̅̅=rとするとき,

𝑟

𝑑= 𝑠𝑖𝑛𝜃 ^𝑟

𝑑′= 𝑡𝑎𝑛𝜃 (2. .1)

で各距離が求まる. 角 ES’S は星の視角と呼ばれる. 地球から最も近い恒星でさえこの角度は1^’’以下である. ここで, 視角がちょうど1^’’になるような距離を1パーセクと定義される(詳しい距離は2章3節^※³).

さて, 先ほど述べた距離決定方法の説明は問題をいくらか簡単化している. 実際の星を考えると, 銀河系の中に存在している星は他のすべての星のつくっている重力場の中で互いに 10⁴～10⁶m/s の速度で動きまわっている. 距離を測りたい星がこのような速

度でd’に垂直な方向に移動している場合を考えてみる(視線方向d’に移動している場合

は, この差はたいして重要ではない. なぜならば, d’に対して垂直な方向に移動してい るときに比べて移動距離が十分小さいからである). 地球が Eから E’へ移動している半 年の間に星S’はS^’’まで移動する.

(図 2.6.2)より, 先ほど述べた距離の測定方法では正しい解は得ることができない. 観測

図2.6.2: 恒星が太陽に対して相対的に運動している場合の視差

図2.6.1: 恒星の視差

(24)

- 23 -

している星が近接連星^※¹¹(Close binary star)でないかぎり, 観測している数年の間運動は直線的で, なおかつ速度も一様であると仮定することができる. なぜなら, 一様な直線運動からのずれは数千年あるいは10 万年にもおよぶ時間ではじめてわかる程度の小さなものだからである. このように仮定すると, 数年にわたる観測によって星の固有運動による移動と, 地球が太陽のまわりを運動しているための周期的な視角とを分離することが可能である. 図は, 地球がEからE’へ移動し, 再びEへ戻ってくる間に, 恒星は S’からS^’’へ, S^’’からS^’’’へと移動するとしている. 遠い星の場合, 視差∠ES^’’Sを直接測定することはできないが∠EPE’と∠S’ES^’’’との2つの角度は測定可能である.

2.7 星の諸量 2~ 星の質量 ~

本章の最後として, 質量の求め方について述べることにする. 星の質量を直接的に知る唯一の方法は連星系の力学を調べることである. 用いる方法は連星が近接連星なのか離れた連星なのかにより異なる. 2 つの星が比較的離れている連星を考える. 重力作用を及ぼし合っている連星はケプラーの法則(Kepler’s laws):(ヨハネス･ケプラー(図

2.7.1)( Johannes Kepler))より, 互いに重心(Center of gravity)のまわりを楕円軌道を描い

て回転している(図 2.7.2). 連星が, 地球から観測できるほど互いに離れていたならば, 長時間の観測より重心のまわりの連星の軌道を知ることができる.さらに連星系の視角が観測できるならば,地球からの距離がわかることから, 軌道の見かけの大きさから実際の大きさを知ることができる. このように, 連星の回転周期と軌道半径とがわかればケプラーの法則を用いて2つの星の質量を決定できる.

※11 2つの恒星が万有引力で結びつき共通重心のまわりを公転している. 両星間の距離が星の半径か直径と同程度にまで接近して回っているもの.

図2.7.1: ケプラー

図2.7.2: 2つの星の楕円軌道

(25)

- 24 -

まず連星系の視角(距離)がわかり, その軌道が円である場合を考えたときの質量を求

める(図2.7.3). その後にケプラーの第3法則を証明しておく.

地球から連星の距離がわかっていることから, 2つの軌道半径r¹, r²がわかる. 軌道の中心は系の重心だから,

𝑀 𝑟 = 𝑀₂𝑟₂ (2. .1) または,

𝑀 𝑀₂=𝑟₂

𝑟 (2. .2)

が成り立つ. ここに, M1, M2はおのおのの2つの質量である. 観測によりr¹, r²がわかるから質量比はわかる. 質量比がわかったところで連星系の総質量を求める. ケプラーの法則,

𝑎

𝑃²=𝐺𝑀₂

4𝜋² =一定 (2. .3) を太陽系のような質量比が圧倒した系であるとすると,

𝑎

𝑃² =𝐺𝑀_𝑠

4𝜋² =一定 (2. .4) となり(ここでs=太陽), これを整理すると,

𝑃²=4𝜋²𝑟

𝐺𝑀_𝑠 (2. . ) となる. この場合は主星の質量のみがわかる.

質量比がある程度均等な系においては, 2つの星の間の距離であることから, r=(r¹+ r²), 質量の和であることから Ms=(M1+M2)として, 回転周期 P(1 つの星がその軌道を完全に描く時間)との間に,

図2.7.3: 円軌道を描く連星系

(26)

- 25 - 𝑃²= 4𝜋²(𝑟𝑟₂)

𝐺(𝑀 + 𝑀₂) (2. . ) という関係が成り立つ. ここで, (2.7.6式)を整理すると,

𝐺𝑀 +𝐺𝑀₂=4𝜋𝑟 + 4𝜋𝑟₂

𝑃² (2. . )

となることから, 連星系の総質量となる. ここでPもr1もr2も観測から求まるため, 右辺を導くことが可能となる. 2 つの式, 比を求める(2.7.2 式)と連星系の総質量(2.7.7 式) を用いると, おのおのの星の質量が計算することができる. もし, 連星系の視角が測定できないときは, たんにみかけの軌道の大きさを知ることができず, 2 つの星の質量を見出すことはできない. ただし, この場合でも(2.7.2式)から質量の比だけは求められる.

ところで, ケプラーの法則には第 1法則から第 3 法則までが存在する. 順に, ケプラーの第1法則は連星軌道は楕円である, ケプラーの第2法則は面積速度一定の法則である. そして,ケプラーの第3法則はa³/P²=一定というものである. 先にも述べたがここでケプラーの第3法則を証明しておくことにする. 万有引力の法則よりM2(大質量星:太陽 系でいう太陽に相当)と M1(小質量星:太陽系でいう惑星に相当)の間には, その距離の 2 乗に反比例し, 質量の積に比例する引力が働く,

𝐹 = 𝐺𝑀𝑚

𝑟² (2. .8) ここで, M₁が半径r, 公転周期Pの公転をするには

𝐹^′= 𝑀 𝑟 (2𝜋 𝑃)

2

(2. . )

の向心力^※¹² (Centripetal force)が必要となる. ここで, (2.7.8式)を左辺, (2.7.9式)を右辺とすると,

𝐺𝑀 𝑀₂

𝑟² = 𝑀 𝑟 (2𝜋 𝑃)

2

(2. .1 ) となり, 整理すると,

𝑟

𝑃²=𝐺𝑀₂

4𝜋² (2. .11)

となり, ケプラーの第3 法則が求まる. これらの法則は一般の楕円軌道についても成立つことが示される.

※12物体を曲線軌道で動かす力.

(27)

- 26 -

第 3 章星の内部構造に関わる熱力学

3.1 概要

序論ではポリトロープ･モデルにより恒星の内部構造(特に白色矮星)を理解することが可能であると述べた. 本論文では今後ポリトロープ･モデルを使い恒星の内部構造を議論することにする. 恒星の内部構造を理解するうえでまず重要となるのが理想気体の断熱変化(Adiabatic change of ideal gas)についてである. なぜなら恒星は理想気体として扱えるためである. ここで, 理想気体の断熱変化を理解するためにいくつかの理論が必要となる. 本章ではまずそれらを議論したのちに理想気体の断熱変化について議論し, 最終的にポリトロープ･モデルと深く関連させる.

そもそも熱力学(Thermodynamics )とは, 個々の物質の分子構造とは無関係な形で, 熱に関する一般的性質をいくつかの法則にまとめ, それらを出発点にして具体的な問題を扱う学問である. 外部と熱および仕事のやりとりのある物体の状態変化でのエネルギー保存則を熱力学の第1法則とよぶ. これは熱は高温の物体から低温の物体へ自然に移動するが, その逆(低温から高温)の移動は自然には生じない. この過程を不可逆過程(Irreversible process)という. 状態変化の起こる向きについての法則が熱力学の第2法則である. これはエントロピー(Entropy)とよばれる物理量(状態量)を導入することによって, ｢エントロピーは常に増大する｣という形で定量的に定式化される. なお, 熱力学第2法則については本研究に直接関係しないため議論しないことにする.

3.2 理想気体の状態方程式

気体に関するいくつかの事実が実験により知られている. 温度が一定のとき, 気体の体積Vと圧力pは反比例する(図3.2.1). この関係は,

=一定 ₍温度は一定₎ _(3.2.1)

となる. この関係はロバート･ボイル(Robert Boyle)(図 3.2.2)により発見されたので, ボイルの法則(Boyle's law)という.

圧力を一定に保ちながら, 気体を温めると, 気体は膨張して体積が増す. 気体の温度

を 1℃上昇させると体積は 0℃(273.15K)のときの体積 V0 の 1/273.15 だけ減少する(図

3.2.3). したがって, t℃のときの体積Vは,

= (1 + 𝑡

2 3.1 ) ₀ (圧力は一定₎ _(3.2.2)

となる. この関係はジャック･アレクサンドル･セザール･シャルル(Jacques Alexandre César Charles) (図3.2.4)により発見されたので, シャルルの法則(Charles's law)という.

(28)

- 27 -

ここでシリンダーとピストンを考える. 気体は分子の集団で, 温度が上がると分子の運動が激しくなり, 結果的に気体がピストンを押すこととなり, 気体の体積が増える.

逆に温度が下がると分子の運動は弱くなり, 結果的に気体がピストンを押す圧力が減り, 気体の体積は減少する. (3.2.2)式から, -273.15℃(0K)では気体の体積は0になると推測されるが実際には0Kになる前に気体は液化する(気体が液化, 固化しても 0Kで分子の熱運動が止まると考えられる). なお, K(ケルビン)は絶対温度である. 絶対温度は,

𝑇 = 𝑡 + 2 3.1 (3.2.3) であるため, シャルルの法則を絶対温度で表すと,

= 𝑇

2 3.1 ⁰ (圧力は一定₎ (3.2.4)

図3.2.1: ボイルの法則図3.2.2: ボイル

図3.2.3: シャルルの法則図3.2.4: シャルル

(29)

- 28 - となる.

同温, 同圧, 同体積の希薄気体の中には, どのような気体でもつねに同じ数の分子が含まれている. これをアボガドロの法則(Avogadro's law):(アメデオ･アボガドロ(図

3.2.5)(Amedeo Avogadro)による仮説(最終的にアルベルト･アインシュタイン(図 3.2.6)

(Albert Einstein)とジャン･バティスト･ペラン(図3.2.7) (Jean Baptiste Perrin)により証明された))という.

ボイルの法則, シャルルの法則, アボガドロの法則にしたがう気体を理想気体という.

標準状態(1気圧=1.01325×10⁵N/m², 0℃=273.15K)では 22.414L の理想気体の中に 1 モル

(mol)の分子, つまり, 個数が,

= . 22 1 ² 𝑚𝑜𝑙 (3.2. )

の分子が含まれている. ここでNAをアボガドロ定数^※¹ (Avogadro constant) という.

ここで, シリンダーの中の気体の体積Vは, 絶対温度Tとモル数nが一定のときはボイルの法則によって圧力pに反比例し, 圧力pとモル数nが一定のときは絶対温度Tに比例し, 圧力pと絶対温度Tが一定のときはモル数nに比例する. そこで, この3つの関係をまとめると, nモルの気体の圧力p, 体積V, 絶対温度Tの間には,

= 𝑛𝑅𝑇 (3.2. )

という関係があり, これをボイルシャルルの法則という. なお, Rは気体定数である. ボイルの法則, シャルルの法則より, Rは,

𝑅 =𝑃

𝑇 (3.2. )

となる. ここで, P=1.01325×10⁵N/m², V=22.414L , T=273.15Kより,

※1 ¹²C 12 g の中に含まれている原子の総数で定義される

図3.2.5: アボガドロ図3.2.6: アインシュタイン図3.2.7: ペラン

(30)

- 29 -

𝑅 = 8.31 ( ･_{𝑚𝑜𝑙)} _(3.2.8) となる. ここでRは気体の種類によらず一定である.

現実の気体は, 低温や高密度のときには(3.2.6)式からずれるが, 高温低密度の希薄な気体の場合には(3.2.6)式は気体の状態をよく表す. 理想気体とは, (3.2.6)式をつねに満足する気体の存在を想定したものである. (3.2.6)式は理想気体の圧力, 体積, 温度, モル数などの気体の状態を表す量の関係式なので, 理想気体の状態方程式という.

3.3 気体の分子運動論

ボイルシャルルの法則は分子論の立場で説明できる. ここで, 容器の中の気体が壁に及ぼす圧力を, 壁に衝突する気体分子の作用としてミクロな立場で考える.

1辺の長さLの立方体の容器にnモルの気体, つまりnNA個の気体分子が入っているとする. 本来これらの分子は壁に衝突するか他の分子に衝突すると運動状態を変えるが, 気体は希薄なのでここでは簡単のために分子同士の衝突は無視できるものとして考える. ここで図3.3.1の右側の壁に速度v=(vx,vy,vz)で弾性衝突(Elastic collision)する1つの分子に注目する. この弾性衝突で速度 v の壁に平行な成分の vy,とvzは変化しないが, 壁に垂直なx成分は vxから- v_xに変わる. そこで質量mの分子の運動量mvは壁に垂直な成分が(-mv_x)-( mvx)=-2 mvxだけ変化する. これは運動量変化と力積の関係によって衝突の際に分子が受けた左向きの力積(｢力｣×｢作用時間｣)に等しい. また, 作用反作用の法則^※² (Newton's third law: Action reaction law)により, この分子が壁に及ぼす力積は右向きの2 mvxである. この分子は他の壁に衝突して, 再びこの右側の壁に戻ってくる. ここで, 1往復する時間は, 2L/ v_xなので, 時間tにこの分子が同じ壁に衝突する回数は,

図3.3.1: 気体分子の運動(壁との衝突)

※2 ニュートンの運動の法則の第3法則である. 2つの質点の間に働く力には1方の質点に作用する力だけでなく, 他方への反作用の力がある. この力は大きさが等しく, 向きは逆である.

(31)

- 30 - 𝑡

2 =𝑣_𝑥𝑡

2𝐿 (3.3.1) であり, この間に1個の分子が壁に及ぼす力積は,

2𝑚𝑣_𝑥 𝑣_𝑥𝑡

2𝐿 =𝑚𝑣_𝑥²

𝐿 𝑡 (3.3.2)

となる. これを全分子について加えれば, 気体が壁に及ぼす力積が求められる. nN_A個の分子のvx

2の平均値を(v_x²)と記すと, vx

2を全分子について加えれば nNA(vx

2)となる. そこ

で全分子が時間tの間に壁に及ぼす力積は, 𝑛 𝑚(𝑣_𝑥²)

𝐿 𝑡 (3.3.3)

である. 一方, 全分子が壁に及ぼす力を Fとすると, 時間tの間の力積は Ftなので, 平均の力Fは,

𝐹 =𝑛 𝑚(𝑣_𝑥²)

𝐿 (3.3.4) となる. ここで, 壁の面積はL²なので, 気体の圧力pは,

= 𝐹

𝐿²=𝑛 𝑚(𝑣_𝑥²)

(3.3. )

となる(ここでV=L³). 気体分子の運動は全体としては等方向であり, (v_x²)= (vy 2)= (vz

2)だと考えられる. ここで, ピタゴラスの定理^※³ (Pythagorean theorem)により,

𝑣²= 𝑣_𝑥²+ 𝑣²+ 𝑣² (3.3. ) となり, その平均値は,

(𝑣²) = (𝑣_𝑥²) + (𝑣²) + (𝑣²) = 3(𝑣_𝑥²) (3.3. ) となる. ここで(3.3.7)式の関係より(3.3.5)式は,

=1

3= 𝑛 𝑚(𝑣²) =2

3𝐸 (3.3.8) となる. ここで,

𝐸 =1

2= 𝑛 𝑚(𝑣²) (3.3. )

は気体分子の全運動エネルギーである. ここで, (3.3.8)式とボイルシャルルの法則(3.2.6) 式を比較すると,

1

2𝑛 𝑚(𝑣²) = 𝐸 =3

2𝑛𝑅𝑇 (3.3.1 )

となり, 気体分子の全運動エネルギーEは絶対温度Tに比例する. ここで (3.3.10)式から, 気体分子1個あたりの平均の運動エネルギーは,

※3 直角三角形の3辺の長さの関係を表す等式であり, a²+b²=c²という関係がある. 今回の場合では, 3次元空間内の一般化のため, v_x, vy, vz を用いて(3.3.6)式のようになる.